精品解析： 浙江省宁波市曙光中学2025-2026学年九年级上学期期中数学期中试题

2025学年第一学期九年级数学阶段性试题 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，，以点C为圆心，r为半径作．若点A在内，且点B在外，则r可能为（ ） A. 3cm B. 3.5cm C. 4cm D. 4.5cm 4. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为．若以原点O为位似中心画，使它与相似比为，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论中一定正确的是（ ） A. ①和②相似 B. ①和③相似 C. ①和④相似 D. ②和④相似 7. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，点在优弧上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 在下列函数图象上任取不同的两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，一定能使的是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 关于x的方程无实数根 10. 如图，点O是等边内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，则的值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 已知4是x和8的比例中项，则______． 12. 如图，点A，B，C在上，，则的度数为_______． 13. 《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，截至目前全球票房已破158亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点B为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是__________（结果保留根号）． 14. 已知⊙O的直径为20， AB， CD分别是⊙O的两条弦，且AB//CD，AB=16，CD=10，则AB，CD之间的距离是_____． 15. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则抛物线的顶点在第________象限． 16. 如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点I在DE上，以EF为直径的圆交直线AB于点M，N．若I为的中点，，则______． 三．解答题（共8小题，17-21题每题8分，22-23题每题10分，24题12分） 17. 已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点 (－3，0)，(2，－5)． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)请你判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？ 18. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C在格点上． （1）画出过A，B，C三点的圆的圆心P； （2）求的长． 19. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米 （1）求抛物线的解析式； （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 20. 如图，在中，，点E在上，经过A，B，E三点的圆交于点D，且D是的中点． （1）求证：是圆的直径． （2）连结，若，，求阴影部分的面积． 21. 在二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 2 1 2 5 … （1）当时，对应的函数值________； （2）求该二次函数的表达式； （3）若该函数图象上两点的纵坐标满足，求m的取值范围． 22. 如图，在四边形中，对角线平分，，点E在上，．若，，，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（，，是常数，）． （1）若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标． （2）若，函数图象与轴有两个交点，，且，求证：． （3）若函数图象经过点，当时，；当时，，求的值． 24. 如图，是圆的内接三角形，连接并延长交于点，，． （1）若，求的度数； （2）若，求证； （3）若弧长是周长的，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级数学阶段性试题 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的识别．根据二次函数的定义：“形如，这样的函数叫做二次函数”，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是二次函数，不符合题意； B、，整理，得：，是一次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，不是二次函数，不符合题意； 故选C． 2. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，结合旋转的性质得出是解题关键．由旋转的性质可得，然后由求解即可． 【详解】解：根据题意，将绕点顺时针旋转到， ， ， ， 故选：B． 3. 在中，，，，以点C为圆心，r为半径作．若点A在内，且点B在外，则r可能为（ ） A. 3cm B. 3.5cm C. 4cm D. 4.5cm 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，正确理解点与圆的位置关系是解题的关键．根据点与圆的位置关系，即可求得，由此即可判断答案． 【详解】解：点A在内， ， 点B在外， ， ， 只有符合题意． 故选：B． 4. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据二次函数图象平移规则，“左加右减，上加下减”，直接计算平移后的解析式即可． 【详解】解：∵抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位， ∴平移后解析式为， 故选：A． 5. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为．若以原点O为位似中心画，使它与相似比为，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解∶以原点为位似中心，相似比为，把缩小，点A的坐标为， 点A的对应点的坐标为或， 即或． 故选∶B． 6. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论中一定正确的是（ ） A. ①和②相似 B. ①和③相似 C. ①和④相似 D. ②和④相似 【答案】B 【解析】 【分析】由得到，结合，根据三角形相似的判定解答即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：由得到， 又， 故， 故选：B． 7. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，点在优弧上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的关键．连接，由圆周角定理得出，进而得出，再根据圆内接四边形的性质即可求出的度数． 【详解】解：连接，如图： ， ， 是的直径， ， ， 四边形是的内接四边形， ． 故选：D． 8. 在下列函数图象上任取不同的两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，一定能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据各函数的增减性依次进行判断即可． 【详解】解：A、∵k=2＞0， ∴函数图象在第一象限，y随x的增大而减小，即当x1＞x2时，必有y1＜y2， ∴，故该选项不符合题意； B、∵y=x2-4x+5的对称轴为直线x=2， ∴当0≤x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时y随x的增大而增大， ∴当0≤x＜2时，当x1＞x2时，必有y1＜y2， ∴，故该选项不符合题意； C、∵y=-x2+6x-7的对称轴为直线x=3， ∴当x＜0时，y随x的增大而增大， ∴当x1＞x2时，必有y1＞y2， ∴，故该选项符合题意； D、∵k=-3＜0， ∴y随x的增大而减小，即当x1＞x2时，必有y1＜y2， ∴，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象和性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 9. 二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 关于x的方程无实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对B进行判断；时，，可对C进行判断；根据抛物线与直线无交点，可对D进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故选项A正确，该选项不符合题意； ∵有图可知，抛物线与x轴有两个交点， ∴，即， 故选项B正确，该选项不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间， ∴时，， 即， ∵， ∴， 故选项C错误，该选项符合题意； ∵抛物线开口向下，顶点为， ∴函数有最大值n， ∴抛物线与直线无交点， ∴一元二次方程无实数根， 故选项D正确，该选项不符合题意；． 故选：C． 10. 如图，点O是等边内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明，即可得到，，根据旋转的性质可知是等边三角形，则，利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，，利用四边形的面积等边面积面积面积的面积的面积的面积，进行计算即可判断． 【详解】解：在和中，，，， ∴， ∴. 如图，连接， 根据旋转的性质可知是等边三角形， ∴， 在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，. ∴面积为， 作于，则， ∴， ∴等边面积为， ∴四边形的面积为， ∵， ∴四边形的面积的面积的面积， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是通过旋转把三条线段转化到特殊三角形中，利用特殊三角形的性质进行求解． 二．填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 已知4是x和8的比例中项，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据比例中项的定义，列出方程求解． 本题考查了比例中项，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由题意，4是x和8的比例中项， 则， 即， 解得， 故答案为：2． 12. 如图，点A，B，C在上，，则的度数为_______． 【答案】110 【解析】 【分析】本题考查的知识点是圆周角定理，熟记定理内容是解题的关键． 根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答即可． 【详解】解：∵点、、在上，， ， 故答案为：110． 13. 《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，截至目前全球票房已破158亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点B为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是__________（结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为点B为的黄金分割点， 所以． 因为， 所以， 所以 故答案为：． 14. 已知⊙O的直径为20， AB， CD分别是⊙O的两条弦，且AB//CD，AB=16，CD=10，则AB，CD之间的距离是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过O作，交CD于点E，交AB于点F，连接OA，OC，由，得到，利用垂径定理得到E与F分别为CD与AB的中点，在直角三角形AOF中，利用勾股定理求出OF的长，在三角形COE中，利用勾股定理求出OE的长，由即可求出EF的长；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理由求出EF的长即可． 【详解】解：分两种情况考虑： 当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示， 过O作，交CD于点E，交AB于点F，连接OA，OC， ，， ∴F、分别为AB、CD的中点， ，， 在中，，， 根据勾股定理得：， 在中，，， 根据勾股定理得：， 则； 当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得， 综上，弦AB与CD的距离为或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键． 15. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则抛物线的顶点在第________象限． 【答案】四 【解析】 【分析】根据方程有两个不相等的实数根得到a的取值范围，结合顶点判断即可得到答案； 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴，， ∴抛物线的顶点在第四象限， 故答案为：四； 【点睛】本题考查一元二次方程判别式与根的情况及抛物线的顶点，解题的关键是熟练掌握方程有两个不等的实数根及抛物线顶点坐标． 16. 如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点I在DE上，以EF为直径的圆交直线AB于点M，N．若I为的中点，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，分别交于点，先证明三点共线，证明，得到，勾股定理求出的长，进而求出的长，取的中点，连接，过点作，得到，，证明，得到，，进而得到，平行线分线段成比例，得到为的中点，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】连接，分别交于点， ∵四边形，四边形均为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴三点共线， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵I为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 取的中点，连接，过点作，则：，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，综合性强，难度大，属于填空题中的压轴题，熟练掌握相关知识点，确定圆心的位置，是解题的关键． 三．解答题（共8小题，17-21题每题8分，22-23题每题10分，24题12分） 17. 已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点 (－3，0)，(2，－5)． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)请你判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？ 【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上， 【解析】 【分析】（1）根据给定点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）代入x=-2求出y值，将其与3比较后即可得出结论． 【详解】（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+3； ∵二次函数的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5），则有： 解得； ∴y=﹣x2﹣2x+3． （2）把x=-2代入函数得y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=﹣4+4+3=3， ∴点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上， 【点睛】考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键. 18. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C在格点上． （1）画出过A，B，C三点的圆的圆心P； （2）求的长． 【答案】（1）如图，则点P即为所求； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，，分别作线段，的垂直平分线，交点即为过A，B，C三点的圆的圆心P； （2）利用勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解：连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P． 【小问2详解】 解：由勾股定理得，． 【点睛】本题考查作图应用与设计作图、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理、勾股定理是解答本题的关键． 19. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米 （1）求抛物线的解析式； （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 【答案】（1） （2）石块能飞越防御墙 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，根据函数值求函数值，是解题的关键． （1）根据石块在空中飞行的最大高度为10米，得到抛物线解析式为，将点代入，求得，即得抛物线解析式为，化为顶点式为； （2）根据墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米，得到，当时，，得到石块能飞越防御墙． 【小问1详解】 ∵发射石块在空中飞行的最大高度为10米， ∴抛物线解析式为：， 将点代入， 得， 解得：， ∴抛物线解析式为，， 即； 【小问2详解】 ∵墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米， ∴点C与点的水平距离为30米、垂直距离为6米， ∴， 当时， ， ∴石块能飞越防御墙． 20. 如图，在中，，点E在上，经过A，B，E三点的圆交于点D，且D是的中点． （1）求证：是圆的直径． （2）连结，若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图1，连接， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是圆的直径． （2） 【解析】 【分析】（1）如图1，连接，由题意知，，则，由，可得，则，进而结论得证； （2）如图1，连接，作于，则，由，，可得，则，，，由勾股定理得，，则，证明是等边三角形，则，，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图1，连接，作于， ∵是圆的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等弧所对的圆周角相等，的圆周角所对的弦为直径，三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质，扇形的面积，含的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握这些知识是解题的关键． 21. 在二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 2 1 2 5 … （1）当时，对应的函数值________； （2）求该二次函数的表达式； （3）若该函数图象上两点的纵坐标满足，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数解析式，绝对值的意义等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数解析式，绝对值的意义是解题的关键． （1）由表格可知，二次函数关于直线对称，则根据当时，对应的函数值与当时，对应的函数值相同，作答即可； （2）待定系数法求解析式即可； （3）由，可知图象开口向上，图象上的点离对称轴越远，对应的函数值越大，由该函数图象上两点的纵坐标满足，可得，即，由绝对值的意义可知，数轴上表示为的点到表示为2的点之间的距离小于表示为的点到表示为1的点之间的距离，进而可求的取值范围． 【小问1详解】 解：由表格可知，二次函数关于直线对称， ∴当时，对应的函数值与当时，对应的函数值相同，即为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：将代入得， ，解得，， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴图象开口向上，图象上的点离对称轴越远，对应的函数值越大， ∵该函数图象上两点的纵坐标满足， ∴，即， 由绝对值的意义可知，数轴上表示为的点到表示为2的点之间的距离小于表示为的点到表示为1的点之间的距离， ∴． 22. 如图，在四边形中，对角线平分，，点E在上，．若，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】在上截取，先证明，再证明，确定，接着证明，列比例式解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形外角性质应用，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，在上截取， ∵对角线平分， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故． 23. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（，，是常数，）． （1）若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标． （2）若，函数图象与轴有两个交点，，且，求证：． （3）若函数图象经过点，当时，；当时，，求的值． 【答案】（1）函数图象的顶点坐标为； （2） 证明：若，则二次函数， ∴抛物线开口向下， ∵函数图象与轴有两个交点，，且， ∴当时，， ∴， ∴； （3）的值为． 【解析】 【分析】（）当时，二次函数，然后利用待定系数法即可求解； （）若，则二次函数，则抛物线开口向下，然后根据当时，即可求证； （）当时，；当时，，则可判断抛物线开口向上，即，然后分若对称轴在直线左侧时，即，若对称轴在直线右侧时两种情况分析，结合图象即可求解； 本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴交点，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴二次函数， ∵函数图象经过点和， ∴，解得：， ∴二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵当时，；当时，， ∴抛物线开口向上， ∴， 如图，若对称轴在直线左侧时，即， ∵当时，；当时，， ∴当，取最小值， ∵， ∴此时不符合题意； 如图，若对称轴在直线右侧时， ∴当时，，当，取最小值， ∵函数图象经过点， ∴，， ∴，即，， ∴， ∴的值为． 24. 如图，是圆的内接三角形，连接并延长交于点，，． （1）若，求的度数； （2）若，求证； （3）若弧长是周长的，，求的值． 【答案】（1） （2） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，先根据圆周角定理可得，再根据等边三角形的判定与性质即可得； （2）连接，先根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后在中，利用三角形的内角和定理即可得证； （3）过点作于点，作于点，先求出，从而可得，都是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，然后设，利用勾股定理可得，，由此即可得． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，作于点， ∵弧长是周长的， ∴， ∴，， ∴，都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 设， ∴在中，， 在中，， 在中，，解得， 在中，，解得， ∴， ∴， 即的值为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式、等边三角形的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $