2026年中考数学一轮复习 二次函数专项训练三

2026九年级中考数学二次函数专项训练三解析版 时间：100分钟 总分：120分 一、单选题（每题4分，共40分）。 1.下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，且必须是整式，逐项判断即可． 【详解】解：二次函数需满足整式且最高次项为2次，且， 选项A：，最高次为1次，故不符合题意； 选项B：，含有分式，不是整式，故不符合题意； 选项C：，是整式且最高次项为2次，故符合题意； 选项D：，含有分式，不是整式，故不符合题意， 故选：C． 2.二次函数的图象对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查求二次函数对称轴，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 二次函数的对称轴可通过其图象与轴交点的中点求得． 【详解】解：∵二次函数，其图象与轴的交点横坐标为和， ∴对称轴为两交点中点的横坐标，即， 故选：C． 3.关于二次函数，下列说法错误的是（   ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．有最大值 D．时，随增大而增大 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数顶点式 的性质，分析开口方向、对称轴、最值和增减性即可． 【详解】解：∵ 函数 中，， ∴ 开口向上，A 正确，故选项不符合题意； 对称轴为直线 ，B 正确，故选项不符合题意； ∵ ， ∴ 函数有最小值，但选项 C 说最大值，故 C 错误，故选项符合题意； 当 时，函数在对称轴右侧，y随x增大而增大，D 正确，故选项不符合题意． 故选：C． 4．若点在函数的图象上，则的值为（    ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将点代入函数解析式，直接求解a的值即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴当时，， 代入得：， 解得：． 故选：A． 5．下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义；熟练掌握二次函数解析式的一般形式（其中）是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如（其中）的函数是二次函数．检查各选项，只有选项B符合此定义． 【详解】解：二次函数要求自变量的最高次数为2，且系数不为0． 选项A：，的最高次数为1，是一次函数； 选项B：，的最高次数为2，且系数，符合定义； 选项C：，分母有未知数，不是二次函数； 选项D：，分母有未知数，不是二次函数； 故选：B． 6.一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了“一次函数的图象与系数的关系”“二次函数的图象与系数的关系”，根据图象判断出系数和常数项的正负是解题关键． 根据一次函数的图象，a决定直线的方向，b决定直线与y轴交点的位置，判断a与b的正负，再通过a和b的正负判断二次函数的图象即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴， ∴二次函数的开口方向向下，与y轴的交点在y轴的负半轴， 四个选项中，符合要求的只有D选项， 故选：D ． 7.飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）的函数关系式是．飞机着陆后滑行（   ）秒才能停止 A．18 B．20 C．40 D．72 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的应用． 飞机停止滑行时，滑行距离达到最大值，对应二次函数顶点处的时间，利用对称轴公式求解即可． 【详解】解：∵函数关系式为，为二次函数，顶点处时间，其中，， ∴． 因此，飞机着陆后滑行20秒停止． 故选：B． 8.小颖根据频闪相机记录的训练视频，发现某次训练中羽毛球在空中的运动路线可以看作是一条抛物线，羽毛球行进的高度与水平距离之间满足的关系为，若羽毛球行进的高度为，则羽毛球飞出的水平距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】公式法解一元二次方程、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用与一元二次方程的求解，解题的关键是将函数值代入解析式，解一元二次方程并结合实际意义取舍． 将高度代入抛物线解析式，得到一元二次方程，求解后根据水平距离的实际意义排除负值，得到结果． 【详解】解：已知羽毛球行进的高度与水平距离的关系为， 当时，代入得， 整理得， 解得：， 因为水平距离，而， 所以羽毛球飞出的水平距离为． 故选：D． 9.已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；直接计算点A和点B的纵坐标和的表达式，利用b的范围比较它们与6的大小关系以及和的大小关系即可． 【详解】解：把点，分别代入抛物线得， ，， ∴， 又∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 故选A． 10.如图1，在等边三角形中，D是边的中点，动点E从点B出发沿边匀速运动到点C，同时动点F从点C出发，以相同的速度沿边运动到某一点，再从该点沿直线匀速运动到终点D．设点E的运动路程为的面积为与x的函数图象如图2所示，那么当时，的面积为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、等边三角形的性质、一次函数与几何综合、动点问题的函数图象 【分析】由图象可知，当点E在边上运动，点F在边上运动时，的底和高都在变化，判定y是x的二次函数；当点F沿直线匀速运动到点D时，的边在变化，上的高是不变的，y与x是一次函数关系，后结合图象解答即可． 本题考查了等边三角形的性质，二次函数，一次函数的综合，熟练掌握等边三角形的性质，函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，当点E在边上运动，点F在边上运动时，的底和高都在变化， ∴y是x的二次函数； 当点F沿直线匀速运动到点D时，的边在变化，上的高是不变的，y与x是一次函数关系，此时点F沿平行于的直线匀速运动到点D，即点F从边的中点运动到点D． 由题图2得，． 当时，，此时． 如图，设的中点为M， ∴点F在上， 点F到边的高为 故选：C． 2、 填空题（每题5分，共20分）。 11.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度与小球的运动时间之间的关系式为，则小球的最大高度为 ． 【答案】20 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，已知高度h与时间t的关系式为，抛物线开口向下，最大值出现在顶点处．需要先求出顶点的横坐标t，再代入原式求出对应的最大高度h． 【详解】解：， ∵，函数有最大值， 当时，小球运动中的最大高度为20． 故答案为：20． 12.如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 【答案】 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的交点问题，利用图象求不等式的解集，找到直线在抛物线上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：抛物线与直线交于两点， 由图象可知，不等式的解集是； 故答案为：． 13.已知二次函数(为常数且)，下列五个结论： 该函数图象过； ②当时，该函数与x轴有两个不同的交点； 若，且当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为； 若，且该二次函数与x轴负半轴交于，则； 其中正确的有 ． 【答案】/④② 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；对于结论①，将代入函数解析式计算y值，判断是否等于5；对于结论②，当时，计算判别式是否大于0；对于结论③，根据时开口向下，利用对称轴位置求m的取值范围，判断结论是否正确；对于结论④，利用函数值在和处的符号，结合开口方向判断交点的位置． 【详解】解：对于结论①：当时，，故该函数图象不过点，结论①不正确。 对于结论②：当时，函数为，所以，故该函数与x轴有两个不同的交点，结论②正确； 对于结论③：当时，二次函数开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，所以，解得，故结论③不正确； 对于结论④：当时，二次函数开口向上，当时，；当时，，故函数与x轴负半轴交点满足，结论④正确； 综上，正确结论为②④； 故答案为②④． 14.二次函数与动直线交于，两点，线段中点为，，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合)、中点坐标 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点、一元二次方程根与系数的关系、利用轴对称的性质求两线段和的最小值等知识，熟练掌握上述知识、得出点H的运动轨迹是解题的关键． 设，则是联立两个函数解析式所得方程的两个根，求出，，进而可得，可得点H在直线上运动，这是典型的“将军饮马”问题，然后设点A关于直线的对称点为C，连接交直线于点H，则此时最小，即为的长，勾股定理求出即可． 【详解】解：当时，整理可得：， 设， 则是上述方程的两个根， ∴， ， ∵线段中点为， ∴， ∴点H在直线上运动， 如图，设点A关于直线的对称点为C，连接交直线于点H，则此时最小，即为的长， ∵， ∴， ∵， ∴此时； 故答案为． 3、 解答题（每题12分，共60分）。 15.如图，抛物线经过点， (1)求该抛物线的解析式； (2)若是y轴正半轴上的一点，且，将点A绕点C逆时针旋转得到点D，且点D在该抛物线上． ①求点D的坐标； ②连接并延长交x轴于点E，作轴交该抛物线于点F，若点F与点D间的抛物线上有一点G，当点G到直线的距离最大时，求点G的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）①由旋转可构造一线三垂直，证全等，从而将D坐标用m表示出来，再代入二次函数表达式即可得解； ②在函数中求斜线的最值问题，首先考虑化斜为直，所以过G作于点M，作轴交于点J，过A作轴，过D作轴，两直线交于点K，其中交于点P，证，将长度转化为竖直高的长度，进而求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得， ， 解得， ； （2）解：①如图，过C作轴，过A作于点G，过D作于点H， ，， ，， ， ， ，， ， ，， ， 点D在该抛物线上， ， 解得或， ， ， ； ②如图，过G作于点M，作轴交于点J，过A作轴，过D作轴，两直线交于点K，其中交于点P， 由①知， ， 设直线解析式为，将A和C代入得， ，解得， 直线解析式为， 令得， ， 同理可得直线解析式为， 设，则， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当时，由最大值， 此时， . 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数点的坐标特征、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 16.如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标． (2)在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若在y轴上存在一点E，使为等腰三角形，请直接写出以为腰时点E的坐标． 【答案】(1)，顶点D坐标为 (2)存在， (3)点E坐标为或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、把y=ax²+bx+c化成顶点式、利用二次函数对称性求最短路径、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）先将点，代入求得抛物线解析式，再求出顶点坐标； （2）先利用对称性求得，从而可得，再求出点B关于y轴对称点，从而可得，于是可得周长， 当且仅当B、M、D三点共线时取等，再求得直线表达式为，从而可求得； （3）分两种情况：、，再利用两点距离公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为， ， ∴对称轴为直线，当时，， ∴顶点D坐标为； （2）存在，； ∵，对称轴为直线，与是关于对称轴对称的对应点， ∴， ∴， 作点B关于y轴对称点， 则， ∴周长 ， 当且仅当B、M、D三点共线时取等， 设的解析式为， ∵和， ∴， 解得：， ∴直线表达式为， 令，得， ∴； （3）设点， 则，，， 由题意可分两种情况： ①，即， 解得：， ∴或； ②，即， 解得：， ∴或； 综上，点E坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把化成顶点式，利用二次函数对称性求最短路径，特殊三角形问题(二次函数综合)等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 17.在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，．矩形的顶点D，E，C分别在，，上，． (1)如图，点E的坐标为______； (2)将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点C，O，D，E的对应点分别为，，，．设，矩形与重叠部分的面积为S．当时，求出S与t的关系式，并直接写出t的取值范围； 【答案】(1) (2)S与t的关系式为 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、坐标系中的平移 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特征，勾股定理，矩形的性质，平行线的性质及多边形面积的求解． （1）根据已知条件得出，再利用矩形的性质得出，的长度，最后利用勾股定理得出的长度，进而求得点E的坐标； （2）根据题意分析矩形平移过程，此时进行分类讨论，利用平行线的性质，解含有的直角三角形等相关性质得出不同情况下的线段长度，进而求得每种情况下的面积表达式． 【详解】（1）解：由点，得， 又∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴在中，， 由勾股定理得， ∴点E的坐标为． 故答案为：． （2）解：矩形平移过程如图所示： 由平移可知，，，，设与的交点为M，与的交点为N，与的交点为P， ∵， ∴， ①当时，重叠部分即为矩形， ∴， ②当时，重叠部分为五边形， ∴五边形的面积为， ∵， ∴， ∴， 由平移可知，， ∴在中，， ∴， ∴， ③当时，重叠部分为四边形， ∵，， ∴四边形为直角梯形， ∵，， ∴在中，，同理：，， ∴在中，， ∴， ④当时，重叠部分为， 同理：，， ∴在中，， ∴， 综上所述，S与t的关系式为． 18.如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，连接交抛物线的对称轴于点． (1)求点、点的坐标； (2)点为线段上一动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为，当为何值时，四边形为平行四边形？ 【答案】(1)，； (2)当为时，四边形为平行四边形． 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与y轴的交点坐标、利用平行四边形的性质求解、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）求点坐标，令抛物线解析式中，解一元二次方程；求点坐标，令，代入解析式计算． （2）先求抛物线对称轴、点坐标，再求直线解析式得点坐标；根据点横坐标得坐标，由（为竖直线）得横坐标与相同，进而得坐标；利用平行四边形对边相等（）列方程求解． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴． 令，则， ∴． （2）解：抛物线的对称轴：． 将代入抛物线，， ∴． 设直线为， ∵、， ∴， 解得，， ∴直线：． 当时，， ∴， ∴． ∵点横坐标为， ∴； ∵（垂直轴）， ∴横坐标为，． ∴， 由，得， 解得（与重合，舍去），． ∴当为时，四边形为平行四边形． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、一次函数的解析式求解、平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的对称轴与点坐标的求法、利用平行四边形对边相等列方程是解题的关键． 19.已知直线与轴交于点，与轴交于点，将绕原点顺时针旋转后得到． (1)点的坐标为______ (2)已知点在线段上，且，若抛物线经过点、，请求出抛物线解析式． (3)若点在（2）中的抛物线上，点在轴上，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据旋转的性质求解、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】根据一次函数的解析式求出点的坐标，利用旋转的性质即可得到点的坐标； 利用一次函数的解析式求出点的坐标，利用旋转的性质即可得到点的坐标，根据可知点是的中点，利用平面直角坐标系中线段中点坐标的公式即可求出点的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式； 设点的坐标是，点的坐标是，利用平面直角坐标系中线段中点坐标的公式，分情况列方程组求出点的坐标． 【详解】（1）解：当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， ， 由旋转可知， ， 点的坐标是， 故答案为：； （2）解：如下图所示， 当时，可得：， 点的坐标是， ， ， ， 点的坐标是， ， ， ， ， 又， ， ， ， 点是的中点， 点的坐标是， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解：， 抛物线的解析式是； （3）解：点在抛物线上， 设点的坐标是，点的坐标是， 当是平行四边形的对角线时， 可得：， 解得：或， 点的坐标是或(与点重合，不符合题意，舍去)； 当是平行四边形的对角线时， 可得：， 解得：或， 点的坐标是或(与点重合，不符合题意，舍去)； 当是平行四边形的对角线时， 可得：， 整理得：， 一元二次方程中， ， 方程无解； 综上所述，点的坐标是或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、用待定系数法求二 次函数的解析式、平行四边形的性质、平面直角坐标系中线段中点坐标的公式、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026九年级中考数学二次函数专项训练三 时间：100分钟 总分：120分 一、单选题（每题4分，共40分）。 1.下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2.二次函数的图象对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3.关于二次函数，下列说法错误的是（   ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．有最大值 D．时，随增大而增大 4．若点在函数的图象上，则的值为（    ） A．1 B．5 C． D． 5．下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 6.一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 7.飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）的函数关系式是．飞机着陆后滑行（   ）秒才能停止 A．18 B．20 C．40 D．72 8.小颖根据频闪相机记录的训练视频，发现某次训练中羽毛球在空中的运动路线可以看作是一条抛物线，羽毛球行进的高度与水平距离之间满足的关系为，若羽毛球行进的高度为，则羽毛球飞出的水平距离为（    ） A． B． C． D． 9.已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 10.如图1，在等边三角形中，D是边的中点，动点E从点B出发沿边匀速运动到点C，同时动点F从点C出发，以相同的速度沿边运动到某一点，再从该点沿直线匀速运动到终点D．设点E的运动路程为的面积为与x的函数图象如图2所示，那么当时，的面积为（   ） A．4 B．2 C． D． 2、 填空题（每题5分，共20分）。 11.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度与小球的运动时间之间的关系式为，则小球的最大高度为 ． 12.如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 13.已知二次函数(为常数且)，下列五个结论： 该函数图象过； ②当时，该函数与x轴有两个不同的交点； 若，且当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为； 若，且该二次函数与x轴负半轴交于，则； 其中正确的有 ． 14.二次函数与动直线交于，两点，线段中点为，，，则的最小值为 ． 3、 解答题（每题12分，共60分）。 15.如图，抛物线经过点， (1)求该抛物线的解析式； (2)若是y轴正半轴上的一点，且，将点A绕点C逆时针旋转得到点D，且点D在该抛物线上． ①求点D的坐标； ②连接并延长交x轴于点E，作轴交该抛物线于点F，若点F与点D间的抛物线上有一点G，当点G到直线的距离最大时，求点G的坐标． 16.如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标． (2)在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若在y轴上存在一点E，使为等腰三角形，请直接写出以为腰时点E的坐标． 17.在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，．矩形的顶点D，E，C分别在，，上，． (1)如图，点E的坐标为______； (2)将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点C，O，D，E的对应点分别为，，，．设，矩形与重叠部分的面积为S．当时，求出S与t的关系式，并直接写出t的取值范围； 18.如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，连接交抛物线的对称轴于点． (1)求点、点的坐标； (2)点为线段上一动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为，当为何值时，四边形为平行四边形？ 19.已知直线与轴交于点，与轴交于点，将绕原点顺时针旋转后得到． (1)点的坐标为______ (2)已知点在线段上，且，若抛物线经过点、，请求出抛物线解析式． (3)若点在（2）中的抛物线上，点在轴上，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $