精品解析：四川省绵阳市三台县2024-2025学年九年级上学期12月数学试题

2024年秋九年级学情调研 数学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，答题卡共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的学校、姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写清楚，再用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏内． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号位置上，非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，将答题卡收回． 第Ⅰ卷 选择题（36分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列新能源汽车的标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数 B. 某射击运动员射靶一次，正中靶心 C. 打开电视，正在播广告 D. 口袋中仅装有个红球，从中摸出个球，必是红球 3. 已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为（ ） A. B. 3 C. D. 不能确定 4. 抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的（ ） A. 向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度 B 向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度 C 向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度 D. 向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度 5. 如图，在纸片中，，将纸片绕着点按顺时针方向旋转，使得点落在点处，点落在边上的点处，连接，若，则度数为（ ） A. B. C. D. 6. 今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有( ) A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 7. 如图，将五角星图案绕着它的中心旋转后能与自身重合，则旋转的角度至少为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，是弦中点，是过点的直径，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象与轴交于两点和，则的值等于（ ） A. B. 1 C. 9 D. 10. 如图，从一块半径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为60°的扇形，如果剪出来的扇形围成一个圆锥，那么围成的圆锥的半径是（　　） A. B. C. D. 11. 小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 12. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，是抛物线的顶点，三角形的面积等于1，则以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ） A. ②④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上． 13. 若关于的一元二次方程方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 14. 若点与关于点对称，则点的坐标是____________． 15. 从，1，2这三个数中随机抽取两个数分别记为x，y，把点M的坐标记为，则点M（x，y）在抛物线上的概率为______． 16. 如图，在中．．是的内切圆．分别与相切于点．若，则______． 17. 已知如图，在中，，，以C为圆心为半径作弧，交的延长线于点E，以B为圆心为半径交的延长线于点D，若，则阴影部分的面积是________． 18. 如图，正方形的边长为8，点为边上一点，且，点为边上的一个动点，连接，以为一条直角边向右侧作等腰，且使，连接，则的最小值是_______． 三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）解方程：； （2）如图在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． ①画出将绕点顺时针旋转所得的；并写出的坐标； ②在①的条件下，求扫过图形的面积． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若此方程的两个实数根都是正数，求的取值范围． 21. 我市某中学举行“国学经典”为主题的诗词大赛活动，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题． （1）参加比赛的学生人数共有 名，在扇形统计图中，图中m的值为 ； （2）补全条形统计图； （3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生诗词大赛，已知A等级中女生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率． 22. 某商场1月份A款电器销售64台，每台A款电器的利润为100元．2月份和3月份这种A款电器销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到100台，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； （2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场为了尽快减少库存，决定降价促销．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出20台．在进价不变的情况下，该商场要想每月销售A款电器的利润达到10800元，每台A款电器应降价多少元？ 23. 如图，已知菱形边长为，，是对角线，把一个含（三角尺与这个菱形叠合；如果使三角尺（的顶点与点重合，两边分别与、重合．将三角尺绕点按逆时针方向旋转（旋转角小于）．旋转过程中三角尺的两边与菱形的两边、相交于点、． （1）、有何数量关系，并证明你的结论． （2）连接，求面积的最大值． （3）连接，在旋转过程中三角尺的两边分别与相交于点、，是否存在以、、为边的直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 24. 如图，是的直径，，交于点，点在的延长线上且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 25. 如图1，已知直线与坐标轴相交于、两点，经过点、的抛物线与轴交于点． （1）求抛物线解析式； （2）如图2，轴与抛物线相交于点，点是直线下方抛物线上的动点，过点且与轴平行的直线与交于点，试探究当点运动到何处时，四边形的面积最大，求点的坐标及最大面积； （3）若点为抛物线的顶点，点是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，使四边形的周长最小，求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋九年级学情调研 数学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，答题卡共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的学校、姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写清楚，再用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏内． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号位置上，非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，将答题卡收回． 第Ⅰ卷 选择题（36分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列新能源汽车的标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义：轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，旋转后的图形能与原来的图形重合；据此即可作答． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，故该选项是错误的； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，故该选项是错误的； C、不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意，故该选项是错误的； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意，故该选项是正确的； 故选：D 2. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数 B. 某射击运动员射靶一次，正中靶心 C. 打开电视，正在播广告 D. 口袋中仅装有个红球，从中摸出个球，必是红球 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件，必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断，掌握必然事件、不可能事件、随机事件的定义是解题的关键． 【详解】解：、掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数,是随机事件，不合题意； 、某射击运动员射靶一次，正中靶心,是随机事件，不合题意； 、打开电视，正在播广告,是随机事件，不合题意； 、口袋中仅装有个红球，从中摸出个球，必是红球,是必然事件，符合题意； 故选：． 3. 已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为（ ） A. B. 3 C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【详解】解：由关于的方程是一元二次方程，得 且． 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 4. 抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的（ ） A. 向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度 B. 向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度 C. 向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度 D. 向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的性质得到两个抛物线的顶点坐标，即可得到平移的规律． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线是由抛物线向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度得到的， 故选：D． 【点睛】此题考查了抛物线的平移，二次函数的图象及性质，正确确定抛物线的顶点坐标理解平移是解题的关键． 5. 如图，在纸片中，，将纸片绕着点按顺时针方向旋转，使得点落在点处，点落在边上的点处，连接，若，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，根据三角形内角和定理求出，根据旋转的性质得出，，，，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵旋转， ∴，，， ∴， ∴， 故选：B． 6. 今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有( ) A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：设这个微信群共有x人， 依题意有x（x-1）=90， 解得：x=-9（舍去）或x=10， ∴这个微信群共有10人． 故选B. 7. 如图，将五角星图案绕着它的中心旋转后能与自身重合，则旋转的角度至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转对称性：将一个图形绕着某点旋转一定角度使其与原图形重合，根据题意，作出图形，从而确定若将五角星图案绕着它的中心旋转后能与自身重合，则只需要将旋转到（或将旋转到），再由五角星图案的特征即可得到答案，根据旋转对称性质求解是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 若将五角星图案绕着它的中心旋转后能与自身重合，则只需要将旋转到（或将旋转到）， ， 故选：C． 8. 如图，在中，是弦的中点，是过点的直径，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，弧、弦、圆心角的关系等知识，理解并掌握垂径定理及其推论是解题关键．平分弦的直径垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧；同弧或等弧所对的弦相等，所对的圆心角也相等，据此即可获得答案． 【详解】解：∵是弦的中点，是过点的直径， ∴，，，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴，，故选项B，C正确，不符合题意； 已知条件无法确定，故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 9. 已知二次函数的图象与轴交于两点和，则的值等于（ ） A. B. 1 C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及二次函数图象与性质、二次函数一般式与交点式互化等知识，由二次函数的图象与轴交于两点和，得到，，将它们代入求值即可得到答案． 【详解】解：二次函数的图象与轴交于两点和， ，即， 且由二次函数交点式可得，即， ， 故选：B． 10. 如图，从一块半径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为60°的扇形，如果剪出来的扇形围成一个圆锥，那么围成的圆锥的半径是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点O作于H．想办法求出圆锥的母线长即的长，进而求出底面圆半径即可解决问题． 【详解】解：连接，过点O作于H． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴圆锥底面圆的周长， ∴圆锥底面圆的半径为． 故选：A． 【点睛】本题考查圆锥的计算，等边三角形的判定和性质，勾股定理和含度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 11. 小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】首先由求出点的坐标为，然后根据，可知点的横坐标为，代入，得到，所以，又，所以可知杯子高度．本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点和点的坐标是解决问题的关键． 【详解】解：， 抛物线顶点的坐标为， ， 点的横坐标为， 把代入，得到， ， ． 故选：A 12. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，是抛物线的顶点，三角形的面积等于1，则以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ） A. ②④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数的图象为抛物线，当，抛物线开口向上；对称轴为直线；抛物线与轴的交点坐标为；当，抛物线与轴有两个交点；当，抛物线与轴有一个交点；当，抛物线与轴没有交点．根据抛物线的顶点坐标即可判断①；由可得到点坐标为，点坐标为，把它们代入解析式解得，即可判断②；由得出，，根据三角形面积公式求得，即可判断③；根据交点坐标和系数的关系即可判断④． 【详解】解：抛物线的顶点 在第一象限， ， ，故①正确； ， 点坐标为，点坐标为， 把代入得， ，故②正确； ，， ， 设，， ∵开口向下，对称轴在y轴右边， ∴， ∴ ， ， ∴ ， ，故③正确； ∵，， ，故④正确； 故选：D． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上． 13. 若关于的一元二次方程方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式，再根据一元二次方程的定义，可得，即可解答． 【详解】解：由题意得， 即， 解得， 根据一元二次方程的定义，可得， 解得， 的取值范围是且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次根的判别式，熟知根的判别式的符号对应的根的情况是解题的关键． 14. 若点与关于点对称，则点的坐标是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了对称的性质，设，由题意得出点是线段的中点，计算即可得出答案． 【详解】解：设， ∵点与关于点对称， ∴点是线段的中点， ∴，， ∴点的坐标是， 故答案为：． 15. 从，1，2这三个数中随机抽取两个数分别记为x，y，把点M的坐标记为，则点M（x，y）在抛物线上的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象与性质，用列表法或树状图法求概率．根据题意画出树状图得出所有点M的坐标，得出符合条件M的坐标，判断在上的点，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意画图如下： 得到点M的坐标分别是，，，，，，共有6个等可能的结果， 当时，； 当时，； 当时，； 点M在直线l：上的结果有2个， ∴点M在直线l：上的概率为， 故答案为：． 16. 如图，在中．．是的内切圆．分别与相切于点．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查含的直角三角形性质、勾股定理、切线长定理等知识，先由含的直角三角形性质、勾股定理求出的三边长，再由切线长定理确定，根据周长列等式求解即可得到答案．熟记含的直角三角形性质、勾股定理、切线长定理等知识，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，， 则， 由勾股定理可得， 是的内切圆，分别与相切于点， ， ，， ，即， 解得， 故答案为：． 17. 已知如图，在中，，，以C为圆心为半径作弧，交的延长线于点E，以B为圆心为半径交的延长线于点D，若，则阴影部分的面积是________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形面积，勾股定理，根据计算，即可得出答案． 【详解】在中，，， ∴， ∴. 根据勾股定理，得． ． 故答案为：． 18. 如图，正方形的边长为8，点为边上一点，且，点为边上的一个动点，连接，以为一条直角边向右侧作等腰，且使，连接，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点G作交于点H，连接，利用等腰证明，得到，由正方形的性质得到，当三点共线时，有最小值，此时根据，得到，即可求得，利用勾股定理求得，由即可求． 【详解】解：过点G作交于点H，连接， ，是边长为4的正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 当三点共线时，有最小值， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）解方程：； （2）如图在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． ①画出将绕点顺时针旋转所得的；并写出的坐标； ②在①的条件下，求扫过图形的面积． 【答案】（1），；（2）①作图见解析，；② 【解析】 【分析】（1）由十字相乘法分解因式法解一元二次方程即可得到答案； （2）①根据旋转性质，将的三个顶点绕点顺时针旋转得到三个点后连线即可得到，数形结合即可得到的坐标；②先由两点之间距离公式求出，再由扫过图形的面积，分别求出求出和面积求和即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， 则或， 解得，； （2）①如图所示： ； ②如图所示： ， ， 扫过图形的面积． 【点睛】本题考查图形与坐标，涉及解一元二次方程、旋转作图、利用旋转性质求坐标、两点之间距离公式、三角形面积公式及扇形面积公式等知识，根据题意作出图形，数形结合是解决问题的关键． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若此方程的两个实数根都是正数，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次函数的判别式，进行求解即可； （2）首先根据十字相乘法解一元二次方程，得出，，然后再根据题意：方程的两个实数根都是正数，得出不等式组，解出即可得出结果． 【小问1详解】 证明：在关于的一元二次方程中， ∵， ∴方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解： 因式分解，可得：， 于是得：或， ∴，， ∵方程的两个实数根都是正数， ∴可得：， 解得：， ∴的取值范围为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式、因式分解法解一元二次方程、解不等式组，熟练掌握一元二次方程的解法及根的判别式是解本题的关键． 21. 我市某中学举行“国学经典”为主题的诗词大赛活动，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题． （1）参加比赛的学生人数共有 名，在扇形统计图中，图中m的值为 ； （2）补全条形统计图； （3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生诗词大赛，已知A等级中女生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率． 【答案】（1）20，40 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图、列表法求概率等知识点，弄清题意、从条形图和扇形图得到所需信息是解题的关键． （1）根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数，根据百分比的概念求得m的值即可； （2）求出等级B的人数，再补全条形统计图即可； （3）列表得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后运用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：总人数为：（人）， C等级所占的百分比为，即； 【小问2详解】 解：等级B的人数为（人）， 补全统计图，如图所示： ． 【小问3详解】 解：根据题意列出表格如下： 女 男1 男2 女 （男1，女） （男2，女） 男1 （女，男1） （男2，男1） 男2 （女，男2） （男1，男2） 共有6种等可能结果，其中恰是一男一女的有4种． 所以恰是一男一女的概率为． 22. 某商场1月份A款电器销售64台，每台A款电器的利润为100元．2月份和3月份这种A款电器销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到100台，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； （2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场为了尽快减少库存，决定降价促销．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出20台．在进价不变的情况下，该商场要想每月销售A款电器的利润达到10800元，每台A款电器应降价多少元？ 【答案】（1）2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为； （2）每台A款电器应降价40元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为x，利用3月份的销售量=1月份的销售量×（1+2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设每台A款电器降价y元，则每台的销售利润为元，月销售量为台，利用总利润=每台的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可求出y值，再结合要尽快减少库存，即可确定结论． 【小问1详解】 解：设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为； 【小问2详解】 设每台A款电器降价y元，则每台的销售利润为元，月销售量为台， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要尽快减少库存， ∴． 答：每台A款电器应降价40元． 23. 如图，已知菱形边长为，，是对角线，把一个含（的三角尺与这个菱形叠合；如果使三角尺（的顶点与点重合，两边分别与、重合．将三角尺绕点按逆时针方向旋转（旋转角小于）．旋转过程中三角尺的两边与菱形的两边、相交于点、． （1）、有何数量关系，并证明你的结论． （2）连接，求面积的最大值． （3）连接，在旋转过程中三角尺的两边分别与相交于点、，是否存在以、、为边的直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）或 ． 【解析】 【分析】（）由，利用证明，利用全等三角形的对应边相等即可得证； （）由，得到两三角形面积相等, ，根据等边三角形的边长为，求出四边形的面积，即为的面积，表示出的面积，当垂直于时， 面积最小时， 面积最大，求出此时的长，确定此的面积，即可求出面积的最大值； （）绕点逆时针旋转得到，其中，，，由，得到对应角，， 再由，，，利用等式的性质得到一对角相等，利用得到，利用全等三角形的对应边相等得到，又在中， ，，故即为以，，为边的三角形，则，所以为直角三角形的情况分为两种： ，如图所示，求出此时的长； ，如图所示，求出此时的长即可． 【小问1详解】 证明：∵菱形边长为，， ∴，， ∴和为等边三角形， ∴，，， ∵，，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵ ∴，， ∵等边的边长为，且，， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴三角尺运动过程中，当时, 最小，最大， ∴当时，，， 此时； 【小问3详解】 将绕点逆时针旋转得到 ，其中，，， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴即为以，，为边的三角形， ∵， 所以为直角三角形的情况分为两种： ，如图所示，在中，， ∵， ∴，， ∴， 即， ∴， ，如图所示，在 中，，， ∴，， ∴，即， ∴， 综上所述，或 ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识点的应用及分类讨论是解题的关键． 24. 如图，是的直径，，交于点，点在的延长线上且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）详见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质及三角形的内角和定理可得，再由已知及切线的判定定理可得结论； （2）由（1）知，由勾股定理得出圆的半径为6，利用等腰三角形的性质可得出D为的中点，利用中位线定理可得出，可证出，得出，利用相似比得出，最后利用勾股定理即可得出答案． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴是的切线； 【小问2详解】 由（1）知，是的切线， ∴， ∴， ∴ 设的半径为r， ∵， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴D为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴中， 【点睛】本题属于主要考查了等腰三角形性质，圆切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，中位线定理等知识点，熟练掌握其性质的综合应用是解决此题的关键． 25. 如图1，已知直线与坐标轴相交于、两点，经过点、的抛物线与轴交于点． （1）求抛物线解析式； （2）如图2，轴与抛物线相交于点，点是直线下方抛物线上的动点，过点且与轴平行的直线与交于点，试探究当点运动到何处时，四边形的面积最大，求点的坐标及最大面积； （3）若点为抛物线的顶点，点是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，使四边形的周长最小，求出点的坐标． 【答案】（1） （2）点，四边形的面积最大为 （3）， 【解析】 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）由即可求解； （3）作点关于轴的对称点，作点关于于点，则点为所求点，进而求解． 小问1详解】 解：对于，令，解得， 令，则， 故点的坐标分别为， 将点的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故； 【小问2详解】 解：∵轴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，四边形的面积最大为， 此时， 故点； 【小问3详解】 解：作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接分别交轴于点交轴于点，则点为所求点， 理由：四边形的周长为最小， 由可得顶点， ∴关于轴的对称点， ∵在抛物线上， ∴， ∴点关于轴的对称点， 设直线的解析式为， ∴， 解得： ∴直线解析式为， 令，则， 令，则， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$