精品解析：云南省普洱市宁洱哈尼族彝族自治县普洱中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

云南省普洱市宁洱哈尼族彝族自治县普洱中学2025-2026学年高一年级上学期期中考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟；满分150分 注意事项： 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合A，再根据集合的补集、交集定义直接计算即得. 【详解】解不等式得：或，即或，， 而，则， 所以. 故选：A 2. 已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据得到，再将化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为，所以，即， 因为，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故选：D 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 3. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】即不等式对应函数图象与x轴相切或在x轴上方，据此可得答案. 【详解】因关于的不等式的解集为， 则图象与与x轴相切或在x轴上方， 当时，，此时的解集不是R 则. 故选：B 4. 设集合，则下列说法一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则有4个元素 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】首先解方程得到：或,针对a分类讨论即可. 【详解】（1）当时，，； （2）当时，，； （3）当时，，； （4）当时，，； 综上可知A，B，C，不正确，D正确 故选：D 5. 已知都是正数,且，则的最小值等于 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 ,故选C. 6. 著名的Dirichlet函数，则等于（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知为有理数，从而可求出的值. 【详解】解：∵，即D(x)∈{0，1}， ∴D(x)为有理数， ∴＝1. 故选：B， 【点睛】此题考查分段函数求值问题，对于定义域不同区间上，函数表达式不同的分段函数，在求值时一定要代入对应的自变量的范围内求解，属于基础题. 7. 已知一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集为[1，2]，则cx2+bx+a≤0的解集为（ ） A. B. [1，2] C. [-2，-1] D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据一元二次方程和一元二次不等式的关系，得到根与系数的关系，再代回不等式求解集. 【详解】的解集是，可知，并且方程的两个实数根是和， 所以，得，代入， 得，即，， 解得：， 所以不等式的解集是. 故选：A 8. 已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既奇又偶函数 D. 非奇非偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】用赋值法，先令求得，再令求解后即可判断． 【详解】在中， 令，则，又，所以， 令得，所以， 所以是偶函数， 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. “”是“”的充分不必要条件 D. 命题“，”的否定为“，” 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据不等式的性质可判断AB；取特值可判断C；根据全称量词命题的否定形式可判断D. 【详解】对于A，因为，所以， 所以，即，A正确； 对于B，当，时，； 当，时，，故B正确； 对于C，若，则，即； 取，满足，但. 综上，“”是“”的充分不必要条件，C正确； 对于D，命题“，”的否定为“，”，D错误. 故选：ABC 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为16 B. 的最小值为9 C. 的最大值为2 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知结合基本不等式判断A和B；结合不等式性质判断C；结合二次函数的性质判断D. 【详解】因为，所以，解得，即， 当且仅当即时，的最小值取到16，故A正确； 因为，所以，所以， 当且仅当即时取到最小值为9，故B正确； 由得， 所以， 因为，所以，故C错误； ， 令，所以上式可化为， 所以当时，上式取到最小值， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ABD 11. 几位同学在研究函数时给出了下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 在上单调递减 C. 的值域为 D. 当时，有最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：利用定义研究函数奇偶性； 对B：化简整理函数，利用反比例函数平移可知函数的单调性；对C：利用不等式的性质分析的值域；对D：利用单调性与对称性分析判断的最值. 【详解】由题意可得：函数的定义域为， 对A：∵，故为偶函数，即的图象关于轴对称，A正确； 对B：当时，是由向右平移2个单位得到，故在上单调递减，B正确； 对C：∵，则，故的值域为，C错误； 对D：当时，是由向右平移2个单位得到，故在上单调递减， ∵为偶函数，则在上单调递增，故当时，有最大值，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知全集，集合或，且，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用并集的定义得，从而得，根据集合包含关系列不等式求解. 【详解】全集，集合，， 所以或， 所以． 集合或，且， 所以或， 解得或， 即的范围为． 故答案为：. 13. 李明自主创业，经营一家网店，每售出一件商品获利8元．现计划在“五一”期间对商品进行广告促销，假设售出商品的件数（单位：万件）与广告费用（单位：万元）符合函数模型．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投入_______万元． 【答案】 【解析】 【分析】设李明获得的利润为万元，求出关于的表达式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的的值. 【详解】设李明获得的利润为万元，则， 则 ， 当且仅当，因为，即当时，等号成立. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 14. 已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递增，并且，则的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】先由函数是偶函数求出；再根据偶函数的特点及函数的单调性列出不等式组即可求解. 【详解】由函数为定义在上的偶函数，可得，解得：. 所以函数为定义在上的偶函数，在上单调递增. 因为，即， 所以，解得. 即的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数奇偶性和单调性的综合运用.解题关键在于：先根据偶函数定义域关于原点对称列出方程求得；再根据偶函数的特点及函数单调性列出不等式组即可求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合， （1）若，求 （2）若“”是“”充分不必要条件，求实数 a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】当时，可得，则或，然后求交集即可； 由充分不必要条件与集合的包含关系可得：若“”是“”的充分不必要条件，即，然后考虑和两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 当时，，或， 因为，所以； 【小问2详解】 若“”是“”的充分不必要条件，即， 当时，，此时，满足， 当时，则，解得：，且和不能同时成立， 综上所述：实数a的取值范围为 16. 已知，且． （1）证明：； （2）求的最小值． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由基本不等式得到，从而得到，证明出结论； （2）变形得到，由基本不等式“1”妙用求出最小值. 小问1详解】 已知，且， 由基本不等式得，即，解得， 当且仅当，即时，等号成立，证毕； 【小问2详解】 因为，且， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为 17. 已知是定义在上的奇函数，且，若，，有成立； （1）判断在上的单调性，并证明你的结论； （2）解不等式； 【答案】（1）单调递增，证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）由在，上为奇函数，结合时有成立，利用函数的单调性定义可证出在，上为增函数； （2）根据函数的单调性，化原不等式为，解之即得原不等式的解集； 【详解】（1）在，上为增函数，证明如下： 设，，，且， 在中令、， 可得， ，， 又是奇函数，得， ． ，即 故在，上为增函数． （2）是定义在上的增函数， 不等式，即 解之得，，即为原不等式的解集； 【点睛】方法点睛：利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号）， 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数. 18. 已知二次函数 （1）若的解集为，解关于的不等式； （2）若且，求的最小值； （3）若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】（1）不等式的解集为. （2）的最小值为； （3）的最小值为. 【解析】 【分析】（1）由条件可得是方程的解，由此可求，结合一元二次不等式解法求的解集； （2）由已知可得，结合基本不等式求结论； （3）由条件可得，由此可得，换元并结合基本不等式可求其最小值. 【小问1详解】 由已知的解集为，且， 所以是方程的解， 所以，， 所以，， 所以不等式可化为， 所以， 故不等式的解集为. 【小问2详解】 因， 所以 因为，所以， 由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立， 即当且仅当， 时等号成立； 所以的最小值为； 【小问3详解】 因为对任意，不等式恒成立， 所以，， 所以，， ， 令，则，， 所以， 当且仅当，时等号成立， 即当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为. 19. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，有． （1）求函数在上的解析式； （2）用定义证明在上的单调性，并求函数的值域；； （3）解关于的不等． 【答案】（1）； （2）证明见解析，值域为； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义求解析式； （2）由单调性定义证明单调性，单调性求值域； （2）根据奇偶性和单调性解不等式． 【小问1详解】 是偶函数，所以时，， 所以. 【小问2详解】 设是上任意两个实数，且， 则， 又，所以， 所以，即， 所以在上是减函数， 是偶函数，则在上是增函数， ，又， 所以的值域是． 【小问3详解】 是偶函数，则不等式化为， 又在是增函数，所以， ，，或， 所以不等式的解集为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省普洱市宁洱哈尼族彝族自治县普洱中学2025-2026学年高一年级上学期期中考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟；满分150分 注意事项： 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ） A 2 B. 4 C. D. 3. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 4. 设集合，则下列说法一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则有4个元素 D. 若，则 5. 已知都是正数,且，则的最小值等于 A. B. C. D. 6. 著名的Dirichlet函数，则等于（ ） A. 0 B. 1 C. D. 7. 已知一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集为[1，2]，则cx2+bx+a≤0的解集为（ ） A. B. [1，2] C. [-2，-1] D. 8. 已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既奇又偶函数 D. 非奇非偶函数 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. “”是“”的充分不必要条件 D. 命题“，”的否定为“，” 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为16 B. 的最小值为9 C. 的最大值为2 D. 的最小值为 11. 几位同学在研究函数时给出了下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 在上单调递减 C. 的值域为 D. 当时，有最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知全集，集合或，且，则实数的取值范围为__________. 13. 李明自主创业，经营一家网店，每售出一件商品获利8元．现计划在“五一”期间对商品进行广告促销，假设售出商品的件数（单位：万件）与广告费用（单位：万元）符合函数模型．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投入_______万元． 14. 已知函数为定义在上偶函数，在上单调递增，并且，则的取值范围是___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合， （1）若，求 （2）若“”是“”充分不必要条件，求实数 a取值范围． 16. 已知，且． （1）证明：； （2）求最小值． 17. 已知是定义在上的奇函数，且，若，，有成立； （1）判断在上的单调性，并证明你的结论； （2）解不等式； 18. 已知二次函数 （1）若的解集为，解关于的不等式； （2）若且，求的最小值； （3）若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 19. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，有． （1）求函数在上的解析式； （2）用定义证明在上的单调性，并求函数的值域；； （3）解关于的不等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $