精品解析：云南省普洱市景东彝族自治县第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

云南省景东彝族自治县第一中学2025－2026学年上学期期中考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟；满分100分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，且，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 2 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设命题p：关于x的不等式对一切恒成立，命题q：对数函数在上单调递减，那么p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是上奇函数，且满足，当时，，则等于（ ） A. B. 2 C. -98 D. 98 6. 已知函数是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 设是定义在上的奇函数，且，当时，，则的值为（ ） A. -1 B. -2 C. 2 D. 1 8. 已知函数有两个零点和，若存在实数，使得，则实数的值可能是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的有（ ） A. 当时，函数的最小值为 B. ，函数的最大值为 C. 函数最小值为 D. 当，时，若，则的最小值为 10. 已知函数，则下列说法正确是（ ） A. B. 关于的方程有个不同的解 C. 在上单调递减 D. 当时，恒成立. 11. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 不等式对一切实数恒成立，则 D. “”是“”的一个必要不充分条件 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，若，则的取值范围为______. 13. 已知函数，若实数满足，则的最大值为____________． 14. 设，（为自然对数的底数），，若不是函数的极值点，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设为实数，函数. （1）若函数在区间上单调递减，求的取值范围； （2）若在区间上有两个不相等的实数解，求的取值范围. 16. 已知函数为幂函数，且在上单调递增． （1）求的解析式； （2）若，求实数a的取值范围． 17. 设命题p：函数定义域为；命题，使得不等式成立． （1）如果p是真命题，求实数a的取值范围； （2）如果p，q中只有一个真命题，求实数a的取值范围． 18. 已知为偶函数，. （1）求实数的值； （2）若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围； （3）已知函数在上的最大值与最小值之和为2025，求实数的值. 19. 数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维互相转化来解决问题.函数的单调性刻画函数的自变量与函数的增减关系.当一个函数为增函数时，还可研究其增加的快慢.例如：，当时是增函数，且随着的增大的变化越来越慢，我们称这个函数在时为“上凸函数”.此性质还可以表达为：成立，则称此函数在内为“上凸函数”.已知函数. （1）请说明的单调性（无需证明过程）； （2）证明此函数在内是“上凸函数”； （3）已知，且，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省景东彝族自治县第一中学2025－2026学年上学期期中考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟；满分100分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助集合与元素关系计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先化简集合，然后根据交集运算即可求得结果. 【详解】解可得，所以. 所以. 故选：D. 3. 设命题p：关于x的不等式对一切恒成立，命题q：对数函数在上单调递减，那么p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】p为真，利用判别式小于0恒成立求解a的范围；q为真时，由对数函数的单调性求解a的范围q，然后利用充分必要条件的判定得答案. 【详解】解：关于x的不等式对一切恒成立， 则，即， ∴p为真：； 对数函数在上单调递减， 则，即. ∴q为真：. ∵， ∴p是q的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查了充分条件、必要条件，同时考查了一元二次不等式恒成立、对数函数的性质，属于基础题. 4. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，化简后求出，根据不等式的性质可得答案． 【详解】设，即 故，解得， 故 由于，， 所以， 故，即 故选：D 5. 已知是上的奇函数，且满足，当时，，则等于（ ） A. B. 2 C. -98 D. 98 【答案】B 【解析】 【分析】利用题设条件分析、推理出函数的周期性即可计算作答. 【详解】因是上的奇函数，则有，即， 于是得，从而有是周期函数，周期， 而时，，则， 所以等于2. 故选：B 6. 已知函数是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据是奇函数，由求解. 【详解】解：的定义域为， 因为是奇函数， 所以， 即 ， 所以． 故选：B． 7. 设是定义在上的奇函数，且，当时，，则的值为（ ） A. -1 B. -2 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求出函数的周期，再利用奇偶性代入求值即可. 详解】由题意知，则， 即，所以， 即，所以函数的周期为， 所以， 故选：B 8. 已知函数有两个零点和，若存在实数，使得，则实数的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，再根据，即可得到，从而可得对称轴，根据零点的对称性得到另一个零点，即可得解； 【详解】解：是的一个零点，所以， 又，由可得，由可得，函数图像是开口向下的抛物线，对称轴为，则 画出大致图像，如图： 到对称轴的距离为，则， 又，， 综上所述，函数的另一个零点可能是 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的性质的应用，属于中档题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的有（ ） A. 当时，函数最小值为 B. ，函数的最大值为 C. 函数的最小值为 D. 当，时，若，则的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用二次函数的定义域，求函数的最小值，判断A，根据基本不等式判断BC，根据“1”的妙用与变形，结合基本不等式，即可判断D. 【详解】A.，，当时，函数去掉最小值1，故A正确； B.， 当，，得，所以的最大值为，故B错误； C ， 设，则在区间单调递增，当时，取得最小值，所以函数的最小值为，故C错误； D.若，则，则， 当时，即，时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：AD 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 关于的方程有个不同的解 C. 在上单调递减 D. 当时，恒成立. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求的值判断选项A；当时验证结论是否正确去判断选项B；由在上的解析式去判断选项C；分析法证明不等式去判断选项D. 【详解】选项A：.判断正确； 选项B： 画出部分图像如下： 当时，由，可得或 由，可得或；由，可得 即当时，由可得3个不同的解，不是5个. 判断错误； 选项C：当时，， 若即，则 则，为减函数； 当时， 若即，则 则，为减函数； 当时， 若即，则 则，为减函数； 综上，在上单调递减. 判断正确； 选项D：当时，可化为， 同一坐标系内做出与的图像如下： 等价于 即，而恒成立. 判断正确. 故选：ACD 【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围． 11. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 不等式对一切实数恒成立，则 D. “”是“”的一个必要不充分条件 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A选项，通过给代入特殊值即可判断；对于B选项，利用不等式的可乘性，可加性证明即可判断；对于C选项，要对二次项系数要分两种情况讨论，即可判断，对于D选项，先解出不等式，再按照必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】对于A选项，当时，， 故A错误，是假命题； 对于B选项，若且，则 ， 所以，即， 不等式的两边同时除以，可得， 故B正确，是真命题； 对于C选项，不等式对一切实数恒成立， ①当时，原不等式可化为，恒成立， ②当时，须满足，解得， 综上①②可知，故C错误，是假命题； 对于D选项，解不等式可得， 由，但是由不一定能推出， 所以是的一个必要不充分条件， 即“”是“”的一个必要不充分条件， 故D正确，是真命题； 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，若，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据在上单调递增，在上单调递减，得在上的单调性，则可得，求解即可. 【详解】当时，，故函数在上单调递减， 又函数在上单调递增，所以在上单调递增， 由，得，又， 所以， 则且，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知函数，若实数满足，则的最大值为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】先求的单调性，再利用可得，再利用消元法化简，利用一元二次函数求最值. 【详解】，则， 等号成立条件为，，显然等号不能同时取到，则， 故在上单调递增， 由， 以及得，， 则， 欲求其最大值，故，则， 等号成立时，，故的最大值为. 故答案为： 14. 设，（为自然对数的底数），，若不是函数的极值点，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】求导函数，根据题意得的根为，从而表示出，再令新函数，求导函数，判断单调性与最大值. 【详解】由题知， ， 因不是函数的极值点，所以 的根为， 所以，即， 则，令， ， 因为时，，时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设为实数，函数. （1）若函数在区间上单调递减，求的取值范围； （2）若在区间上有两个不相等的实数解，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二次函数的性质，可得单调递减区间为，结合题干条件分析即得解； （2）利用二次函数根的分布列出不等式组，解出即可. 【小问1详解】 由题意可得在上单调递减， 要使函数在区间上单调递减，则. 【小问2详解】 因为的对称轴为， 要使在区间上有两个不相等的实数解， 则，解得：. 16. 已知函数为幂函数，且在上单调递增． （1）求的解析式； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性，可得不等式组，解之可得，即得函数解析式； （2）利用函数的奇偶性和单调性将抽象不等式化成一元二次不等式，解之即得. 【小问1详解】 因函数为幂函数，且在上单调递增， 则解得，故； 【小问2详解】 因为函数为奇函数且在R上单调递增， 所以不等式可化为 所以，即 解得或， 故实数a的取值范围为. 17. 设命题p：函数定义域为；命题，使得不等式成立． （1）如果p是真命题，求实数a的取值范围； （2）如果p，q中只有一个真命题，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，得到在上恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解； （2）由（1）知，再由命题真命题，得到，根据中只有一个真命题，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 解：由命题函数定义域为， 设，则在上恒成立， 当时，，不能恒成立，不符合题意（舍去）； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 【小问2详解】 解：由（1）知，命题为真命题，则， 又由命题 ，使得不等式成立， 当时，可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以， 因为中只有一个真命题， 当真命题，为假命题时，可得，解得； 当为假命题，为真命题时，可得，此时无解， 综上可得，实数的取值范围为. 18. 已知为偶函数，. （1）求实数的值； （2）若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围； （3）已知函数在上的最大值与最小值之和为2025，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3）2034 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用偶函数的定义，列式求出值. （2）问题转化为，恒成立，分离参数求出最值即可得解. （3）求出函数解析式，结合指数函数、二次函数求出给定区间上的最值，再列式求解. 【小问1详解】 函数为偶函数， 得恒成立， 即恒成立，而不恒为0， 所以. 【小问2详解】 当时，函数的图象恒在图象的上方，则，恒成立， 即，则对恒成立， 函数，， 又函数在R上单调递减，在上单调递增，则函数在上单调递减， ，于是，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 依题意，， 由，得，则当时，，当时，， 于是，解得， 所以实数的值为2034. 19. 数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维互相转化来解决问题.函数的单调性刻画函数的自变量与函数的增减关系.当一个函数为增函数时，还可研究其增加的快慢.例如：，当时是增函数，且随着的增大的变化越来越慢，我们称这个函数在时为“上凸函数”.此性质还可以表达为：成立，则称此函数在内为“上凸函数”.已知函数. （1）请说明的单调性（无需证明过程）； （2）证明此函数在内是“上凸函数”； （3）已知，且，求的最大值. 【答案】（1）在区间上单调递增，在区间，上单调递减 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）结合对勾函数的单调性即可得结果； （2）根据“上凸函数”的定义，利用作差法即可得结果； （3）根据（2）中的结果可得，进而可得结果. 【小问1详解】 当时，， 由对勾函数的性质可得其在在区间和上单调递增， 在区间，上单调递减. 由于在上连续， 所以函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减. 【小问2详解】 ， ， .， ，，， 所以：， 故： 函数在区间内是“上凸函数”. 小问3详解】 由（2）得： ，有 ，且 ，且. . 当且仅当，取得最大值. 最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $