精品解析：浙江省杭州市钱塘区文海实验中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025学年第一学期八年级期中独立作业 数学试题卷 考生须知： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 选择题部分 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面是化学实验中的四个实验器材，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 2. 已知≌，且，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等的性质是解题关键．根据全等三角形的性质即可得答案． 【详解】解：∵（、、分别与、、对应），， ∴， 故选：B． 3. 若，则下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质．根据不等式的性质，逐一判断选项即可得． 【详解】解：A、不等式两边同时减去3，不等号方向不改变，即，选项说法正确，符合题意； B、不等式两边同时加3，不等号方向不改变，即，选项说法错误，不符合题意； C、不等式两边同时乘，不等号方向不改变，即，选项说法错误，不符合题意； D、当，时，满足，此时，，，故选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 4. 如果下列各组数分别是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的是（　　） A. 1，2，2 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理（判断三角形是否为直角三角形），解题的关键是对于每组边长，找出最长边，验证最长边的平方是否等于另外两边的平方和，若满足则为直角三角形． 先确定每组选项中的最长边（直角三角形中最长边为斜边）；再分别计算最长边的平方，以及另外两边的平方和；比较两者是否相等，相等则该组边长能组成直角三角形，反之则不能． 【详解】解：A、选项中三边长为1，2，2，最长边为2计算：， ∵， ∴不能组成直角三角形，此选项不符合题意； B、选项中三边长为2，3，4，最长边为4计算：， ∵， ∴不能组成直角三角形，此选项不符合题意； C、选项中三边长为3，4，5，最长边为5计算：， ∵， ∴能组成直角三角形，此选项符合题意； D、选项中三边长为4，5，6，最长边为6计算：， ∵， ∴不能组成直角三角形，此选项不符合题意； 故选：C． 5. 等腰三角形的顶角为50°，则它的底角是（ ）． A. 50° B. 65° C. 70° D. 75° 【答案】B 【解析】 【分析】由等腰三角形的顶角为50°，则底角为：从而可得答案． 【详解】解： 等腰三角形的顶角为50°， 底角为： 故选． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 6. 使用如图所示的两根直铁丝做成一个等腰三角形框架，需要将其中的一根铁丝折成两段，小明认为：可将线段折成，；小亮认为：可将线段折成，，下列说法正确的是（ ） A. 只有小明正确 B. 只有小亮正确 C. 两人都正确 D. 两人都错误 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，分别分析小明和小亮的折法，根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），判断能否构成等腰三角形即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：小明的折法，将线段折成，，此时三角形三边为，，， 因为，满足三角形三边关系，能构成等腰三角形， 所以小明的折法正确； 小亮的折法，将线段折成，，此时三角形三边为，，， 因为，满足三角形三边关系，能构成等腰三角形， 所以小亮的折法也正确， 综上，两人都正确， 故选：． 7. 如图，，，，要根据“”证明则还需要添加一个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用“”证明三角形全等，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知条件可知，两三角形是直角三角形，且有一条直角边相等，若用“”证明全等，需再有斜边对应相等，据此可解答． 【详解】解：如图，，，， 要根据“”证明， 需再有斜边对应相等， 即． 故选：D． 8. 如图用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，作出的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，由作图可知，，，根据证明三角形全等即可解决问题，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，，， ∴， ∴， 故选：． 9. 已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（　　） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部，进行判断即可． 【详解】A、等腰三角形三条高线的交点不一定不在三角形的外部，不符合题意； B、直角三角形的三条高线的交点在直角顶点处，不在三角形的外部，不符合题意； C、锐角三角形的三条高线的交点在三角形的内部，不符合题意； D、钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查反例法证明命题是假命题．熟练掌握钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部，是解题的关键． 10. 如图，在中，为边上两点，且满足．连结．若，则与之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是问题求解的关键． 先根据，得到，然后用等量代换得到，代入，完成求解 ． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知一个等腰三角形的周长为10，腰长为4，则它的底边长为________． 【答案】 2 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，两条腰相等，利用周长公式求出底边长，并验证是否满足三角形三边关系． 【详解】解：∵等腰三角形腰长为4， ∴两腰之和为：， ∴底边长为：， ∵， ∴此时能够构成三角形， 故答案为：2． 12. 命题“对顶角相等”的逆命题是____命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【分析】本题主要考查命题与定理，对顶角的定义，先根据原命题的题设得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角， 此逆命题为假命题． 故答案为：假． 13. 把一块三角板和直尺如图所示放置，，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和，能求出的度数是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等． 根据三角形的外角的性质证得：，再根据平行线的性质得到即可得到结论． 【详解】解：， 直尺的两对边平行， ， 故答案为：． 14. 如图，中，是的垂直平分线，，的周长为30，则的周长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质． 根据线段的垂直平分线的性质得到，，而，代换即有，从而得到的周长． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， ∵的周长是，即， ， ， 即的周长是， 故答案为：． 15. 已知不等式的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查一元一次不等式的整数解，解题关键在于掌握运算法则．根据题目中的不等式可以求得x的取值范围，再根据不等式的正整数解恰是1，2，3，从而可以求得a的取值范围． 【详解】由得，， ∵不等式的正整数解恰是1，2，3， ∴且， 解得，， 故答案为． 16. 如图，在中，，，，点为的中点，点是边上动点，将沿直线折叠，折叠后点的对应点为，与交于，当为直角三角形时，线段的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，在中， ，，，得，由勾股定理得，然后求出，再分当时，当时两种情况求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在中， ，，， ∴， 由勾股定理得： ， ∵点为的中点， ∴， 由折叠性质得，，， ∴当为直角三角形时，有以下两种情况： 当时，如图所示， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴； 当时，过点作于点，如图所示， 同上理可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：当为直角三角形时，线段的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并解答． 解：．第①步 ．第②步 ．第③步 ．第④步 ．第⑤步 （1）第______步开始出现错误． （2）请给出正确解答． 【答案】（1）⑤ （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的求解方法是解题关键．（1）第⑤步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向没有改变；（2）求出不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：第⑤步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向没有改变， 故答案为：⑤； 【小问2详解】 解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化成1，得． 18. 如图，在中，，，，分别是的角平分线和高线，则的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等，熟知三角形的内角和为，是解答此题的关键．先根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，最后根据即可解答． 【详解】解：∵，， ∴在中，， ∵是的角平分线， ∴ ， 又∵是的高线， ∴， ∴． 19. 图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均落在格点上，在图1、图2给定的网格中按要求作图． （1）在图1中的格点上确定一点P，画一个以AB为腰的等腰． （2）在图2中的格点上确定一点P，画一个以AB为底的等腰． 【答案】（1） 如图1，点P即为所求（答案不唯一）． （2） 如图2，点P即为所求（答案不唯一）． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，取点P，使得即可求解． （2）根据等腰三角形的性质，取点P，使点P在线段的垂直平分线上即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作图——格点上画等腰三角形、等腰三角形的定义、线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的定义及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 20. 如图，已知． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、外角性质等知识，熟记三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）由两个三角形全等的判定定理判定，再由全等三角形性质即可得证； （2）由两个三角形全等的性质得到，再由外角性质得到，从而确定答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ， 是的一个外角， ， 则． 21. 如图，油纸伞题中国传统工艺品之一，如图，伞圈沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的，点固定不动，且到点的距离满足． （1）当点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由． （2）如图，当油纸伞撑开时，伞的边缘，与点在同一直线上且伞圈到的距离，伞面宽，若当点恰好是的中点，求伞骨的长． 【答案】（1）处于同一平面的两条伞骨和相等， 理由如下： ∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的， ∴， 在，中， ， ∴， ∴； 即处于同一平面的两条伞骨和相等； （2）伞骨的长为． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意可得，再根据“”证明，即可得出； （）由，则，又，所以，所以，通过勾股定理求得，最后根据直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，点恰好是的中点， ∴， 答：伞骨的长为． 22. 某班计划采购两种型号的羽毛球拍，已知购买2副型羽毛球拍和3副型羽毛球拍共需426元，购买4副型羽毛球拍和1副型羽毛球拍共需442元． （1）求两种型号羽毛球拍的单价． （2）该班准备采购两种型号的羽毛球拍共20副，且型羽毛球拍的数量不少于型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由． 【答案】（1）A型羽毛球拍的单价为90元，B型羽毛球拍的单价为82元． （2）最省钱的购买方案是购买14副A型和6副B型，最少费用为1752元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，正确建立方程组和函数关系式是解题关键． （1）设A型羽毛球拍的单价为x元，B型羽毛球拍的单价为y元，根据“购买2副A型羽毛球拍和3副B型羽毛球拍共需426元，购买4副A型羽毛球拍和1副B型羽毛球拍共需442元”建立方程组求解即可； （2）设该班采购A型羽毛球拍m副，购买的费用为w元，则采购B型羽毛球拍副，结合（1）的结论可得，再根据“A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍”求出m的取值范围，然后利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A型羽毛球拍的单价为x元，B型羽毛球拍的单价为y元， 由题意得：，解得：． 答：A型羽毛球拍的单价为90元，B型羽毛球拍的单价为82元． 【小问2详解】 解：最省钱的购买方案是采购14副A型羽毛球拍，6副B型羽毛球拍；最少费用为1752元，理由如下： 设该班采购A型羽毛球拍m副，购买的费用为w元，则采购B型羽毛球拍副， 由（1）的结论得：， ∵A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍， ∴，解得：， 在内，w随m的增大而增大， 又∵m是整数， ∴当时，w取得最小值，最小值为，此时， ∴最省钱的购买方案是采购14副A型羽毛球拍，6副B型羽毛球拍；最少费用为1752元． 23. 如图，在中，为延长线上一点，点在上，且，连结延长线交于． （1）求证：； （2）判断与的位置关系并说明理由； （3）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ； （2） ， 理由如下： 由（1）知，， ， 在中，， 在中，，则， ； （3） 【解析】 【分析】（1）由两个三角形全等的判定定理判定即可得到； （2）由（1）中，得到，在中，由得到，从而得到，即可确定与的位置关系； （3）在、中，由勾股定理分别求出，设，在中，由勾股定理求出，在中，由勾股定理列方程求解得到，数形结合计算即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在中，，则由勾股定理可得， 在中，，则由勾股定理可得， 设， 在中，，则由勾股定理可得， ，， ，， 在中，，，则由勾股定理可得， 即， 解得， ． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及三角形全等的判定与性质、直角三角形两锐角互余、直角三角形判定、勾股定理、一元一次方程的应用等知识，熟记三角形全等的判定与性质、勾股定理求线段长是解决问题的关键． 24. 如图1，与均是以为直角的等腰直角三角形，在内部． （1）连接： ①求证：． ②如图2，当平分时，求的长． （2）如图3，连接，连接与交于，当时，判断与的数量关系并给出证明． 【答案】（1） ①证明：∵与均是以为直角的等腰直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ② （2）， 证明如下： 如图：延长到G，使，连接， ∵是以为直角的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是以为直角的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ∠DAG = ∠CAB， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴ DG = 2AF， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形中位线等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． （1）①由与均是以为直角的等腰直角三角形，可得，故，再由即可证明结论；②如图：延长交于K，由平分，可得是等腰直角三角形，故，求得，由勾股定理得；从而可知的长为； （2）如图∶延长到G，使，连接，证明可得，，而，即可得，故是的中位线，有，知． 【小问1详解】 ① 略 ②如图：延长交于K， ∵是以为直角的等腰直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 由①可知，， ∴， ∴的长为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期八年级期中独立作业 数学试题卷 考生须知： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 选择题部分 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面是化学实验中的四个实验器材，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知≌，且，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果下列各组数分别是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的是（　　） A. 1，2，2 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 5. 等腰三角形的顶角为50°，则它的底角是（ ）． A. 50° B. 65° C. 70° D. 75° 6. 使用如图所示的两根直铁丝做成一个等腰三角形框架，需要将其中的一根铁丝折成两段，小明认为：可将线段折成，；小亮认为：可将线段折成，，下列说法正确的是（ ） A. 只有小明正确 B. 只有小亮正确 C. 两人都正确 D. 两人都错误 7. 如图，，，，要根据“”证明则还需要添加一个条件是（ ） A. B. C. D. 8. 如图用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，作出的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（　　） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 10. 如图，在中，为边上两点，且满足．连结．若，则与之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知一个等腰三角形的周长为10，腰长为4，则它的底边长为________． 12. 命题“对顶角相等”的逆命题是____命题（填“真”或“假”）． 13. 把一块三角板和直尺如图所示放置，，则______． 14. 如图，中，是的垂直平分线，，的周长为30，则的周长为_________． 15. 已知不等式的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围________． 16. 如图，在中，，，，点为的中点，点是边上动点，将沿直线折叠，折叠后点的对应点为，与交于，当为直角三角形时，线段的长为______． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并解答． 解：．第①步 ．第②步 ．第③步 ．第④步 ．第⑤步 （1）第______步开始出现错误． （2）请给出正确解答． 18. 如图，在中，，，，分别是的角平分线和高线，则的度数． 19. 图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均落在格点上，在图1、图2给定的网格中按要求作图． （1）在图1中的格点上确定一点P，画一个以AB为腰的等腰． （2）在图2中的格点上确定一点P，画一个以AB为底的等腰． 20. 如图，已知． （1）求证：； （2）求的度数． 21. 如图，油纸伞题中国传统工艺品之一，如图，伞圈沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的，点固定不动，且到点的距离满足． （1）当点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由． （2）如图，当油纸伞撑开时，伞的边缘，与点在同一直线上且伞圈到的距离，伞面宽，若当点恰好是的中点，求伞骨的长． 22. 某班计划采购两种型号的羽毛球拍，已知购买2副型羽毛球拍和3副型羽毛球拍共需426元，购买4副型羽毛球拍和1副型羽毛球拍共需442元． （1）求两种型号羽毛球拍的单价． （2）该班准备采购两种型号的羽毛球拍共20副，且型羽毛球拍的数量不少于型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由． 23. 如图，在中，为延长线上一点，点在上，且，连结延长线交于． （1）求证：； （2）判断与的位置关系并说明理由； （3）若，求的长． 24. 如图1，与均是以为直角的等腰直角三角形，在内部． （1）连接： ①求证：． ②如图2，当平分时，求的长． （2）如图3，连接，连接与交于，当时，判断与的数量关系并给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $