精品解析： 浙江省杭州市弘益中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

杭州市弘益中学2025学年第一学期期中质量调研八年级数学试题卷 调研须知： 本试卷满分120分，考试时间120分钟；答题前，必须在答题纸指定位置填写校名、班级、姓名、座位号和准考证号；必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效；不准使用计算器；考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 数学考试必备学习用具：黑色的水笔，铅笔、橡皮、圆规，三角板全套、量角器，下列学习用具所抽象出的几何图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、是轴对称图形，故该选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故该选项符合题意； D、是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列长度（单位：）的三条线段能组成三角形的是（　　） A. 5，5，13 B. 1，2，3 C. 5，7，12 D. 11，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 【详解】解：A、∵， ∴不能构成三角形，不符合题意； B、∵， ∴不能构成三角形，不符合题意； C、∵， ∴不能构成三角形，不符合题意； D、∵， ∴能构成三角形，符合题意； 故选D． 3. a,b都是实数，且a<b. 则下列不等式的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断. 【详解】A、不等式的两边都加或都减同一个整式，不等号的方向不变，故A错误； B、不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，故B错误； C、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故C正确； D、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故D错误. 故选C． 4. 下列选项中，的值可以作为命题“若，则”是假命题的反例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据要证明一个命题结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题． 【详解】解：用来证明命题“，则”是假命题的反例可以是：， ∵ ，但是， ∴C正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可． 5. 如果△ABC的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c，那么下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A. ∠A＝15°，∠B＝75° B. ∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C. a＝，b＝，c＝ D. a＝6，b＝10，c＝12 【答案】D 【解析】 【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、由条件可得∠A+∠B＝15°+75°＝90°， ∴∠C＝90°，故△ABC为直角三角形； B、设∠A＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°， x+2x+3x＝180， 解得：x＝30， 则3x°＝90°， 是直角三角形，故此选项不合题意； C、由条件可得到a2+b2＝c2，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形； D、由条件有a2+b2≠c2，不满足勾股定理的逆定理，故△ABC不是直角三角形； 故选：D． 【点睛】本题重点考察直角三角形的判定，利用边长判定是否为等腰三角形需要利用勾股定理的公式，角度之间的关系时，需要观察是否有90°． 6. 如图，，为使，可以补充的条件是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． ，想要证明，只需找到两边的夹角即可． 【详解】解：∵, ∴，即． 在和中， ∴， 故选：C． 7. 如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形边中点，三角形面积，解决问题的关键是熟练掌握三角形中线的定义，等高（或底）的两个三角形面积之比等于底边（高）之比．因为点是的中点，所以的底是的底的一半，高等于的高，可得的面积等于的面积的一半；同理，、、分别是、的中点，可得的面积是面积的一半；利用三角形的等积变换可解答． 【详解】解：，，分别为边，，的中点， 的底是，的底是，即，而高相等， ， 是的中点， ， ， ， ， ，即阴影部分的面积为． 故选：C． 8. 如图所示，在中，，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理可求出，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可得，，于是可得，进而求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质等知识，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键． 9. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理求出的长，设点到直线的距离为，等积法进行求解即可． 【详解】解：由勾股定理，得：， 由网格可知：， 设点到直线的距离为，则：，即， 解得； 故选：B． 10. 如图，在中，，平分，于点E，于点D，且与交于点H，于点F，且与交于点G．则下面的结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形综合．熟练掌握等腰直角三角形判定和性质，同角的余角性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，是解决本题的关键． 根据，，得到，根据，得到，判断①正确；根据，，得到，判断②正确；过H作于I，根据角平分线性质得到，根据，即得，判断③不正确；连接，根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线性质得到，得到，根据三角形外角性质得到，根据，推出，即得，判断④正确． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴①正确； ②∵，， ∴， ∴， ∴， ∴②正确； ③过H作于I， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴③不正确； ④如图，连接， ∵，平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴④正确． ∴正确的有：①②④． 故选：B． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. “与5的差大于的4倍”用不等式表示为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中的不等关系列出不等式即可，读懂题意，正确列出不等式是解题关键． 【详解】解：“与5的差大于的4倍”用不等式表示为， 故答案为： 12. 写出“全等三角形三边相等”的逆命题_______． 【答案】两个三角形三边相等，则这两个三角形全等 【解析】 【分析】本题考查逆命题．原命题的条件是“两个三角形全等”，结论是“它们的三边相等”，逆命题是通过交换条件和结论得到的． 【详解】解：原命题“全等三角形三边相等”中，条件为“两个三角形全等”，结论为“它们的三边相等”． 根据逆命题的定义，交换条件与结论，得逆命题为“两个三角形三边相等，则这两个三角形全等”． 故答案为：两个三角形三边相等，则这两个三角形全等． 13. 已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为_____． 【答案】或##或4 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论． 【详解】解：∵直角三角形的两边长分别为3和5， ∴①当5是此直角三角形的斜边时， 设另一直角边为， 则； ②当5是此直角三角形的直角边时， 设斜边为， 则． 综上所述， 故答案为：4或． 14. 如图所示，在中，，平分，交于点，且，则的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先作，利用角平分线的性质可得，利用三角形的面积公式可得结果． 【详解】解：过点作， ∵平分，， ∴， ∴， 故答案为5． 【点睛】此题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质． 15. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D，E分别在AB，BC上，连结 CD，DE，若BC= BD，AC=1，∠CDE=45°， 则BE的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理，求出AB=，再证明△CAD△DBE，进而即可求解． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝BD=1 ∴AB=,∠A＝∠B＝45°． ∵∠CDB＝∠A＋∠ACD＝∠CDE＋∠BDE，∠CDE＝45°， ∴∠ACD＝∠BDE， ∴△CAD△DBE， ∴BE=AD=AB-BD=． 故答案是： 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，掌握ASA证明三角形全等是解题的关键． 16. 如图，中，，，，点是的中点，点是边上一个动点，将沿着折叠得到． （1）当时，的长为________； （2）当时，的长为________． 【答案】 ①. ②. 或． 【解析】 【分析】本题重点考查平行线的性质、轴对称的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、二次根式、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）根据题意求得，由折叠性质证得为等腰直角三角形，根据勾股定理即可计算出答案； （2）过点作，根据题意求得，，由折叠性质证得为等腰直角三角形，分在右侧和左侧两种情况解答即可． 【详解】解：当， ∵，点是的中点， ∴， ∵沿着折叠得到， ∴， ∴， ∵， ∴； 当，过点作，交于点，在右侧时， ∵中，，，，点是的中点， ∴， ∴，， ∵沿着折叠得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴, 设，则， ∵， ∴， 解得， 即 当，在左侧时： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为；或． 三、解答题（本题8小题，17、18、19、20、21每题8分，22、23每题10分，24每题12分，共72分，各小题都必须写出解答过程） 17. （1）解不等式，并把不等式的解在数轴上表示出来． （2）若，比较和的大小，并说明理由． 【答案】（1）； （2），理由如下： 因此， 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式、将不等式的解集表示在数轴上，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键． （1）通过去括号、移项、合并同类项求解不等式，并把不等式的解在数轴上表示出来． （2）利用不等式的基本性质，乘以负数不等号方向改变，从而比较大小 【详解】解：（1） 去括号， 移项得， 合并同类项得， 化系数为1得，， 把它的解集在数轴上表示出来如下： ． （2） 略 18. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线交于，交于； （2）连接，求证：平分． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 证明：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 即平分． 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，线段垂直平分线的尺规作图等知识点． （1）直接作出的垂直平分线得出即可； （2）根据等边对等角求出，再由线段垂直平分线的性质得到，则，由此即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在中，是边上的中线，是边上一点，过点作交的延长线于点． （1）求证：； （2）当，，时，求的长． 【答案】（1） ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）8 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）证明，即可得证； （2）易得垂直平分，得到，根据全等三角形的对应边相等，结合线段的和差关系进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵是边上的中线，， ∴垂直平分， ∴， 由（1）知：， ∴． 20. 已知不等式的最小整数解是方程的解，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解，代数式求值；先解不等式得到最小整数解，代入方程求出参数，再计算代数式的值． 【详解】解：解不等式 ， 移项得 ， 即 ， 两边乘以  得 ， ∴ 最小整数解为 ． ∵  是方程  的解， 代入得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 当时 ． 21. 如图，，，，，， （1）判断的形状并说明理由； （2）计算四边形的面积． 【答案】（1） 解：是直角三角形． 理由如下：连接，∵，，， 由勾股定理，得， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形； （2）24 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，掌握勾股定理和逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理得出，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形即可； （2）根据三角形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， 在中，， ∴． 22. 如图，在中，、分别是边、上的高线，取的中点为点，连结，，取的中点为点． （1）求证：； （2）当时，求证：是等腰直角三角形； （3）在（2）的条件下，当时，求的长． 【答案】（1） 证明：、分别是边、上的高线， ． 的中点为点， ，． ． 的中点为点， ． （2） 证明：由（1）知， 的中点为点， ． ，． ， ． ． ． 是等腰直角三角形． （3） 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理，熟练掌握三角形的各类性质是解题的关键． （1）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可得到，再根据等腰三角形三线合一，可证； （2）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可得到，再结合等腰三角形的性质可推出，即可证明是等腰直角三角形； （3）根据（2）中的结论及的长度可求出的长度，根据勾股定理可求出的长度，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， ． ． 的中点为点， ． 23. 【探究与发现】 数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得．以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题： （1）【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（ ） A． B． C． D． （2）【灵活运用】如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是___________； （3）【拓展延伸】如图3，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 【答案】（1）B； （2）； （3） 证明，如图，延长至点，使得，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，三角形的中线的性质，勾股定理． （1）根据题干证明即可； （2）延长至点，使得，连接，根据中线的性质，全等三角形的判定和性质，则，可得，根据三角形三边的关系，可，即可； （3）延长至点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，根据平行线的性质，则，，根据角平分线的性质，可得，根据等量代换，等角对等边，即可证明． 【小问1详解】 解：∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：B； 【小问2详解】 解：如图，延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 略 24. 定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形． （1）如图1，在智慧三角形中，，为该三角形的智慧线，，，则长为________，的度数为________． （2）如图2，为等腰直角三角形，，F是斜边延长线上一点，连结，以为直角边作等腰直角三角形（点按顺时针排列），，交于点D，连结，，当时，求证：是的智慧线． （3）如图3，中，，，若是智慧三角形，且为智慧线，求的面积． 【答案】（1）， （2） 证明：如图2中， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵是直角三角形， ∴是智慧三角形； ∴是的智慧线 （3）16或 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出，再根据等腰直角三角形的性质求出即可； （2）证明，结合定义可得结论； （3）如图3中，过点作于点．有两种情形：当时，或当时，，是智慧三角形． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴ ∵是智慧三角形， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3中，过点作于点． 有两种情形：当时，是智慧三角形． ∵，，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 当时，是智慧三角形． 设， ， ， 解得：（负值舍去）， ． 综上所述，满条件的的面积为16或． 【点睛】本题考查了智慧三角形的定义，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市弘益中学2025学年第一学期期中质量调研八年级数学试题卷 调研须知： 本试卷满分120分，考试时间120分钟；答题前，必须在答题纸指定位置填写校名、班级、姓名、座位号和准考证号；必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效；不准使用计算器；考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 数学考试必备学习用具：黑色的水笔，铅笔、橡皮、圆规，三角板全套、量角器，下列学习用具所抽象出的几何图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度（单位：）的三条线段能组成三角形的是（　　） A. 5，5，13 B. 1，2，3 C. 5，7，12 D. 11，12，13 3. a,b都是实数，且a<b. 则下列不等式的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列选项中，的值可以作为命题“若，则”是假命题的反例的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果△ABC的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c，那么下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A. ∠A＝15°，∠B＝75° B. ∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C. a＝，b＝，c＝ D. a＝6，b＝10，c＝12 6. 如图，，为使，可以补充的条件是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在中，，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，平分，于点E，于点D，且与交于点H，于点F，且与交于点G．则下面的结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. “与5的差大于的4倍”用不等式表示为_________． 12. 写出“全等三角形三边相等”的逆命题_______． 13. 已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为_____． 14. 如图所示，在中，，平分，交于点，且，则的面积是_____． 15. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D，E分别在AB，BC上，连结 CD，DE，若BC= BD，AC=1，∠CDE=45°， 则BE的长为_______． 16. 如图，中，，，，点是的中点，点是边上一个动点，将沿着折叠得到． （1）当时，的长为________； （2）当时，的长为________． 三、解答题（本题8小题，17、18、19、20、21每题8分，22、23每题10分，24每题12分，共72分，各小题都必须写出解答过程） 17. （1）解不等式，并把不等式的解在数轴上表示出来． （2）若，比较和的大小，并说明理由． 18. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线交于，交于； （2）连接，求证：平分． 19. 如图，在中，是边上的中线，是边上一点，过点作交的延长线于点． （1）求证：； （2）当，，时，求的长． 20. 已知不等式的最小整数解是方程的解，求代数式的值． 21. 如图，，，，，， （1）判断的形状并说明理由； （2）计算四边形的面积． 22. 如图，在中，、分别是边、上的高线，取的中点为点，连结，，取的中点为点． （1）求证：； （2）当时，求证：是等腰直角三角形； （3）在（2）的条件下，当时，求的长． 23. 【探究与发现】 数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得．以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题： （1）【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（ ） A． B． C． D． （2）【灵活运用】如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是___________； （3）【拓展延伸】如图3，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 24. 定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形． （1）如图1，在智慧三角形中，，为该三角形的智慧线，，，则长为________，的度数为________． （2）如图2，为等腰直角三角形，，F是斜边延长线上一点，连结，以为直角边作等腰直角三角形（点按顺时针排列），，交于点D，连结，，当时，求证：是的智慧线． （3）如图3，中，，，若是智慧三角形，且为智慧线，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $