5.2一次函数的概念（第二课时）讲义2025-2026学年苏科版数学八年级上册

本讲义聚焦一次函数概念巩固及待定系数法求表达式这一核心知识点，前承一次函数定义及一般形式，通过课前预习夯实基础，课中分层探究待定系数法原理步骤、不同条件下（一点、两点、比例关系）的求解方法，后接实际情境应用，构建完整学习支架。 资料特色在于以数学思维为主线，通过“设列解写验”步骤培养推理能力，结合古诗、科技等情境化例题（如《饮酒》中采菊次数与体悟深度的函数关系），引导学生用数学眼光观察现实世界，用数学语言表达数量关系。课中助力教师分层教学，课后通过知识清单与强化训练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

2025-2026学年苏科版版八年级数学 《第五章一次函数第二节一次函数的概念（第二课时）》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.巩固一次函数（含正比例函数）的定义，明确其一般形式 y = kx + b （ k 、 b 为常数， k ≠ 0 ）中各字母的意义。 2.掌握 待定系数法 求一次函数表达式的基本步骤，能根据不同已知条件（如已知一点、两点、比例关系等）求出一次函数解析式。 3.能运用一次函数表达式解决简单的实际问题，体会函数与实际情境的联系。 4.提升代数运算能力和逻辑推理能力，形成 “ 设解析式 — 列方程（组） — 求解 — 验证 ” 的解题思维。 ) ( 二．重点难点 1.重点： （1）待定系数法求一次函数表达式的步骤； （2）根据两点坐标或实际情境列一次函数关系式。 2.难点： （1）分析实际问题中的数量关系，将其转化为一次函数表达式； （2）处理 “ y 与 x + m 成正比例 ” 等复杂比例关系的问题。 ) ( 三． 课前预习 阅读教材，完成下列问题: 1.一次函数的一般形式是 ________（其中 k 、 b 为常数，且 ________）；当 b = 0 时，函数变为 ________，这是 ________ 函数，也是特殊的一次函数。 2.若函数 y = (m - 2)x + 3 是一次函数，则 m 的取值范围是 ________。 3.已知正比例函数 y = kx （ k ≠ 0 ）经过点 (1, -3) ，则 k =_______，函数表达式为 ________。 4.求一次函数表达式的核心方法是 ________，其基本思路是先设出函数的 ________，再根据已知条件列出关于待定系数的 ________，求解后得到函数表达式。 5.若一次函数 y = kx + 5 经过点 (2, 9) ，则 k =________，当 x = -1 时， y=________。 ) 四．课堂探秘 探究一：待定系数法的原理与步骤 【思考】：一次函数 y = kx + b 中有两个待定系数 k 和 b ，要确定这两个系数，需要几个独立的条件？ 【结论】：确定两个待定系数需 两个独立条件（如两个点的坐标）；正比例函数 y = kx 只有一个待定系数 k ，只需 一个条件（如一个点的坐标）。 待定系数法基本步骤： 1.设：根据函数类型，设出函数的一般形式（一次函数设 y = kx + b ，正比例函数设 y = kx ，注意 k≠0 ）； 2.代：将已知条件（如点的坐标、函数值等）代入所设解析式，列出关于待定系数的方程（或方程组）； 3.解：解方程（或方程组），求出待定系数的值； 4.写：将求出的系数代入所设解析式，写出最终的函数表达式； 5.验：可代入已知条件验证，确保表达式正确。 探究2：不同条件下求一次函数表达式 1.已知一个点求正比例函数表达式（1个条件→求1个系数）； 2.已知一个点求一次函数表达式（需额外已知k或b ，1个条件+1个已知系数→求另一个系数）； 3.已知两个点求一次函数表达式（2个条件→列方程组求k和b ）； 4.已知“y与x + m 成正比例”（先设比例关系式，再转化为一次函数）。 探究3：实际情境中的一次函数表达式 【关键】：分析情境中两个变量的数量关系，找出“固定量”（对应b）和“变化率”（对应k），再结合已知条件确定系数。 【经典例题】 （一）已知一点求正比例函数表达式 例1.已知y与x成正比例，且当x = -2 时， y = 6 ，求 y 与 x 的函数表达式。 （二）已知两点求一次函数表达式 例2.一次函数 y = kx + b 经过点 (3, 5) 和 (-1, -3) ，求该函数的表达式。 （三）复杂比例关系求一次函数表达式 例3.已知 y - 1 与 x + 2 成正比例，且当 x = 1 时， y = 7 ，求 y 与 x 的函数表达式。 （四）实际情境中的一次函数表达式 例4.某商店出售一种文具，每件成本为3元，售价为 x 元时，每天可售出 y 件，且 y 与 x 成一次函数关系。已知当售价为4元时，每天售出200件；当售价为5元时，每天售出150件。求 y 与 x 的函数表达式。 五．课堂检测 （一）选择题 1.已知y关于x成正比例，且当x=2时,y=-6,则当x=1时,y的值为( ) A.3 B.-3 C.12 D.-12 2.已知y是x的一次函数，下表中列出了部分对应值，则m等于 ( ) x -1 0 1 y 1 m -1 A.-1 B.0 C D.-2 3.2025年世界人工智能大会上，具身智能机器人H1的运动速度y（单位：m/s）与动力输出x（单位：kW）满足一次函数关系，已知x=2时y=1.8，x=5时y=3.3，该函数表达式为（ ） A. y=0.5x+0.8 B. y=0.6x+0.7 C. y=0.5x+0.7 D. y=0.6x+0.8 4.华为昇腾384超节点的运算效率y（单位：TFLOPS）与能耗x（单位：kW）成一次函数关系，已知x=100时y=3840，x=200时y=7680，该函数是（ ） A. y=38.4x B. y=38x+40 C. y=39x-60 D. y=38.4x+10 5.2025年开源大模型DeepSeek-R1的响应延迟y（单位：ms）与请求量x（单位：万次）满足一次函数，当x=5时y=80，x=10时y=130，当x=15时y的值为（ ） A. 170 B. 180 C. 190 D. 200 6.陶渊明《饮酒（其五）》中，“采菊”次数x与体悟“真意”的深度y成一次函数，x=2时y=5，x=4时y=9，该函数表达式为（ ） A. y=2x+1 B. y=2x+2 C. y=3x-1 D. y=3x-2 7.杜甫《春望》中，战乱持续天数x与思乡之情浓度y成一次函数，已知x=30时y=6.5，x=60时y=11.5，当x=90时y的值为（ ） A. 15.5 B. 16.5 C. 17.5 D. 18.5 8.李贺《雁门太守行》中，守军铠甲数量x（单位：百套）与防御强度y成一次函数，x=5时y=12，x=8时y=18，该函数的k值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9.小明预习一次函数时，学习时间x（单位：小时）与掌握知识点个数y成一次函数，x=1时y=4，x=3时y=10，该函数表达式为（ ） A. y=3x+1 B. y=3x+2 C. y=2x+2 D. y=2x+1 10.班级数学小组制作一次函数手抄报，完成份数x与花费时间y（单位：分钟）成一次函数，x=2时y=90，x=5时y=210，当x=4时y的值为（ ） A. 170 B. 160 C. 150 D. 140 （二）填空题 11．下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有 ．（请填写序号） 12．若函数是正比例函数，则m的值是 ． 13．若点在函数上，则 ． 14．若函数是一次函数，则 ． 15．一次函数的图象经过点，每当增加1个单位长度时，增加3个单位长度，则此函数的表达式是 ． 16．已知一次函数表达式，且当时，；当时，，则这个一次函数表达式是 ． 17．某航空公司某航班，旅客乘机所携带行李的质量x（kg）与其运费y（元）由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客携带的30kg行李的所需运费为 元． 18．一次函数，当时，的最大值为4，则一次函数的解析式为 ． 19.某地某天的地面温度为15 ℃,如果高度每升高1千米,气温将下降6 ℃,则该地气温t(℃)与高度h(千米)之间的关系式为　　　　　　. 20.已知一次函数表达式y＝kx＋b(k≠0)，且当x＝3时，y＝5；当x＝4时，y＝6，则这个一次函数表达式是　　　　． （三）解答题 21．已知函数y＝(m－4)x＋m2－16. (1)m为何值时，这个函数是一次函数； (2)m为何值时，这个函数是正比例函数． 22.已知y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x－2成正比例，当x＝1时，y＝0；当x＝－3时，y＝4. (1)求y与x的函数解析式，并说明此函数是什么函数； (2)当x＝3时，求y的值. 23.科学研究发现,空气含氧量y(克/立方米)与海拔x(米)之间近似地满足一次函数关系.经测量,在海拔为0米的地方,空气含氧量约为299克/立方米;在海拔为2 000米的地方,空气含氧量约为235克/立方米. (1)求出y与x的函数表达式; (2)已知某山的海拔为1 200米,请你求出该山山顶处的空气含氧量为多少克/立方米. 24.下图是一个“函数求值机”的示意图,其中y是x的函数.下表是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值. 输入x … -6 -4 -2 0 2 … 输出y … -6 -2 2 6 16 … 根据以上信息,解答下列问题: (1)当输入的x值为1时,输出的y值为　　　　;  (2)求k,b的值; (3)当输出的y值为0时,求输入的x值. 25.某厂生产的RGZ-120型体重秤，最大称重为120千克，体检时可看到如图19-2-1-4①所示的显示盘，已知指针顺时针旋转角x（度）与体重y（千克）有如下关系： x（度） 0 72 144 216 y（千克） 0 25 50 75 (1)根据表格中的数据在平面直角坐标系(图19-2-1-4②)中描出相应的点，顺次连接各点后，你发现这些点在哪一种函数图象上？合理猜想符合这个图象的函数解析式： (2)验证这些点的坐标是否满足函数解析式，归纳你的结论（写出自变量x的取值范围）： (3)当指针旋转到158.4度的位置时，显示盘上的体重读数模糊不清，用解析式求出此时所称的体重． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.形如y=kx+b（k，b为常数，且k___）的函数，叫做一次函数。当b=___时，一次函数y=kx+b就变成正比例函数y=kx，因此正比例函数是特殊的一次函数。 2.确定一次函数的表达式，关键是求出___和___两个参数的值，这种方法叫做___法。 3.若y与x成正比例，且当x=2时，y=6，则正比例函数的表达式为___。 4.已知一次函数y=kx+3，当x=1时，y=5，则k=，该一次函数的表达式为。 5.若y-2与x+1成正比例，且当x=0时，y=5，则这个函数的表达式可设为___，最终化简后的表达式为___。 6.某商店销售某种商品，每件成本为20元，销售单价x（元）与月销售量y（件）满足一次函数关系，当x=30时，y=100；当x=40时，y=80，则该一次函数的表达式为___。 7.一辆汽车以恒定速度行驶，行驶路程s（km）与行驶时间t（h）是一次函数关系，已知汽车行驶2h的路程为120km，行驶5h的路程为300km，则该函数表达式中k的值为___，表示的实际意义是___。 （二）强化训练 一．选择题 1. 已知一个正比例函数,当自变量x的值为2时,对应的函数值y为-1,则这个正比例函数的表达式为(　　) A. y=-2x B. y=2x C. y=-x D. y=x 2.若正比例函数 y = kx 经过点 (-, 3) ，则 k 的值为（ ） A. 6 B. -6 C. D. - 3.一次函数 y = kx + b 中，当 x = 0 时， y = 2 ；当 x = 1 时， y = 5 ，则该函数表达式为（ ） A. y = 3x + 2 B. y = 2x + 3 C. y = 5x + 2 D. y = -3x + 2 4.国产GPU企业摩尔线程上市后，市值y（单位：百亿元）与上市天数x满足一次函数，上市第3天y=27，第7天y=35，当x=0时函数的值为（ ） A. 18 B. 20 C. 21 D. 22 5.未来网络试验设施FITI的传输速率y（单位：Tbps）与链路长度x（单位：千公里）成一次函数，x=2时y=0.8，x=5时y=0.函数表达式为（ ） A. y=-0.2x+1.2 B. y=0.2x+0.4 C. y=-0.2x+0.4 D. y=0.2x+1.2 6.杜牧《赤壁》中，考古发现的“折戟”数量x与怀古情感强度y成一次函数，已知函数过点(3,7)和(5,11)，该函数与x轴交点为（ ） A. (0.5,0) B. (1,0) C. (-0.5,0) D. (-1,0) 7.王维《使至塞上》中，行程x（单位：百里）与所见“长河落日”美景次数y成一次函数，x=4时y=3，x=8时y=5，该函数表达式为（ ） A. y=0.5x+1 B. y=0.5x+2 C. y=2x-5 D. y=2x-6 8.小红做一次函数练习题，做题道数x与得分y成一次函数，已知x=10时y=85，x=20时y=95，该函数的b值为（ ） A. 75 B. 70 C. 65 D. 60 9.学校组织数学建模活动，参与人数x（单位：人）与活动经费y（单位：元）成一次函数，x=20时y=1200，x=30时y=1700，该函数表达式为（ ） A. y=50x+200 B. y=50x+300 C. y=40x+400 D. y=40x+500 10.小李复习一次函数，每天复习时长x（单位：分钟）与错题减少个数y成一次函数，x=20时y=5，x=40时y=11，当x=60时y的值为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 二．填空题 11.已知一次函数y=kx+2,当x=-1时,y=1,则该函数的表达式为　　　　　.  12.已知y是x的正比例函数,当x=-1时,y=3,则当y=2时,x的值为　　　　.  13.已知y是x的一次函数,当x=3时,y=1;当x=-2时,y=-4,则该一次函数的表达式为　　　　　　.  14.已知y＋3与x＋2成正比例，若当x＝3时，y＝7，则当y＞3时，x的取值范围是　　　　． 15.已知一次函数y＝kx＋b，当x增加3时，y减少3，则k的值是　　　　． 16.已知某种商品的销售额y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时，销售额为1 000万元，当投入90万元时，销售额为5 000万元，则投入80万元时，销售额为　　　　万元． 17．定义[p，q]为一次函数y＝px+q的特征数，若特征数为[t，t+3]的一次函数为正比例函数，则这个正比例函数为 　 　． 18.如图所示,△ABC中,AB=5,BC=10,AD是BC边上的高,BD=3,点P在BC边上运动(不与点B、C重合),设BP的长为x,△ACP的面积y与x之间的函数关系式为__________. 19．如图，已知B中的实数与A中的实数之间的对应关系是某个正比例函数，则图中a的值为 　　． 20．已知一次函数y＝kx＋b，当－3≤x≤1时，对应的y的取值范围为－1≤y≤8，则b的值是___ _____. 三．解答题 21.已知y与x－2成正比例，且当x＝1时，y＝－2. (1) 求y与x之间的函数表达式； (2) 当－6＜y＜0时，求x的取值范围． 22.已知y是x的一次函数，且当x＝－2时，y＝5；当x＝4时，y＝－19，求： (1) y与x之间的函数表达式； (2) 当x＝－时，函数y的值； (3) 当y＝0时，自变量x的值； (4) 当y＞10时，自变量x的取值范围． 23.已知y＝y1－2y2，其中y1与x成正比例，y2与x＋1成正比例，且当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝5，求y与x之间的函数表达式． 24.实验表明，在某地，温度在15 ℃至25 ℃的范围内，一种蟋蟀1 min的平均鸣叫次数y可近似看成该地当时温度x(℃)的一次函数．已知这种蟋蟀在温度为16 ℃时，1 min平均鸣叫92次；在温度为23 ℃时，1 min平均鸣叫155次． (1) 求y与x之间的函数表达式； (2) 当这种蟋蟀1 min平均鸣叫128次时，该地当时的温度约是多少？ 25.如图，在长方形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝4 cm，点P按照顺时针方向由点A运动到点D，设点P运动的路程为x cm，图中点P，B，D围成的图形的面积为y cm2. (1) 写出点P，B，D围成的图形的面积y与x之间的关系式和自变量x的取值范围； (2) 当x取何值时，点P，B，D围成的图形的面积等于3 cm2? 26.若有两个一次函数y＝k1x＋b1(k1≠0)，y＝k2x＋b2(k2≠0)，则称函数y＝(k1＋k2)x＋b1b2为这两个函数的“和谐函数”． (1)求一次函数y＝2x＋3与y＝－4x＋4的“和谐函数”的表达式；若此“和谐函数”的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，求三角形ABO的面积． (2)若一次函数y＝－ax＋1与y＝x－2b的“和谐函数”为y＝4x＋3，则a＝________，b＝________． (3)已知一次函数y＝x＋b与y＝－kx＋5的“和谐函数”的图象经过第一、二、四象限，则常数k，b满足的条件为k________且b________． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版版八年级数学 《第五章一次函数第二节一次函数的概念（第二课时）》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.巩固一次函数（含正比例函数）的定义，明确其一般形式 y = kx + b （ k 、 b 为常数， k ≠ 0 ）中各字母的意义。 2.掌握 待定系数法 求一次函数表达式的基本步骤，能根据不同已知条件（如已知一点、两点、比例关系等）求出一次函数解析式。 3.能运用一次函数表达式解决简单的实际问题，体会函数与实际情境的联系。 4.提升代数运算能力和逻辑推理能力，形成 “ 设解析式 — 列方程（组） — 求解 — 验证 ” 的解题思维。 ) ( 二．重点难点 1.重点： （1）待定系数法求一次函数表达式的步骤； （2）根据两点坐标或实际情境列一次函数关系式。 2.难点： （1）分析实际问题中的数量关系，将其转化为一次函数表达式； （2）处理 “ y 与 x + m 成正比例 ” 等复杂比例关系的问题。 ) ( 三． 课前预习 阅读教材，完成下列问题: 1.一次函数的一般形式是 ________（其中 k 、 b 为常数，且 ________）；当 b = 0 时，函数变为 ________，这是 ________ 函数，也是特殊的一次函数。 2.若函数 y = (m - 2)x + 3 是一次函数，则 m 的取值范围是 ________。 3.已知正比例函数 y = kx （ k ≠ 0 ）经过点 (1, -3) ，则 k =_______，函数表达式为 ________。 4.求一次函数表达式的核心方法是 ________，其基本思路是先设出函数的 ________，再根据已知条件列出关于待定系数的 ________，求解后得到函数表达式。 5.若一次函数 y = kx + 5 经过点 (2, 9) ，则 k =________，当 x = -1 时， y=________。 【 答案 】 1.y = kx + b ； k ≠ 0 ； y = kx ；正比例 2. m ≠ 2 3. -3 ； y = -3x 4. 待定系数法；一般形式；方程（组） 5. 2 ； 3 ) 四．课堂探秘 探究一：待定系数法的原理与步骤 【思考】：一次函数 y = kx + b 中有两个待定系数 k 和 b ，要确定这两个系数，需要几个独立的条件？ 【结论】：确定两个待定系数需 两个独立条件（如两个点的坐标）；正比例函数 y = kx 只有一个待定系数 k ，只需 一个条件（如一个点的坐标）。 待定系数法基本步骤： 1.设：根据函数类型，设出函数的一般形式（一次函数设 y = kx + b ，正比例函数设 y = kx ，注意 k≠0 ）； 2.代：将已知条件（如点的坐标、函数值等）代入所设解析式，列出关于待定系数的方程（或方程组）； 3.解：解方程（或方程组），求出待定系数的值； 4.写：将求出的系数代入所设解析式，写出最终的函数表达式； 5.验：可代入已知条件验证，确保表达式正确。 探究2：不同条件下求一次函数表达式 1.已知一个点求正比例函数表达式（1个条件→求1个系数）； 2.已知一个点求一次函数表达式（需额外已知k或b ，1个条件+1个已知系数→求另一个系数）； 3.已知两个点求一次函数表达式（2个条件→列方程组求k和b ）； 4.已知“y与x + m 成正比例”（先设比例关系式，再转化为一次函数）。 探究3：实际情境中的一次函数表达式 【关键】：分析情境中两个变量的数量关系，找出“固定量”（对应b）和“变化率”（对应k），再结合已知条件确定系数。 【经典例题】 （一）已知一点求正比例函数表达式 例1.已知y与x成正比例，且当x = -2 时， y = 6 ，求 y 与 x 的函数表达式。 【答案】： y = -3x 【解析】：（1）设：因 y 与 x 成正比例，设函数表达式为 y = kx （ k ≠ 0 ）； （2）代：将 x = -2 ， y = 6 代入解析式，得 6 = k ×(-2) ； （3）解：解方程 -2k = 6 ，得 k = -3 ； （4）写：将 k = -3 代入所设解析式，得 y = -3x ； （5）验：当 x = -2 时， y = -3 × (-2) = 6 ，与已知条件一致，表达式正确。 （二）已知两点求一次函数表达式 例2.一次函数 y = kx + b 经过点 (3, 5) 和 (-1, -3) ，求该函数的表达式。 【答案】： y = 2x - 1 【解析】：（1）设：直接设一次函数表达式为 y = kx + b （ k ≠ 0 ）； （2）代：将两点坐标分别代入，得方程组： （3）解：用加减消元法解方程组，① - ②得 4k = 8 ，解得 k = 2 ；将 k = 2 代入②，得 -2 + b = -3 ，解得 b = -1 ； （4）写：函数表达式为 y = 2x - 1 ； （5）验：代入 (3, 5) ， 2 × 3 - 1 = 5 ；代入 (-1, -3) ， 2 ×(-1) - 1 = -3 ，均符合条件。 （三）复杂比例关系求一次函数表达式 例3.已知 y - 1 与 x + 2 成正比例，且当 x = 1 时， y = 7 ，求 y 与 x 的函数表达式。 【答案】： y = 2x + 5 【解析】：（1）设：因 y - 1 与 x + 2 成正比例，设 y - 1 = k(x + 2) （ k≠0 ）； （2）代：将 x = 1 ， y = 7 代入，得 7 - 1 = k(1 + 2) ，即 6 = 3k ； （3）解：解得 k = 2 ； （4）写：将 k = 2 代入关系式，整理得 y - 1 = 2(x + 2) ，即 y = 2x + 5 ； （5）验：当 x = 1 时， y = 2 × 1 + 5 = 7 ，符合已知条件，表达式正确。 （四）实际情境中的一次函数表达式 例4.某商店出售一种文具，每件成本为3元，售价为 x 元时，每天可售出 y 件，且 y 与 x 成一次函数关系。已知当售价为4元时，每天售出200件；当售价为5元时，每天售出150件。求 y 与 x 的函数表达式。 【答案】： y = -50x + 400 【解析】：（1）设：设 y = kx + b （ k ≠ 0 ），其中 x 为售价， y 为销售量； （2）代：根据题意，代入两点 (4, 200) 和 (5, 150) ，得方程组： （3）解：① - ②得 -k = 50 ，解得 k = -50 ；将 k = -50 代入①，得 4 ×(-50) + b = 200 ，解得 b = 400 ； （4）写：函数表达式为 y = -50x + 400 ； （5）验：当 x = 4 时， y = -50 ×4 + 400 = 200 ；当 x = 5 时， y = -50 ×5 + 400 = 150 ，符合题意。 五．课堂检测 （一）选择题 1.已知y关于x成正比例，且当x=2时,y=-6,则当x=1时,y的值为( ) A.3 B.-3 C.12 D.-12 【答案】B 【解析】设正比例函数为y=kx（k≠0），将x=2，y=-6代入得：2k=-6 ， k=-3则函数表达式为y=-3x。当x=1时，y=-3×1=-3。 2.已知y是x的一次函数，下表中列出了部分对应值，则m等于 ( ) x -1 0 1 y 1 m -1 A.-1 B.0 C D.-2 【答案】B 【解析】设一次函数为y=kx+b，将x=-1，y=1；x=0，y=m；x=1，y=-1代入。先代入前两组和后两组： 两式相加得2b=0 ，b=0，则k=-1。函数表达式为y=-x，当x=0时，m=0。 3.2025年世界人工智能大会上，具身智能机器人H1的运动速度y（单位：m/s）与动力输出x（单位：kW）满足一次函数关系，已知x=2时y=1.8，x=5时y=3.3，该函数表达式为（ ） A. y=0.5x+0.8 B. y=0.6x+0.7 C. y=0.5x+0.7 D. y=0.6x+0.8 【答案】：A 【解析】：设y=kx+b（k≠0），代入两点坐标得方程组 两式相减得3k=1.5，k=0.5，代入得b=0.8，故表达式为y=0.5x+0.8，选A。 4.华为昇腾384超节点的运算效率y（单位：TFLOPS）与能耗x（单位：kW）成一次函数关系，已知x=100时y=3840，x=200时y=7680，该函数是（ ） A. y=38.4x B. y=38x+40 C. y=39x-60 D. y=38.4x+10 【答案】：A 【解析】：设y=kx+b，代入得解得k=38.4，b=0，因b=0，属于正比例函数（特殊一次函数），表达式为y=38.4x，选A。 5.2025年开源大模型DeepSeek-R1的响应延迟y（单位：ms）与请求量x（单位：万次）满足一次函数，当x=5时y=80，x=10时y=130，当x=15时y的值为（ ） A. 170 B. 180 C. 190 D. 200 【答案】：B 【解析】：设y=kx+b，得，解得k=10，b=30，表达式为y=10x+30，x=15时，y=10×15+30=180，选B。 6.陶渊明《饮酒（其五）》中，“采菊”次数x与体悟“真意”的深度y成一次函数，x=2时y=5，x=4时y=9，该函数表达式为（ ） A. y=2x+1 B. y=2x+2 C. y=3x-1 D. y=3x-2 【答案】：A 【解析】：设y=kx+b，代入得，解得k=2，b=1，表达式为y=2x+1，选A。 7.杜甫《春望》中，战乱持续天数x与思乡之情浓度y成一次函数，已知x=30时y=6.5，x=60时y=11.5，当x=90时y的值为（ ） A. 15.5 B. 16.5 C. 17.5 D. 18.5 【答案】：B 【解析】：设y=kx+b，得 解得k=，b=1.5，x=90时，y=×90+1.5=16.5，选B。 8.李贺《雁门太守行》中，守军铠甲数量x（单位：百套）与防御强度y成一次函数，x=5时y=12，x=8时y=18，该函数的k值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】：B 【解析】：设y=kx+b，两式相减得3k=6，k=2，选B（无需求b，直接通过两点求斜率）。 9.小明预习一次函数时，学习时间x（单位：小时）与掌握知识点个数y成一次函数，x=1时y=4，x=3时y=10，该函数表达式为（ ） A. y=3x+1 B. y=3x+2 C. y=2x+2 D. y=2x+1 【答案】：A 【解析】：设设y=kx+b，得 ，解得k=3，b=1，表达式为y=3x+1，选A。 10.班级数学小组制作一次函数手抄报，完成份数x与花费时间y（单位：分钟）成一次函数，x=2时y=90，x=5时y=210，当x=4时y的值为（ ） A. 170 B. 160 C. 150 D. 140 【答案】：C 【解析】：设y=kx+b，得：2k+b=90，5k+b=210，相减得3k=120，k=40，b=90-80=10，y=40x+10，x=4时y=170，选A。 （二）填空题 11．下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有 ．（请填写序号） 【答案】①③⑤ 【解析】①是一次函数；②不是一次函数；③是一次函数；④不是一次函数；⑤是一次函数；故答案为：①③⑤． 12．若函数是正比例函数，则m的值是 ． 【答案】 【解析】∵函数是正比例函数，，且，，且， ∴．故答案为：． 13．若点在函数上，则 ． 【答案】2 【解析】因为点在函数的图象上，所以，整理得，两边同时乘以2得．故答案为：2． 14．若函数是一次函数，则 ． 【答案】2 【解析】一次函数的一般形式为，其中x的指数为1，给定函数，令x的指数，解得，当时，函数为，符合一次函数定义， 故答案为：2． 15．一次函数的图象经过点，每当增加1个单位长度时，增加3个单位长度，则此函数的表达式是 ． 【答案】 【解析】∵函数的图象经过点，当增加1个单位长度时，增加3个单位长度，∴函数图像还经过点，∴，解得：，∴此函数的表达式是：；故答案为：． 16．已知一次函数表达式，且当时，；当时，，则这个一次函数表达式是 ． 【答案】 【解析】根据题意得，解得，∴ 这个一次函数表达式是．故答案为：． 17．某航空公司某航班，旅客乘机所携带行李的质量x（kg）与其运费y（元）由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客携带的30kg行李的所需运费为 元． 【答案】450 【解析】由图可知，得出该一次函数经过点，设该一次函数表达式为，把代入得：，解得：， ∴该一次函数表达式为，把代入得：，∴旅客携带的30kg行李的所需运费为450元，故答案为：450． 18．一次函数，当时，的最大值为4，则一次函数的解析式为 ． 【答案】 【解析】当时，y随x的增大而增大，∵当时，y的最大值为4，∴当时，y取得最大值4，∴，不符合题意；当时，y随x的增大而减小， ∵当时，y的最大值为4，∴当时，y取得最大值4，∴， 解得，∴一次函数的解析式为，故答案为：． 19.某地某天的地面温度为15 ℃,如果高度每升高1千米,气温将下降6 ℃,则该地气温t(℃)与高度h(千米)之间的关系式为　　　　　　. 【答案】　t=15-6h 【解析】　∵当高度为h千米时,气温降低6h ℃,∴气温t(℃)与高度h(千米)之间的关系式为 t=15-6h. 20.已知一次函数表达式y＝kx＋b(k≠0)，且当x＝3时，y＝5；当x＝4时，y＝6，则这个一次函数表达式是　　　　． 【答案】y = x + 2 【解析】将x=3，y=5和x=4，y=6分别代入y=kx+b，得到方程组： 解得k = 1，b = 2，这个一次函数表达式为：y = x + 2 （三）解答题 21．已知函数y＝(m－4)x＋m2－16. (1)m为何值时，这个函数是一次函数； (2)m为何值时，这个函数是正比例函数． 解：(1)根据一次函数的定义，得m－4≠0，∴m≠4时，这个函数是一次函数；(2)根据正比例函数的定义，得m－4≠0且m2－16＝0，∴m＝－4时，这个函数是正比例函数． 22.已知y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x－2成正比例，当x＝1时，y＝0；当x＝－3时，y＝4. (1)求y与x的函数解析式，并说明此函数是什么函数； (2)当x＝3时，求y的值. 解：(1)设y1＝k1x，y2＝k2(x－2)，则y＝k1x＋k2(x－2)，依题意，得解得∴y＝－x－(x－2)，即y＝－x＋1.∴y是x的一次函数. (2)把x＝3代入y＝－x＋1，得y＝－2.∴当x＝3时，y的值为－2. 23.科学研究发现,空气含氧量y(克/立方米)与海拔x(米)之间近似地满足一次函数关系.经测量,在海拔为0米的地方,空气含氧量约为299克/立方米;在海拔为2 000米的地方,空气含氧量约为235克/立方米. (1)求出y与x的函数表达式; (2)已知某山的海拔为1 200米,请你求出该山山顶处的空气含氧量为多少克/立方米. 解　(1)设y=kx+b(k≠0),由题意得解得∴y与x的函数表达式为y=-x+299. （2）当x=1 200时,y=-×1 200+299=260.6.∴该山山顶处的空气含氧量为260.6克/立方米. 24.下图是一个“函数求值机”的示意图,其中y是x的函数.下表是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值. 输入x … -6 -4 -2 0 2 … 输出y … -6 -2 2 6 16 … 根据以上信息,解答下列问题: (1)当输入的x值为1时,输出的y值为　　　　;  (2)求k,b的值; (3)当输出的y值为0时,求输入的x值. 解：(1)当输入的x值为1时,输出的y=8x=8×1=8.故答案为8. (2)将(-2,2),(0,6)代入y=kx+b,得解得 (3)令y=0,由y=8x,得0=8x,解得x=0<1(舍去),由(2)知,当x<1时,y=2x+6, 由y=2x+6,得0=2x+6,∴x=-3<1,∴输出的y值为0时,输入的x值为-3. 25.某厂生产的RGZ-120型体重秤，最大称重为120千克，体检时可看到如图19-2-1-4①所示的显示盘，已知指针顺时针旋转角x（度）与体重y（千克）有如下关系： x（度） 0 72 144 216 y（千克） 0 25 50 75 (1)根据表格中的数据在平面直角坐标系(图19-2-1-4②)中描出相应的点，顺次连接各点后，你发现这些点在哪一种函数图象上？合理猜想符合这个图象的函数解析式： (2)验证这些点的坐标是否满足函数解析式，归纳你的结论（写出自变量x的取值范围）： (3)当指针旋转到158.4度的位置时，显示盘上的体重读数模糊不清，用解析式求出此时所称的体重． 解：(1)如图，描点连线后，发现四个点在经过原点的一条直线上，即在正比例函数图象上，猜想y=kx(k≠0)． (2)将x=72，y=25代入y=kx(k≠0)中，得25=72k，则k=，因此y=x． 把x=144，y=50代入上面的函数解析式中，左边=50，右边=×144=50，左边=右边， 因此(144，50)满足y=x．同理可验证( 216，75)也满足y=x．因为最大称重为120千克，所以将y=120代入解析式得120=x，解得x=345.6，因此符合要求的函数解析式是y=x(0≤x≤345.6)．(3)当x=158.4时，y=×158.4=55． 答：此时所称的体重是55千克． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.形如y=kx+b（k，b为常数，且k___）的函数，叫做一次函数。当b=___时，一次函数y=kx+b就变成正比例函数y=kx，因此正比例函数是特殊的一次函数。 2.确定一次函数的表达式，关键是求出___和___两个参数的值，这种方法叫做___法。 3.若y与x成正比例，且当x=2时，y=6，则正比例函数的表达式为___。 4.已知一次函数y=kx+3，当x=1时，y=5，则k=，该一次函数的表达式为。 5.若y-2与x+1成正比例，且当x=0时，y=5，则这个函数的表达式可设为___，最终化简后的表达式为___。 6.某商店销售某种商品，每件成本为20元，销售单价x（元）与月销售量y（件）满足一次函数关系，当x=30时，y=100；当x=40时，y=80，则该一次函数的表达式为___。 7.一辆汽车以恒定速度行驶，行驶路程s（km）与行驶时间t（h）是一次函数关系，已知汽车行驶2h的路程为120km，行驶5h的路程为300km，则该函数表达式中k的值为___，表示的实际意义是___。 【答案】1.≠0；0 2.k；b；待定系数 3.y=3x 4.2；y=2x+3 5.y-2=k(x+1)（k≠0）；y=3x+5 6.y=-2x+160 7.60；汽车的行驶速度为60km/h （二）强化训练 一．选择题 1. 已知一个正比例函数,当自变量x的值为2时,对应的函数值y为-1,则这个正比例函数的表达式为(　　) A. y=-2x B. y=2x C. y=-x D. y=x 【答案】：D 【解析】设正比例函数的表达式为y=kx（k≠0），将x=2，y=-1代入表达式可得：2k=-1解得k=-，因此该正比例函数的表达式为y=-x。 2.若正比例函数 y = kx 经过点 (-, 3) ，则 k 的值为（ ） A. 6 B. -6 C. D. - 【答案】：B 【解析】：将 x = - ， y = 3 代入 y = kx ，得 3 = k ×(-) ，解得 k = -6 ，故选B。 3.一次函数 y = kx + b 中，当 x = 0 时， y = 2 ；当 x = 1 时， y = 5 ，则该函数表达式为（ ） A. y = 3x + 2 B. y = 2x + 3 C. y = 5x + 2 D. y = -3x + 2 【答案】：A 【解析】：由 x = 0 时 y = 2 ，得 b = 2 ；将 x = 1 ， y = 5 ， b = 2 代入 y = kx + 2 ，得 5 = k + 2 ，解得 k = 3 ，故表达式为 y = 3x + 2 ，选A。 4.国产GPU企业摩尔线程上市后，市值y（单位：百亿元）与上市天数x满足一次函数，上市第3天y=27，第7天y=35，当x=0时函数的值为（ ） A. 18 B. 20 C. 21 D. 22 【答案】：C 【解析】：设y=kx+b，得，解得k=2，b=21，与y轴交点为(0,b)=(0,21)，选C。 5.未来网络试验设施FITI的传输速率y（单位：Tbps）与链路长度x（单位：千公里）成一次函数，x=2时y=0.8，x=5时y=0.函数表达式为（ ） A. y=-0.2x+1.2 B. y=0.2x+0.4 C. y=-0.2x+0.4 D. y=0.2x+1.2 【答案】：A 【解析】：设y=kx+b，得，解得k=-0.2，b=1.2，表达式为y=-0.2x+1.2，选A。 6.杜牧《赤壁》中，考古发现的“折戟”数量x与怀古情感强度y成一次函数，已知函数过点(3,7)和(5,11)，该函数与x轴交点为（ ） A. (0.5,0) B. (1,0) C. (-0.5,0) D. (-1,0) 【答案】：D 【解析】：设y=kx+b，得3k+b=7，5k+b=11，相减得2k=4，k=2，b=7-6=1，y=2x+1，令y=0，x=-0.5，选C（此前计算正确，原选项C为(-0.5,0)）。 7.王维《使至塞上》中，行程x（单位：百里）与所见“长河落日”美景次数y成一次函数，x=4时y=3，x=8时y=5，该函数表达式为（ ） A. y=0.5x+1 B. y=0.5x+2 C. y=2x-5 D. y=2x-6 【答案】：A 【解析】：设y=kx+b，得，解得k=0.5，b=1，表达式为y=0.5x+1，选A。 8.小红做一次函数练习题，做题道数x与得分y成一次函数，已知x=10时y=85，x=20时y=95，该函数的b值为（ ） A. 75 B. 70 C. 65 D. 60 【答案】：A 【解析】：设y=kx+b，得，解得k=1，b=75，选A。 9.学校组织数学建模活动，参与人数x（单位：人）与活动经费y（单位：元）成一次函数，x=20时y=1200，x=30时y=1700，该函数表达式为（ ） A. y=50x+200 B. y=50x+300 C. y=40x+400 D. y=40x+500 【答案】：A 【解析】：设y=kx+b，得，解得k=50，b=200，表达式为y=50x+200，选A。 10.小李复习一次函数，每天复习时长x（单位：分钟）与错题减少个数y成一次函数，x=20时y=5，x=40时y=11，当x=60时y的值为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】：C 【解析】：设y=kx+b，得，解得k=0.3，b=-1，表达式为y=0.3x-1，x=60时，y=0.3×60-1=17，选C。 二．填空题 11.已知一次函数y=kx+2,当x=-1时,y=1,则该函数的表达式为　　　　　.  【答案】y=x+2 【解析】已知一次函数y=kx+2，当x=-1时，y=1，代入得：-k + 2 = 1解得k=1，表达式为y=x+2 12.已知y是x的正比例函数,当x=-1时,y=3,则当y=2时,x的值为　　　　.  【答案】 【解析】因为y是x的正比例函数，设表达式为y=kx(k≠0)。当x=-1时，y=3，代入得： k = -3 所以函数表达式为y=-3x。当y=-2时，代入得：-3x = -2 ，x = 13.已知y是x的一次函数,当x=3时,y=1;当x=-2时,y=-4,则该一次函数的表达式为　　　　　　.  【答案】y=5x-14 【解析】设一次函数表达式为y=kx+b(k≠0)，将x=3，y=1；x=2，y=-4代入，得方程组： 解得k = 5，b = -14，所以函数表达式为y=5x-14。 14.已知y＋3与x＋2成正比例，若当x＝3时，y＝7，则当y＞3时，x的取值范围是　　　　． 【答案】x>1 【解析】已知y+3与x+2成正比例，设y+3=k(x+2)(k≠0)。当x=3时，y=7，代入得： 7+3=k(3+2) ，10=5k ，k=2，因此函数表达式为y+3=2(x+2)，整理得y=2x+1。 当y>3时，列不等式：2x+1>3 ， 2x>2 ，x>1 15.已知一次函数y＝kx＋b，当x增加3时，y减少3，则k的值是　　　　． 【答案】-1 【解析】已知一次函数y=kx+b，当x增加3时，y减少3，即：y-3 = k(x+3)+b，将y=kx+b代入上式：kx+b-3 = kx+3k+b，化简得：-3=3k ，k=-1 16.已知某种商品的销售额y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时，销售额为1 000万元，当投入90万元时，销售额为5 000万元，则投入80万元时，销售额为　　　　万元． 【答案】4500 【解析】设销售额y（万元）与广告投入x（万元）的一次函数为y=kx+b(k≠0)。将x=10，y=1000；x=90，y=5000代入，得方程组：解得k =50，b=500，所以函数表达式为y=50x+500。当x=80时，y=50×80+500=4500，即销售额为4500万元。 17．定义[p，q]为一次函数y＝px+q的特征数，若特征数为[t，t+3]的一次函数为正比例函数，则这个正比例函数为 　 　． 【答案】y＝﹣3x 【解析】根据题意，特征数是特征数为[t，t+3]的一次函数表达式为：y＝tx+（t+3）．因为此一次函数为正比例函数，所以t+3＝0，解得：t＝﹣3．故正比例函数为y＝﹣3x，故答案为：y＝﹣3x． 18.如图所示,△ABC中,AB=5,BC=10,AD是BC边上的高,BD=3,点P在BC边上运动(不与点B、C重合),设BP的长为x,△ACP的面积y与x之间的函数关系式为__________. 【答案】y＝-2x+20 【解析】因为AD是BC边上的高,所以∠ADB=90°,在Rt△ABD中,由勾股定理,得AD2=AB2-BD2=52-32=16,所以AD=4.所以△ACP的面积y与x之间的函数关系式为y=PC·AD=×(10-x)×4=-2x+20. 19．如图，已知B中的实数与A中的实数之间的对应关系是某个正比例函数，则图中a的值为 　　． 【答案】 【解析】设该函数关系式为y＝kx（k≠0），根据题意得：当x＝1时，y＝3，∴k＝3， ∴该函数关系式为y＝3x，当y＝2时，3a＝2，∴．故答案为：． 20．已知一次函数y＝kx＋b，当－3≤x≤1时，对应的y的取值范围为－1≤y≤8，则b的值是___ _____. 【答案】或 【解析】分两种情况：(1)把x＝－3，y＝－1；x＝1，y＝8代入y＝kx＋b， 得解得(2)把x＝－3，y＝8；x＝1，y＝－1代入y＝kx＋b，得解得∴b＝或. 三．解答题 21.已知y与x－2成正比例，且当x＝1时，y＝－2. (1) 求y与x之间的函数表达式； (2) 当－6＜y＜0时，求x的取值范围． 解：(1) 因为y与x－2成正比例，所以设y＝k(x－2)，k≠0.由题意，得－2＝k(1－2)，解得k＝2，所以y与x之间的函数表达式为y＝2x－4. (2) 由题意，得－6＜2x－4＜0，解得－1＜x＜2，所以当－6＜y＜0时，x的取值范围为－1＜x＜2. 22.已知y是x的一次函数，且当x＝－2时，y＝5；当x＝4时，y＝－19，求： (1) y与x之间的函数表达式； (2) 当x＝－时，函数y的值； (3) 当y＝0时，自变量x的值； (4) 当y＞10时，自变量x的取值范围． 解：(1) 因为y是x的一次函数，所以y＝kx＋b(k≠0).因为当x＝－2时，y＝5；当x＝4时，y＝－19，所以解得 所以y与x之间的函数表达式为y＝－4x－3. (2) 因为y＝－4x－3，所以当x＝－时，y＝－4×(－)－3＝－1.故函数y的值是－1. (3) 因为y＝－4x－3，所以当y＝0时，－4x－3＝0，解得x＝－. (4) 因为y＝－4x－3，所以当y＞10时，－4x－3＞10，解得x＜－. 23.已知y＝y1－2y2，其中y1与x成正比例，y2与x＋1成正比例，且当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝5，求y与x之间的函数表达式． 解：设y1＝k1x，y2＝k2(x＋1)，则y＝k1x－2k2(x＋1).由题意，得 解得 所以y＝x－2×(－)(x＋1)＝2x＋1. 24.实验表明，在某地，温度在15 ℃至25 ℃的范围内，一种蟋蟀1 min的平均鸣叫次数y可近似看成该地当时温度x(℃)的一次函数．已知这种蟋蟀在温度为16 ℃时，1 min平均鸣叫92次；在温度为23 ℃时，1 min平均鸣叫155次． (1) 求y与x之间的函数表达式； (2) 当这种蟋蟀1 min平均鸣叫128次时，该地当时的温度约是多少？ 解：(1) 设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0).将x＝16，y＝92和x＝23，y＝155分别代入y＝kx＋b，得解得 所以y与x之间的函数表达式为y＝9x－52. (2) 将y＝128代入y＝9x－52，得9x－52＝128，解得x＝20，所以该地当时的温度约是20 ℃. 25.如图，在长方形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝4 cm，点P按照顺时针方向由点A运动到点D，设点P运动的路程为x cm，图中点P，B，D围成的图形的面积为y cm2. (1) 写出点P，B，D围成的图形的面积y与x之间的关系式和自变量x的取值范围； (2) 当x取何值时，点P，B，D围成的图形的面积等于3 cm2? 解：(1) 因为四边形ABCD是长方形，所以AD＝BC＝4 cm，AB＝CD＝2 cm. 因为DP＝AD－AP，所以DP＝(4－x)cm.当点P在AD上，即0≤x≤4时，y＝(4－x)×2＝－x＋4， 所以y与x 之间的关系式为y＝－x＋4，自变量x的取值范围是0≤x≤4. (2) 当y＝3时，－x＋4＝3, 解得x＝1，所以当x＝1时，点P，B，D围成的图形的面积等于3 cm2. 26.若有两个一次函数y＝k1x＋b1(k1≠0)，y＝k2x＋b2(k2≠0)，则称函数y＝(k1＋k2)x＋b1b2为这两个函数的“和谐函数”． (1)求一次函数y＝2x＋3与y＝－4x＋4的“和谐函数”的表达式；若此“和谐函数”的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，求三角形ABO的面积． (2)若一次函数y＝－ax＋1与y＝x－2b的“和谐函数”为y＝4x＋3，则a＝________，b＝________． (3)已知一次函数y＝x＋b与y＝－kx＋5的“和谐函数”的图象经过第一、二、四象限，则常数k，b满足的条件为k________且b________． 解： (1)一次函数y＝2x＋3与y＝－4x＋4的“和谐函数”是y＝(2－4)x＋3×4，即y＝－2x＋12.当x＝0时，y＝12，所以B(0，12)；当y＝0时，－2x＋12＝0，解得x＝6，所以A(6，0)．所以S三角形ABO＝×6×12＝36. (2)根据题意，得 解得 故答案是－3，－. (3)根据题意，得 解得 故答案是＞1，＞0. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $