5.2 一次函数的概念（第1课时 一次函数的概念）（教学设计）数学苏科版2024八年级上册

该初中数学教学设计聚焦一次函数概念及正比例函数与一次函数的关系，通过加油情境导入，引导学生辨别常量变量，建立函数关系，衔接已有函数基础，梳理“自变量一次、k≠0”等结构特征。 资料特色在于以生活实例（加油计价、出租车费用等）为载体，通过抽象、对比培养数学眼光与推理意识，自编问题强化模型意识。帮助学生理解k、b的现实意义，为教师提供分层练习与情境任务，提升教学效率。

5.2 一次函数的概念（第1课时 一次函数的概念） 教学设计 1.教学内容 本节为新教材苏科版八年级数学上册第5章第2节“一次函数的概念”，围绕一次函数及正比例函数的定义和特征展开，让学生在真实情境中初步体会一次函数的应用价值，掌握一次函数 () 及其特殊形式 的概念与结构。结合典型实际问题，如加油计价、行驶路程与油量关系、出租车费用等，让学生深刻理解“自变量一次”“”“ 任意”三要素。 2.内容解析 通过加油情境，引导学生辨别常量与变量，进而建立函数关系式；比较 与 等表达式，把握一次函数需满足“自变量呈一次形式、”的要点；再从典例及巩固题中辨析哪些函数是一次函数，哪些是正比例函数，引出“正比例函数是一次函数的特例”；最后结合生活实例强化对 、 的几何和实际意义的理解，巩固从实际问题到函数模型的转化思路。 1.教学目标 （1）能根据简单实际问题中的已知条件确定函数的表达式，并对函数表达式进行分类，归纳一类函数表达式的共性特征，形成一次函数概念，体会一次函数的意义。 （2）认识正比例函数中两个变量之间的对应规律，会结合实例说明正比例函数的意义及变量之间的对应规律，认识到正比例函数是特殊的一次函数。 （3）能举出一次函数（包括正比例函数）的实例，初步体会其中 、 的实际意义。 2.目标解析 （1）通过设置实际场景，引导学生由现象到表达式，再到一般规律，帮助学生形成一次函数概念，发展抽象能力。 （2）借助正比例函数的直观实例，让学生清楚其变量变化呈线性对应，进一步类比、拓展到一般一次函数，加深对特例与一般的认知。 （3）结合生活常用的定价模式、交通费用等实例，突出 表示单位变化率、 代表起始值或初始费用，让学生更好地联结数学与日常。 3.重点难点 重点：一次函数概念的形成及正比例函数与一次函数的关系。 难点：灵活运用一次函数模型解决实际问题，对 、 的现实意义作出恰当解释。 学生已具备一元一次方程、多项式及函数基础，对“变量随自变量变化而变化”的概念已熟悉，能理解自变量与函数值的对应关系。但由于抽象思维尚在发展，对 与非一次函数的区分可能模糊，特别是如何有效地从实际问题中提炼“”与“”更具挑战，需要通过丰富实例和有针对性的引导来突破。 创设情景，引入新课 师：同学们，请看下面情景：某人给汽车加油时，加油枪的流量是每分钟 40 升，加油前油箱中已有 6 升汽油。加油时的花费金额与加油量之间有什么关系？加油时间与油箱中的油量又有什么关系？ 学生观察、讨论： 常量：汽油单价、加油枪流量、加油前油箱中的油量、油箱总容量。 变量：加油时间、加油油量、油箱中油量、花费金额。 关系： o 花费金额与加油量满足函数关系； o 油箱中油量与加油时间满足函数关系。 师：这是一个现实中的函数问题。仔细观察，这些函数表达式结构相似、有系数也有常数项，让我们一起走进“一次函数的概念”新课的学习。 【设计意图】通过典型生活情境（加油计价），让学生感受函数在生活中的应用，激发学习兴趣，并自然引出一次函数和正比例函数的探究方向。 探究点1 感知一次函数与正比例函数的概念 • 问题引入 师：在上面情境中，我们得到了两个函数表达式： 它们有什么相同点？有什么不同点？能将它们进行分类吗？观察各自的自变量、次数、常数项等特征。 • 学生活动 1. 小组讨论：只有一个常数系数 7.49，多了一个“+6”的常数项。 2. 归纳：二者均可用“”形式表示，但的常数项，是正比例函数；则是一次函数但不是正比例函数。 • 教师总结 一般地，形如y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的函数叫作一次函数，其中x是自变量，y是x的函数． 特别地，当b＝0时，y＝kx(k为常数，k≠0)叫作x的正比例函数． 注意： (1) 一次函数有三个特征：①k≠0;②自变量x的次数是1;③常数b可以是任意实数 (2)正比例函数一定是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数． • 典例讲解 例1 下列函数中哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ (1) y＝－8x； (2) y＝； (3) y＝5x2＋6； (4) y＝1－x； (5) y＝－； (6) y＝2＋2(x－1)； (7) y＝ax＋b； (8) y＝ . 解：(1) (4) (5) (6) (8)是一次函数， (1) (5) (6)是正比例函数. 【设计意图】通过现实生活中的具体函数表达式，让学生初步区分“正比例函数”和“一次函数”之间的关系，并建立“”的结构表征，为抽象概念铺垫。 探究点2 正比例函数与一次函数表达式的书写以及变量间的规律 • 问题引入 师：根据刚才的讲解，我们一起来做一下这道试题.（教师给出例题） 例2 写出下列各个变化过程中两个变量之间的函数表达式，并指出其中的一次函数、正比例函数． (1) 正方形花圃的周长C m随边长x m的变化而变化． 解：(1) C＝4x，C是x的正比例函数． (2) 正方形花圃的面积S m2随边长x m的变化而变化． 解：(2) S＝x²，S不是x的一次函数． (3) 如图，A，B两站相距200 km．若火车从B站出发以320 km/h的速度匀速驶向C站，火车与A站的距离y km随行驶时间t h的变化而变化． 解：(3) y＝200＋320t，y是t的一次函数． (4) 如图，搭1条“小鱼”需要8根火柴棒，每多搭1条“小鱼”就要增加6根火柴棒．所需火柴棒的根数S随着所搭“小鱼”条数n的变化而变化． 解：(4) S＝8＋6(n－1)，即S＝6n＋2，S是n的一次函数． • 讨论交流 1. 在章头活动中，量筒水面的高度(h)是量筒中玻璃球总体积(V)的一次函数吗？ 解：设量筒底面半径为R． h＝10＋ 量筒水面的高度(h)是量筒中玻璃球总体积(V)的一次函数． 2. 请举出一些生活中正比例函数、一次函数的实际例子．尝试说明其中“k”“b”的实际意义． 正比例函数关系：苹果的单价为5元/kg，总价y(元)和重量x(kg)的关系为y＝5x． “k”的实际意义是每斤苹果的价格，即苹果的单价． 一次函数关系：出租车起步价是10元，之后每千米收费2元，总费用y(元)和行驶距离x(km)之间的关系为y＝2x＋10．“k”的实际意义是每千米增加的费用，“b”的实际意义是当行驶路程为0时(刚上车)的费用，即需要支付的初始的费用． 1. 下列说法正确的是（C ） A. y＝2x是正比例函数，但不是一次函数 B. y＝ 不是一次函数 C. y＝－ x 是一次函数 D. y＝10(x＋3)是正比例函数 2. 已知函数y＝(k＋1)x＋k－1，当k 　≠－1　时，它是关于x的一次函数；当k＝ 　1　时，它是关于x的正比例函数. 3. 当m＝___2___时，函数y＝(m＋2) －1是关于x的一次函数. 4. 若y＝(m2－1)x2＋(1－m)x是y关于x的正比例函数，则m的值为－1　. 5. 水池中有水465m3，每小时排水15m3，排水t h时，水池中还有水ym3．写出y 关于t的函数表达式． 解： y＝465－15t． 6. 长方形草坪的长为15m，宽为10m. 将草坪的长减少xm，宽保持不变. (1) 写出长方形草坪的面积ym²关于xm的函数表达式，并写出自变量x的取值范围. (2) y是x的一次函数吗？如果是，写出k，b的值. 解：(1) y＝10(15－x)，即y＝－10x＋150 (0＜x＜15)． (2) y是x的一次函数，k＝－10，b＝150． 思维提升 例3（2023·山西）一种弹簧秤最大能称不超过 10kg 的物体，不挂物体时弹簧的长为 12cm，每挂重 1kg 的物体，弹簧伸长 0.5cm。在弹性限度内，挂重后弹簧的长度yx（kg） 1. 下列各组变量的关系中，成正比例关系的是（C） A. 圆的面积S随半径r的变化而变化 B. 用10m长的绳子围成一个长方形，其中一边长y(m)随它邻边x(m)的变化而变化 C. 铁的密度为7.8g/cm3，铁块的质量m(g)随它的体积V(cm3)的变化而变化 D. 汽车油箱中有汽油50L，行驶过程中油箱中的油量Q(L)随行驶路程s(km)的变化而变化 2. 某学校要建一块长方形菜地供学生劳动实践，菜地的一边靠墙 (墙足够长)，另外三边用木栏围成，木栏总长40m. 如图，设长方形一边的长为xm，与之相邻的另一边的长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x之间满足 　一次函数关系 　（填“正比例函数关系”或“一次函数关系”）. 3. 已知h是t的一次函数，小明发现下表中有一个h的值是错误的： 请排除后利用正确的数据确定当h＝8时，t＝ 　15　. 4. （2023·上海）某加油站推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售，使用这张加油卡加油，油价降低0.3元/升．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完． (1) 他实际花了__900____元购买这张加油卡； (2) 优惠后的油价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数表达式； (3) 若原价为7.3元/升，则优惠后的油价比原价便宜多少？ 解：(2) 根据题意，得y＝0.9(x－0.3)＝0.9x－0.27， 所以 y关于x的函数表达式为 y＝0.9x－0.27． (3) 当x＝7.3时，y＝0.9×7.3－0.27＝6.3， 所以 优惠后的油价比原价便宜7.3－6.3＝1(元/升)． 1. 一次函数的概念 形式：y = kx + b， 特征：① k ≠ 0；② x 的次数为 1；③ b 可任意 2. 特殊情况：正比例函数 形式：y = kx， 特征：仍满足一次函数，b = 0 3. 典型示例 4. “k” 与 “b” 的意义： 1. 完成教材配套练习：本节课相关的同步练习题 2. 拓展探究：根据实际生活场景自编一道包括“起步费”和“单位成本”的应用问题，并写出一次函数表达式； 本节课围绕“从实际情境中抽象出一次函数概念”这一目标展开，学生对一次函数 y = kx + b 的形式及特征有了整体的掌握，概念理解目标基本达成。通过正比例函数与一次函数的对比辨析，学生也认识到特殊形式与一般形式之间的内在联系。部分学生在列方程建模过程中，易忽视常数 b 的具体含义，需要教师进一步引导其关注“初始值”或“起步量”的现实意义。今后教学中，可适当增加小组讨论与情景任务，让学生在合作探究与应用中强化对函数表达式的理解与运用，从而提高抽象思维与建模能力。 学科网（北京）股份有限公司 $