精品解析：吉林省榆树市第一高级中学校2025-2026学年高一上学期期中数学试卷

榆树一中2025-2026学年度上学期高一期中考试数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题单选每题5分共40分． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则集合的所有非空真子集的个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 14 D. 15 3. 命题“，使得”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如果，，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（ ） A. B. C. D. 6. 已知不等式的解集为,则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 7. 已知，，且，若不等式恒成立，则实数的范围是 A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为的图象关于点对称，，且对任意的，满足.则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多选题每题6分共18分，全选对得6分，有选错的得0分 9. 下列函数中为偶函数且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列关于幂函数的描述中，正确的是（ ） A. 幂函数的图象经过第一象限 B. 幂函数的图象都经过点 C. 当时，幂函数在上单调递增 D. 幂函数的定义域为 11. “不等式在上恒成立”的充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题每题5分共15分 12. 若，则a的值是___． 13. 函数的定义域为______． 14. 函数是上的减函数，则的取值范围是_____________. 四、解答题 15. 已知集合，全集为实数集. （1）求； （2）求. 16. （1）已知，，，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 17. 已知关于的方程（其中m，p，q均为实数）有两个不等实根. （1）若，求的取值范围； （2）若满足，且，求的取值范围． 18. 已知幂函数在上为减函数. （1）试求函数解析式； （2）判断函数的奇偶性并写出其单调区间. 19. 已知，. （1）当时，用单调性定义证明函数的单调性，并求出函数的最小值； （2）若对任意，恒成立，试求实数的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆树一中2025-2026学年度上学期高一期中考试数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题单选每题5分共40分． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集定义求解. 【详解】因为，所以， 故选:A. 2. 已知集合，则集合的所有非空真子集的个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 14 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】根据自然数集的特征，结合子集的个数公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以集合的元素个数为， 因此集合的所有非空真子集的个数是， 故选：A 3. 命题“，使得”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解. 【详解】解：因为命题“，使得”是存在量词命题， 所以其否定是全称量词命题，即，， 故选：A 4. 如果，，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过观察三个数的特征可知最大，再利用作差法判断即可得出结果. 【详解】由选项可知，仅需要比较三个数的大小， 显然， ，所以最大， 由可得，， 所以，即 可得. 故选：D 5. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由偶函数的性质即可求解. 【详解】当时，， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 故选：C 6. 已知不等式的解集为,则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数,一元二次不等式,一元二次方程之间的关系,得出,且,代入消元即可. 【详解】根据题意,可以知道,的两根为. 由根与系数的关系得到： . 因为开口向下,则,故A正确. ,故B正确. 且,对称轴为,,故C正确. ,两边同时除以, 得到,解得,故D错误. 故选:D. 7. 已知，，且，若不等式恒成立，则实数的范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 将已知等式整理为，则，利用基本不等式求得的最小值，则，从而得到结果. 【详解】由得：，即 ， ， （当且仅当，即时取等号） （当且仅当时取等号） 本题正确选项： 【点睛】本题考查恒成立问题的求解，关键是能够利用基本不等式求得和的最小值. 8. 已知函数的定义域为的图象关于点对称，，且对任意的，满足.则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先研究函数的单调性与对称性，结合函数零点作出图象，借助函数图象由符号法则解不等式. 【详解】由题意，不妨设，则由可得， ，，即当时，恒有成立， 故在单调递减； 的图象关于点对称，则是奇函数， 所以在单调递减； 由函数的定义域为，则， 又，则， 作出函数大致图象， 不等式等价于或， ①由方程，得，或或或， 解得或或或. ②由不等式可化为，或， 即，或， 解得，或 ， 综上可知，，或. 故选：C. 二、多选题每题6分共18分，全选对得6分，有选错的得0分 9. 下列函数中为偶函数且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据函数奇偶性定义，并利用函数单调性逐一判断即可得出结论. 【详解】对于A，满足偶函数定义，利用二次函数性质可得其在上单调递增，故A正确； 对于B，易知，即满足偶函数定义，且当时，为单调递增，即B正确； 对于C，显然的定义域为，不关于原点对称，因此C错误； 对于D，易知的定义域为，且满足，即是奇函数，故D错误； 故选：AB 10. 下列关于幂函数的描述中，正确的是（ ） A. 幂函数的图象经过第一象限 B. 幂函数的图象都经过点 C. 当时，幂函数在上单调递增 D. 幂函数的定义域为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据幂函数的图象及性质可判断选项A、B正确；取，可判断选项C、D错误. 【详解】当时，幂函数对任意都有意义，且，故经过第一象限，选项A正确； 因为，所以幂函数的图象都经过点，选项正确； 当时，函数定义域为，选项C、D错误； 故选：AB． 11. “不等式在上恒成立”的充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用不等式恒成立求出的范围，再利用充分不必要条件的定义判断得解. 【详解】不等式在上恒成立，则，解得， 选项中满足是集合真子集的是CD. 所以所求充分不必要条件是CD. 故选：CD 第II卷（非选择题） 三、填空题每题5分共15分 12. 若，则a的值是___． 【答案】 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系求得正确答案. 【详解】由于，所以或， 解得或. 当时，不满足集合元素的互异性； 当时，集合为，符合题意. 所以的值为. 故答案为： 13. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】解不等式即得出函数的定义域. 【详解】由，解得， 故函数的定义域为． 故答案为：． 14. 函数是上的减函数，则的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由分段函数单调性先分段分析，再在定义域上分析，建立关于的不等式组求解可得. 【详解】是上的减函数， ，解得， 故的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知集合，全集为实数集. （1）求； （2）求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（2）应用集合的交、并、补运算求集合即可. 【小问1详解】 由， 所以. 【小问2详解】 由题设，或或， 所以. 16. （1）已知，，，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件； （2）由题设知，由基本不等式求目标式最大值，注意等号成立条件. 【详解】（1）∵，且， ∴， 当且仅当，即，时，等号成立， ∴的最小值为； （2）∵，则， ∴， 当且仅当即时等号成立. ∴的最大值. 17. 已知关于的方程（其中m，p，q均为实数）有两个不等实根. （1）若，求的取值范围； （2）若满足，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得二次项系数不为0且判别式大于0，列出不等式即可求解. （2）结合韦达定理以及判别式大于0，解一元二次不等式即可求解. 【小问1详解】 当时，由题意，若时，方程不是一元二次方程，没有两个实数根， 若方程有两个不等的实数解，则，解得且， 所以的范围是 . 【小问2详解】 ，方程为，， 则，又，即 ∴，即， 所以，∴． 所以的取值范围为． 18. 已知幂函数在上为减函数. （1）试求函数解析式； （2）判断函数的奇偶性并写出其单调区间. 【答案】（1） （2）奇函数，其单调减区间为， 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义，令，求解即可； （2）根据幂函数的性质判断函数的单调性，继而可得其单调区间. 【小问1详解】 由题意得，，解得或， 经检验当时，函数在区间上无意义， 所以，则. 【小问2详解】 ，要使函数有意义，则， 即定义域为，其关于原点对称. ， 该幂函数为奇函数. 当时，根据幂函数的性质可知在上为减函数， 函数是奇函数，在上也为减函数， 故其单调减区间为，. 19. 已知，. （1）当时，用单调性定义证明函数的单调性，并求出函数的最小值； （2）若对任意，恒成立，试求实数的取值范围； 【答案】（1）证明：当时，任取，且， 则 ，，，即， ，，即， 是上的增函数， 当时，取得最小值，且最小值为. （2）. 【解析】 【分析】（1）代入，用函数单调性定义证明，根据单调性可知的最小值在时取到；（2）将不等式恒成立问题转化为函数最值问题求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 对任意恒成立， ，只需恒成立， 设，， 因为的对称轴为，所以在单调递增， 只需即可，，解得， 实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $