精品解析：云南省普洱市宁洱哈尼族彝族自治县普洱中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

云南省普洱市宁洱哈尼族彝族自治县普洱中学2025-2026学年高二年级上学期期中考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟；满分150分 注意事项： 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知一元二次不等式ax2+bx+c≤0解集为[1，2]，则cx2+bx+a≤0的解集为（ ） A. B. [1，2] C. [-2，-1] D. 3. 著名数学家棣莫弗出生于法国，他提出了公式，其中.设复数，若正整数满足，则最大值为（ ） A B. C. D. 4. 空间直角坐标系中，已知，则点关于平面的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 在四面体中，、、，，点为线段上动点（包含端点），设直线与所成角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 过点且平行于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则使成立的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数上单调递减 C. 函数在上恰有6个零点 D. 若，在上有n个不同解，则 10. 已知复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确有（ ） A. 复数z的共轭复数的模为1 B. 复数z在复平面内对应的点在第四象限 C. 复数z是方程的解 D. 复数满足，则的最大值为2 11. 如图，已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则下列结论正确的为（ ） A. B. C. D. 不是平面的一个法向量 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是______. 13. 已知满足：，则代数式的取值范围是__________． 14. 在平面直角坐标系中，已知是圆上的一点，是圆上的两点，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求证：是奇函数； （2）求不等式的解集. 16. 已知函数，对，有. （1）求的值及函数的解析式； （2）若，时，求. 17. 2021年底某市城市公园主体建设基本完成，为了解市民对该项目的满意度，从该市随机抽取若干市民对该项目进行评分（满分100分），根据所得数据，按，，，，进行分组，绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计该市市民评分的分位数； （2）为进一步完善公园建设，按分层随机抽样的方法从评分在中抽取7人，再随机抽取其中2人进行座谈，求这2人的评分在同一组的概率. 18. 如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. 19. 以下是数学中对“曼哈顿距离”的定义：在平面直角坐标系中，设点，则叫作两点的曼哈顿距离，又称为折线距离或出租车距离等.某同学在上课听了老师对曼哈顿距离的介绍后，课后对它进行了研究.首先，把点P取在特殊直线上，取已知定点，即转化为函数（为常数）的问题；第二步，把两点取在一般直线上，转化为函数为常数的问题；第三步，把两点分别取在直线与曲线上，设两点坐标，再求两点曼哈顿距离最值；…… 请按该同学研究思路，完成以下问题： （1）求函数的值域； （2）已知关于的函数的最小值为2时，求实数的值； （3）已知点在直线上，点坐标满足条件，求两点间曼哈顿距离的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省普洱市宁洱哈尼族彝族自治县普洱中学2025-2026学年高二年级上学期期中考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟；满分150分 注意事项： 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】联立方程组，计算出，得到交集. 【详解】由方程组，解得，则. 故选：C． 2. 已知一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集为[1，2]，则cx2+bx+a≤0的解集为（ ） A. B. [1，2] C. [-2，-1] D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据一元二次方程和一元二次不等式的关系，得到根与系数的关系，再代回不等式求解集. 【详解】的解集是，可知，并且方程的两个实数根是和， 所以，得，代入， 得，即，， 解得：， 所以不等式的解集是. 故选：A 3. 著名数学家棣莫弗出生于法国，他提出了公式，其中.设复数，若正整数满足，则最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用题设定义得，进而可得，结合条件，即可求解. 【详解】因为，则， 又，所以， 由，得到，又，且， 则，所以， 故选：D. 4. 空间直角坐标系中，已知，则点关于平面的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合空间直角坐标系中点的对称性即可求得. 【详解】根据空间直角坐标系的对称性可得: 关于平面的对称点的竖坐标和纵坐标不变，横坐标相反， 即所求的坐标为. 故选：B 5. 在四面体中，、、，，点为线段上动点（包含端点），设直线与所成角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设，运用向量的加减运算和数量积的定义，以及向量夹角的计算公式，可得所求范围． 【详解】解：设， 则， 由，，， ， 又，则， ， ， 由，可得，， 故选：． 【点睛】本题考查空间异面直线所成角的求法，以及向量法的运用，考查运算能力，属于中档题． 6. 已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆与圆相外切，可得，再根据圆的对称性不妨令，再分，和三种情况讨论即可. 【详解】圆D：的圆心，半径为， 圆C：的圆心，半径为， 因为圆与圆相外切，所以，所以， 且圆与轴交于，不妨记， 因为圆关于轴对称，点与点关于轴对称，点在轴上， 由对称性不妨令， 当时，则，解得， 故 ， 当时，则，解得， 此时， 故， 当时，则，解得， 故 ， 综上所述，的最大值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：将表示的坐标重新表示为线段长度从而方便正切公式的计算，是解决本题的关键. 7. 过点且平行于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据平行关系设直线方程，再代入点的坐标，求直线方程. 【详解】设与直线平行的直线是，代入点得，得，所以直线方程是. 故选：A 8. 已知函数，则使成立的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数为偶函数，再由换元法令结合对勾函数的单调性计算可得. 【详解】易知偶函数， 当时，令，则可转化为， 因为函数在上单调递增，函数是上增函数， 所以在上单调递增． 由，得，解得． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数在上单调递减 C. 函数在上恰有6个零点 D. 若，在上有n个不同的解，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】先利用图象求出函数解析式，再借助正弦函数的性质，整体分析相位，即可判断ABC，对于D可借助数形结合，利用对称性可求得四根之和，即可求解判断. 【详解】 由图象可得：， 因为，由，可得， 所以，再代入最高点可得： ，即 因为，所以，即， 对于A，当时，，故A正确； 对于B，当，则，满足正弦函数的递减区间，故B正确； 对于C，当，则，根据正弦函数在该区间内有个零点，故C错误； 对于D，当，作图分析可知; 方程在上存在四个解，可知它们分别关于直线对称， 即有所以有 即故D正确； 故选：ABD. 10. 已知复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确的有（ ） A. 复数z的共轭复数的模为1 B. 复数z在复平面内对应的点在第四象限 C. 复数z是方程的解 D. 复数满足，则的最大值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用复数的运算法则求出，再逐一对各个选项分析判断即可求出结果. 【详解】因为，所以， 对于选项A，因为，所，故选项A正确； 对于选项B，因为复数z在复平面内对应的点为，故选项B正确； 对于选项C，，所以，故选项C错误； 对于选项D，设，则由，得到，又，由几何意义知，可看成圆上的动点到原点的距离，所以的最大值为，故选项D正确. 故选：ABD. 11. 如图，已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则下列结论正确的为（ ） A B. C. D. 不是平面的一个法向量 【答案】BD 【解析】 【分析】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算可判断各项的正误. 【详解】由为正方体， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则､. 对于选项，，则，故错误； 对于选项，，则，故正确； 对于选项，，故，故错误； 对于选项，，故不是平面的一个法向量，故正确. 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题设条件，可得且 ，解之即得. 【详解】设为与的夹角，则， 因为为锐角，所以，解得，且， 所以的取值范围是． 故答案为：. 13. 已知满足：，则代数式的取值范围是__________． 【答案】． 【解析】 【分析】分析可知，在圆上，且，记，，对、与直线的位置关系进行分类讨论，引入参数表示、，利用三角恒等变换结合三角函数的有界性可求得的取值范围. 【详解】设直线与单位圆交于两点， 则点到直线的距离为； 点到直线的距离为， 因为，所以， ①当在直线的同侧时，记则， ， ， ， ，则，， ∴， ②当在直线的异侧时，记则，， , ， ，则，， ∴ ③当中有一点在直线上时， 则 综上知，的取值范围是． 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，已知是圆上的一点，是圆上的两点，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，则当点到点的距离最短，并且、与圆相切（、为切点）时，取得最大值，利用锐角三角函数求出此时的值，即可得解. 【详解】圆圆心为，半径， 圆圆心，半径， 因为是圆上的一点，，是圆上的两点， 可知点到点的距离最短，并且、与圆相切（、为切点）时，取得最大值， 此时点在线段与圆的交点， 又，所以，则， 所以，所以的最大值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求证：是奇函数； （2）求不等式的解集. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，利用奇偶性定义判断即可； （2）先证明函数的单调性，借助奇偶性与单调性，把不等式转化为具体不等式即可. 【小问1详解】 ，即， 函数的定义域为． 在上任取一个自变量， 则， 为奇函数； 【小问2详解】 任取， ， 由题设可得，， 故， ， 函数在上是增函数； ∵，为奇函数， ∴， 又函数在上是增函数， ∴， 解得：， ∴不等式的解集为. 16. 已知函数，对，有. （1）求的值及函数的解析式； （2）若，时，求. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式与和角公式化简函数解析式，由题意得，结合角的范围即可求得，即得函数解析式； （2）先求得，利用同角的三角函数公式求得，由进行拆角，利用和角公式展开计算即得. 【小问1详解】 ， 对，有，则， 则，因，解得，故； 【小问2详解】 因，由，可得， 则， 故 . 17. 2021年底某市城市公园主体建设基本完成，为了解市民对该项目的满意度，从该市随机抽取若干市民对该项目进行评分（满分100分），根据所得数据，按，，，，进行分组，绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计该市市民评分的分位数； （2）为进一步完善公园建设，按分层随机抽样的方法从评分在中抽取7人，再随机抽取其中2人进行座谈，求这2人的评分在同一组的概率. 【答案】（1），85； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，求出，再根据百分位数计算规则计算可得； （2）利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得. 【小问1详解】 由题意得，， 解得. 因为，， 所以分位数位于之间， 则市民评分的分位数约为. 【小问2详解】 由题意得，按分层随机抽样从评分在中抽取人， 其中评分在中有人，记为，； 评分在中有人，记为，，，，. 现抽取其中人进行问卷调查，共有21种情况，它们是： ，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，， 其中这2人评分在同一组有11种情况，它们是： ，，，，，，，，，，， 则所求概率. 18. 如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由线面平行判断定理可以得证； （2）存在，点为上靠近的三等分点时，即时， 分别证得平面和平面，由面面平行判定定理可证得结论. 【小问1详解】 因为，所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面.  下面给出证明： 因为，所以，， 又因为点为上靠近点三等分点，所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为面，面， 所以面， 因为E在棱PD上且，即， 又因为， 所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面，， 所以平面平面. 19. 以下是数学中对“曼哈顿距离”的定义：在平面直角坐标系中，设点，则叫作两点的曼哈顿距离，又称为折线距离或出租车距离等.某同学在上课听了老师对曼哈顿距离的介绍后，课后对它进行了研究.首先，把点P取在特殊直线上，取已知定点，即转化为函数（为常数）的问题；第二步，把两点取在一般直线上，转化为函数为常数的问题；第三步，把两点分别取在直线与曲线上，设两点坐标，再求两点曼哈顿距离最值；…… 请按该同学研究思路，完成以下问题： （1）求函数的值域； （2）已知关于的函数的最小值为2时，求实数的值； （3）已知点在直线上，点坐标满足条件，求两点间曼哈顿距离的最小值. 【答案】（1） （2）或0 （3） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值得定义，化简函数解析式，作图可得答案； （2）由题意可得函数在何处取得最值，根据一次函数分情况讨论，可得答案； （3）利用参数方程，结合三角不等式，可得答案. 【小问1详解】 由已知得，， 由图可得，函数值域为； 【小问2详解】 根据绝对值性质，为常数， 显然，函数图象可分三段，当或时函数取最小值， 考虑此时函数单调性与大小的关系， 若，当时，函数取最小值， 若，当时，函数取最小值. 由函数最小值为2， 得或， 所以或， 所以或0. 【小问3详解】 令，结合（2）中函数性质， 得，当时取等号， 所以(其中)， 即两点间曼哈顿距离的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $