江苏省建湖高级中学2025-2026学年高一竞赛班（1、2）上学期期中考试数学试题

2025-2026学年度第一学期期中考试 高一竞赛（1-2）班数学试题 命题人：刘友明 审核人：杨海涛 总 分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（本题有8小题，每题5分，共40分） 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 3.已知，则（ ） A. B. C. D. 4.已知函数，正数满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图像向右平移个单位长度后得到奇函数，则的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 7.设向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|＝2，且存在θ使得|2a＋b|=|a＋λb|成立，则实数λ的取值范围为(　　) A．[－7,-1] B．[5,7] C． D． 8.已知函数，若关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 是第二象限角 B. 若，，则 C. 方程有两个负根的充要条件是 D. 若圆心角为扇形的弧长为，则该扇形的面积为 10．在所在的平面内有两点P，Q，满足，，且与交于点M,，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A.直线是图象的一条对称轴 B. 在上单调递增 C. 与的图像有8个不同的交点，则 D.的解集为 二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则________． 13.如图，摩天轮的半径为，摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动第一次达到最高点时，点距离地面超过的时长为________分钟. 14.若不等式对恒成立，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知命题：函数在区间上没有零点；命题，使得成立.（1）若和均为真命题，求实数的取值范围；（2）若和其中有一个是真命题，另外一个是假命题，求实数的取值范围. 16. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. （1）求的值； （2）若角满足，且，求的值. 17. 已知向量，，函数. （1）求函数的对称轴和对称中心； （2）当时，求函数的单调递增区间； （3）将图像上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图像，若对于任意的，当时，恒成立，求实数的最大值. 18.如图，已知矩形ABCD中,,M,N分别是边AD,BC上的一动点（不含端点），Q为边AB的中点，且,设. （1）求的值； （2）求面积的取值范围(提示：)； （3）求的最大值．N M Q D A C B ɑ 19. 已知函数若关于的方程在定义域上有实数解，则称为函数“”，． （1）若函数，求证：； （2）已知函数，，求实数最大值； （3）已知函数，试求函数所有“”的和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中考试 高一竞赛（1-3）班数学试题参考答案 1. C 2. B 3. D 4.A 5. C 6. B 7. C 8.B 9.ABD 10．ABD 11.BCD 12. 13.6 14. 15. 解:（1）若为真命题，函数在区间上单调递增， 因为在区间上没有零点， 所以或者，得或，.........3分 若为真命题，令，其开口向上，对称轴为， 所以， 因为，使得成立，所以， 所以，............................................................................................................6分 若和均为真命题，则，解得或， 即实数的取值范围为；..............................................................................7分 （2）若p真，q假，则，解得；..........................................10分 若p假，q真，则，解得；..............................12分 综上，实数a的取值范围是...............................13分 16. （1）因为在角的终边上，所以由三角函数定义知， .............................................3分 所以..............................................7分 （2），，，又，......................10分 ...............................................15分 17. （1）由题，...........2分 所以，令，........4分 令 ........................................6分 （2） 又，所以函数的单调递增区间为：...................................10分 （3）由题意可得， 设 ，当时，恒成立，即恒成立，即恒成立，在区间上单调递减，.....................................................................12分 令，解得，因为，所以，则，故，解得，所以最大值为.............................15分 18.（1）........................................4分 （2）因为所以 .......................6分 因为，所以........................................10分 （3）...............................12分 .........................14分 所以，所以时取到...................17分 19. （1）要证，即证方程有实数解 即证方程有实数解，........................2分 令，因为，所以在区间有零点，方程有实数解，所以．............................5分 （2）因为，所以关于的方程有解， 即方程有解， 即方程有解，....................................7分 ，所以，又所以．..................................10分 （3）因为，所以时有解， 即时有解，设化为.由于必有两个实数根， 设为，有，，由得无解，即至少一个在内. ①当只有一个在内时，，解得或. 若，则，得， 在内，有两个根，且，函数是以为周期的周期函数，在上有4个零点，，，故在上所有零点的和为； 若，则，得， 在内，有两个根，且，函数是以为周期的周期函数， 在上有6个零点，，，，所以在上所有零点的和为； ②当时，，此时. 在内，共有三个根，且， 函数是以为周期的周期函数， 在上有8个零点， ，，，，，则在上所有零点的和为； ③当时，，此时. 在内，共有三个根，且， 函数是以为周期的周期函数， 在上有7个零点， ，，，，，则在上所有零点的和为； ④当时，，得. 在内，有两个根且有两个根且， 函数是以为周期的周期函数， 在上有10个零点，，，，，，则在上所有零点的和为. 综上，当时，在上所有零点的和为； 当时，在上所有零点的和为； 当时，在上所有零点的和为； 当时，在上所有零点的和为； 当时，在上所有零点的和为..................................17分 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $