精品解析：吉林省长春市二道区东北师范大学附属实验学校（经开）2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度第一学期八年级数学学科 期中质量调研题 时长：120分钟 分值：120分 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 38 D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 36的平方根是6 B. 的算术平方根是2 C. 的立方根是 D. 9的立方根是3 4. 若，则的值为( ) A. B. C. D. 5. 若最简二次根式与能合并，则的值是( ) A. B. C. D. 6. 如图，在等边三角形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 用直尺和圆规作已知角的平分线，下列作法中，射线是的平分线的有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（ ） A. 甲： B. 乙： C. 丙： D. 丁： 二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分） 9. 命题“如果，那么”是______________命题．（填“真”或“假”） 10. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 11. 计算：______． 12. 计算：_______． 13. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点E，连接，．若的周长为8，，则的长为___________． 14. 如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接、、、，，给出下列结论：①；②是等边三角形；③平分；④的度数为120°．其中正确的结论为_______． 三、解答题（本题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 分解因式： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，在中，，于点，于点，相交于点． （1）求证：； （2）若，则______． 19. 如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个边长为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． （1）求该小区绿化的总面积； （2）若，，绿化成本为50元／平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 20. 定义一种新运算，分别用和表示实数x的整数部分和小数部分．例如：；，． （1） ， ． （2）如果，，求的平方根． 21. 我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决一些数学问题．比如求代数式的最小值时，可以这样做：． ，，的最小值是． 试利用“配方法”解决下列问题： （1）代数式的最小值是______； （2）求代数式的最小值； （3）已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，当时，的周长为______． 22. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个小正方形和长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式． 利用上述公式解决问题： （1）①若，，则______， ②若，求的值； （2）如图②，在线段上取一点D，分别以，为边作正方形、，连接、、．若的长为10，的面积为11，求阴影部分的面积和． 23. 如图①，在中，，平分，于点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，，则的长为______； （3）如图②，在中，平分交于点，于点，，，，，． ①的面积为______； ②在射线上有一点，且，则的长为______． 24. 如图①，在中，，，，点为的中点，动点从出发，沿边向终点运动，速度为每秒个单位长度．将线段绕点顺时针旋转得到，连接、，设点的运动时间为秒． （1）用含的代数式表示线段的长； （2）当时，求的值； （3）若在边上有一点，且，如图②，连接，在点的运动过程中： ①______°； ②直接写出为钝角三角形时的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期八年级数学学科 期中质量调研题 时长：120分钟 分值：120分 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 38 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．先化简，再根据有理数、无理数的定义判断即可． 【详解】解：A、是有理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项符合题意； C、38是有理数，故此选项不符合题意； D、是有理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘除法运算法则、幂和积的乘方运算法则是解题的关键． 分别根据同底数幂的乘除法运算法则、幂和积的乘方运算法则判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，故本选项不符合题意； B、，原运算正确，故本选项符合题意； C、，原运算错误，故本选项不符合题意； D、，原运算错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 36的平方根是6 B. 的算术平方根是2 C. 的立方根是 D. 9的立方根是3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 根据平方根、算术平方根、立方根的定义回答即可． 【详解】解：A． 36的平方根是，此选项错误； B． 的算术平方根是，此选项错误； C． 的立方根是，此选项正确； D． 9的立方根是，此选项错误． 故选 C． 4. 若，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，通过展开左边的多项式乘积，与右边的二次多项式比较对应项的系数，从而确定的值，即可求解． 【详解】解： ∴， 故选：D． 5. 若最简二次根式与能合并，则的值是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，根据同类二次根式的定义，若两个最简二次根式能合并，则它们的被开方数必须相同，由此建立方程求解. 【详解】解：最简二次根式与能合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相等，即：， ∴，即， ∴ 故选：D． 6. 如图，在等边三角形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由三线合一定理和垂直的定义得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，则． 【详解】解：∵在等边三角形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 用直尺和圆规作已知角的平分线，下列作法中，射线是的平分线的有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握好尺规作图的操作规范是解题关键． 根据尺规作图的痕迹判断线段和角之间的关系，结合全等三角形和等腰三角形的性质，逐一判断选项即可． 【详解】解：对于第一个图，由尺规作图的痕迹可知，射线是的平分线； 对于第二个图， 由尺规作图的痕迹可知，直线是线段的垂直平分线，射线是的平分线； 对于第三个图，由尺规作图的痕迹可知，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴射线为的平分线； 对于第四个图， 由尺规作图的痕迹可知，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴射线是的平分线， 综上所述，射线是的平分线的有4个． 故选：D． 8. 数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（ ） A. 甲： B. 乙： C. 丙： D. 丁： 【答案】D 【解析】 【分析】甲：利用完全平方公式进行因式分解即可；乙：利用平方差公式进行因式分解即可；丙：利用提取公因式法进行因式分解即可；丁：不能进行因式分解． 【详解】解：A、甲：，故此选项不符合题意； B、乙：，故此选项不符合题意； C、丙：，故此选项不符合题意； D、丁：，不能因式分解，故此选项符合题意． 二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分） 9. 命题“如果，那么”是______________命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】要判断命题的真假，只需验证在条件成立时，结论是否一定成立．若对任意满足条件的，结论都成立，则为真命题；若存在反例使条件成立但结论不成立，则为假命题． 【详解】解：根据等式的基本性质，等式两边同时乘以同一个数，等式仍然成立， 当时，在等式两边同时乘以，得； 同理，在等式两边同时乘以，得， 因此，即， 对任意实数，结论恒成立，故该命题为真命题． 10. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式中被开方数，所以． 故答案为：． 11. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算和同底数幂乘法的逆运算，先把原式变形为，再利用积的乘方的逆运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 计算：_______． 【答案】600 【解析】 【分析】本题考查了因式分解中的平方差公式的应用，解题的关键是提取公因式后利用平方差公式简化计算． 先提取公因式15，再利用平方差公式对括号内的式子因式分解，最后计算得出结果． 【详解】原式=． 故答案为：600． 13. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点E，连接，．若的周长为8，，则的长为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查基本作图、线段垂直平分线的性质．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，，可得，，根据的周长为8，可得，进而可得答案． 【详解】解：直线为线段的垂直平分线，， ∴，． ∵的周长为8， ∴， ∴． 故答案为：5． 14. 如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接、、、，，给出下列结论：①；②是等边三角形；③平分；④的度数为120°．其中正确的结论为_______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形、等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用图形的对称性和全等三角形推导角度与线段关系。 通过等腰直角三角形的性质推导线段垂直平分线，利用全等三角形证明线段与角度关系，结合等边三角形、等腰三角形的角度计算判断结论。 【详解】解：∵与都是等腰直角三角形，， ， ∴ 点在的垂直平分线上， ， ∴ 点在的垂直平分线上， ∴直线垂直平分，①正确； ， ， ， ， ，如图所示： ∴ 由三角形内角和定理得：， 平分，③正确； ， ， ∴是等边三角形，②正确； ， ， ，④错误， 正确的有①②③， 故答案为：①②③． 三、解答题（本题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了整式的除法运算、实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握相应的运算法则（整式除法法则、实数运算中的乘方、开方、绝对值等法则）． （1）先计算除数的乘方，再根据整式除法法则将多项式除以单项式展开计算； （2）依次进行开方、乘方、绝对值的化简，再按照运算顺序计算实数的混合运算． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 原式． 16. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，先提取公因式，再利用公式法进行分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）提取公因式即可解答； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式得出答案． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算顺序及乘法公式是解答本题的关键．先根据乘法公式计算，再把括号里化简，然后算除法，最后把，代入计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式． 18. 如图，在中，，于点，于点，相交于点． （1）求证：； （2）若，则______． 【答案】（1） 证明： 在和中： （2）． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定（AAS），解题的关键是利用等腰三角形性质和垂直条件推导全等条件及角度关系． (1) 结合垂直条件得到直角，再利用公共角和等腰三角形的边相等，通过AAS证明三角形全等； (2) 先由垂直和已知角求出等腰三角形的底角，再用底角减去已知角得到所求角度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是等腰三角形， 故答案为：． 19. 如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个边长为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． （1）求该小区绿化的总面积； （2）若，，绿化成本为50元／平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 【答案】（1）该小区绿化的总面积平方米； （2）完成绿化共需要元． 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算-化简求值，弄清题意列出相应的式子是解题的关键． （1）绿化的总面积矩形面积个正方形面积，利用多项式乘多项式法则，然后合并同类项即可得出答案； （2）将与的值代入求出绿化的面积，再根据绿化成本为元/平方米，即可得出答案． 【小问1详解】 解：依题意得： ， 答：该小区绿化的总面积平方米； 【小问2详解】 解：当，时， ， ∴（元） 答：完成绿化共需要元． 20. 定义一种新运算，分别用和表示实数x的整数部分和小数部分．例如：；，． （1） ， ． （2）如果，，求的平方根． 【答案】（1）3，； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算． （1）利用算术平方根估算，即可求解； （2）先利用算术平方根估算和，得出a和b的值，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ∴，， 故答案为：3，； 【小问2详解】 解：∵2，， ，， ， ， ∴的平方根是． 21. 我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决一些数学问题．比如求代数式的最小值时，可以这样做：． ，，的最小值是． 试利用“配方法”解决下列问题： （1）代数式的最小值是______； （2）求代数式的最小值； （3）已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，当时，的周长为______． 【答案】（1）4； （2）11； （3）13． 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，三角形周长问题，平方的非负性等． （1）将配方得，继而求出代数式的最小值； （2）将配方得，继而得到本题答案； （3）将整理成完全平方形式得，利用平方非负性得，继而求出本题答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ， ， ∴代数式的最小值是4， 故答案为：4； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ，， ， ∴的最小值11； 【小问3详解】 解：∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的周长：， 故答案为：13． 22. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个小正方形和长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式． 利用上述公式解决问题： （1）①若，，则______， ②若，求的值； （2）如图②，在线段上取一点D，分别以，为边作正方形、，连接、、．若的长为10，的面积为11，求阴影部分的面积和． 【答案】（1） ① ② （2）阴影部分的面积和为 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征并运用整体思想和数形结合思想是解题关键． （1）①根据，代入求值即可； ②类比①可得，，代入求值即可； （2）设正方形边长为m，正方形的边长为n，由题意可知，，．两个正方形的面积之和为，空白面积为，求出值后相减即可． 【小问1详解】 解：①； ② 类比①可得， ； 【小问2详解】 解：设正方形边长为m，正方形的边长为n， 由题意可知，，，即， 两个正方形的面积之和为， 空白面积为， ∴阴影部分的面积和为． 23. 如图①，在中，，平分，于点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，，则的长为______； （3）如图②，在中，平分交于点，于点，，，，，． ①的面积为______； ②在射线上有一点，且，则的长为______． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） （3）①，②或 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，进而推出，即可求证； （2）由（1）可知，再根据可得，则由，即可求解； （3）根据的不同位置分类讨论求值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问3详解】 解：①∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：． ②当在线段上时， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在线段上时， ， ∴； 当在线段的延长线上时， ， ∴； 综上：的长为或， 故答案为：或． 　　　　 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边距离相等，三角形全等的判定与性质，以及根据勾股定理求出三角形的边长． 24. 如图①，在中，，，，点为的中点，动点从出发，沿边向终点运动，速度为每秒个单位长度．将线段绕点顺时针旋转得到，连接、，设点的运动时间为秒． （1）用含的代数式表示线段的长； （2）当时，求的值； （3）若在边上有一点，且，如图②，连接，在点的运动过程中： ①______°； ②直接写出为钝角三角形时的取值范围． 【答案】（1） （2）； （3）①；②或． 【解析】 【分析】本题考查了三角形中的动点问题，涉及等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及旋转的性质，解题的关键是正确作出辅助线以及分类讨论． （1）由题意得，根据，即可求解； （2）由旋转可得，，证明得到，列方程求解即可； （3）①在上取，连接，得到，，推出是等腰直角三角形，得到，证明得到，即可求解；②在中，，当时，则是等腰直角三角形，求出，在上取，连接，同①得：是等腰直角三角形，，，，由勾股定理得，列方程可求出，当时，，此时为钝角三角形；当时，由（2）可知，则当时，，此时为钝角三角形． 【小问1详解】 解：由题意得， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， 由旋转可得，， ， ， 在和中， ， ， ， 点为的中点， ， 由（1）知， ， 解得， 当时，； 【小问3详解】 ①如图，在上取，连接， ，， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 由旋转得，， ， 在中，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； ②在中，， 当时，则是等腰直角三角形， ， 在中，，则， 在上取，连接， 同①得：是等腰直角三角形，， ，， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 即当时，； 当时，，此时为钝角三角形； 当时，由（2）可知， 当时，，此时为钝角三角形； 综上所述，当为钝角三角形时，的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $