期末复习03 二次函数期末冲刺必备讲义(知识梳理+题型精析+备考压轴通关)2025-2026学年人教版九年级年级数学上册

该初中数学二次函数期末复习讲义通过表格系统梳理7大核心知识点，从基础概念、图象性质到平移规律、系数关系等，用对比表格呈现不同形式二次函数的图象与性质，清晰构建知识脉络，突出对称性、最值等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，12个常考题型含典例与跟踪训练，如“利用对称性求函数值”培养推理意识，“待定系数法求解析式”强化模型观念，压轴通关题覆盖选择填空解答，帮助不同层次学生提升，教师可据此实施精准教学，学生能自主梳理薄弱点。

期末复习03 二次函数期末冲刺必备讲义 期末必备 知识点梳理 1.二次函数的基础概念 2.二次函数的图象与性质 3.二次函数的图象平移规律 4.二次函数“系数与图象”关系 5.二次函数的对称性应用 6.二次函数解析式的求法 7.函数图象的综合判断 常考题型 精讲精炼 1.二次函数的概念与识别 2.由二次函数的定义确定参数取值 3.二次函数y=ax2图象与性质 4.二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 5.二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 6.二次函数图象的平移规律 7.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 8.一次函数.二次函数图象综合判断 9.由抛物线上对称点求对称轴 10.利用二次函数的对称性求函数值 11.二次函数y=ax2+bx+c的最值问题 12.待定系数法求二次函数解析式 期末备考 压轴通关 单选题(5) 填空题(5) 解答题(4) 【知识点01.二次函数的基本概念】. 定义 形如 y=ax2+bx+c（a、b、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。（补充：特殊形式：y=ax2、y=ax2+k、y=a(x−h)2、y=a(x−h)2+k 均属于二次函数） 【知识点02.二次函数的图象与性质】 (1）基础形式：y=ax2 的图象与性质 *图象：开口向上（a>0）或向下（a<0）的抛物线，顶点在原点 (0,0)，对称轴是 y 轴（直线 x=0）。 *性质： *当a>0时，抛物线开口向上，在x=0处取最小值0；在x<0时，y随x增大而减小；在x>0时，y随x增大而增大。 *当a<0时，抛物线开口向下，在x=0处取最大值0；在x<0时，y随x增大而增大；在x>0时，y随x增大而减小。 （2）平移形式 1：y=ax2+k 的图象与性质 *图象：由y=ax2上下平移得到（k>0向上移∣k∣个单位，k<0向下移∣k∣个单位），顶点为 (0,k)，对称轴是y轴（直线x=0）。 *性质：开口方向、增减性与y=ax2 一致；最值为k（a>0时最小值k，a<0时最大值k）。 （3）平移形式 2：y=a(x−h)2 的图象与性质 *图象：由y=ax2左右平移得到（h>0向右移∣h∣个单位，h<0向左移∣h∣个单位），顶点为(h,0)，对称轴是直线x=h。 *性质： *当a>0时，开口向上，在x=h处取最小值0；在x<h时，y随x增大而减小；在x>h时，y随x增大而增大。 *当a<0时，开口向下，在x=h处取最大值0；在x<h时，y随x增大而增大；在x>h时，y随x增大而减小。 （4）顶点式：y=a(x−h)2+k 的图象与性质 *图象：由y=ax2先左右平移（移∣h∣个单位）、再上下平移（移∣k∣个单位）得到，顶点为(h,k)，对称轴是直线x=h。 *性质： *开口方向由a决定（a>0向上，a<0向下）。 *最值：在x=h处取最值k（a>0最小，a<0最大）。 *增减性：以对称轴x=h为界，分左右两侧与y=ax2增减性一致。 （5）一般式：y=ax2+bx+c的图象与性质 *转化为顶点式：通过配方转化：y=ax2+bx+c=a(x+)2+​ 顶点坐标为 (−,)，对称轴是直线x=−​。 *图象：开口方向由 a 决定，顶点、对称轴由配方结果确定，可通过 “五点法”（顶点、与 y 轴交点、与 x 轴交点或其对称点）画图。 *性质： *开口方向：a>0 向上，a<0 向下。 *对称轴：直线 x=−​。 *最值：（a>0 最小，a<0 最大）。 *增减性：以对称轴为界，左侧、右侧增减性与y=ax2一致。 【知识点03.二次函数的图象平移规律】 抛物线的平移本质是顶点的平移，口诀：“左加右减（在括号内），上加下减（在括号外）”。具体规则(以y=ax2为基准) 平移方向 操作（对解析式） 顶点变化（原顶点(0,0)） 示例（y=2x2） 向左移m个单位 x变为x+m 顶点→(−m,0) 左移 2→y=2(x+2)2 向右移m个单位 x变为x−m 顶点→(m,0) 右移 3→y=2(x−3)2 向上移n个单位 解析式末尾+n 顶点→(0,n) 上移 1→y=2x2+1 向下移n个单位 解析式末尾−n 顶点→(0,−n) 下移 4→y=2x2−4 组合平移（如 “右移m+ 上移n”）： y=ax2→y=a(x−m)2+n （例：y=2x2右移 3 + 上移 2→y=2(x−3)2+2） 【知识点04.二次函数的“系数与图象”关系】 已知抛物线y=ax2+bx+c的图象，判断 a、b、c 及相关式子的符号： 1.a：开口向上⇔a>0；开口向下⇔a<0。 2.b：结合对称轴x=−： *对称轴在y轴左侧-0a.b同号； *对称轴在y轴右侧-a.b异号； *对称轴是y轴⇔b=0。 3.c：抛物线与y轴交点(0,c)：交点在正半轴⇔c>0；负半轴⇔c<0；过原点 ⇔c=0。 4.相关式子： *Δ=b2−4ac：Δ>0⇔与x轴有 2 个交点；Δ=0⇔有 1 个交点；Δ<0⇔无交点。 *特殊点函数值：如x=1时，y=a+b+c；x=−1时，y=a−b+c，可通过图象上对应点的位置判断符号。 【知识点05.二次函数的对称性应用】 1.求对称轴：若抛物线上有两点 (x1​,y)、(x2​,y)（纵坐标相同），则对称轴为直线 x=​​。 2.求函数值：已知一点(x0,y0)，其关于对称轴x=h的对称点为(2h−x0,y0)，可直接得到对称点的函数值。 3.求最短路径：利用抛物线的对称性，将线段 “折转” 为直线段，结合 “两点之间线段最短” 求解（如：抛物线上一点到两定点的最短路径和）。 【知识点06.二次函数解析式的求法】 根据已知条件选择合适的形式设解析式，代入条件求解系数： 1.顶点式：已知顶点(h,k)设 y=a(x−h)2+k，代入另一点坐标求a。 2.一般式：已知任意三点坐标，设y=ax2+bx+c，代入得三元一次方程组求解。 3.交点式（补充）：已知与x轴交点(x1,0)、(x2,0)，设y=a(x−x1)(x−x2)，代入另一点坐标求a。 【知识点07.函数图象的综合判断】 1.一次函数与二次函数图象综合：结合一次函数（y=kx+b）的斜率 k、截距 b，与二次函数的 a、b、c 符号，判断图象是否匹配。 2.两个二次函数图象综合：对比两个抛物线的 a（开口方向、大小）、顶点（平移关系）、对称轴等，分析图象的异同。 【题型1.二次函数的概念与识别】 【典例】下列函数，属于二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义（形如 ，其中为常数，且）进行判断．. 【详解】二次函数必须是整式函数且最高次项为二次， 对于A：，含有分式项 ，不是整式函数，不是二次函数，故A不符合题意； 对于B：，其中a是参数，未指定，若则变为一次函数， 即不一定是二次函数，故B不符合题意； 对于C：，符合形式，且，是二次函数，故C符合题意； 对于D：，是一次函数，不是二次函数，故D不符合题意； 故选：C． 【跟踪训练1】如图，5个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，依据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是 ，它是 函数． 【答案】 二次 【分析】本题主要考查函数的概念、图形的变化类规律等知识点，由题目图形的变化、发现规律是解题的关键． 先根据题目图形的变化发现规律，然后根据规律确定函数解析式，再判定函数类型即可． 【详解】解：由图可知，从第（2）个图形开始，每个图形除去中间的点，每条分支上的点数比分支数少1，那么第（n）个图形有n条分支，每条分支的点数是，因此，它是二次函数． 故答案为：，二次． 【跟踪训练2】下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握形如（a、b、c为常数，的函数）叫二次函数成为解题的关键． 根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B．是二次函数，故本选项符合题意； C．，y是x的一次函数，故本选项不符合题意； D．不是二次函数，故本选项不符合题意． 故选： 【题型2.由二次函数的定义确定参数取值】 【典例】已知是二次函数，则a的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，函数表达式需满足指数为2且二次项系数不为零的条件，由此列方程求解． 【详解】解：因为函数是二次函数，所以的指数且二次项系数． 解方程得，所以． 当时，，二次项系数为零，不符合二次函数定义； 当时，，符合二次函数定义． 故． 故答案为：1． 【跟踪训练1】已知二次函数可化为的形式，则的值是(    ) A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的一般式与顶点式的相互转化、待定系数法等知识，将顶点式化成一般式确定对应系数，然后配方即可求解，熟练能将一般式与顶点式相互转化是解题的关键． 【详解】解： ∴，， ∴． 故选：A． 【跟踪训练2】若是关于x的二次函数，且该函数图象开口向下，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义和图象，熟练掌握二次函数的定义和图象特征是解题关键． 根据二次函数的定义和二次函数的图象特征可得，且，由此即可解答． 【详解】解：∵是关于x的二次函数，且该函数图象开口向下， ∴， 解得，即 ∵函数图象开口向下， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【题型3.二次函数y=ax2图象与性质】 【典例】二次函数的图象经过下列点中的（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．将各点横坐标分别代入函数表达式，求出函数值，判断与纵坐标是否相等，若相等，则图象经过该点，否则，不经过． 【详解】A．，时，，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上； B．，时，，与点的纵坐标相等，在函数图象上； C．，时，，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上； D．，时，，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上； 故选：B． 【跟踪训练1】已知二次函数，当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据抛物线的顶点，当时，最大，当时，最小． 【详解】解：由题意，的对称轴为轴，开口向上， 函数值有最小值． 当时，； 当时，； 当时，； 结合图象，可得当时，的取值范围是． 故答案为：． 【跟踪训练2】已知点，在抛物线上，则下列判断错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键．通过计算点和点的纵坐标表达式，比较大小关系，结合抛物线的性质进行判断即可． 【详解】解：点和在抛物线上， ，， 选项A：当时， ， ， ，选项A正确； 选项B：当时， 即， ， ， ， ，选项B正确； 选项C：当时， ， ，选项C正确； 选项D：当时， 即， ， 但选项D要求，而不一定满足（例如时但）， 选项D错误； 故选：D． 【题型4.二次函数y=a(x-h)2的图象与性质】 【典例】点是二次函数 图象上的两个点，则 (填“”，“”或“”)． 【答案】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，将点的坐标代入函数解析式，求出，进行判断即可． 【详解】解：当时，； 当时，； ∴； 故答案为：． 【跟踪训练1】对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点是 D．函数有最小值0 【答案】C 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点和二次函数的性质，根据抛物线的性质由得到图像开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为，对称轴为直线． 【详解】解：二次函数中的，则其图象开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，二次函数的最大值为0， 故选项A、B、D说法不正确，选项C说法正确． 故选：C． 【跟踪训练2】二次函数（h为实数）的图象经过，，三点．如果，那么h的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的有关性质是解题的关键． 由可知点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离远，点C离对称轴的距离比点A离对称轴的距离远，对称轴为直线，再根据，，三点横纵坐标的大小关系进行判断求解． 【详解】解：， 点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离远，点C离对称轴的距离比点A离对称轴的距离远． ， 对称轴为直线． ，，， ， 解得． 故答案为：． 【题型5.二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质】 【典例】关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．该函数的最大值是1 D．函数图象的对称轴是直线 【答案】B 【分析】本题考查二次函数顶点式的图象和性质，包括开口方向、对称轴、最值和增减性．通过比较系数得出，顶点为，从而判断各选项即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而增大，函数有最小值为1； 综上，只有选项B正确，符合题意； 故选B． 【跟踪训练1】设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】此题考查比较函数值大小，根据二次函数的性质，抛物线开口向下，对称轴为直线，点离对称轴越远，函数值越小 【详解】由抛物线解析式可知， 二次项系数，因此抛物线开口向下，对称轴为直线， 点在对称轴上，故为最大值， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， 由于开口向下，函数值随距离增大而减小， 因此， 故 【跟踪训练2】当时，二次函数有最大值4，则实数m的值是（   ） A．2或 B．2或或或 C．2或或 D．2或 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象是解题的关键，注意分类讨论． 联系已知条件，根据对称轴的位置，需分情况讨论求解，可分，和这三种情况，分别进行讨论，求出相应的m的值，问题就可得解． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ①时，时二次函数有最大值， 此时， 解得，与矛盾，故m值不存在； ②当时，时，二次函数有最大值，此时， 解得， (舍去)； ③当时，时二次函数有最大值， 此时， 解得， 综上所述，的值为2或， 故选：D． 【题型6.二次函数图象的平移规律】 【典例】把抛物线向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线的平移，掌握相关知识是解决问题的关键． 本题考查抛物线的平移变换，根据函数图像平移的规则“左加右减”，向右平移1个单位，需将原解析式中的替换为，即可求解． 【详解】解：将抛物线 向右平移1个单位， 得到的抛物线解析式为 ． 故答案为：． 【跟踪训练1】将二次函数的图像先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的图像对应的二次函数的表达式为，则的值为（   ） A．6 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图像的平移，准确应用平移规则是解题关键． 根据函数图像平移规则“上加下减，左加右减”，先向上平移，再向左平移，得到新函数表达式，从而求出a和b的值． 【详解】∵ 向上平移3个单位， ∴ ， ∵ 再向左平移1个单位， ∴ ， ∴ , ， ∴ ． 故选：D． 【跟踪训练2】如图，把抛物线平移得到抛物线，抛物线经过点和原点，它的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，以及二次函数的性质．先求出抛物线的解析式，从而可得顶点的坐标，以及点的坐标，再利用二次函数的性质、三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，连接，， 由题意得：平移后的抛物线的解析式为， 则抛物线的对称轴为直线，顶点的坐标为， 对于函数，当时，，即， 根据抛物线的对称性知：， 所以． 故答案为：4． 【题型7.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质】 【典例】已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，则的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据二次函数的性质，其增减性由对称轴决定．由题意可知，对称轴为直线，因此利用对称轴公式建立方程求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， 又∵当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【跟踪训练1】已知点，在二次函数的图象上，则，的大小关系为 ．（用“<”连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 由二次函数解析式可知，抛物线开口向上，对称轴为直线．点和点的横坐标均在对称轴右侧，函数值随自变量增大而增大，故． 【详解】解：二次函数中，二次项系数，因此抛物线开口向上， 对称轴为直线， 点和点的横坐标分别为1和2，均大于， 故两点均在对称轴右侧， 由于开口向上，在对称轴右侧，函数值随自变量的增大而增大， 因为， 所以． 故答案为：． 【跟踪训练2】对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．与轴的交点是 B．开口向下 C．对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，理解二次函数的性质是解答关键. 通过二次函数的性质，分析开口方向、对称轴、与轴交点等判断各选项. 【详解】∵ 二次函数 ， ∴ , , . A.当 时，，∴ 与轴交点为 ，故此项正确，不符合题意； B.∵ ，∴ 开口向下，故此项正确，不符合题意； C.对称轴 ，∴ 对称轴是直线 ，不是 ，故此项错误，符合题意； D.∵ 开口向下，对称轴 ，∴ 当 时， 随 的增大而增大，故此项正确，不符合题意. 故选：C. 【题型8.一次函数.二次函数图象综合判断】 【典例】二次函数和一次函数的图象交于点和，如图所示，则时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，二次函数与一次函数图象的位置关系，解题的关键是理解二次函数与一次函数的大小关系是解题的关键．根据二次函数图象与一次函数图象的位置关系求解即可． 【详解】解：二次函数和一次函数的图象交于点和， 两函数交点的横坐标分别为， 观察图象可得，当时，二次函数图像位于一次函数的图象的上方（包括重合），即满足：． 故答案为：． 【跟踪训练1】在平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查二次函数及一次函数的图像的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数、一次函数图像与系数的关系逐项判断即可． 【详解】解：一次函数和二次函数都经过轴上的，两个函数图象交于轴上的同一点，排除C； 当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除D； 当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，排除B； 故选：A． 【跟踪训练2】“”是一款数学应用软件，用“”绘制的函数和的图象如图所示．若分别为方程和的解，则根据图象可知a b．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了函数图象与方程的解之间的关系，关键是利用数形结合，把方程的解转化为函数图象之间的关系．根据方程的解是函数图象交点的横坐标，结合图象得出结论． 【详解】解：∵方程的解为函数图象与直线的交点的横坐标， 的一个解为一次函数与直线交点的横坐标， 如图所示： 由图象可知：． 故答案为：． 【题型9.由抛物线上对称点求对称轴】 【典例】已知抛物线经过、两点，那么它的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的对称性，掌握对称轴是纵坐标相同的点的横坐标的平均数，是解题的关键． 由于点A和点B的纵坐标相同，它们关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴为两点横坐标的平均值． 【详解】解：∵点和点的纵坐标相同， ∴它们关于抛物线的对称轴对称， ∴对称轴为直线 ， 故选：C． 【跟踪训练1】在平面直角坐标系中，，是抛物线（）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．当，时，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．因为当，时，，所以将，代入解析式得，化简求得，进而对称轴可求，题目可解． 【详解】解：对于，，有， ， ， ， 对称轴为， ． 故答案为：1． 【跟踪训练2】若一个二次函数的图象经过五个点、、、和，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的增减性． 先根据图象经过、求出对称轴，再根据二次函数的性质作答即可． 【详解】∵图象经过、， ∴二次函数的对称轴为直线． ∴对应的对称点为． ∵， ∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y随x的增大而减小． ∵， ∴． 故选：A． 【题型10.利用二次函数的对称性求函数值】 【典例】已知二次函数中的部分x，y的值如表格所示，根据表格信息可知m的值为 ． x … 0 1 2 3 … y … m 4 5 4 1 … 【答案】1 【分析】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性是解题的关键．由表格数据看，和时的函数值相同，由此函数的对称轴为直线，根据函数的对称性可知的值． 【详解】解：由表格数据得：和时的函数值相同， 函数的对称轴为：直线， ∴时和时函数值相等， ， 故答案为：1． 【跟踪训练1】已知二次函数，当x分别取m，n（，，）时，函数值相等，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数 的图象关于y轴对称，因此当函数值相等时，对应的自变量互为相反数． 【详解】∵ 二次函数 的对称轴为y轴， 又 ∵ 当 和 （，, ）时函数值相等， ∴ 和 互为相反数，即 ， ∴ ． 故选：A． 【跟踪训练2】若二次函数的图象上有三个不同的点、、，则n的值为 ． 【答案】21 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由二次函数顶点式得对称轴为直线，点A和C纵坐标相同，故其横坐标中点位于对称轴上，得，点B的横坐标为，代入函数解析式求值即得n． 【详解】解：由二次函数的对称轴为直线， ∵点和纵坐标相同， ∴点A、C两点关于抛物线的对称轴对称，故，即， ∴点B的横坐标为， 代入函数解析式： ； 故答案为21． 【题型11.二次函数y=ax2+bx+c的最值问题】 【典例】已知抛物线，该函数的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数最值的计算，掌握顶点公式的计算是关键． 二次函数开口向上，最小值在顶点处，通过顶点公式计算即可． 【详解】解：∵抛物线 中 ， ∴开口向上，有最小值， 顶点横坐标 ， 代入得 ， ∴最小值为 ， 故选 ：A． 【跟踪训练1】函数的图象如图所示，则该函数的最小值是 ，最大值是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了二次函数在指定区间内的最值问题，解题的关键是结合函数图象确定区间内的最高点和最低点． 观察函数图象在内的最低点纵坐标，得到最小值；再看该区间内的最高点纵坐标，得到最大值． 【详解】解；从函数图象可知∶ 函数在区间内的最低点纵坐标为，因此最小值是； 函数在处的纵坐标为，是该区间内的最高点，因此最大值是． 故答案为：，3． 【跟踪训练2】已知二次函数在时有最小值，则（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．先求出对称轴为，分，两种情况讨论解答即可求得的值． 【详解】解：二次函数， 对称轴为直线， ①，抛物线开口向上， 时，有最小值， 解得：； ②，抛物线开口向下， 对称轴为直线，在时有最小值， 时，有最小值， 解得：； 综上所述，或． 故选：D． 【题型12.待定系数法求二次函数解析式】 【典例】顶点坐标为的拋物线还经过原点，则该抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法的计算是关键． 由顶点坐标设出抛物线的顶点式，再代入原点坐标求出参数值，即可得解析式． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 将原点代入得：，即， 解得， 故解析式为，展开得 ， 故答案为：． 【跟踪训练1】已知二次函数（）的图象经过点，，，则当时，x的取值范围是（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质与性质是解题的关键，由点和可知二次函数的根为和，再代入点求出系数，从而函数开口向上，故时的取值范围在根之外． 【详解】解：∵ 二次函数图象经过点和， ∴ 和是的两个根， 设二次函数为， ∵函数图象过： ∴， ∴， ∴， ∴，即： ∴， ∴或 故选A． 【跟踪训练2】如图，二次函数的图象经过和两点，且交y轴于点C．连接A，C，将线段向右平移m个单位，若线段与抛物线有唯一交点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，平移的性质，关键是找到临界值． 先利用待定系数法求得抛物线的解析式，进而求出，过点作轴的平行线交抛物线于点，求出点关于直线的对称点的坐标为，数形结合可求出取值范围． 【详解】解：把和两点代入中， 得， 解得， 抛物线的解析式为； 把代入解析式，得， 的坐标为， 过点作轴的平行线交抛物线于点， ， 对称轴为直线， 点关于直线的对称点的坐标为， 当线段经过点Q时，平移距离， 当线段经过点时，平移距离， 由图可知，若线段与抛物线有唯一交点，则取值范围为． 故答案为：． 一.单选题 1．抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移3个单位长度，将轴向左平移1个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的平移变换，掌握平移规律“左加右减，上加下减”以及平移坐标轴与平移图像的相对性是解题的关键． 根据平移坐标轴与平移图像的相对性可知将抛物线向下平移3个单位长度，向右平移1个单位长度，再运用二次函数图像的平移规律解答即可． 【详解】解：将轴向上平移3个单位长度，将轴向左平移1个单位长度，相当于将抛物线向下平移3个单位长度，向右平移1个单位长度，即． 故选C． 2．已知二次函数（b、c为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．先求出顶点坐标为 ，可得当时，该函数的最小值为，再由二次函数的性质可得当时，函数取得最大值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为 ， ∵，即抛物线开口向上， ∴最小值为， ∴当时，该函数的最小值为， ∵， ∴当时，函数取得最大值，为， ∵当时，该函数的最大值与最小值的差是， ∴， 解得：． 故选：C． 3．如图，垂直于轴的直线与抛物线交于点，左右移动直线，则其与抛物线交于点．若点的纵坐标小于，则下列两位同学的说法中，正确的是（    ） 小军：将直线应向右平移任意单位长度． 小天：将直线应向左平移超过个单位长度． A．只有小军 B．只有小天 C．都正确 D．都不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象平移的性质是解题的关键． 先根据已知点的坐标求出抛物线的表达式，再根据抛物线的对称轴和点的纵坐标小于3的条件，分析出直线的移动方向和范围． 【详解】解：将代入抛物线， 得：， ， 对称轴：， 关于对称轴的对称点为， 当点的纵坐标小于时，或， 即直线应向左平移超过2个单位长度或向右平移任意单位长度． 故选：C 4．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为是轴上的点，四边形为矩形，．若抛物线与矩形的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是（　　） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，数形结合的能力；抛物线的顶点为，所以c的变化会使得抛物线沿着y轴上下移动，结合图象找到临界状态即可确定c的范围． 【详解】解：如图所示，由题意得，， 当抛物线经过C点时，抛物线与矩形边界只有一个公共点， 将代入得， 当抛物线经过A点时，抛物线与矩形边界只有一个公共点， 将代入得，解得， 由图象得：当时，抛物线与矩形边界会有两个公共点， 故选：D． 5.已知函数，若则下列说法正确的是（    ） A．当时，有最小值 B．当时，无最大值 C．当时，有最小值 D．当时，有最大值 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，画出函数图象，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解即可． 【详解】解：画出函数图象如图：    由图可知：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，即：， ∴， ∴，当的值越小，越小，无限接近0，但不等于0，即没有最小值， 当时，， 当时，， 当时，， 时，，当，时，的值最大，为， 综上：当时，有最大值，无最小值， 故选项A，B错误； 当时，， 当时，即：， ∴当越小时，的值越大，即没有最大值， 当时，， 当时，； 当时，， 当时，和的函数值相同时，的值最小， 综上：当，有最小值，无最大值； 故选项C正确，D错误． 故选C． 二.填空题 6．直线与y轴交于点P，直线绕点P顺时针旋转得到直线，若直线与抛物线有唯一的公共点，则 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了二次函数与直线的交点问题，根据直线解析式可得都经过点，分别讨论直线与y轴重合或与抛物线相切两种情况，通过添加辅助线构造全等三角形可求出直线上的点坐标，进而求解，利用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：由，可得直线与抛物线交于点， ①直线与y轴重合满足题意，则直线与y轴交点为，如图， ， 为等腰直角三角形， ， ∴点B坐标为， 将代入得， 解得； ②直线不与y轴重合时，设直线解析式为， 令， ， 当时满足题意． ， 把代入得， ∴直线与x轴交点D坐标为，即， 作交直线于点E，过点E作轴于点F， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ∴点E坐标为． 将代入直线解析式得， 解得． ， ． 故答案为：或． 7.．如图，某公司“祥云”布艺图案是由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成的，且关于轴对称．其中半圆与轴相交于点，两支抛物线的顶点分别为，，与轴分别相交于点，． 已知，，，则图案中这段抛物线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据轴对称图形的性质得出点E坐标及熟练运用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 记与y轴的交点为F，根据图像关于y轴对称且直径，得出点，再根据对称性求得点A坐标，将点A坐标代入抛物线解析式，求出a的值即可即可解答． 【详解】解：记与y轴的交点为F， ∵且半圆关于y轴对称， ∴， ∵， ∴， ∴左侧抛物线的顶点E坐标为， ∵且关于y轴对称， ∴, 设，则有，解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴图案中这段抛物线的函数表达式为 故答案为：． 8．如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于．给出下列5个结论：①；②；③若为任意实数，则；④；⑤若方程的两个根为和且，则其中，正确的结论有 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 由图象可知，由当时，，即，可判断①符合题意；由抛物线的对称轴为直线，即，得到，进一步得到，可得，即可判断②符合题意；当时，函数有最大值，由，可得，则可判断③不符合题意，因为，，可得判断④结论正确，由题意可得抛物线解析式为，即可判断⑤不正确． 【详解】解：观察图象，可知， ∵抛物线与x轴交于， ∴当时，，即，故①结论正确； ∵对称轴为直线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②结论正确； 当时，函数有最大值， 若m为任意实数，则， ∴，故③结论不正确， ∵，， ∴ ∴故④结论正确， ∵抛物线经过，抛物线经过， ∴抛物线解析式为， ∴的两根为抛物线与直线的交点的横坐标， 由图象可得，⑤结论不正确． 故答案为： ①②④． 9．如图，已知二次函数（，，为常数，且）的图象顶点为，经过点，有以下结论：；；时，随的增大而减小；对于任意实数，总有，其中结论正确的是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线开口向下，可知，根据对称轴是，可知，根据抛物线与轴的交点在轴的正半轴，可知，可知；因为当时，，可知；根据抛物线的对称轴是，可知当时，随的增大而减小；因为当时，有最大值，可知对于任意实数，总有． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的顶点为， ， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ， ， 故错误； 抛物线经过点， ， 故正确； 抛物线的顶点为， 抛物线的对称轴是， 当时，随的增大而减小， 故正确； 抛物线的顶点为， 当时，函数有最大值， 当时，函数值为， ， ， 故正确； 综上所述，结论正确的是． 故答案为：②③④． 10．二次函数（）的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①②（m为任意实数）③④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有 ． 【答案】②③ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能数形结合是关键．依据题意，由抛物线图象与性质，即可逐个判断得解． 【详解】解：由题意，抛物线开口向下， ． 又抛物线的对称轴是直线， ． 又抛物线交轴正半轴， 当时，． ，故①不正确． 由题意，当时，取最大值为， 对于抛物线上任意的点对应的函数值都． 对于任意实数，当时，． ，故②正确． 由图象可得，当时，， 又， ，故③正确． 由题意抛物线为， ，故④错误． 综上，正确的有②③． 故答案为：②③． 3. 解答题 11．已知抛物线经过点 (1)求该抛物线的对称轴； (2)若，且对于该抛物线上的两点，，当，时，均满足，求的取值范围； (3)点和分别在抛物线和上（，都不与原点重合）．当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）将代入二次函数的解析式得出，再由二次函数的对称轴公式计算即可得解； （2）当时，，从而可得抛物线的解析式为，进而得出抛物线的开口向下，对称轴为直线，再结合抛物线的对称性以及题意可得，，求解即可； （3）由题意可得，，结合，得出，由（1）可2，从而得出，整理可得，由题意可得，，从而得出，整理可得，再由是一个与无关的定值，得出，求出的值即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴对称轴为直线； （2）解：当时，， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵对于该抛物线上的两点，，且当，时，均满足， ∴，， 解得：， 故的取值范围为：； （3）解：∵点和分别在抛物线和上（，都不与原点重合）， ∴，， ∵， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，都不与原点重合， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵是一个与无关的定值， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，因式分解的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 12．如图，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点)，点在y轴上． (1)求抛物线的表达式； (2)点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止，点P出发的同时，点Q从点O以相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接BQ，PC，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）由题意得，，连接．在上方作，使得，，证明，根据得出的最小值为，利用勾股定理求得，即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴； （2）如图，由题意得，，连接． 在上方作，使得，， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴（当，，三点共线时最短）， ∴的最小值为， ∵， ∴， 即的最小值为． 13．平移抛物线后，得到的抛物线经过点和点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)已知抛物线上有两点和，其中，且，求证：； (3)设直线与抛物线交于点，与抛物线交于点（与点不重合），记点在平移后的抛物线上的对应点为点，求取何值时？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)当时． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数抛物线性质，平移的性质．解题的关键是掌握二次函数抛物线性质． （1）设抛物线的函数解析式为，把点和点代入可得顶点坐标； （2）由函数性质得出点在对称轴右侧，到对称轴的距离为；点在对称轴左侧，到对称轴的距离为，得出点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离即可； （3）设抛物线，的顶点分别，，则由平移的性质可知，得直线解析式为，结合二次函数解析式得点的横坐标为或，由点是直线与抛物线的交点，且与点不重合，的． 【详解】（1）解：由题意设抛物线的函数解析式为，将点和点代入，得 解得 ， 所求顶点为； （2）证明：， 抛物线的开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点到对称轴的距离越小则纵坐标越大； ， 点在对称轴右侧，到对称轴的距离为； 点在对称轴左侧，到对称轴的距离为； ， ． ． 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离． ； （3）解：设抛物线，的顶点分别，，则由平移的性质可知； 由，得直线解析式为， 即时，直线解析式可设为， ， ，解得； 解 得点的横坐标为或， 点是直线与抛物线的交点，且与点不重合， 当时． 14．定义：如果一条抛物线的顶点坐标满足条件，那么称该抛物线为“优雅”抛物线．例如：抛物线的顶点坐标为，此时由于，，顶点坐标符合定义的条件，所以这条抛物线是“优雅”抛物线． (1)如果抛物线是“优雅”抛物线，求的值． (2)如图，把（1）中的抛物线向下平移得到抛物线，抛物线与轴负半轴交于点，顶点为点，对称轴与轴交于点． ①点在延长线上，点是轴上一点，且四边形是矩形，求点的坐标． ②如果抛物线为“优雅”抛物线，它的顶点在轴上，抛物线与交于点，且，求抛物线的解析式． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）抛物线的对称轴为直线，则顶点坐标为，即可求解； （2）①由点的坐标得，直线的表达式为，可得，四边形是矩形，由解得，进而可得，，由于是的中点，从而求出点坐标； ②抛物线为“优雅”抛物线，求出，由于，可得，结合，求出，联立与，求得坐标，进而求出的解析式． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，则顶点坐标为， 即， ； （2）解：①如图：由（1）知，点，设， ，，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ②， ， ， ， ， ， ， ，， 解方程组，得，， 将代入得：， 解得 ， 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到新定义、图象的平移、一次函数的图象和性质、平行四边形的性质等，利用新定义确定函数表达式是解题的关键. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习03 二次函数期末冲刺必备讲义 期末必备 知识点梳理 1.二次函数的基础概念 2.二次函数的图象与性质 3.二次函数的图象平移规律 4.二次函数“系数与图象”关系 5.二次函数的对称性应用 6.二次函数解析式的求法 7.函数图象的综合判断 常考题型 精讲精炼 1.二次函数的概念与识别 2.由二次函数的定义确定参数取值 3.二次函数y=ax2图象与性质 4.二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 5.二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 6.二次函数图象的平移规律 7.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 8.一次函数.二次函数图象综合判断 9.由抛物线上对称点求对称轴 10.利用二次函数的对称性求函数值 11.二次函数y=ax2+bx+c的最值问题 12.待定系数法求二次函数解析式 期末备考 压轴通关 单选题(5) 填空题(5) 解答题(4) 【知识点01.二次函数的基本概念】. 定义 形如 y=ax2+bx+c（a、b、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。（补充：特殊形式：y=ax2、y=ax2+k、y=a(x−h)2、y=a(x−h)2+k 均属于二次函数） 【知识点02.二次函数的图象与性质】 (1）基础形式：y=ax2 的图象与性质 *图象：开口向上（a>0）或向下（a<0）的抛物线，顶点在原点 (0,0)，对称轴是 y 轴（直线 x=0）。 *性质： *当a>0时，抛物线开口向上，在x=0处取最小值0；在x<0时，y随x增大而减小；在x>0时，y随x增大而增大。 *当a<0时，抛物线开口向下，在x=0处取最大值0；在x<0时，y随x增大而增大；在x>0时，y随x增大而减小。 （2）平移形式 1：y=ax2+k 的图象与性质 *图象：由y=ax2上下平移得到（k>0向上移∣k∣个单位，k<0向下移∣k∣个单位），顶点为 (0,k)，对称轴是y轴（直线x=0）。 *性质：开口方向、增减性与y=ax2 一致；最值为k（a>0时最小值k，a<0时最大值k）。 （3）平移形式 2：y=a(x−h)2 的图象与性质 *图象：由y=ax2左右平移得到（h>0向右移∣h∣个单位，h<0向左移∣h∣个单位），顶点为(h,0)，对称轴是直线x=h。 *性质： *当a>0时，开口向上，在x=h处取最小值0；在x<h时，y随x增大而减小；在x>h时，y随x增大而增大。 *当a<0时，开口向下，在x=h处取最大值0；在x<h时，y随x增大而增大；在x>h时，y随x增大而减小。 （4）顶点式：y=a(x−h)2+k 的图象与性质 *图象：由y=ax2先左右平移（移∣h∣个单位）、再上下平移（移∣k∣个单位）得到，顶点为(h,k)，对称轴是直线x=h。 *性质： *开口方向由a决定（a>0向上，a<0向下）。 *最值：在x=h处取最值k（a>0最小，a<0最大）。 *增减性：以对称轴x=h为界，分左右两侧与y=ax2增减性一致。 （5）一般式：y=ax2+bx+c的图象与性质 *转化为顶点式：通过配方转化：y=ax2+bx+c=a(x+)2+​ 顶点坐标为 (−,)，对称轴是直线x=−​。 *图象：开口方向由 a 决定，顶点、对称轴由配方结果确定，可通过 “五点法”（顶点、与 y 轴交点、与 x 轴交点或其对称点）画图。 *性质： *开口方向：a>0 向上，a<0 向下。 *对称轴：直线 x=−​。 *最值：（a>0 最小，a<0 最大）。 *增减性：以对称轴为界，左侧、右侧增减性与y=ax2一致。 【知识点03.二次函数的图象平移规律】 抛物线的平移本质是顶点的平移，口诀：“左加右减（在括号内），上加下减（在括号外）”。具体规则(以y=ax2为基准) 平移方向 操作（对解析式） 顶点变化（原顶点(0,0)） 示例（y=2x2） 向左移m个单位 x变为x+m 顶点→(−m,0) 左移 2→y=2(x+2)2 向右移m个单位 x变为x−m 顶点→(m,0) 右移 3→y=2(x−3)2 向上移n个单位 解析式末尾+n 顶点→(0,n) 上移 1→y=2x2+1 向下移n个单位 解析式末尾−n 顶点→(0,−n) 下移 4→y=2x2−4 组合平移（如 “右移m+ 上移n”）： y=ax2→y=a(x−m)2+n （例：y=2x2右移 3 + 上移 2→y=2(x−3)2+2） 【知识点04.二次函数的“系数与图象”关系】 已知抛物线y=ax2+bx+c的图象，判断 a、b、c 及相关式子的符号： 1.a：开口向上⇔a>0；开口向下⇔a<0。 2.b：结合对称轴x=−： *对称轴在y轴左侧-0a.b同号； *对称轴在y轴右侧-a.b异号； *对称轴是y轴⇔b=0。 3.c：抛物线与y轴交点(0,c)：交点在正半轴⇔c>0；负半轴⇔c<0；过原点 ⇔c=0。 4.相关式子： *Δ=b2−4ac：Δ>0⇔与x轴有 2 个交点；Δ=0⇔有 1 个交点；Δ<0⇔无交点。 *特殊点函数值：如x=1时，y=a+b+c；x=−1时，y=a−b+c，可通过图象上对应点的位置判断符号。 【知识点05.二次函数的对称性应用】 1.求对称轴：若抛物线上有两点 (x1​,y)、(x2​,y)（纵坐标相同），则对称轴为直线 x=​​。 2.求函数值：已知一点(x0,y0)，其关于对称轴x=h的对称点为(2h−x0,y0)，可直接得到对称点的函数值。 3.求最短路径：利用抛物线的对称性，将线段 “折转” 为直线段，结合 “两点之间线段最短” 求解（如：抛物线上一点到两定点的最短路径和）。 【知识点06.二次函数解析式的求法】 根据已知条件选择合适的形式设解析式，代入条件求解系数： 1.顶点式：已知顶点(h,k)设 y=a(x−h)2+k，代入另一点坐标求a。 2.一般式：已知任意三点坐标，设y=ax2+bx+c，代入得三元一次方程组求解。 3.交点式（补充）：已知与x轴交点(x1,0)、(x2,0)，设y=a(x−x1)(x−x2)，代入另一点坐标求a。 【知识点07.函数图象的综合判断】 1.一次函数与二次函数图象综合：结合一次函数（y=kx+b）的斜率 k、截距 b，与二次函数的 a、b、c 符号，判断图象是否匹配。 2.两个二次函数图象综合：对比两个抛物线的 a（开口方向、大小）、顶点（平移关系）、对称轴等，分析图象的异同。 【题型1.二次函数的概念与识别】 【典例】下列函数，属于二次函数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，5个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，依据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是 ，它是 函数． 【跟踪训练2】下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【题型2.由二次函数的定义确定参数取值】 【典例】已知是二次函数，则a的值为 ． 【跟踪训练1】已知二次函数可化为的形式，则的值是(    ) A． B．3 C． D．5 【跟踪训练2】若是关于x的二次函数，且该函数图象开口向下，则 ． 【题型3.二次函数y=ax2图象与性质】 【典例】二次函数的图象经过下列点中的（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】已知二次函数，当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围为 ． 【跟踪训练2】已知点，在抛物线上，则下列判断错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型4.二次函数y=a(x-h)2的图象与性质】 【典例】点是二次函数 图象上的两个点，则 (填“”，“”或“”)． 【跟踪训练1】对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点是 D．函数有最小值0 【跟踪训练2】二次函数（h为实数）的图象经过，，三点．如果，那么h的取值范围是 ． 【题型5.二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质】 【典例】关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．该函数的最大值是1 D．函数图象的对称轴是直线 【跟踪训练1】设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为 ．（用“”连接） 【跟踪训练2】当时，二次函数有最大值4，则实数m的值是（   ） A．2或 B．2或或或 C．2或或 D．2或 【题型6.二次函数图象的平移规律】 【典例】把抛物线向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为 ． 【跟踪训练1】将二次函数的图像先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的图像对应的二次函数的表达式为，则的值为（   ） A．6 B．2 C． D． 【跟踪训练2】如图，把抛物线平移得到抛物线，抛物线经过点和原点，它的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 【题型7.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质】 【典例】已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，则的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【跟踪训练1】已知点，在二次函数的图象上，则，的大小关系为 ．（用“<”连接） 【跟踪训练2】对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．与轴的交点是 B．开口向下 C．对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 【题型8.一次函数.二次函数图象综合判断】 【典例】二次函数和一次函数的图象交于点和，如图所示，则时，的取值范围是 ． 【跟踪训练1】在平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练2】“”是一款数学应用软件，用“”绘制的函数和的图象如图所示．若分别为方程和的解，则根据图象可知a b．（填“”“”或“”） 【题型9.由抛物线上对称点求对称轴】 【典例】已知抛物线经过、两点，那么它的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】在平面直角坐标系中，，是抛物线（）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．当，时，，则 ． 【跟踪训练2】若一个二次函数的图象经过五个点、、、和，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型10.利用二次函数的对称性求函数值】 【典例】已知二次函数中的部分x，y的值如表格所示，根据表格信息可知m的值为 ． x … 0 1 2 3 … y … m 4 5 4 1 … 【跟踪训练1】已知二次函数，当x分别取m，n（，，）时，函数值相等，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【跟踪训练2】若二次函数的图象上有三个不同的点、、，则n的值为 ． 【题型11.二次函数y=ax2+bx+c的最值问题】 【典例】已知抛物线，该函数的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【跟踪训练1】函数的图象如图所示，则该函数的最小值是 ，最大值是 ． 【跟踪训练2】已知二次函数在时有最小值，则（   ） A． B．或 C．或 D．或 【题型12.待定系数法求二次函数解析式】 【典例】顶点坐标为的拋物线还经过原点，则该抛物线的解析式为 ． 【跟踪训练1】已知二次函数（）的图象经过点，，，则当时，x的取值范围是（   ） A．或 B． C．或 D． 【跟踪训练2】如图，二次函数的图象经过和两点，且交y轴于点C．连接A，C，将线段向右平移m个单位，若线段与抛物线有唯一交点，则m的取值范围是 ． 一.单选题 1．抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移3个单位长度，将轴向左平移1个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数（b、c为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，则k的值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，垂直于轴的直线与抛物线交于点，左右移动直线，则其与抛物线交于点．若点的纵坐标小于，则下列两位同学的说法中，正确的是（    ） 小军：将直线应向右平移任意单位长度． 小天：将直线应向左平移超过个单位长度． A．只有小军 B．只有小天 C．都正确 D．都不正确 4．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为是轴上的点，四边形为矩形，．若抛物线与矩形的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是（　　） A．或 B． C．或 D． 5.已知函数，若则下列说法正确的是（    ） A．当时，有最小值 B．当时，无最大值 C．当时，有最小值 D．当时，有最大值 二.填空题 6．直线与y轴交于点P，直线绕点P顺时针旋转得到直线，若直线与抛物线有唯一的公共点，则 ． 7.．如图，某公司“祥云”布艺图案是由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成的，且关于轴对称．其中半圆与轴相交于点，两支抛物线的顶点分别为，，与轴分别相交于点，． 已知，，，则图案中这段抛物线的函数表达式为 ． 8．如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于．给出下列5个结论：①；②；③若为任意实数，则；④；⑤若方程的两个根为和且，则其中，正确的结论有 ．（写出所有正确结论的序号） 9．如图，已知二次函数（，，为常数，且）的图象顶点为，经过点，有以下结论：；；时，随的增大而减小；对于任意实数，总有，其中结论正确的是 ． 10．二次函数（）的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①②（m为任意实数）③④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有 ． 3. 解答题 11．已知抛物线经过点 (1)求该抛物线的对称轴； (2)若，且对于该抛物线上的两点，，当，时，均满足，求的取值范围； (3)点和分别在抛物线和上（，都不与原点重合）．当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 12．如图，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点)，点在y轴上． (1)求抛物线的表达式； (2)点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止，点P出发的同时，点Q从点O以相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接BQ，PC，求的最小值． 13．平移抛物线后，得到的抛物线经过点和点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)已知抛物线上有两点和，其中，且，求证：； (3)设直线与抛物线交于点，与抛物线交于点（与点不重合），记点在平移后的抛物线上的对应点为点，求取何值时？ 14．定义：如果一条抛物线的顶点坐标满足条件，那么称该抛物线为“优雅”抛物线．例如：抛物线的顶点坐标为，此时由于，，顶点坐标符合定义的条件，所以这条抛物线是“优雅”抛物线． (1)如果抛物线是“优雅”抛物线，求的值． (2)如图，把（1）中的抛物线向下平移得到抛物线，抛物线与轴负半轴交于点，顶点为点，对称轴与轴交于点． ①点在延长线上，点是轴上一点，且四边形是矩形，求点的坐标． ②如果抛物线为“优雅”抛物线，它的顶点在轴上，抛物线与交于点，且，求抛物线的解析式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $