精品解析：上海海洋大学附属大团高级中学2025-2026学年高二上学期第二次过程性检测数学试题

上海海洋大学附属大团高级中学 2025学年第一学期第二次过程性检测 高二数学试卷 满分：150分 完成时间：120分钟 一、填空题 1. 直线的倾斜角为___________． 2. 抛物线的焦点坐标是_____________. 3. 已知空间向量，且，则___________． 4. 双曲线的渐近线方程为________ 5. 已知球的表面积为,则该球的体积为______. 6. 已知某圆锥的高为2，底面积为，则该圆锥的侧面积为___________． 7. 已知正方体的棱长为4，则直线到平面的距离为___________． 8. 经过点且与圆相切的直线方程为___________． 9. 三角形三边长为4，6，8，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为___________． 10. 在四面体中，若两两互相垂直，则点在平面上的投影是的___________心． 11. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是___________． 12. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为___________． 二、选择题 13. 方程表示的曲线为椭圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 14. 已知直线及平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 15. 下列说法正确的是（ ） A. 过点的直线方程都可以表示为 B. 若直线在轴，轴的截距分别为，则该直线方程为 C. 方程表示过两点的一条直线 D. 若直线经过第一、二、四象限，则点在第三象限 16. 已知正三棱锥的六条棱长均为是及其内部的点构成的集合．设集合，则表示的区域的面积为（ ） A. B. C. D. 三、解答题 17. 已知两条直线:和 （1）若，求实数a的值; （2）若，求与之间的距离. 18. 如图，四边形为正方形，是平面外一点，设平面，且，为中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的大小. 19. 某市为庆祝建党104周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个单行隧道，隧道横断面由一段抛物线 及一个矩形的三边组成，尺寸如图，单位：m. （1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该段抛物线 所在抛物线的方程； （2）为保证安全，要求车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上高度差至少要有0.5米，若现有一宽3米的载运集装箱车辆需通过该隧道，请计算车辆的限制高度为多少米？（精确至米） 20. 如图，是圆柱的底面直径且是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点． （1）求证：平面； （2）当三棱锥体积最大时，求三棱锥的体积与表面积； （3）若是的中点，点在线段上，求的最小值． 21. 已知椭圆，点为的上顶点． （1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆上动点到点的距离的最大值； （3）设与两坐标轴均不垂直的直线与椭圆交于异于的两点和，设直线的斜率分别为、，当时，判断直线是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海海洋大学附属大团高级中学 2025学年第一学期第二次过程性检测 高二数学试卷 满分：150分 完成时间：120分钟 一、填空题 1. 直线的倾斜角为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由直线倾斜角定义可得答案. 【详解】直线与轴垂直，所以直线的倾斜角为 故答案为：. 2. 抛物线的焦点坐标是_____________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：焦点坐标,所以 考点：抛物线焦点坐标. 3. 已知空间向量，且，则___________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用空间向量垂直及空间向量的坐标运算法则计算即可. 【详解】因为，所以，即，解得. 故答案为： 4. 双曲线的渐近线方程为________ 【答案】 【解析】 【分析】令双曲线右边为，再求解关于与的关系式，从而得到渐近线方程. 【详解】 故答案为：. 5. 已知球的表面积为,则该球的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设球半径为，由球的表面积求出，然后可得球的体积． 【详解】设球半径为， ∵球的表面积为， ∴， ∴， ∴该球的体积为． 故答案为． 【点睛】解答本题的关键是熟记球的表面积和体积公式，解题时由条件求得球的半径后可得所求结果． 6. 已知某圆锥的高为2，底面积为，则该圆锥的侧面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得圆锥的底面半径和母线长，进而求得该圆锥的侧面积. 【详解】设圆锥底面圆的半径为，母线长为， 则，得，所以， 所以圆锥的侧面积. 故答案为：. 7. 已知正方体的棱长为4，则直线到平面的距离为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面距离转化为点面距离求解即可. 【详解】连接与交点为，因为是正方形，则， 又平面，平面，则， 又平面，则平面， 因为平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为. 故答案为：. 8. 经过点且与圆相切的直线方程为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】分斜率存在和不存在两种情况讨论，切线斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径计算可求得直线斜率，即可求得切线方程. 【详解】由题意知，圆心坐标为，半径为， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意； 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 即，依题意有，解得， 此时直线方程为，即， 所以所求切线的方程为或. 故答案为：或. 9. 三角形三边长为4，6，8，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线定义可得，，得， 所以双曲线的离心率. 故答案为：. 10. 在四面体中，若两两互相垂直，则点在平面上的投影是的___________心． 【答案】垂 【解析】 【分析】证明平面，得，根据平面，得，可证得平面，得，同理可证，得，即可得出结论. 【详解】在四面体中，若两两互相垂直， 平面，平面，平面， 又平面，所以， 设点在平面上的投影为点， 则平面，又平面，所以， 又因，所以平面， 又平面，所以， 同理，， 所以点是的垂心. 故答案为：垂. 11. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题曲线可化为，即表示以为圆心，半径为1的圆的上半部分，根据直线和圆的位置关系，结合图形求得答案. 【详解】直线，即，过定点， 曲线，可化为，表示以为圆心，半径为1的圆的上半部分， 画出直线和半圆的图形如下图所示， 设，则， 当直线和半圆相切时，则，解得或（舍去）， 所以要使得直线和曲线有两个交点，则. 故答案为：. 12. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设直线的方向向量为，根据直线是两平面与的交线计算出直线的一个方向向量，最后利用直线与平面夹角的向量公式即可求解. 【详解】设直线的方向向量为，由材料可知平面的一个法向量， 平面的一个法向量，平面的一个法向量， 因为直线是两平面与的交线，则有， 即，取，则， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：. 二、选择题 13. 方程表示的曲线为椭圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程表示椭圆，列出满足条件不等式组，解得答案. 【详解】因为方程表示的曲线为椭圆， 所以，解得且. 故选：B 14. 已知直线及平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中线面位置的判定和性质，判断选项中的结论是否正确. 【详解】对于A，由，得存在，使得，而， 所以，即，故A正确； 对于B，若，，则可能平行，与相交，，故B错误； 对于C，若，，则与平行，相交或异面，故C错误； 对于D，若，，则与平行或异面，故D错误. 故选：A. 15. 下列说法正确的是（ ） A. 过点的直线方程都可以表示为 B. 若直线在轴，轴的截距分别为，则该直线方程为 C. 方程表示过两点的一条直线 D. 若直线经过第一、二、四象限，则点在第三象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的点斜式方程的含义判断A；根据直线的截距式方程的含义判断B；根据直线的两点式方程的含义判断C；直线经过第一、二、四象限，确定的符号，即可判断D. 【详解】对于A，过点的直线斜率不存在时，表示为， 当直线的斜率存在时，方程才可以表示为，A错误； 对于B，直线在轴，轴的截距分别为， 当均不为0时，则该直线方程才可写为，B错误； 对于C，当时，直线的两点式方程为， 则可化为， 当或时，直线方程为或，依然满足上式，C正确； 对于D，若直线经过第一、二、四象限，则， 则点在第二象限，D错误， 故选：C 16. 已知正三棱锥的六条棱长均为是及其内部的点构成的集合．设集合，则表示的区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设顶点P在底面上的投影为O，连接，求得的长，结合，求出，从而确定Q的轨迹，即可求解表示的区域的面积. 【详解】设顶点P在底面上的投影为O，连接，则O为三角形的中心， 且，故. 因为，故， 故Q在以O为圆心，2为半径的圆及其内部， 而三角形内切圆的圆心为O，半径为，而， 故表示的区域为以O为圆心，2为半径的圆在内（包含边界）的部分， 设该圆与交于两点，则, 即为正三角形，则弧所在的弓形的面积为， 故表示的区域的面积为， 故选：B 三、解答题 17. 已知两条直线:和 （1）若，求实数a的值; （2）若，求与之间的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直的充要条件列出方程解之即得； （2）根据两直线平行的充要条件列出不等式组解之即得 【小问1详解】 由可得，，解得. 此时，，有，故； 【小问2详解】 由可得，解得，. 此时即，，有， 与之间的距离. 18. 如图，四边形为正方形，是平面外一点，设平面，且，为中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的大小. 【答案】（1）连接AC，交BD于O，连接EO， 因为为正方形，所以O为AC中点， 因为为中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接AC，交BD于O，连接EO，根据正方形的性质，可得O为AC中点，因为为中点，所以EO为中位线，即，根据线面平行的判定定理，即可得证. （2）如图建系，求得各点坐标，进而可求出平面PDC和平面PBC的法向量，根据二面角的向量求法，代入计算，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，， 以D为原点，DA，DC，DP为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 设AD=1，则， 所以， 因为,，,平面PDC， 所以平面PDC， 则即为平面PDC的法向量， 设平面PBC的法向量为， 则，即， 令，则，所以， 所以，即， 所以二面角的大小 19. 某市为庆祝建党104周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个单行隧道，隧道横断面由一段抛物线 及一个矩形的三边组成，尺寸如图，单位：m. （1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该段抛物线 所在抛物线的方程； （2）为保证安全，要求车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上高度差至少要有0.5米，若现有一宽3米的载运集装箱车辆需通过该隧道，请计算车辆的限制高度为多少米？（精确至米） 【答案】（1） （2）车辆的限制高度为3.8米． 【解析】 【分析】（1）设出抛物线的方程，确定其上的一个点坐标，代入求得p，即可得答案； （2）由题意在抛物线上取点，代入，解得，设出车辆的高，列出相应不等式，即可求得答案. 【小问1详解】 设抛物线方程为，由图知抛物线经过点， 代入方程可得，解得， 故抛物线所在抛物线的方程为． 【小问2详解】 依题意，在抛物线上取点，代入，解得， 设车辆限高为，要使装载集装箱的车能安全通过隧道，需使， 即 所以车辆的限制高度为3.8米． 20. 如图，是圆柱的底面直径且是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点． （1）求证：平面； （2）当三棱锥体积最大时，求三棱锥的体积与表面积； （3）若是的中点，点在线段上，求的最小值． 【答案】（1） 由题意面面，则， 由直径所对的圆周角为直角，可得， 又面面， 所以平面. （2） .表面积 （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得，，利用线面垂直的判定定理证明； （2）要使三棱锥体积最大时，则到的距离最大，最大距离为半径2，利用棱锥体积公式和表面积公式求解； （3）利用侧面展开图来作出最小值的线段，再解三角形即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 要使三棱锥体积最大时，则到的距离最大，最大距离为半径2， 此时， 所以三棱锥的体积. 因为，所以为直角三角形， 所以三棱锥的表面积 【小问3详解】 将绕着旋转到使其与共面，且在的反向延长线上， 则三点共线时最短，如图， 因为，所以， 由余弦定理得， 所以的最小值为. 21. 已知椭圆，点为的上顶点． （1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆上动点到点的距离的最大值； （3）设与两坐标轴均不垂直的直线与椭圆交于异于的两点和，设直线的斜率分别为、，当时，判断直线是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）过定点， 【解析】 【分析】（1）由椭圆方程求得，得解； （2）利用两点间的距离公式，结合椭圆的范围和二次函数在给定区间上值域的求法求最大值； （3）设直线，与椭圆方程联立，结合韦达定理，根据列式，化简可得的关系，再确定直线是否过定点. 【小问1详解】 由题知，得，所以离心率. 【小问2详解】 由题可知，设，且， 则， 由于，所以当时，取到最大值为. 【小问3详解】 设， 因为直线与椭圆交于异于的两点和，所以． 所以，得， 则， ， 即， 故，所以或（因为，故舍去）． 当时，直线过定点． 因此直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $