精品解析：海南省定安县2026届高三上学期第一次联考数学试题

定安县2025-2026学年第一学期高三联考 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 2. 若复数（为虚数单位），则（　　） A. B. 1 C. D. 2 3. 不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 4. 设，为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 2 6. 记的内角的对边分别为，已知．则角（　　） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的函数的导函数，且，则、、的大小关系为（　　） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（　　） A. B. C. D. 10. 已知，且，则（　　） A. B. C. D. 11. 函数是定义在上的奇函数，满足在区间上单调递减，且，则（　　） A. B. C. 关于直线对称 D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，，若，则__________． 13. 已知函数，则___________． 14. 某饰品店定制半径为1米，圆心角为的扇形展示台．现要在该扇形内制作一个内接矩形陈列区域，其中点在扇形的半径上，点在半径OQ上，点在扇形弧上（如图所示），在区域内摆放耳环、戒指等小件首饰．为了提升台面空间利用率，现要计算矩形ABCD的面积，则面积最大值为___________平方米． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求最小正周期； （2）求的单调递增区间与对称轴． 16. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 17. 已知函数． （1）求在处的切线方程； （2）当，求的最值． 18. 在中，已知为的中点． （1）求； （2）当时，求的最大值． 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若有两个正零点，求的取值范围； （3）设有两个零点分别为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定安县2025-2026学年第一学期高三联考 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可求解. 【详解】因为，集合， 所以， 故选：D. 2. 若复数（为虚数单位），则（　　） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】运用复数除法的法则，对复数z进行化简，最后求出复数z的模． 【详解】由于， 则. 故选：B 3. 不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分式不等式的解法求解. 【详解】由，得，即， 转化为，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 4. 设，为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系. 【详解】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立， 故得不到， 若，则， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 5. 已知数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推公式一一计算即可. 【详解】因为，， 所以，，，. 故选：A 6. 记的内角的对边分别为，已知．则角（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用余弦定理计算可得. 【详解】依题意由余弦定理得，又，所以. 故选：D 7. 已知是定义在上的函数的导函数，且，则、、的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，即可得出、、的大小关系. 【详解】构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数， 因为，且，，， 因此. 故选：C. 8. 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用偶函数性质可得，再由偶函数单调性以及定义域列出不等式组计算求解即可. 【详解】由题意，函数是定义在上的偶函数，所以， 解得，即函数的定义域为， 当时，单调递增，所以当时，单调递减， 关于的不等式，即， 所以，解得，所以原不等式解集为. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先由同角基本关系式求出，再利用诱导公式判断选项. 【详解】由，得， ， 则，A错误； ，B正确； ，C正确； ，D正确. 故选：BCD 10. 已知，且，则（　　） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意，根据基本不等式可得，利用作差法注意检验四个选项，结合指数函数以及对数函数的单调性，可得答案. 【详解】由，，则，当且仅当时，等号成立， 对于A，由，则，所以，故A正确； 对于B，由，即，则，所以， 由函数在上单调递增，且，即，则， 所以，即，故B错误； 对于C，由 ，当且仅当时，等号成立， 所以，故C正确； 对于D，由，且函数在上单调递减， 则，所以，故D错误. 故选：AC. 11. 函数是定义在上的奇函数，满足在区间上单调递减，且，则（　　） A. B. C. 关于直线对称 D. 在上单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】利用已知条件迭代可得周期，结合奇函数性质可判断A；利用和奇函数定义可得函数的图象关于对称，结合函数单调性可判断D；求出和的值进行比较可判断C；利用周期性可判断B. 【详解】因为，所以， 所以， 故， 所以，所以， 所以，6是函数的一个周期. 对于A，因为是定义在上的奇函数，所以，所以，正确； 对于C，因为，所以， 又，所以， 所以的图象不关于直线对称，错误； 对于B，因为，， 所以，错误. 对于D，因为， 因为6是的周期，所以，故 所以函数的图象关于对称，又在区间上单调递减， 所以在区间上单调递增，正确； 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示计算即可． 【详解】，， 解得． 故答案为：． 13. 已知函数，则___________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用分段函数的解析式，由内到外逐层计算即可得出的值. 【详解】已知函数，则， 因此. 故答案为：. 14. 某饰品店定制半径为1米，圆心角为的扇形展示台．现要在该扇形内制作一个内接矩形陈列区域，其中点在扇形的半径上，点在半径OQ上，点在扇形弧上（如图所示），在区域内摆放耳环、戒指等小件首饰．为了提升台面空间利用率，现要计算矩形ABCD的面积，则面积最大值为___________平方米． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得，，可得，利用三角恒等变换求得最大值即可. 【详解】设，因为，， 所以，， 所以， 则四边形的面积为， ， 因为，所以，所以， 所以当时，的最大值为， 所以面积S的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求最小正周期； （2）求的单调递增区间与对称轴． 【答案】（1），； （2）单调递增区间为，对称轴为. 【解析】 【分析】（1）利用周期公式计算最小正周期，根据函数解析式代值计算即得； （2）利用正弦函数的图象性质，整体处理易求得单调区间及函数的对称轴方程. 【小问1详解】 函数，最小正周期； 由，又，得. 【小问2详解】 ，则， 令，解得， 所以的单调递增区间为， 令，得， 所以的对称轴为. 16. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】(1)直接由正弦定理可得，从而可得答案. (2)由余弦定理可得，再由面积公式可求答案. 【详解】解：（1） 由，得，， ∴， 又因为为锐角三角形，∴. （2）由余弦定理可知，， 即，解得， ∴. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用以及三角形的面积，属于基础题. 17. 已知函数． （1）求在处的切线方程； （2）当，求的最值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数判断出函数在上的单调性，再利用单调性结合给定区间求出的最值. 【小问1详解】 依题意，，则， 又，即切点坐标为， 故所求切线方程为：，即. 【小问2详解】 由. 令，得. 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 故是的极小值，也是最小值. 又， 而，即. 故在区间上的最大值为，最小值为. 18. 在中，已知为的中点． （1）求； （2）当时，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两角和差及诱导公式结合条件计算即可； （2）应用余弦定理结合基本不等式即可得出最大值. 【小问1详解】 在中，已知， 即， 则有，得， 所以或， 时，， 由，，有，即时，. 当时，，不合题意舍去. . 【小问2详解】 设，由（1）及余弦定理有，即，， 即，当且仅当时等号成立. 由D为边的中点有， ，当且仅当时等号成立. ，当且仅当时等号成立. 即的最大值为. 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若有两个正零点，求的取值范围； （3）设有两个零点分别为，求证：. 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） （3）证明：有两个零点， 令，则，在时恒成立，∴在时单调递增， ∴有两个零点，等价于有两个零点. ∵ ，∴当时，，单调递增，不可能有两个零点； 当时，令，得，单调递增， 令，得，单调递减，∴， 若，得，此时恒成立，没有零点； 若，得，此时有一个零点； 若，得，∵，， 记，则， 记，则， 所以在上单调递增，所以，即， 故在上单调递增，所以， 即， ∴在与上各存在一个零点，符合题意， 综上，的取值范围为. 因为，不等式两边同时取对数化简可得， 要证即证：， 即证，由，，∴只需证. ∵，，∴，， ∴ ，只需证. 设，令， 则，∴只需证 ， 即证 ， 令，，则 ，， 即当时， 成立.∴，即. 所以. 【解析】 【分析】（1）根据题意，求导即可得到结果； （2）结合（1）的分析，确定满足的条件，当时，列式从而求得的取值范围； （3）根据题意，将问题转化为有两个零点，然后利用导数，分类讨论即可得到的取值范围，再将问题转化为，即只需证，然后构造函数求导即可得到证明. 【小问1详解】 由题意可得，， 当时，，在上单调递增； 当时，由解得，由解得， 所以，在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由题意知方程有两个不同的正实根， 由（1）知当时，，在上单调递增，不合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 且，， 所以， 解得，所以的取值范围． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $