精品解析：四川省绵阳市梓潼中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

2025年秋季八年级半期定时作业数学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，答题卡共4页．满分100分，考试时间90分钟． 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在建筑工地，我们常可看见如图所示，用木条固定矩形门框的情形．这种做法的根据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 长方形的四个角都是直角 D. 两点确定一条直线 2. 已知图中的两个三角形全等，则度数是（ ） A. B. C. D. 3. 若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　） A. 1 B. 5 C. 7 D. 9 4. 如图，四盏相同的灯笼放置在平面直角坐标系中，坐标分别是，，，，将其中一盏灯笼向右平移m个单位，使得y轴两侧的灯笼对称，则m的值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5.5 5. 如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t等于多少时，是等腰三角形？（） A. 3 B. 3或6 C. 6 D. 6或12 6. 如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 8. 如图，在中，，，则边上的中线的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 10. 如图，点、在线段的同侧，连接、、、，已知，老师要求同学们补充一个条件使．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是　　 A. B. C. D. 11. 如图，是的中线，点D是边上一点，，交于点F，若的面积为20，则与的面积之差等于（ ） A. B. 5 C. 4 D. 3 12. 如图，在中，，，分别为边，上的点，平分，于点，为的中点，延长交于点，则下列结论：①线段是的高；②与面积相等；③；④．其中正确的结论有． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 第Ⅱ卷（非选择题，共64分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．将答案直接填写在答题卷中的横线上． 13. 形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”．如图是一个燕尾形，已知，，，则的度数为______． 14. 如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知，是两个格点，若点也是图中的格点，且为等腰三角形，则符合条件的点有______个． 15. 如图，在中，，外角，若P是和的平分线的交点，则的度数为 ______． 16. 如图，为等腰直角三角形，若，，则点的坐标为__________． 17. AE是△ABC的角平分线，AD是BC边上的高，且∠B=40°，∠ACD=70°，则∠DAE的度数为_____． 18. 如图，等腰中，，，，点为中点，如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动．当与全等时，点Q的运动速度为____． 三、解答题：本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 如图，，，，求证：． 20. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）在图中作出关于轴对称的． （2）写出点的坐标（直接写答案）：______，_____，________． （3）的面积为_____（直接写答案）． （4）在x轴上找一点P，使的值最小，请直接写出点P的坐标． 21. 在四边形中，为对角线． （1）尺规作图：在线段上找一点E，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）条件下，若，求证：． 22. 如图，在中，是边上一点，，，．求、的度数． 23. 如图，的角平分线、相交于点F，若，交于A，交于B． （1）若，，则______（直接写出答案）． （2）线段与、有怎样的数量关系？写出说明理由． 24. （1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：≌； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是16，求与的面积之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季八年级半期定时作业数学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，答题卡共4页．满分100分，考试时间90分钟． 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在建筑工地，我们常可看见如图所示，用木条固定矩形门框的情形．这种做法的根据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 长方形的四个角都是直角 D. 两点确定一条直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．根据三角形的稳定性，可直接解答． 【详解】解：加上后，原图形中具有了，故这种做法根据的是三角形的稳定性． 故选：B． 2. 已知图中的两个三角形全等，则度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质．解题时要认准对应关系．全等图形要根据已知的对应边去找对应角，并运用“全等三角形对应角相等”即可得答案． 【详解】解：两个三角形全等，由图可知， 则夹角即为对应角， 的度数是． 故选：C． 3. 若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　） A. 1 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：由题意，得，即， 故的值可选5， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键． 4. 如图，四盏相同的灯笼放置在平面直角坐标系中，坐标分别是，，，，将其中一盏灯笼向右平移m个单位，使得y轴两侧的灯笼对称，则m的值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了生活中的平移现象，关于y轴对称的点的坐标，注意关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标不变．由图可知点C、D关于y轴对称，所以要使y轴两侧灯笼对称，需移动A、B两盏灯笼，然后问题可求解 【详解】解：∵A，B，C，D这四个点的纵坐标都是b， ∴这四个点在一条直线上，这条直线平行于x轴， ∵，， ∴C，D关于y轴对称，只需要A，B关于y轴对称即可， ∵，， ∴可以将点向右平移到，平移5.5个单位， 或可以将向右平移到，平移5.5个单位， 故选：D． 5. 如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t等于多少时，是等腰三角形？（） A. 3 B. 3或6 C. 6 D. 6或12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质,等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：①点P在上，②点P在上，然后根据等腰三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】解：①如图，当点P在上，时，是等腰三角形， ∵，， ∴当时，，解得； ②如图，当P在上时，由，是等腰三角形，得 是等边三角形，则， ∵，， ∴当时，，解得； 综上可得：当或6秒时，是等腰三角形， 故选B． 6. 如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形判定的“”定理即可证得． 【详解】解：∵，点D，E分别是，的中点， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 7. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 8. 如图，在中，，，则边上的中线的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，灵活添加辅助线（倍长中线法）构造全等三角形是解答的关键． 延长到E，使，连接，证明得到，利用三角形的三边关系得到即可求解． 【详解】解：延长到，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴即， ∴， 故选：D． 9. 已知，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知求出，再整体代入计算可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方逆运算，熟练掌握运算公式是解答本题的关键． 10. 如图，点、在线段的同侧，连接、、、，已知，老师要求同学们补充一个条件使．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为∠ABC=∠DCB，BC是公共边，结合选项条件对选项逐一进行分析判断即可． 【详解】A、补充，不能判定，故A错误； B、补充，可根据判定，故B正确； C、补充，可根据判定，故C正确； D、补充，可根据判定，故D正确． 故选A． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 11. 如图，是的中线，点D是边上一点，，交于点F，若的面积为20，则与的面积之差等于（ ） A. B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的面积，解答此题的关键是等积代换．由的面积为20，得，根据，得①，同理可得，即可求得． 【详解】解：∵是的中线，的面积为20， ∴， 即， 同理：∵， ∴， ∴， 即， 得：， 故选：B． 12. 如图，在中，，，分别为边，上的点，平分，于点，为的中点，延长交于点，则下列结论：①线段是的高；②与面积相等；③；④．其中正确的结论有． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，理解角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．①根据于点及三角形高的定义可对结论①进行判断；②根据点为的中点得，再根据的边上的高与的边上的高相同，则可对结论②进行判断；③先证明，再根据平分得，则，然后根据于点得，则，由此可对结论③进行判断；④根据平分得，根据于点得，由此可依据“”判定和全等，则，进而得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①于点， 线段为的高， 故结论①不正确； ②点为的中点， ， 的边上的高与的边上的高相同， 与面积相等， 故结论②正确； ③，， ， 平分， ， ， 于点， ， ， 故结论③正确； ④平分， ， 于点， ， 在和中， ， ， ， ， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是②③④，共3个． 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共64分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．将答案直接填写在答题卷中的横线上． 13. 形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”．如图是一个燕尾形，已知，，，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】连接，延长到，根据三角形的外角的性质得出，继而得出，代入已知数据，即可求解． 【详解】解：连接，延长到． ∵， ∴， ∵，，， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 14. 如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知，是两个格点，若点也是图中的格点，且为等腰三角形，则符合条件的点有______个． 【答案】8 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，分情况讨论：当以AB为底边时，或当以AB为腰时，分别作出符合条件的图即可解题． 【详解】解：分情况讨论： 当以AB为底边时，如图，符合条件的点C有4个； 当以AB为腰时，如图，符合条件的点C有4个， 综上所述，符合题意的店C共有8个， 故答案为：8． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 15. 如图，在中，，外角，若P是和的平分线的交点，则的度数为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和为是解题的关键．先根据角平分线定义得出，求出，再根据角平分线定义求出，最后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，为等腰直角三角形，若，，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点T．证明，可得结论． 【详解】解：如图中，过点作轴于点． ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 17. AE是△ABC的角平分线，AD是BC边上的高，且∠B=40°，∠ACD=70°，则∠DAE的度数为_____． 【答案】15°或35° 【解析】 【详解】试题分析：本题需要分两种情况进行讨论： 如图1所示：根据∠B=40°，∠C=70°可得：∠BAC=70°，根据高线以及角平分线的性质可得：∠DAC=20°，∠EAC=35°，则∠DAE=35°-20°=15°；如图2所示：根据∠B=40°，∠ACD=70°可得：∠BAC=30°，根据高线以及角平分线的性质可得：∠DAC=20°，∠EAC=15°，则∠DAE=15°+20°=35°. 点睛：对于这种在三角形中求角度问题的时候，如果题目中没有给出图形，我们首先一定要根据题意画出图形，然后根据图形求出角的度数.特别要注意分类讨论的思想，在画图时一定要注意锐角三角形和钝角三角形两种情况.在画垂线的时候要注意高线在三角形内部和三角形外部两种情况. 18. 如图，等腰中，，，，点为中点，如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动．当与全等时，点Q的运动速度为____． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质．根据等边对等角可得，然后表示出，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②与是对应边两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设点P、Q的运动时间为t， ， ∵， ∴， ∵与全等， ∴或， ①当时，， 解得：， 则， 故点Q的运动速度为：； ②当时， ∵， ∴，， ∴（秒）． 故点Q的运动速度为． 故答案为：2或． 三、解答题：本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 如图，，，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】利用证明，即可得到结论． 【详解】证明：∵， 在和中， ∵，， ∴() ， ∴， ， 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 20. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）在图中作出关于轴对称的． （2）写出点的坐标（直接写答案）：______，_____，________． （3）的面积为_____（直接写答案）． （4）在x轴上找一点P，使的值最小，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） （3） （4）作图见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）利用割补法求解即可； （4）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：由（1）可得 【小问3详解】 解：； 【小问4详解】 解：如图所示，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， 由图可知，此时点P的坐标为． 21. 在四边形中，为对角线． （1）尺规作图：在线段上找一点E，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）条件下，若，求证：． 【答案】（1）图见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质： （1）根据尺规作图—作一个角等于已知角的方法，作图即可； （2）证明即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵，， ∴； ∴． 22. 如图，在中，是边上一点，，，．求、的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理，解题的关键是利用外角性质求出的度数． 先根据三角形外角的性质，结合求出的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：是的外角， ． ， ． ， ， ， ． 23. 如图，的角平分线、相交于点F，若，交于A，交于B． （1）若，，则______（直接写出答案）． （2）线段与、有怎样的数量关系？写出说明理由． 【答案】（1）3 （2） ．理由如下： 在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据角平分线的定义和三角形外角的性质，得出，在上截取，连接，先证明，得到，，再证明，得到，进而得出，即可得解； （2）同（1）理，先证明，再证明，即可得到结论； 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 略 24. （1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：≌； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是16，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）8 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，结合题目所给条件，得出是解决问题的关键． （1）先证明，，然后根据即可证明； （2）先证明，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （3）同（2）可证，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出即可得出结果． 【详解】解：（1）∵， ∴，且， ∴， 在和中， ， ∴； （2）成立，证明如下： ∵， ∴，且， ∴， 在和中， ， ∴，， ∴，， ∴． （3）同（2）可证， ∴， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴与的面积之和为8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $