精品解析：四川省绵阳市东辰学校2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷

四川省绵阳市东辰学校2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 下列四个图形： 其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 分式的值为正数的条件是（ ） A. B. 且 C. D. 4. 下列多项式，不能分解因式的有（ ） ①； ②； ③； ④； ⑤． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，AB//DE，AC//DF，AC＝DF，下列条件中，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ） A. AB＝DE B. ∠B＝∠E C. EF＝BC D. EF//BC 6. 如图，的边的垂直平分线交于点，若，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 如图，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的1个小正方形拼成的1个大正方形．若大正方形的面积为23，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边长为a，b，则的值为（ ） A. 43 B. 45 C. 46 D. 49 8. 学生骑共享单车上学已成为一种时尚．小明家距学校3千米，若骑共享单车上学可比他步行上学少用分钟，已知他骑车的速度是他步行速度的倍，设小明步行的速度为每小时x千米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ） A. 4 B. C. D. 4或 10. 如图，在中，，于点，且，则等于（ ） A. B. C. D. 11. 如图，锐角中，，的面积是6，D、E、F分别是三边上的动点，则周长的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 二、填空题（每题3分，共18分） 12. 把有理数用科学记数法表示为_______． 13. 三角形的三边长分别为3、、8，则a的取值范围是______. 14. 等式成立，则点关于x轴的对称点是_____． 15. 已知，，则________． 16. 如图，在中，是边上的点，，点在的垂直平分线上，，则的长为_____． 17. 如图，在的平分线交于D．过C点作于G，交于E．过D点作于F．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是________ ． 三.解答题（共46分） 18. 计算或分解因式： （1）计算：； （2）分解因式：； （3）计算：； （4）计算：． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如：，， 则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是 （填序号）． ①；②；③；④； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为 ． （3）拓展：若，求A、B的值． 21. 在四边形中，，，，为中点，连接，交于点. （1）当时，______，______； （2）当的大小改变时，的度数是否发生改变？若变化，求的变化范围，若不变，求的度数； （3）直接猜想，，之间的数量关系； 22. 某汽车配件公司研发出了生产电动汽车的某种关键部件，并计划安排部分工人用10天的时间生产2万个该部件． （1）若计划安排x名工人生产该部件，那么平均每人每天的工作效率是 ；（用含x的式子表示） （2）若该公司按计划生产2天后，公司又增加了50名工人生产该部件，同时通过技术革新，使所有参加生产的工人的工作效率都提高了，结果提前2天完成了生产任务．求原计划安排了多少名工人生产该部件？ 23. 如图，中，是上一点，交的延长线于D，交于E． （1）求证：； （2）若F是中点， ①求证：； ②判定的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省绵阳市东辰学校2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 下列四个图形： 其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义分析判断即可，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. 【详解】解：第一个是轴对称图形，有2条对称轴； 第二个是轴对称图形，有2条对称轴； 第三个是轴对称图形，有2条对称轴； 第四个是轴对称图形，有3条对称轴； ∴对称轴的条数为2的图形的个数是3， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握其定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，合并同类项，幂的乘方，根据同底数幂的乘法和除法，合并同类项法则，幂的乘方法则计算各项后进行判断即可． 【详解】解：A．，不符合题意； B．和不是同类项，不能合并，不符合题意； C．，计算错误，不符合题意； D．，计算正确，符合题意． 故选：D． 3. 分式的值为正数的条件是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 本题需根据分式值为正数的符号法则，结合分母不为0的限制条件求解； 【详解】解：∵分式的值为正数， 又∵（分母不能为0，故）， ∴分子 解不等式： 两边同时除以，不等号方向改变，得 综上，且； 故选：B； 4. 下列多项式，不能分解因式的有（ ） ①； ②； ③； ④； ⑤． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式因式分解的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题需依据初中因式分解的方法（提公因式法、公式法、十字相乘法），逐个判断多项式能否分解因式，统计不能分解的个数后确定答案，即可求解； 【详解】①∵， ∴由平方差公式可得，原式，能分解因式． ②∵，在实数范围内无法分解， ∴原式不能分解因式． ③∵， ∴由完全平方公式可得，原式，能分解因式． ④∵， ∴由完全平方公式可得，原式，能分解因式． ⑤∵可通过十字相乘法，将拆分为和1，且， ∴原式，能分解因式． 综上，不能分解因式的只有1个， 故选：A； 5. 如图，AB//DE，AC//DF，AC＝DF，下列条件中，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ） A. AB＝DE B. ∠B＝∠E C. EF＝BC D. EF//BC 【答案】C 【解析】 【分析】本题可以假设A、B、C、D选项成立，分别证明△ABC≌△DEF，即可解题． 【详解】解：（1）∵AB//DE，AC//DF，∴∠A=∠D， AB=DE，则△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF，故A选项错误； （2）∠B=∠E，则△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF，故B选项错误； （3）EF=BC，无法证明△ABC≌△DEF；故C选项正确； （4）∵EF//BC，AB//DE， ∴∠B=∠E，则△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF，故D选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的不同方法的判定，注意题干中“不能”是解题的关键． 6. 如图，的边的垂直平分线交于点，若，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴ ∴ ∵，则 ∴ 故选：A． 7. 如图，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的1个小正方形拼成的1个大正方形．若大正方形的面积为23，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边长为a，b，则的值为（ ） A. 43 B. 45 C. 46 D. 49 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的面积的计算方法，勾股定理可得，四个三角形的面积为，可求出的值，将变形后，代入求值即可求解． 【详解】解：∵大正方形的面积是23，小正方形的面积是3，直角三角形的两直角边长分别为a，b， ∴， ∴四个全等的三角形的面积为， ∴， 解得， ∵， ∴的值是43， 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理的证明，正方形的性质，三角形的面积，掌握勾股定理的计算，正方形，全等三角形面积的关系是解题的关键． 8. 学生骑共享单车上学已成为一种时尚．小明家距学校3千米，若骑共享单车上学可比他步行上学少用分钟，已知他骑车的速度是他步行速度的倍，设小明步行的速度为每小时x千米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，需先统一时间单位，再根据“骑车上学比步行上学少用分钟”的等量关系列方程。 【详解】解：∵分钟小时，小明步行速度为千米/小时，骑车速度为千米/小时， ∴步行上学用时为小时，骑车上学用时为小时， ∵骑车比步行少用小时，即步行用时小时+骑车用时， ∴可列方程：， 故选：D； 9. 等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ） A. 4 B. C. D. 4或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据等腰三角形的性质，结合周长比例分两种情况计算腰长与底边长，再利用三角形三边关系验证是否成立，从而确定底边长，然后即可求解； 【详解】解：∵等腰三角形周长为，一腰上的中线将周长分为的两部分， ∴两部分的长度分别为，， 设等腰三角形的腰长为，底边长为， 分两种情况讨论： ①若由一条腰和另一条腰的一半组成的周长部分长为，则， 解得， ∴底边长， 此时三角形三边为8、8、， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，故该情况不成立， ②若由一条腰和另一条腰的一半组成的周长部分长为，则， 解得， ∴底边长， 此时三角形三边为、、4， ∵，，满足三角形三边关系，故该情况成立， 综上，这个等腰三角形的底边长为4； 故选：A； 10. 如图，在中，，于点，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，外角性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．在上取．连接，在和中，，．证明即可求解 【详解】解：如图，在上取．连接， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵ ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴ ∴， 故选：A． 11. 如图，锐角中，，的面积是6，D、E、F分别是三边上的动点，则周长的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，等边三角形的性质与判定等等，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，根据轴对称的性质可得，，，，则可得，进一步可得当点在一条直线上时，最小，即此时周长最小，最小值为，此时三角形是等边三角形，则根据点到直线垂线段最短，可知当时，最小，即周长最小，利用面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵周长， ∴当点在一条直线上时，最小，即此时周长最小，最小值为，此时三角形是等边三角形， ∴， 根据点到直线垂线段最短，可知当时，最小，即周长最小， ∵的面积是，，即， ∴，即周长最小6， 故选C． 二、填空题（每题3分，共18分） 12. 把有理数用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握该知识点是解题关键． 本题需将原数转化为的形式，其中，为正整数，的值为原数左边第一个非零数字前所有零的个数，然后即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 三角形的三边长分别为3、、8，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式组，解不等式组，即可求出a的取值范围． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为3、、8， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 等式成立，则点关于x轴的对称点是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，因式分解﹣十字相乘法等，准确熟练地进行计算是解题的关键； 根据多项式乘多项式的法则进行计算，可得：，，然后根据关于x轴对称的点的坐标特征，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， ∴关于x轴的对称点是， 故答案为：． 15. 已知，，则________． 【答案】27 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法的运算法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∴a+b=3 ∴. 故答案为：27. 【点睛】此题考查同底数幂的乘法，关键是掌握同底数幂的乘法的运算法则． 16. 如图，在中，是边上的点，，点在的垂直平分线上，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，由已知可得，再根据线段垂直平分线的性质得，即得到，，进而根据直角三角形的性质得到，最后根据线段的和差关系即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵点在的垂直平分线上，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在的平分线交于D．过C点作于G，交于E．过D点作于F．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是________ ． 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】此题主要考查角平分线的性质定理，三角形的外角定理，直角三角形的性质和三角形的面积，解题的关键是掌握以上性质． 由，得，再由三角形外角的性质得，得；根据角平分线的性质，得，根据等高的两个三角形面积之比等于底边之比得出；等量代换得，从而得出答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， 且， ∴，①正确； ∴， 又平分，，于F， ∴． ∵E到与的距离相等， ∴，③正确； ∵， ∴，⑤正确． 无法证明以及． 故答案为：①③⑤． 三.解答题（共46分） 18. 计算或分解因式： （1）计算：； （2）分解因式：； （3）计算：； （4）计算：． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先算乘方，再算乘法即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）根据多项式乘多项式计算即可； （4）先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 【点睛】本题考查整式的混合运算、分式的混合运算、因式分解，熟练掌握运算法则和因式分解的方法是解答本题的关键． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，注意最后一定要检验． （1）先对分母分解因式，并写成含有的形式，然后方程两边同乘最简公分母，把分式方程化成整式方程，解方程求出x，最后进行检验即可； （2）方程两边同乘，把分式方程化成整式方程，解方程求出x，最后进行检验即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 方程两边同乘，得：， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解； 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘，得：， ， 整理得：， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 20. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如：，， 则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是 （填序号）． ①；②；③；④； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为 ． （3）拓展：若，求A、B的值． 【答案】（1）①③④ （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值及分式的意义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对新定义的理解． （1）分别对各式化简，即可得出答案． （2）结合完全平方公式化简即可得出答案． （3）将原式化简，可得，进而可得，的值． 【小问1详解】 解：， 故①是“和谐分式”； ， 是整式，不是分式， 故②不是“和谐分式”； ， 故③是“和谐分式”； ， 故④是“和谐分式”． 故答案为：①③④． 【小问2详解】 ． 故答案为：． 【小问3详解】 ， ， ，． 21. 在四边形中，，，，为中点，连接，交于点. （1）当时，______，______； （2）当的大小改变时，的度数是否发生改变？若变化，求的变化范围，若不变，求的度数； （3）直接猜想，，之间的数量关系； 【答案】（1）； （2） 解：的度数不变，的度数为，理由如下， 证明：如图，连接， ，， 是等边三角形， ，， 又为中点， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键是根据题目的条件，证明出等边三角形，之后运用相关性质定理进行推论． （1）根据等腰三角形的性质即可求出的度数，根据，可以求出的度数； （2）连接，求出是等边三角形，分别表示出、，即可求解； （3）如图，作，交于点，求出是等边三角形，再证明，从而得出之间的数量关系． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 如图，连接， ∵，， 是等边三角形， ，， 又为中点， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作，交于点， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ∵，，， ∴． 22. 某汽车配件公司研发出了生产电动汽车的某种关键部件，并计划安排部分工人用10天的时间生产2万个该部件． （1）若计划安排x名工人生产该部件，那么平均每人每天的工作效率是 ；（用含x的式子表示） （2）若该公司按计划生产2天后，公司又增加了50名工人生产该部件，同时通过技术革新，使所有参加生产的工人的工作效率都提高了，结果提前2天完成了生产任务．求原计划安排了多少名工人生产该部件？ 【答案】（1） （2）750名 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，分式方程的应用； （1）根据工作效率，工作时间及工作量的关系即可解决问题； （2）根据题意，建立关于x的方程，据此进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题知，平均每人每天的工作效率是：． 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题知， ， 解得， 经检验是原方程的解且符合题意， 答：原计划安排了名工人生产该部件． 23. 如图，中，是上一点，交的延长线于D，交于E． （1）求证：； （2）若F是中点， ①求证：； ②判定的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②等腰三角形，见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，平行四边形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）证明，可得结论； （2）①过点A作于点H，连接．证明，推出，可得结论；②证明垂直平分线段即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ， ∵， ∵， ∴； 【小问2详解】 ①证明：过点A作于点H，连接． ∵， ， ∴， ∴， ； ②解：结论：△BAE是等腰三角形．理由如下： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴垂直平分线段， ∴， ∴是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $