广东省江门市培英高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

培英高级中学2025-2026学年第一学期期中考试 高二数学 时间：120分钟潮分150分命愿人，董艳丽 审题人：李都 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求 1.圆x2+y2+6x-8y+1=0的圆心坐标为（) A.(3,4) B.(6,-8) C.（-3,4) D.(-6,8) 2.若椭圆焦点在x轴上且经过点（一4,0），焦距为6，则该椭圆的标准方程为：) A言+号=1B荒+号-=1c号+装=1D号+荒=1 3.某单位有职工500人，其中男性职工有320人，为了解所有职工的身体健康情况，按性别采用分 层抽样的方法抽取100人进行调查，则抽取到的女性职工的人数为·) A.28 B.52 C.64 D.36 4.设直线1：V5x+y+b=0的倾斜角为a,则a=.( A.150° 、.B.120 .C.60 D.30 5.直线x-2y=0被圆(x-4)2+(y-4)2=4截得的弦长为（) A29 B. 35 c.45 D.65 5 5 6.若平面a的一个法向量为元=（山，2,2），A1,0,2),B(0,-1,4)AEgB∈a,则点A到平面C的距离为 A号 C.1 D.2 7.经过简单随机抽样获得的样本数据为，为，，x,且数据，，，的平均数为元，方差为S2, 则下列说法还确助是() A.若数据x,x2,…,xn,方差s2=0,则所有的数据x(=1,2,…,)都为0 B.若数据为，x2；…,xn,的平均数为元=3，则%=2x+1(=1,2,,n)的平均数为6 C.若数据，x2,…,xm,的方差为2=3，则=2x+1(1=1,2,,n)的方差为12 D.者数据名，名，，×，的25%分位数为90，则可以估计总体中有至少有75%的数据不大于90 试卷第1页 8。抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察朝上面的点数.设事件甲“第一次点数小于3”，事件乙一“第 一次点数为偶数”，事件丙=“两次点数之和为8”，事件丁=“两次点数之和是奇数”，则） A.事件Z和事件丙互斥 B事件丙和事件丁互为对立 C.事件甲与事件丙相互独立 D.事件乙与事件丁相互独立 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分，有选错的得0分， 9.对于概率的基本性质，下列选项正确的是 A.如果事件A与事件B互斥，那么P(AB)=P()+P(B) B.如果事件A与事件B互为对立事件.那么P(A)+P(B)=1 C.如果ASB,则P()<P(B) D.P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AOB) 10.设椭圈C:号+y=1的左右焦点为，乃，P是C上的动点，则下列结论正确能是 2 A.PRI+IPF=2V2 B 离心率e= 后 C.△PFF面积的最大值为√2 D.以线段FF为直径的圆与直线x+y-√2=0相切 11.如图，已知正方体ABCD一AB,CD的棱长为1，P为正方形底面ABCD内一动点，则下列结记正 确的有 A.三楼锥B-AD,P的体积为定值 B.存在点P,使得DP⊥AD C:若D,P⊥BD,则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹是线段AC D.若点P是AD的中点，点2是BB的中点，过P,2作平面a垂直于 平面ACC,4,则平面a截正方体ABCD-AB,CD的截面周长为3V互 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12.每年的4月23日是世界读书日，为了了解学生的阅读情况，某校随机抽取了8名学生，统计到 他们某-周课外阅读时间（单位：小时）分别为3.5,2.8,2.5,2.3,3.2,3.0,2.7,1.7，则这 组数据的第40百分位数是 试卷第2页 13.已知向量a,6,c是空间的一组单位正交基底，向量ā+6，ā-6，：是空间的另一组基底，若向母万在 基底a,6,c下的坐标为(2,1,3)，p在基底a+b,a-b,c下的坐标为(x,y,z),则x一y+z= 14.古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有 《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值(1≠)的点所形成的图形是圆.后 来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系xOy中， 水-1000，点P满足-分，则P点所在的曲线E所对应的阿孩罗尼斯圆方程为 若点(-3,1)，则2|PA+|P2|的最小值为 四、解答题（本大题共5小题，共77.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题13分) 如图，在棱长为2的正四面体0-ABC中，己知E是线段BC的中点，点G在线段AE上，且AG=2GE. 1)用向厦abc表示Oc:2求od: (3)求向量0元与8夹角的余弦值. 16.(本小题15分)已知直线1：ax-2y-3=0,12:2x-4y+9=0。 (1)若⊥l2,求a: (2)若在x轴上的截距与马2在y轴上的截距相等，求a: 3)若1∥2，求4与42之间的距离 17.(本小题15分)2025年5月22日16时49分，神舟二十号航天员陈冬、陈中瑞、王杰完成首次出 舱任务，历时约8小时，安全返回天和核心舱，为了弘扬航天精神，某校组织高二学生进行了航天知 识能力测试.现随机抽取100名学生的测试成绩（单位：分），将所得数据按照[40,50)，[50,60)，[60,70)， [70,80),[80,90),[90,100]分成6组，其频率分布直方图如图所示. 组距 (I)求图中a的值： 0.025 (②)试估计本次航天知识能力测试成绩的平均数（同一组中的数据用该 0.015 0.010 组区间的中点值作为代表)： 0.005 0405060708090100成绩分数 试卷第3页 )该校淮备对本次航天知识能力测试成绩不及格(60分以下)的学生，采用分层随机抽样方法抽出5 名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在[40,50)， [50,60)各一人的概率. 18.(本小题17分) 如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD,M,P分别是线段AD,BM的中点，点Q在线段AC上， 且AQ=3QC. (1)求证：PQ/平面BCD: (2)当BC=DC=V2,AD=BD=2时，求平面PQM与平面BCD夹角的余弦值： (3)在(2)的条件下，若G为△ABD内的动点，AB/平面QGM,且 OG与平面ABD所成的角最大，试确定点G的位置. 19.(本小题17分) 已知圆C过点A(2,6),圆心在直线y=x+1上，截y轴弦长为2√5. (1)求圆C的方程： (2)若圆C半径小于10，点D在该圆上运动，点B(3,2),记M为过B、D两点的弦的中点，求M 的轨迹方程： (3)在(2)的条件下，若直线D与直线1：y=x-2交于点N,证明：BMBN恒为定值， 试卷第4页 培英高级中学2025-2026学年第一学期期中考试高二数学 答案以及评分标准 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C D B A D BD AD ACD 12.【答案】2.7 3.【答案】4 14.【答案】 (x+}+2-9 √i7 15.【详解】(1)0c=0A+AG=0i+号证=01+O正-0小=0i+0正 =oA+o丽+oc)-oi+o丽+o元 ，--一4分 (2)oG=(o+o丽+oc) 5(02+0丽2+0C2+20A.0丽+20A.0元+20丽.00 =号(4+4+4+2×2×2×+2×2x2×+2×2×2×周=2 一-7分 (3)因为0死=0丽+0C,A=0B-0A, 所以0匠.丽-(o丽+oC)·(o丽-o=o+oc.0丽-0丽.o4-0c.0a =×22+×2×2×c0s号-×2×2×c0s号-×2×2×c0s骨 =2+1-1-1=1.---11分 由正四面体0-ABC的棱长为2，可得O到=V3,A=2,一12分 所以as<0死.而>隔-六 6 ----13分 16.【详解】(1)由题意得2a+8=0,得a=-4.一--3分 (2)易得a≠0.对，令y=0,则x-3=0,得x=是 --5分 9 y=一 对l2,令x=0,则-4y+9=0,得4.-—-7分 所以由题意得-景得a= --9分 《3)由愿意得公二3又公2，解得a=1,—1分 则：x-2y-3=0,可化为2x-4y-6=0,-13分 所以4与之间的距离为= ,--15分 2 17.【详解】(1)由题意可得(0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005)x10=1, 可得a=0.03; 一-3分 (2)由题意可得(0.010×45+0.015×55+0.015×65+0.03×75+0.025×85+0.005×95)× 10=71, 本次航天知识能力测试成绩的平均数为71.----6分 (3)由题意，40,50)，50,60)的频率比为0.010：0.015=2：3， 设抽取的5人中40,50)有2人为a,b、50,60)有3人为A,B,C, 任抽2人有ab,aA,aB,aC,bA,bB,bC,AB,AC,BC,共10种情况， 其中分数在40,50)，50,60)各一人有aA,aB,aC,bA,bB,bC,共6种情况， 63 所以这2名同学分数在40,50)，50,60)各一人的概率为10“5.-一一-15分 18.【答案】解：(1)取DM的中点E,连接PE,2E,则AE=3DE, 因为P是BM的中点，AQ=3QC,所以PE/BD,QE/CD, 又PEnQE=F,PE,QEc平面EP2,BDnCD=D,BD,CDc平面BCD, 所以平面EPQ/平面BCD, B 因为PQc平面EPO,所以PQ/平面BCD; -4分 (2)解：因为BC=DC=V2,BD=2, 所以BC⊥CD, 取BD的中点O,则OC⊥BD, 又AD⊥平面BCD,OP/AD,所以OP⊥平面BCD, 故以0为原点，QB,OC,0P所在直线分别为，y,z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则0(0,0,0)，C(0,1,0),A(-1,0,2), P(0,0,,M(-1,0,1), -5分 因为A0=30C,所以Q(-2, 所以p=(-,0),Pm=(-1,02, 一6分 易知平面CD的一个法向量为=(0,0,1)， 一-7分 设平面PM的法向量为=(x,y,z),则 顶=-x+=0 西p丽=-x+2=0 令y=1,则x=3,z=6,所以元=(3,1,6)， 一-9分 设平面POM与平面BCD的夹角为8， 一10分 则c0s0=cos<,应>1=周需=7m隔=爱， 6 23 --11分 所以平面POM与平面BCD夹角的余弦值为3至，（设角与答二者有一个即可） 23 (3)连接OM,则AB/OM, 因为AB/平面QGM,ABc平面ABD,平面QGMn平面ABD=GM, 所以AB/GM,即点G在线段OM上（不含端点）， 设0G=10=(-1,0,1),1∈(0,1)， c=0元-0西=(-1,0，)-(-克=-元-a-克 易知平面ABD的一个法向量为元=(0,1,0)， 设QG与平面ABD所成角为p, 则sn0=1cos<0G,成>1=高中J厚-++u-季 IQcm 3 4 22-+ 2a-+ ,1∈(0,1)， 所以当入=时，snp取得最大值，此时p也取得最大值， 故当点G位于△ABD的中位线OM靠近点O的八等分点的第3个点处时，2G与平面ABD所成角最 大 --17分 19. 【小问1详解】 解：设圆心为C(a,a+1),设圆C的半径为r, 圆心到y轴的距离为al,且圆cy轴弦长为2W5,则r2=a2+5,① 且有r=lAC1=√(a-2)2+(a-5)z②， 联立0@可得子，2气品 所以，圆C的方程为(x-2)2+0y-3)2=9或(x-12)2+y-13)2=149.”-5分 【小问2详解】 解：因为C半径小于10，则圆C的方程为(x-2)2+(y-3)2=9, 由圆的几何性质得CM⊥MD即CM⊥BM,所以CM.BM=0, 设M(x,y),则CM=(x-2,y-3),BM=(x-3,y-2) 所以x-2x-3)+0-3)0-2)=0,即M的轨迹方程是(x-)+0-》= 一10分 【小问3详解】 解：设直线CB与直线交于点，由C(2,3)、B(3,2)可知直线CB的斜率是kcB=二=-1， 2-3 因为直线L的斜率为1，则BC⊥L,则∠BMC=∠BFW=90°，∠CBM=∠NBF, 所以，△CBM~△NBF,因此，IBM·IBW=IBC·IBF, 又E到l的距离1BF川=1B-2- 是=京BC1=a-+8-2乎=V2, B N 所以，1BMBM=V五·痘=1，故1BMBN恒为定值1.一17分 D y=x-2