精品解析：安徽省池州市部分学校2024-2025学年上学期联考九年级数学 试题

九年级数学 （沪科版） 考生注意： 1．试卷分值：150分，考试时间：120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．所有答案均要答在答题卡上，否则无效．考试结束后只交答题卡． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． 1. 的值等于（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查特殊角的正弦函数值．只需代入已知的特殊角三角函数值进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. y轴 B. x轴 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，依据题意，由解析式，直接代入对称轴公式“直线”，从而可以判断得解． 【详解】解：∵抛物线， ∴，，， ∴对称轴为直线． ∴对称轴为y轴． 故选：A． 3. 若反比例函数的图象经过点，则k的值是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，根据反比例函数图象上点的坐标特征，将代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得． 故选：B． 4. 如图，某登山队在攀登一座坡角为的山，每爬上一段山坡就会插一根标杆作为标记，每相邻两根标杆之间的水平距离为，那么这两根标杆在坡面上的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案． 【详解】解：由题意得：， 则， 故选：C． 5. 二次函数的图象与轴的交点有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题．通过计算，判断与x轴的交点个数，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故二次函数的图象与轴有2个交点， 故选：C． 6. 如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：在和中， ， ∴当时，；故选项 A 不符合题意； 当时，；故选项 B 不符合题意； 当时，；故选项 C 不符合题意； 当时，无法得到；故选项 D 符合题意； 故选：D． 7. 如图所示的螺旋形是由一系列直角三角形组成的；其中，，每个三角形都以点为顶点．若是第一个小于的角，则的值为（　　）．（参考数据：，，，，，） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，图形规律题，根据图形找出一般规律是解题关键．在直角三角形中，根据勾股定理和正切的定义计算发现，，再根据是第一个小于的角，得出，求出的值后取最小自然数即可． 【详解】解：在直角三角形中，，， ，， ， ， …… 观察发现，，， 是第一个小于的角， ， ， ，即， ， 取最小自然数为， 故选：D． 8. 已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数（）的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第一、三、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的图象与性质； 先根据反比例函数的图象得到，再根据一次函数的图象与性质解答即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限； 故选：A. 9. 已知点在一次函数的图象上，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 与m有关，无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的性质，由于，函数值y随x的增大而减小，据此求解即可． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴y随x的增大而减小． ∵点在一次函数的图象上，， ∴． 故选：C． 10. 如图，在中，，，若，则AC的长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键；过点A作于E，由求得，再由正弦函数关系即可求得． 【详解】解：如图，过点A作于E， 则； 在中，， ∴； 在中，， ∴； 故选：B． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 若锐角满足，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数值，由可得，从而求出，再求． 【详解】解：∵，且为锐角， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 如图，已知点为反比例函数图象上一点，轴于点为轴上任一点，若的面积为5，则的值为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值是解题的关键． 如图，连接，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵轴 ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵由图像可知， ∴． 故答案为：10． 13. 如图，，，若，，则点D到的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质． 过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再根据求解即可． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴点到的距离为． 故答案为：． 14. 已知抛物线（m，n是实数且）经过． （1）若，则该抛物线的顶点坐标为______； （2）若该二次函数满足当时，总有随的增大而减小，则代数式的最小值为____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、函数的图象和性质． （1）将代入得，再将代入得，再将抛物线解析式变形为顶点式即可得顶点坐标； （2）当时，总有随的增大而减小，则，，由抛物线过点(2，1)得得，再代入代数式，进而根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）当时，抛物线为， 因为经过， 所以， ， ，， 则抛物线为， ∴顶点坐标为． 故答案为：． （2）因为当时，总有随的增大而减小， 所以抛物线开口向下，即，且对称轴，． 把代入抛物线得， ∴， ∴，， ∴， 所以， 因为， ∴当时，代数式取得最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分．） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值混合运算，零指数幂，先根据特殊角的三角函数值代入，再进行计算即可求解． 【详解】解： 16. 在中，，a，b，c分别是，，的对边，，，解这个直角三角形． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，根据直角三角形的两个锐角互余求得度数，根据正切的定义求得，再根据正弦的定义求得，即可求解． 【详解】解：因为，，所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分．） 17. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形． （1）在网格中作关于直线对称的． （2）结合所画图形，在直线上作出点，使的值最小，若这个最小值为，求的值． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，点即为所求， 61 【解析】 【分析】本题主要考查了网格和三角形的结合，轴对称的性质，线段和最值问题，勾股定理等内容，解题的关键是掌握轴对称的性质． （1）利用轴对称的性质确定对称点，然后连接对称点即可； （2）利用轴对称的性质，对称轴垂直平分对称点连成的线段，得出，再根据两点之间线段最短确定此时的值最小，最后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由勾股定理得， ∴的值为61． 18. 如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，，求的面积； （3）当时，x的范围为 ． 【答案】（1） （2）4 （3）或 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的表达式，数形结合求不等式的解集，难点是根据图形面积的和差来求的面积． （1）将点代入反比例函数表达式可求出，进而可得反比例函数表达式，再将代入已求出的反比例函数表达式求出，进而得点，然后再将点，代入一次函数的表达式可求出，，进而可得一次函数的表达式； （2）先求出点，可得，然后根据即可得出答案； （3）根据图象即可求解． 【小问1详解】 将点代入，得：， 反比例函数的表达式为：， 将代入，得：， 点的坐标为， 将，代入， 得：，解得：， 一次函数的表达式为：． 【小问2详解】 对于，当时，， 点， ， ； 【小问3详解】 由图象可知，当时，的范围为或． 故答案为：或． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分．） 19. 如图，在中，，，当时，求的长．（说明：解题中需要作辅助线，请用尺规作图法作出这条辅助线，保留作图痕迹，不用写作法） 【答案】，如图； 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是：作辅助线构造直角三角形． 作，在和中，根据特殊角三角函数，依次求出、、的值，即可求解； 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴在中，， ∴． 20. 合浦文昌塔始建于明万历十二年（1584），曾修葺了五次，最后一次修葺于1985年．文昌塔为平面八角形，七层楼阁式砖塔，第一层直径米，塔身坐北向南，每层角檐上有一鳌鱼，下有一个“龙吻”，内边楼级原先是木板，到最后一次修葺改为水泥结构，四周铁水管栏杆也是最后次修葺时装上的，塔顶有铁圆轮及铜座覆盖．北海市实验学校第二探究小组想测得文昌塔的高度，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表． 实践探究活动记录表 活动内容：文昌塔高度 活动日期：2025年11月13日 组长：组员： 工具：测角仪，皮尺等 测量示意图 说明：塔高无法直接测量，数据勘测组在，两处通过测角仪可测得，的度数，以及使用皮尺测得的长度． 测量数据 角的度数 ，， 边的长度 米 计算数据 求塔高 （结果精确到．参考数据：，，，） 特殊说明 （点，，，在同一平面内，且点，，在同一水平线上） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，设米，在中，得出．在中得出，进而建立方程，求得，即可求解． 【详解】解：设米，米， 米， 在中，， （米）， 在中，， ， ∴， 解得：， （米）， ∴塔高约为米． 21. 某公园平面地图中景点在游客中心的正北方向10千米处，观景台在游客中心的西北方向且在景点的西南方向；在游客中心的北偏东方向有一条骑行栈道通往骑行俱乐部，骑行俱乐部在景点的北偏东方向上．（参考数据：，，） （1）请求出骑行栈道的长度；（结果保留根号） （2）为鼓励健康出行，公园推出“活力周末•健行未来”活动，设置两条路线：路线①沿步行，路线②沿骑行．公园规定：步行每走1千米可积累15个健康积分，骑行每走1千米可积累6个健康积分，健康积分可兑换丰富的奖品．请计算说明小铜选择哪条路线积累的健康积分更多．（结果保留整数） 【答案】（1） （2）路线①沿步行健康积分多 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线． （1）如图，过点作于点．解直角三角形求出，可得结论； （2）分别求出步行，骑自行车的健康积分可得结论． 【小问1详解】 解：如图，过点D作于点H．延长至， ，，， ， 千米， （千米）， （千米）， 千米； 【小问2详解】 ∵， ， （千米）， （千米）， ∴步行的健康积分（分）； （千米）， 千米（千米）， ∴骑自行车的健康积分（分）， ， ∴路线①沿步行健康积分多． 七、解答题（本大题满分12分） 22. 如图1，梯形中，，，，，，点是射线上一动点（不与点重合），将沿着进行翻折，点的对应点记为点． （1）如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出定义域； （2）如图，连接，线段与射线交于点，当是等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）与之间的函数关系式为 （2）的长为或或 【解析】 【分析】（1）用梯形和矩形的性质求出，确定的定义域；由翻折得垂直平分，可证、，利用相似的比例关系，将面积比转化为线段比，再推导函数式即可； （2）先求出，分三种等腰情况讨论：当时，通过证明得，结合勾股定理列方程求；当时，用相似比得，再通过勾股定理求解；当时，利用值相等的关系计算． 【小问1详解】 解：如图1，过点作于点，设交于，设，， ∴，， ∵在梯形中，，，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵点在线段上（不与点重合），， ∴， ∵将沿着进行翻折，点的对应点为点， ∴，， ∴垂直平分线段， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴①， ∵，， ∴， ∴，即， ∴②， ②①，得：， ∴， ∴与之间的函数关系式为； 答：与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：①如图2，在梯形中，，，，，当时，延长交于，设， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵将沿着进行翻折，点的对应点为点， ∴，，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ②如图3，当时， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ③如图4，当时，点与重合， ∵垂直平分， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 综上所述，当是等腰三角形时，的长为或或． 答：的长为或或． 【点睛】本题考查梯形、矩形的性质，图形翻折的性质，相似三角形的判定与性质，三角函数与勾股定理，掌握分类讨论思想是解题关键． 八、解答题（本大题满分14分） 23. 如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，且． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，BC，求面积的最大值； （3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转后，点A的对应点恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）P（-1，1）或（-1，-2）． 【解析】 【分析】（1）由题意已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）根据题意连接BC，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，-a2-2a+3）（-3＜a＜0），可得EF=-a2-2a+3，BF=a+3，OF=-a，根据S△BEC=S四边形BOCE-S△BOC，构建二次函数，利用二次函数的性质求解即可． （3）根据题意由P在抛物线的对称轴上，设出P坐标为（-1，m），如图所示，过A′作A′N⊥对称轴于N，由旋转的性质得到一对边相等，再由同角的余角相等得到一对角相等，根据一对直角相等，利用AAS得到△A′NP≌△PMA，由全等三角形的对应边相等得到A′N=PM=|m|，PN=AM=2，表示出A′坐标，将A′坐标代入抛物线解析式中求出相应m的值，即可确定出P的坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0）， ∴OB=3， ∵OC=OB， ∴OC=3， ∴c=3， ∴， 解得：， ∴所求抛物线解析式为：； （2）如图2，连接BC，过点E作EF⊥x轴于点F， 设E（a，-a2-2a+3）（-3＜a＜0）， ∴EF=-a2-2a+3，BF=a+3，OF=-a， ∴S△BEC=S四边形BOCE-S△BOC=BF•EF+（OC+EF）•OF-•OB•OC =（a+3）•（-a2-2a+3）+（-a2-2a+6）•（-a）- =-a2-a =-（a+）2+， ∴当a=-时，S△BEC最大，且最大值为． （3）∵抛物线y=-x2-2x+3的对称轴为x=-1，点P在抛物线的对称轴上， ∴设P（-1，m）， ∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上， ①当m≥0时， ∴PA=PA′，∠APA′=90°， 如图3，过A′作A′N⊥对称轴于N，设对称轴于x轴交于点M， ∴∠NPA′+∠MPA=∠NA′P+∠NPA′=90°， ∴∠NA′P=∠NPA， 在△A′NP与△PMA中， ， ∴△A′NP≌△PMA（AAS）， ∴A′N=PM=m，PN=AM=2， ∴A′（m-1，m+2）， 代入y=-x2-2x+3得：m+2=-（m-1）2-2（m-1）+3， 解得：m=1，m=-2（舍去）， ②当m＜0时，要使P2A=P2A2，由图可知A2点与B点重合， ∵∠AP2A2=90°， ∴MP2=MA=2， ∴P2（-1，-2）． ∴满足条件的点P的坐标为P（-1，1）或（-1，-2）． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数，二次函数的性质，四边形的面积．利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 （沪科版） 考生注意： 1．试卷分值：150分，考试时间：120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．所有答案均要答在答题卡上，否则无效．考试结束后只交答题卡． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． 1. 的值等于（ ） A. 1 B. C. D. 2 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. y轴 B. x轴 C. 直线 D. 直线 3. 若反比例函数的图象经过点，则k的值是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 4. 如图，某登山队在攀登一座坡角为的山，每爬上一段山坡就会插一根标杆作为标记，每相邻两根标杆之间的水平距离为，那么这两根标杆在坡面上的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的图象与轴的交点有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 6. 如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示的螺旋形是由一系列直角三角形组成的；其中，，每个三角形都以点为顶点．若是第一个小于的角，则的值为（　　）．（参考数据：，，，，，） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数（）的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第一、三、四象限 9. 已知点在一次函数的图象上，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 与m有关，无法确定 10. 如图，在中，，，若，则AC的长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 若锐角满足，则_______． 12. 如图，已知点为反比例函数图象上一点，轴于点为轴上任一点，若的面积为5，则的值为_____． 13. 如图，，，若，，则点D到的距离为______． 14. 已知抛物线（m，n是实数且）经过． （1）若，则该抛物线的顶点坐标为______； （2）若该二次函数满足当时，总有随的增大而减小，则代数式的最小值为____． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分．） 15. 计算：． 16. 在中，，a，b，c分别是，，的对边，，，解这个直角三角形． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分．） 17. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形． （1）在网格中作关于直线对称的． （2）结合所画图形，在直线上作出点，使的值最小，若这个最小值为，求的值． 18. 如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，，求的面积； （3）当时，x的范围为 ． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分．） 19. 如图，在中，，，当时，求的长．（说明：解题中需要作辅助线，请用尺规作图法作出这条辅助线，保留作图痕迹，不用写作法） 20. 合浦文昌塔始建于明万历十二年（1584），曾修葺了五次，最后一次修葺于1985年．文昌塔为平面八角形，七层楼阁式砖塔，第一层直径米，塔身坐北向南，每层角檐上有一鳌鱼，下有一个“龙吻”，内边楼级原先是木板，到最后一次修葺改为水泥结构，四周铁水管栏杆也是最后次修葺时装上的，塔顶有铁圆轮及铜座覆盖．北海市实验学校第二探究小组想测得文昌塔的高度，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表． 实践探究活动记录表 活动内容：文昌塔高度 活动日期：2025年11月13日 组长：组员： 工具：测角仪，皮尺等 测量示意图 说明：塔高无法直接测量，数据勘测组在，两处通过测角仪可测得，的度数，以及使用皮尺测得的长度． 测量数据 角的度数 ，， 边的长度 米 计算数据 求塔高 （结果精确到．参考数据：，，，） 特殊说明 （点，，，在同一平面内，且点，，在同一水平线上） 21. 某公园平面地图中景点在游客中心的正北方向10千米处，观景台在游客中心的西北方向且在景点的西南方向；在游客中心的北偏东方向有一条骑行栈道通往骑行俱乐部，骑行俱乐部在景点的北偏东方向上．（参考数据：，，） （1）请求出骑行栈道的长度；（结果保留根号） （2）为鼓励健康出行，公园推出“活力周末•健行未来”活动，设置两条路线：路线①沿步行，路线②沿骑行．公园规定：步行每走1千米可积累15个健康积分，骑行每走1千米可积累6个健康积分，健康积分可兑换丰富的奖品．请计算说明小铜选择哪条路线积累的健康积分更多．（结果保留整数） 七、解答题（本大题满分12分） 22. 如图1，梯形中，，，，，，点是射线上一动点（不与点重合），将沿着进行翻折，点的对应点记为点． （1）如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出定义域； （2）如图，连接，线段与射线交于点，当是等腰三角形时，求的长． 八、解答题（本大题满分14分） 23. 如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，且． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，BC，求面积的最大值； （3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转后，点A的对应点恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $