2025年浙江省宁波市高中数学竞赛试题

.20 2025年宁波市高中数学竞赛试题 通 的0 2025年12月14日8：00-10：00 注意： ①本卷不得使用计算器： ②报考A组的考生作答A卷（所有试题），报考B组的考生作答B卷（前15题）： ③请考生按规定用笔，将所有试题的答案涂、写在答题纸上.四0门，乙1 一，选择题1（本题共3小题，每小题8分，共24分，每小题列出的四个选项中只有一个是 符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分，) 4四0用T(头 1.已知圆C:x2+y2=r2(v>0)和直线1：3x+4y-25=0,若圆C上存在三点到直线1的距离成 公比为2的等比数列，则r的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图，已知△AB8C满足AB1AC,∠4CB=号，D为线段BC中点， E为线段AC上的动点，记∠EDC=O,将四边形ABDE沿着DE翻 折成几何体C-ABDE.若在翻折过程中，总存在某一个位置使得 B,C⊥AE,则O的取值范围为 3π3π A 105 B. 3.已知[x]表示不超过x的最大整数， 则函数y=(x-n号h-+)的值域为 B.（o[0 ( D.（e[a到 二，选择题Ⅱ（本题共3小题，每小题8分，共24分，每小题列出的四个选项中至少有一个 是符合题目要求的，全部选对的得8分，选对但不全的得部分分，不选、有选错的均不得分，) 4.已知数列{a}满足(a-a,-3a-2a)=0(neN),a,=1,则数列{a}中的项可能为 A.1945 B.2025 C.80 D.93 2025年宁波市高中数学竟赛试题卷第1页（共4页） 5.已知函数f(x)满足f(2cosx)+2f-cosx-√3sinx)=sin2x,则 只图志)1遇裕豫四 A-)-5B.0=-5 c.f)=0 D.fN2=0 6.如图，在一个底面边长为6，高为h的有盖正四棱锥容器内放 入球O与球O,若球O的半径为R,且与正四棱锥容器的各个侧 面和底面均相切，球O'的半径为”，与球O相切，且与正四棱锥 容器的两个侧面和底面相切，则 A,当h=4时，R=3 B.当R=√5时，h=3√月 C.当R-时，r月 D.当r=1时，R=2 三.填空题（本题共6小题，每小题8分，共48分.） 7.某校学生积极参加社团活动，高二年级共100名学生，其中参加合唱社团的学生有63名， 参加科技社团的学生有75名，则同时参加这两个社团的学生最少有▲名 8.已知正实数x,y,满足x+8y=y,则(x+1)(y+1)的最小值为△ 9.函数f(x)=min{2√，k-3引，其中min{a,b}= a,a≤b 6,a>6'若直线y=m与函数y=f)的 图象有三个不同的交点A,B,C,则OA.OB+OB.OC+OC.OA的取值范围为▲一· 10.一颗质地均匀的骰子投掷三次，正面朝上的点数分别为x,,:,则这三个数的方差不超 过1的概率为▲一· Il.在锐角△ABC中，tan Atan B+tan Btan C+tan Ctand=2025,则cos Acos BcosC=△- 12.设复数满足马+3+2名+2，=1，则∑+∑剂的最小值为4 2025年宁波市高中数学竟赛试题卷第2页（共4页） 四.解答题1（本题共3小题，第13、14、15题依次为16、18、20分，共54分.） 13.已知抛物线C:y2=2px(P>0),过点Q(L,0)作斜率为P的直线与抛物线C相交于A,B 两点 ()若18卧}、F,求抛物战C的方程 (2)求080 的最大值。 ,个的 14.已知正项数列{a,}满足a.=2a,+1(neN) (1)若数列{b,}为等比数列，且数列{a。b,}的前n项和T,=(2n-3)2+6,求{a,}的前 n项和S.: (2)若整数数列{a,}为递增数列，且4=l4=6,求a,冷”年 15.已知a是实数，函数f(x)=x2-2am-2k-d-a+2, (1)若方程f(x)=0恰有三个不同的实数解，求a的值：，8 (2)若ae 是否存在区间D=[b,c](e之0)，使得{f(x)1xeD}=D.若存在，求a 的取值范围：若不存在，请说明理由。 2025年宁波市高中数学境赛试题卷第3页（共4页） 五，解答题(A卷试题，B卷考生不答.本题共2小题，每小题25分，共50分.) 16.如图，点E是平行四边形ABCD边AB上一点，直线CE与直线AD交于点F,△AEF的 外接圆在点E和点F处的切线相交于点K, (1)记直线CK与△EFK的外接圆交于点S(异于 点K),求证： (i)B,S,C,E四点共圆： (i)F,S,C,D四点共圆： (2)记直线AK与△EFK的外接圆交于点T(异于： 点K),求证：A,T,B,D四点共圆 17.对于正整数n,定义()为1,2，…，n中与n互质的数的个数，s()为n的十进制下的各数码 之和.若正整数n满足n=()+s(),则称正整数n为好数” (1)证明：若n为“好数"，则n≤9999： (2)求所有的“好数” 2025年宁波市高中数学竞赛试题卷第4页（共4页）