第13章《三角形》期末单元复习卷2025-2026学年人教版数学八年级上册

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 人教版八年级数学 第十三章 三角形 期末复习卷 考试时间:120分钟 满分120分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷I（选择题） 一、选择题（本题共计 10 小题 ，每题 3分 ，共计30分）   1.安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（    ） A.两点确定一条直线 B.两点之间线段最短 C.三角形的稳定性 D.垂线段最短 2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A.，， B.，， C.，， D.，， 3.请同学们认真观察，图中三角形的个数为（    ） A. B. C. D. 4.如图，中边上的高是（    ） A. B. C. D. 5.长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形， 的值可以是（    ） A. B. C. D. 6.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（    ） A. B.或 C. D.或 7.如图，在四边形中，，若，则 （   ） A. B. C. D. 8. 如图，点为内一点，的周长为，，则的值可能是（   ） A. B. C. D. 9.如图，在中，点为的中点，点为边上一点，且，连接，，且交于点，连接，若，则的面积是（   ） A. B. C. D. 10.如图，在中，和的平分线相交于点交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③；④若，则．其中正确的结论是（    ） A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.若等腰三角形边长分别为和，则该等腰三角形的腰长是______________． 12.已知三角形的三边长分别为，，，周长为，则为_________ 13.如图，、分别是的角平分线和高，，，则           ． 14.如图，是的重心，若的面积是，则阴影部分的面积和是________． 15.如图，在中，，，的平分线交边于，且，若，则_______． 16.如图，中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于点，交于点，已知；下列结论中正确的有___________（填序号）． ①；    ②；    ③；    ④． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ） 17.（4分）在中，，，．若的长度是奇数，求的周长． 18.（6分）现有、、三个有理数，且，． （1）求、、的值； （2）若、、分别是三条边的长度， ①按边分，是_____三角形； ②求出此时的周长． 19.（6分）如图所示，是的中线，是的中线． （1）在中作边上的高； （2）若的面积为，，则点到边的距离是多少？ 20.（8分）如图，已知，分别是的边上的高和中线，若 ，，． （1）求的长度； （2）求的面积； （3）求和的周长之差． 21.（8分）如图，在每个小正方形的边长都是的方格纸中，的顶点，，都在小正方形的格点上，请按下列要求画出所求线段及点，要求所画线段的端点和所画的点均在格点上． （1）画出要求的线段： ①在边上取一点，连接，使； ②画出边上的高线； （2）求的面积； （3）画出要求的点：在方格纸中取一点，使． 22.（8分）如图，在中，，点在边上，点在边上，且，连结． （1）当，求的度数； （2）当点在（点、除外）边上运动时，试写出与的量关系，并说明理由． 23.（10分）如图，在中，，，，，为的高． （1）求的面积和的长； （2）若点从点出发，以的速度沿边、运动，到达点后即刻停止运动．设运动时间为，则当为何值时，的面积为？ 24.（10分）如图，在中，，点在的延长线上，连接，平分交于点，过点作，垂足为点，与相交于点． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求证：． 25.（12分）在四边形中，在其内部，满足，． （1）如图，当时，如果，直接写出的度数______； （2）当时，、分别在、的延长线上，下方一点，满足，， ①如图，判断与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图，延长线段、交于点，中，存在一个内角等于另一个内角的倍，直接写出的度数为______． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 人教版八年级数学 第十三章 三角形 期末复习卷 考试时间:120分钟 满分120分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷I（选择题） 一、选择题（本题共计 10 小题 ，每题 3分 ，共计30分）   1.安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（    ） A.两点确定一条直线 B.两点之间线段最短 C.三角形的稳定性 D.垂线段最短 【答案】C 【解析】本题主要考查了三角形的稳定性，采用如图的设计是构造三角形，应用了三角形的稳定性，理解题意是解题关键． 【解答】解：这种方法应用的几何原理是：三角形的稳定性， 故选：． 2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A.，， B.，， C.，， D.，， 【答案】B 【解析】根据三角形的三边关系即可求解. 【解答】选项，，两边之和小于第三边，故不能组成三角形 选项，，，两边之各大于第三边，两边之差小于第三边，故能组成三角形 选项，，两边之和小于第三边，故不能组成三角形 选项，，两边之和不大于第三边，故不能组成三角形 故选． 3.请同学们认真观察，图中三角形的个数为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查三角形，关键是掌握三角形的概念．由三角形的概念，数的时候要注意按照一定的规律，不重不漏． 【解答】解：有，，，，，共个三角形． 故答案为：． 4.如图，中边上的高是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】三角形高的定义是：从三角形的一个顶点向对边引垂线，从顶点到垂足之间的线段是三角形的高，据此可判断． 【解答】边对应的顶点是，， 是边上的高． 故选：． 5.长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形， 的值可以是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据三角形的三边关系可判断的取值范围，进而可得答案. 【解答】解：由三角形三边关系定理得，即． 因此，本题的第三边应满足，把各项代入不等式符合的即为答案． ，，都不符合不等式，只有符合不等式， 故选：． 6.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（    ） A. B.或 C. D.或 【答案】B 【解析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形中线的性质，一元一次方程的应用，根据题意先画出图形，设腰，由中线性质可得，再分和两种情况，列出方程解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【解答】解：如图，中，，为的中线， 设腰， 为的中线， ， 中线将它的周长分成和两部分, 当时，， 解得； 当时，， 解得； 等腰三角形的腰长为或， 故选：． 7.如图，在四边形中，，若，则 （   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等．由等腰三角形的性质推出，，得到，求出． 【解答】解：， ，， ， ． 故选：． 8. 如图，点为内一点，的周长为，，则的值可能是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了三角形的三边关系．延长交于点，根据三角形的三边关系求得，推出，再根据题意求解即可． 【解答】解：延长交于点， ，， ， ， 的周长为，， ， 点为内一点， ， 的值可能是， 故选：． 9.如图，在中，点为的中点，点为边上一点，且，连接，，且交于点，连接，若，则的面积是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了三角形的面积，等高模型，三角形的中线，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据，求得，然后求得，再结合中线，即可得出答案． 【解答】解：，， ， ， ， 点为的中点， ， ， 故选：． 10.如图，在中，和的平分线相交于点交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③；④若，则．其中正确的结论是（    ） A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 【答案】D 【解析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的判定与性质，由角平分线的定义和三角形内角和定理可求解和的关系，进而判定①；根据得，根据角平分线和三角形内角和定理得，在上取一点，使，利用证明可得，利用可证明得，进而可判定②；没有条件证明②；作于，于，根据题意得，根据，利用三角形面积即可判断④，即可得． 【解答】解：和的平分线，相交于点， ，， ， 故①正确； ， ， ，分别是和的平分线， ， ， ， ， 如图所示，在上取一点，使， 是的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故②正确； ③不一定成立，故③错误 如图所示，作于，于， 和的平分线相交于点， 点在的平分线上， ， ， ， 故④正确； 综上，①②④正确， 故选：． 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.若等腰三角形边长分别为和，则该等腰三角形的腰长是_________________． 【答案】 【解析】本题考查了等腰三角形的性质，以及三角形三边的关系．根据等腰三角形的性质，腰长可能为或，但需满足三角形三边关系定理，即任意两边之和大于第三边。 【解答】解：当为腰，为底时，能构成三角形，此时腰为； 当为底，为腰时，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去． 故腰长是． 故答案为：．  12.已知三角形的三边长分别为，，，周长为，则为____5________ 【答案】5 【解析】本题考查了三角形的周长，一元一次方程，解题的关键是掌握相关知识．根据题意列方程即可求解． 【解答】解：三角形的三边长分别为，，，周长为， ， 解得， 则三边长分别为，且满足，三边能构成三角形. 故答案为：． 13.如图，、分别是的角平分线和高，，，则             ． 【答案】 【解析】根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后求解即可． 【解答】解：，， 是角平分线， ， 是高， ， ． 14.如图，是的重心，若的面积是，则阴影部分的面积和是________6____． 【答案】 【解析】本题考查了三角形重心，三角形中线平分面积的知识．三角形的重心：是三角形三条中线的交点，由此得到是的中线，根据三角形中线平分三角形面积得到，由此即可求解． 【解答】解：是的重心， 是的中线，即点分别是的中点， 是的中线， ， ， ， 故答案为：6 15.如图，在中，，，的平分线交边于，且，若，则_______3____． 【答案】 【解析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余的性质以及全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键．延长交于点，由且平分，证得，可得，再根据，，，证得，进一步证明，则可得，从而得到． 【解答】解：如图，延长交于点， 且平分， ，， ， ， ， ，，， ， 在和中 ， ， ， ， 故答案为：3 16.如图，中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于点，交于点，已知；下列结论中正确的有_____①②________（填序号）． ①；    ②；    ③；    ④． 【答案】①② 【解析】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形外角性质的应用，三角形的高与角平分线的含义，由三角形的内角和定理可判断①，②；利用三角形的角平分线与高的含义表示，结合，可得，进一步可判断③，由三角形的外角的性质可判断④. 【解答】解：，， ， 是高，即， ，即，故①符合题意； ，故②符合题意； 平分， ， ， ， ， ， ， ，故③不符合题意； ，， ， 不一定相等， ，故④不符合题意； 故答案为：①② 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ） 17.（4分）在中，，，．若的长度是奇数，求的周长． 【答案】 【解析】本题考查了三角形的三边关系及条件应用．先根据三角形的三边关系确定的取值范围，再结合和的长度为奇数的条件确定的值，最后计算周长． 【解答】解：在中，，， 根据三角形三边关系，， 即， ， 又，即， ， 的长度是奇数， ， 的周长为． 18.（6分）现有、、三个有理数，且，． （1）求、、的值； （2）若、、分别是三条边的长度， ①按边分，是__等腰___三角形； ②求出此时的周长． 【答案】，，或 ①等腰；② 【解析】（1）根据非负数的性质求出、的值，再根据绝对值的性质求出的值； （2）根据三角形三边关系判断三角形的类型，再计算三角形的周长． 【解答】（1）解：由题意得，，， ，， 又根据绝对值的意义可知或， 或 综上所述，，，或 （2）解：①当时，边长为、、，不满足三角形三边关系，无法构成三角形， 当时，边长为、、，满足三角形三边关系，构成等腰三角形， 故答案为：等腰． ②当时，周长为， 的周长为 19.（6分）如图所示，是的中线，是的中线． （1）在中作边上的高； （2）若的面积为，，则点到边的距离是多少？ 【答案】见解答 【解析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可； （2）首先根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可得出，再利用三角形的面积公式进而得到点到边的距离． 【解答】（1）解：如图所示，为边上的高； （2）解：是的中线，是的中线， ，， ， 的面积为，， ， 解得， 即点到边的距离为3 20.（8分）如图，已知，分别是的边上的高和中线，若 ，，． （1）求的长度； （2）求的面积； （3）求和的周长之差． 【答案】 的面积是 和的周长的差是 【解析】（1）根据的面积两种求法计算即可； （2）直接用面积公式计算即可； （3）由于是中线，那么，于是可得的周长与的周长差，代入计算即可． 【解答】（1）解：是边上的高， ， ， 即． （2）是边的中线，， ． 由可知， ， 的面积是 （3）为边上的中线， ， 的周长的周， 即和的周长的差是． 21.（8分）如图，在每个小正方形的边长都是的方格纸中，的顶点，，都在小正方形的格点上，请按下列要求画出所求线段及点，要求所画线段的端点和所画的点均在格点上． （1）画出要求的线段： ①在边上取一点，连接，使； ②画出边上的高线； （2）求的面积； （3）画出要求的点：在方格纸中取一点，使． 【答案】见解答见解答 见解答 【解析】（1）①画出边上的中线即可；②过点向的延长线作垂线，垂足为点即可； （2）根据网格，利用割补法求解即可； （3）过点作，直线与格线的交点是格点，即为所求的点． 【解答】（1）解：如图所示：①线段即为所求；线段即为所求． ①点是， 根据等底同高的两三角形面积相等得； ， 是边上的高线． （2）解：． （3）解：如图所示：点即为所求． 与的底边的高相等， ．   22.（8分）如图，在中，，点在边上，点在边上，且，连结． （1）当，求的度数； （2）当点在（点、除外）边上运动时，试写出与的量关系，并说明理由． 【答案】； ； 【解析】（1）本题考查三角形内角和定理与内外角关系，根据内外角关系得到 ，结合得到，再结合，即可得到答案； （2）本题考查三角形内角和定理与内外角关系，根据内外角关系得到 ，结合得到，再结合即可得到答案； 【解答】（1）解：在中，， ， ， ，，， ； （2）解：在中，， ， ， ，， ．  23.（10分）如图，在中，，，，，为的高． （1）求的面积和的长； （2）若点从点出发，以的速度沿边、运动，到达点后即刻停止运动．设运动时间为，则当为何值时，的面积为？ 【答案】的面积为，的长为 或 【解析】（1）根据三角形的面积公式求解即可； （2）分点在上、点在上两种情况，利用三角形的面积公式列方程求解即可． 【解答】 （1）解：在中，，，， ， 又，为的高， , ； （2）解：①当点在上时， 由得， ； ②当在上时，, 由得， 解得， 的值为或时，的面积为． 24.（10分）如图，在中，，点在的延长线上，连接，平分交于点，过点作，垂足为点，与相交于点． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求证：． 【答案】等腰三角形，理由见解析 见解答 【解析】（1）根据等边对等角，可得，然后利用三角形内角和定理，可证，结合对顶角相等，可得，从而判定其为等腰三角形； （2）不妨设，然后利用三角形内角和定理，分别表示出，即可得证． 【解答】（1）解：等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）证明： 平分交于点， ， 设， ，， ． 25.（12分）在四边形中，在其内部，满足，． （1）如图，当时，如果，直接写出的度数______； （2）当时，、分别在、的延长线上，下方一点，满足，， ①如图，判断与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图，延长线段、交于点，中，存在一个内角等于另一个内角的倍，直接写出的度数为______． 【答案】 ①见解答②或 【解析】（1）首先根据四边形的内角和及角平分线的定义，求出，进而根据三角形的内角和定理即可求解； （2）①首先由已知求出，，根据平角的定义得出，同理，根据四边形的内角和定理即可求解；②在中，由①得，根据题意分二种情况进行讨论：，，分别求解即可． 【解答】（1）解：，， 当时，，， ，， ，， ， ， ； 故答案为：； （2）①． 证明：，， 当时，，， ，， ，， ， 同理， ， ． ②由①得：，， 如果中，存在一个内角等于另一个内角的倍，那么分二种情况： 当， ， ，则， ， ， ，， ， ； 当， ， ，则， ， ， ，， ， ． 综上所述，的度数为：或． 故答案为：或． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $