精品解析：黑龙江省七台河市勃利县两校联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年上学期九年级12月月考 数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的乘除和加减运算，对每个选项进行计算判断结果的正误． 【详解】解： A选项：∵ ，满足题意要求； B选项：∵ ，不满足题意要求； C选项： ∵ ，不满足题意要求； D选项： ∵ ，不满足题意要求； 故选A． 2. 下面的图形是用数学家名字命名的，既是轴对称图形又是中心对称图形的（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 3. 一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据三视图判断由小正方体堆砌的几何体中小正方体的个数，先确定位置，再根据主视图和左视图，确定个数即可． 【详解】解：观察物体的主视图和左视图可知：该几何体有两层，下面一层最少要有2个小正方体，上面一层最少要有1个小正方体，其俯视图如下： 故组成该几何体所需小正方体的个数最少是； 故选：A． 4. 为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，李老师随机调查了本班10名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）：4，7，7，6，5，7，6，5，6，7，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 7，6 B. 6，7 C. 5，7 D. 6，6 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数、众数的意义和计算方法进行计算即可． 本题考查中位数、众数的意义和计算方法，理解中位数、众数的意义是正确解答的前提，掌握计算方法是解决问题的关键． 【详解】解：这组数据4，7，7，6，5，7，6，5，6，7中，出现次数最多的是7，因此众数是7， 将这组数据从小到大排列4，5，5，6，6，6，7，7，7，7，处在第5、6位的两个数都是6，因此中位数是6． 故选：B． 5. 实验中学数学“研学”活动小组在一次野外实践时发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为57，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是得出量与量之间的等量关系，建立一元二次方程，设每个支干长出的小分支个数为，根据主干、支干和小分支的总数为57，列出方程求解． 【详解】解：设每个支干长出的小分支个数为． ∵ 主干1个，支干个，小分支个， ∴， 即， 解得（舍去）， ∴ 小分支个数为7， 故选：B． 6. 如果关于x的分式方程 的解是正数，那么实数 m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解分式方程，得到解的表达形式，再根据解为正数且分母不为零，列出不等式求解． 【详解】∵ ， 去分母得，， ∴ ，且，即． ∵ 解是正数， ∴ ，即 ， ∴ ． 综上，， 故选：C． 7. 为喜迎“全国两会”胜利召开，某校开展了以“永远跟党走，奋进新征程”为主题的演讲活动，现计划拿出200元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的同学，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（　　） A. 6种 B. 5种 C. 4种 D. 3种 【答案】A 【解析】 【分析】设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，根据题意列出二元一次方程，x，y均为正整数，得出x，y的值，进而可求解． 【详解】解：设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件， 由题意得：，即， ∵x，y均为正整数， ∴或或或或或， 综上所述，共有6种购买方案， 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 8. 如图，将绕点A顺时针旋转,得到，若点E在线段上，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角，解题的关键是掌握旋转的性质． 根据旋转的得出旋转角以及相等的边，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：根据旋转的性质得，， ∴， 故选：B． 9. 如图，中，，AD平分与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若的面积是24，，则PE的长是（ ） A. 2.5 B. 2 C. 3.5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】连接DE，取AD的中点G，连接EG，先由等腰三角形“三线合一“性质，证得AD⊥BC，BD=CD，再由E是AB的中点，G是AD的中点，求出S△EGD=3，然后证△EGP≌△FDP（AAS），得GP=CP=1.5，从而得DG=3，即可由三角形面积公式求出EG长，由勾股定理即可求出PE长． 【详解】解：如图，连接DE，取AD的中点G，连接EG， ∵AB=AC，AD平分与BC相交于点D， ∴AD⊥BC，BD=CD， ∴S△ABD==12， ∵E是AB的中点， ∴S△AED==6， ∵G是AD的中点， ∴S△EGD==3， ∵E是AB的中点，G是AD的中点， ∴EGBC，EG=BD=CD， ∴∠EGP=∠FDP=90°， ∵F是CD的中点， ∴DF=CD， ∴EG=DF， ∵∠EPG=∠FPD， ∴△EGP≌△FDP（AAS）， ∴GP=PD=1.5， ∴GD=3， ∵S△EGD==3，即， ∴EG=2， 在Rt△EGP中，由勾股定理，得 PE==2.5， 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形面积，全等三角形判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形中线分三角形两部分的面积相等是解题的关键． 10. 如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点，连接，，则下列结论： ；；；；． 其中正确的个数是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明，进而依据“”判定和全等得，，由此可对结论进行判断； 设与交于点，与交于点，根据三角形内角和定理得，由此可对结论进行判断； 根据，得，由此可对结论进行判断； 过点作交的延长线于点，证明和全等得，进而再证明和全等得；由此可对结论进行判断； 由和全等得，进而得，再由和全等得，由此可对结论进行判断，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ，， 故结论正确； 设与交于点，与交于点，如图所示： 在中，， 在中，， ，，， ， ， 故结论正确； ， ， 在中，是边上的高， ， ， 故结论正确； 过点作交的延长线于点，如图所示： ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 故结论正确； ， ， ， ， ， ， ， 故结论正确， 综上所述：正确的结论是，共个， 故选：D． 二．填空题（每小题3分，共30分） 11. 从2024年12月21日至2025年2月4日，哈尔滨冰雪大世界运营46天，累计接待游客数量突破266万人次．其中266万人用科学记数法表示为___________人． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 先将“万人”转换为“人”，再根据科学记数法作答即可． 【详解】解：266万人人． 故答案为：． 12. 函数中，自变量的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数． 【详解】依题意，得x-3≥0， 解得：x≥3． 【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 13. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，要使菱形成为正方形，应添加的一个条件是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定，根据“对角线相等的菱形是正方形”或“有一个角是直角的菱形是正方形”，即可解答． 【详解】解：可添加条件是，理由 ∵四边形是菱形，， ∴菱形是正方形． 故答案为：（答案不唯一） 14. 长江是中华文明的重要摇篮，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选两种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”和“荆楚文化”的概率是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出选择B巴蜀文化和C荆楚文化的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化分别用A、B、C、D表示， 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中选择B巴蜀文化和C荆楚文化的结果数为2， 选中“巴蜀文化”和“荆楚文化”的概率是． 故答案为：． 15. 关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得m的取值范围可得． 【详解】解：解不等式x+1≥m，得：x≥m﹣1， 解不等式2﹣3x≥﹣4，得：x≤2， ∵不等式组有3个整数解， ∴，即， 故答案为0＜m≤1． 【点睛】本题是对不等式知识的考查，熟练掌握不等式知识是解决本题的关键. 16. 如图，是的切线，点为切点，连接并延长交于点，连接．若 ，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，解题的关键是利用切线的性质得到直角，再结合等腰三角形和外角性质推导角度． 先由切线的性质得，结合的度数求出的度数，再根据（等腰三角形）及三角形外角性质，求出的度数． 【详解】解：连接 是的切线，切点为， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 17. 若圆锥的母线长为30，侧面积是，则这个圆锥的底面半径为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算公式：是解题的关键． 根据圆锥的侧面积的计算公式：，将数据代入求解即可． 【详解】解：圆锥的侧面积公式为，其中为侧面积，为底面半径，为母线长， 已知，，代入公式得： ，解得． 故答案为：10． 18. 如图，在菱形中，对角线，交于点，，，点是上的一个动点，连接，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意作辅助线，过点作交于点，交于点，利用菱形的性质和勾股定理推出为等边三角形，根据角所对的直角边等于斜边的一半，推出，进而得到的最小值即的值，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交于点，交于点，此时的值最小， 在菱形中，对角线，交于点， ∴，，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴的最小值为， 故答案为： ． 【点睛】此题考查了最短路线问题，掌握菱形的性质以及线段的性质：两点之间，线段最短，勾股定理，解直角三角形，等边三角形的判定与性质． 19. 如图，在菱形中，，，点是边上的动点，把沿着折叠得到，点的对应点为，当垂直于菱形的一边时，的长为___________． 【答案】或##或##或##或 【解析】 【分析】分情况和两种情况讨论即可． 【详解】解：①当时，作图如下： ∵， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∵，， ∴ 由折叠的性质可知：，， ∴， ∴ ∴ ②当时，作图如下： ∵， ∴， 又∵， ∴． ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∴． 由折叠的性质可知：， ∴． ∵，，， ∴， 综上所述：的长为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查菱形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的性质等知识，根据题意正确作图和分类讨论是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线直线:，在直线上取一点B，使，以点B为对称中心，作点O的对称点，过点作，交x轴于点，作轴，交直线于点，得到四边形；再以点为对称中心，作点O的对称点，过点作，交x轴于点，作轴，交直线于点，得到四边形；…按此规律下去，则四边形的面积是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的解析式求得直线和轴的夹角的大小，再根据题意求得的长，然后依据直角三角形三角函数的求法求得的长，进而求得的长，然后根据等边三角形的性质，求得，最后根据菱形的面积等于对角线积的一半即可求得． 【详解】解：过点作轴于点E，如图所示： 设点，则有， ∴， ∴， 同理可得：， ∵点为上一点，且， ∴根据题意可知：，，，，……；， ∵，轴， ∴四边形是平行四边形， 由中心对称的性质可知：， ∴四边形是菱形， 同理可得四边形、四边形，…..，四边形都是菱形， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ， 同理可得：， ， …..； ， ∴四边形的面积， ∴四边形的面积是； 故答案为． 【点睛】本题考查了一次函数的综合运用、三角函数、中心对称图形的性质及菱形的性质与判定．关键是利用中心对称的性质，以及等边三角形的性质求得线段的长，得出一般规律． 三、解答题（本题满分60分） 21. 先化简，再求值： 其中 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ， ， ∴原式 ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，将向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度． （1）画出平移后的图形 ； （2）将绕点O顺时针旋转 ，画出旋转后的图形 并写出点 的坐标； （3）在（2）的条件下，求线段所扫过的面积（结果保留）． 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求．由图可知，坐标为； （3） 【解析】 【分析】本题考查平移作图，旋转作图，勾股定理和扇形的面积公式，掌握平移的性质，旋转的性质和扇形面积公式是解题关键． （1）根据平移的性质，先描点后连线即可； （2）根据旋转的性质，先描点后连线即可； （3）先用勾股定理求出和的长，扫过的面积可以看作一个以为内径，为外径的的扇环的面积，运用扇形面积公式计算出扇形和扇形的面积，作差即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，， ∴，， ∴线段 所扫过的面积为扇形的面积减去扇形的面积， ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点和，交y轴于点 C，轴，交抛物线于点 D． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线上方的抛物线上是否存在一点Q，连接，，使 ，若存在，请直接写出点 Q 的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，点Q的横坐标是 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，交点法求三角形的面积，熟练掌握待定系数法，灵活分割表示三角形的面积是解题的关键． （1）根据抛物线交x轴于点和，根据交点式求解析式即可． （2）先求出，得到，，得到，设，过作轴交直线于，则，最后根据，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线交x轴于点和， ∴． 【小问2详解】 解：∵令，得． ∴． 当时，，解得， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， 设， 过作轴交直线于， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点Q的横坐标为． 24. 为了贯彻落实国家“双减”政策，明德中学在课后延时服务里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动，为了了解学生对社团活动的喜爱情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成两幅统计图： （1）本次调查的学生共有 人； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中 B所在扇形圆心角的度数是多少？ （4）请根据调查结果估计全校1800名学生中有多少名学生喜欢书法 【答案】（1） （2） 补全条形统计图如图． （3） （4）估计全校1800名学生中有360名学生喜欢书法 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，列表法或画树状图法求概率； （1）根据D组的人数除以占比得出总人数； （2）根据总人数求得A组的人数，进而补全统计图即可； （3）根据B组的占比乘以，即可求解； （4）根据样本估计总体，用组的占比乘以即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查的学生共有人； 故答案为：． 【小问2详解】 解：组的人数为： 【小问3详解】 扇形统计图中 B 所在扇形圆心角的度数为 【小问4详解】 （名）． 答：估计全校1800名学生中有360名学生喜欢书法． 25. 甲、乙两车从佳市出发前往哈市，甲车先出发匀速驶向哈市，15分钟后乙车出发，匀速行驶一段时间后出现故障，出现故障后维修了10分钟，修好后减速慢行，速度减少了，结果与甲车同时到达哈市，甲、乙两车距佳市的路程y（）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息，完成下列问题： （1） ，甲车的速度是 ； （2）求甲车距佳市的路程y（）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系式； （3）请直接写出甲车出发多长时间，甲、乙两车相距10． 【答案】（1）；80 （2） （3）甲车出发小时或小时或小时或小时，相距10千米 【解析】 【分析】本题考查一次函数及一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，运用分类讨论思想解决问题． （1）由乙出现故障耗时10分钟易得；甲从佳市到哈市共用了小时，利用速度公式计算甲的速度即可； （2）求出A的坐标，用待定系数法可得甲车距佳市的路程y（）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系式； （3）分四种情况：乙车出发前，甲车出发，与乙车相距10千米；乙车出发后，在甲车后面10千米；乙出发后追上甲车，在甲车前面10千米处；乙车减速后，甲车在乙车后面10千米处，分别解得即可． 【小问1详解】 解：， 甲车速度：， 故答案为：，80； 【小问2详解】 解：甲车先出发15分钟，乙出发时，甲距佳市（千米）， ， 设函数表达式为：， 将代入得：， 解得， 函数表达式为； 【小问3详解】 解：乙车出发前，甲车出发，与乙车相距10千米； 设乙车开始的速度为，， 解得， 乙车出发后，在甲车后面10千米，设此时甲车已经出发m小时， 则， 解得； 乙出发后追上甲车，在甲车前面10千米时， 设此时甲车已经出发n小时， ， 解得； 乙车减速后，甲车在乙车后面10千米处，设此时甲车已经出发p小时， ， 解得， 综上所述，甲车出发小时或小时或小时或小时，相距10千米． 26. 已知和都是等腰直角三角形，是直线上的一动点(点不与点重合)，连接． （1）如图①，当点在边上时，求证：； （2）如图②，当点在边的延长线上时，直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系； （3）如图③，当点在边的反向延长线上时，直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 【答案】（1） 证明：和都是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ， ； （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；本题解题的关键是利用等腰直角三角形的性质证明，再结合全等三角形的性质推导线段关系与位置关系． （1）证明，可得，即可推出； （2）证，利用全等三角形的性质即可证明； （3）同（1）得，则，，得，再证即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 猜想，，理由如下： ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 ，，理由如下： 如图③所示： 同（1）得：， ，， ， ， ， 又是等腰直角三角形， ， ， ． 27. 雪消门外千山绿，花发江边二月晴，雨水节气之后，春管正由南向北陆续展开，为了落实党和国家的“三农”政策，兴隆镇将台A型拖拉机、台B型拖拉机调往曙光和胜利两个村支援春耕，其中台给曙光村 ，台给胜利村，调往曙光和胜利两个村的拖拉机每台的运费（元）如下表： A型拖拉机 每台的运费 B型拖拉机 每台的运费 曙光 胜利 （1）设调往曙光村A型拖拉机x台，台拖拉机调往曙光和胜利两个村的总运费为W （元），求W关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）若公司调往曙光和胜利两个村的总运费多于元，求有哪几种调运方案； （3）由于调往两个村的拖拉机数量多，运输公司决定仅对调往曙光村的A型拖拉机每台的运费降低a元，但让利后A型拖拉机每台的运费仍高于调往曙光村的B型拖拉机每台的运费．调往曙光村的B型拖拉机每台的运费以及调往胜利村的A、B型拖拉机每台的运费不变，请直接写出a为何值时（2）中的所有方案付出的总运费相同． 【答案】（1） （2）①运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，运往胜利A型拖拉机2台、B型拖拉机台；②运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，运往胜利A型拖拉机1台、B型拖拉机台；③运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，运往胜利A型拖拉机0台、B型拖拉机台 （3）a的值为时（2）中的所有方案付出的总运费相同 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等的应用，方程和方案问题，熟练掌握一次函数的应用和一元一次不等式的应用是解题的关键， （1）设调往曙光村A型拖拉机x台，则曙光村B型拖拉机为台，胜利村A型拖拉机为台，胜利村B型拖拉机为台，根据题意可列出W关于x的关系式，再结合实际问题可得到x的取值范围； （2）由于总运费多于元，可得，解得，再根据，可得到三种方案； （3）：设调整后曙光村A型运费为元/台，可得调整后的总费用与x的关系式，因为所有方案总运费相同，所以消去x的影响，得到，即可得到a的值，最后验证即可确定答案． 【小问1详解】 解：设调往曙光村A型拖拉机x台，则曙光村B型拖拉机为台，胜利村A型拖拉机为台，胜利村B型拖拉机为台，由题可得： ， 整理得到：， ∵调运数量非负且不超过库存， ∴x的取值范围为：，且为整数， ∴． 【小问2详解】 解：∵总运费多于元， ∴， 解得：， ∵， ∴当时，曙光村A型台，B型台，胜利村A型台，B型台， 当时，曙光村A型台，B型台，胜利村A型台，B型台， 当时，曙光村A型台，B型台，胜利村A型台，B型台， ∴有三种方案，分别是： ①运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，胜利A型拖拉机2台、B型拖拉机台；②运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，胜利A型拖拉机1台、B型拖拉机台；③运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，胜利A型拖拉机0台、B型拖拉机台． 【小问3详解】 解：设调整后曙光村A型运费为元/台， 总运费变为：， 整理得：， ∵所有方案总运费相同， ∴， 解得：， 经验证，符合题意， ∴时，所有方案总运费相同． 28. 如图，在平面直角坐标系中,、的长是一元二次方程的两个根． （1）求A、B两点的坐标； （2）的平分线与的外角平分线交于点C，求的度数； （3）在平面内是否存在点P，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在， 或或或 【解析】 【分析】（1）用因式分解法解方程即可； （2）利用角平分线的性质，结合三角形外角的性质进行计算即可； （3）点A和点B都有可能是直角顶点，因此要分类讨论，根据等腰直角三角形的性质，构建“一线三等角”模型来计算坐标． 【小问1详解】 解：， 因式分解得，， ∴，， ∵， ∴，； 【小问2详解】 ∵平分， ∴， ∵平分的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 当点A为直角顶点，且P在x轴上方时，如图： ， 作轴于点E， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点P坐标为， 同理，当点P位于x轴下方时，其与关于点A对称，此时点P坐标为， 当点B为直角顶点，且P在y轴右侧时，如图： 作轴于点F， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点P坐标为， 同理，当点P位于y轴左侧时，其与关于点B对称，此时点P坐标为， 综上所述，点P坐标为或或或． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质和三角形外角的性质，运用“一线三等角”模型解决等腰直角三角形问题是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期九年级12月月考 数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 下面的图形是用数学家名字命名的，既是轴对称图形又是中心对称图形的（ ）． A. B. C. D. 3. 一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，李老师随机调查了本班10名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）：4，7，7，6，5，7，6，5，6，7，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 7，6 B. 6，7 C. 5，7 D. 6，6 5. 实验中学数学“研学”活动小组在一次野外实践时发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为57，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 如果关于x的分式方程 的解是正数，那么实数 m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. 为喜迎“全国两会”胜利召开，某校开展了以“永远跟党走，奋进新征程”为主题的演讲活动，现计划拿出200元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的同学，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（　　） A. 6种 B. 5种 C. 4种 D. 3种 8. 如图，将绕点A顺时针旋转,得到，若点E在线段上，则的大小是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，AD平分与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若的面积是24，，则PE的长是（ ） A. 2.5 B. 2 C. 3.5 D. 3 10. 如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点，连接，，则下列结论： ；；；；． 其中正确的个数是（    ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，共30分） 11. 从2024年12月21日至2025年2月4日，哈尔滨冰雪大世界运营46天，累计接待游客数量突破266万人次．其中266万人用科学记数法表示为___________人． 12. 函数中，自变量的取值范围是_______. 13. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，要使菱形成为正方形，应添加的一个条件是______． 14. 长江是中华文明的重要摇篮，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选两种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”和“荆楚文化”的概率是____． 15. 关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围是_____． 16. 如图，是的切线，点为切点，连接并延长交于点，连接．若 ，则的度数为___________． 17. 若圆锥的母线长为30，侧面积是，则这个圆锥的底面半径为__________． 18. 如图，在菱形中，对角线，交于点，，，点是上的一个动点，连接，则的最小值为_________． 19. 如图，在菱形中，，，点是边上的动点，把沿着折叠得到，点的对应点为，当垂直于菱形的一边时，的长为___________． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线直线:，在直线上取一点B，使，以点B为对称中心，作点O的对称点，过点作，交x轴于点，作轴，交直线于点，得到四边形；再以点为对称中心，作点O的对称点，过点作，交x轴于点，作轴，交直线于点，得到四边形；…按此规律下去，则四边形的面积是_________． 三、解答题（本题满分60分） 21. 先化简，再求值： 其中 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，将向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度． （1）画出平移后的图形 ； （2）将绕点O顺时针旋转 ，画出旋转后的图形 并写出点 的坐标； （3）在（2）的条件下，求线段所扫过的面积（结果保留）． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点和，交y轴于点 C，轴，交抛物线于点 D． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线上方的抛物线上是否存在一点Q，连接，，使 ，若存在，请直接写出点 Q 的横坐标；若不存在，请说明理由． 24. 为了贯彻落实国家“双减”政策，明德中学在课后延时服务里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动，为了了解学生对社团活动的喜爱情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成两幅统计图： （1）本次调查的学生共有 人； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中 B所在扇形圆心角的度数是多少？ （4）请根据调查结果估计全校1800名学生中有多少名学生喜欢书法 25. 甲、乙两车从佳市出发前往哈市，甲车先出发匀速驶向哈市，15分钟后乙车出发，匀速行驶一段时间后出现故障，出现故障后维修了10分钟，修好后减速慢行，速度减少了，结果与甲车同时到达哈市，甲、乙两车距佳市的路程y（）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息，完成下列问题： （1） ，甲车的速度是 ； （2）求甲车距佳市的路程y（）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系式； （3）请直接写出甲车出发多长时间，甲、乙两车相距10． 26. 已知和都是等腰直角三角形，是直线上的一动点(点不与点重合)，连接． （1）如图①，当点在边上时，求证：； （2）如图②，当点在边的延长线上时，直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系； （3）如图③，当点在边的反向延长线上时，直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 27. 雪消门外千山绿，花发江边二月晴，雨水节气之后，春管正由南向北陆续展开，为了落实党和国家的“三农”政策，兴隆镇将台A型拖拉机、台B型拖拉机调往曙光和胜利两个村支援春耕，其中台给曙光村 ，台给胜利村，调往曙光和胜利两个村的拖拉机每台的运费（元）如下表： A型拖拉机 每台的运费 B型拖拉机 每台的运费 曙光 胜利 （1）设调往曙光村A型拖拉机x台，台拖拉机调往曙光和胜利两个村的总运费为W （元），求W关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）若公司调往曙光和胜利两个村的总运费多于元，求有哪几种调运方案； （3）由于调往两个村的拖拉机数量多，运输公司决定仅对调往曙光村的A型拖拉机每台的运费降低a元，但让利后A型拖拉机每台的运费仍高于调往曙光村的B型拖拉机每台的运费．调往曙光村的B型拖拉机每台的运费以及调往胜利村的A、B型拖拉机每台的运费不变，请直接写出a为何值时（2）中的所有方案付出的总运费相同． 28. 如图，在平面直角坐标系中,、的长是一元二次方程的两个根． （1）求A、B两点的坐标； （2）的平分线与的外角平分线交于点C，求的度数； （3）在平面内是否存在点P，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $