贵州省遵义清华中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

高二期中答案 一、单选题 1.c 2.B 3.C 4.A 5.D 6.c 7.A 8.C 二、多选题 9.ABC 10.BCD 11.ACD 三、填空题 12.(2,5) 13.(3,4) 14.323 27元 四、解答题 15.(1)2x+5y+9=0 (2)3x+2y-5=0 解：CD直线AC的斜率无=5-3-2 Γ-1-45 过点B且与直线AC平行的直线的斜率为- 。,过点B且与直线Ac平行的直线方程为 +1=2c+2),即2x+5y+9=0 (II设BC边的中点为D,因为B(-2,-1)、C(4,3), 所以点D的坐标为1)，c=1-3=2 因为是中垂线，所以该直线斜率与飞乘积 -2-43 为1所以斜率为-3，所以BC上中垂线的直线方程为y-1=-3(x-),即3x+2y-5=0 3 16.(1)见解析 2)3 3 【小问1详解】 证明：以A为原点，AB,AD,AA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 因为AA=2AB=2BC=2, 所以A(0,0,0),B1,0,0),D(0,10),M(1,1,1), AM=（11,1),BD=(-1,1,0), AM·BD=(11,1)(-11,0)=-1+1=0 所以AM⊥BD: AZ D B C M B Y (2)详解： AM=(1,1,1),BC=(0,L,0), 设异面直线AM与BC所成角的大小为日， AM.BC 则cos0=cos<AM,BC> (1,)(0,10- AM .BC 5 3 故异面直线AM与BC所成角的余弦值为V 3 17.（1)y=2x (2)y=x+1或y=2x (3)y=-2x+4 (1)首先计算直线l1的斜率：过点P(1,2)和A(-1,3) 3-2 率11号 =由于h1,故，的斜 率2二一 1 =2。利用点斜式，l2过P(1,2),方程 1 为y-2=2(x-1),化简为斜截式得y=2x。 (2)设直线在x轴、y轴截距分别为a、一a(a≠0 时)，截距式方程为后+=1，代入P1,2)得 1-2=a,即a=-1,方程为x-y=-1,化简得 y=x+1。当a=0时，直线过原点，斜率为2，方 程为y=2x（(此时截距均为0，互为相反数)。故有 两解。 (3)设直线，的截距式为后+号-1(a>0,b>0 ),过P1,2得+号-1。三角形面积S-b ,需最小化ab。由均值不等式， 1=日+22 2 ab 平方得ab≥8，当且仅当 1 =时取等号。联立得a=2,b=4,截距式化 为斜截式为y=-2x+4。 18 (I)连接CG,如图所示，AE⊥平面ABCD,CF⊥平面ABCD,所以AEI/CF, 因为G为AE的中点，AE=2CF, 所以GE=CF,GE/CF, 则四边形CFEG是平行四边形，所以CG/FE 因为FEC平面DEF,CGt平面DEF, 所以CG∥平面DEF. (2)连接AC,BD, 因为四边形ABCD是正方形，AE⊥平面ABCD,AEC平面ACFE 所以平面ACFE⊥平面ABCD, 平面ACFE∩平面ABCD=AC,又BD⊥AC,BDc平面ABCD, 所以BD⊥平面ACFE, 多面体ABCDEF的体积等于VB-ACFE十VD-ACFE, (缺少垂直的证明扣两分)》 假设AB=AE=2CF=2m, BD 所以四棱锥B一ACFE和四棱锥D-ACFE的高都为2=V2m, 四边形（直角梯形）ACFE的面积为（证+CF)4C=-3d2, 因为多面体ABCDEF的体积为32，解得m=2. (3)做BQ⊥EF(Q在EF上)，连接DQ,因为△BDF≌△DEF,则DQ⊥EF,则∠BQD为二面 角的平面角 BO=DO=4, coSLBOD=0 二面角B一EF一D的余弦值为O. 19. 【答案】(1)解：由直线l1:3x-4y+12=0,直线2：2x+3=0,根据点到直线的有向距离公式得， d0,0=上0+otg=-号，d0,2=20+3-号 -4,32+(-4)2 2 即d(0,0=-号，do,2)= (2)解：当直线3的斜率不存在时，直线3的方程为x-2=0,此时d(8,5)=1×3-2=1≠2，舍 去 当直线3的斜率存在时，直线3的方程为y-1=k(x-2), 由题意b>0,所以直线可化为-kx+y-1+2k=0, 假设dB,g)=1国-3+2出=2，则3k2-4k=0,解得k=0或考 1×√R2+1 所以存在直线3的方程为y-1=0或4x-3y-5=0: (3)解：当sina=0时，直线l4:xcosa-2=0, d(F)=-tcosd(F=tcos cosa cosa 由dR,lw）·dF2,w)=-tcosa--2 cosa-2=1, cos2a 整理得4-t2cos2a=cos2a,因为sin2a+cos2a=1,所以t2=3,又因为t>0,所以t=V3, 当sina≠0时，直线l4:xcosa+2 ysina-2=0, 相aR,W=2aaa,W= (2sina)cos2a+4sin2a' d(Fd(F)=I(tcos(c1. cos2a+4sin2a 4-t2cos2a cos2a 4sin2a =4-3cos2a, 4-t2c0s2a=4-3c0s2a或4-t2cos2a=3cos2a-4,解得 t2=3或(t2+3)cos2a=8, 由题意对任意的参数a都有d(F1,l4)·d(F2,4)=1恒成立，所以t=V3, 综上所述，存在实数t>0满足题目条件，即t=√3，遵义清华中学2025-2026学年度第一学期期中考 高二数学 (满分：150分时间：120分钟) 注意事项： 1考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的学校，姓名，班级，考号填写清楚，并在相应 置粘贴条形码， 2客观题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项 主观题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题：在规定区域以外的答题 不给分：在试卷上作答无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是架 题目要求的， 1.直线x-y+3=0的倾斜角为() A.1 B.-1 C.45° D.135 2.已知直线：y=3x+1与直线42：ax+y+1=0,若l⊥l2,则a的值为（) B封 C.-3 D.3 3.已知直线1：m+2y+6=0与l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行，则实数a的取值是() A.一1或2 B.0或1 C.-1 D.2 4.已知非零空间向量a,6,且AB=立+2五，BC=-5ā+6而，CD=7ā-2i,则一定共线的三点是( A.A,B,C B.B,C,D C.A,B,D. D.A,C,D 5.下列说法中，错误的是() A.直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B.点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1，) C.直线x-a砂y-2=0经过定点(2,0) D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程只有x+y-2=0 6.已知a,B,Y是三个不同的平面，m,n是两条不同的直线，下列结论正确的是() 第1页， A.若m/n,nca,则m/1a B.若a⊥%，B⊥Y,则x/1B C.若a/1B,mca,则m/1B D.anB=l,Bny=l,xy=l3,则l11儿211儿 7.如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入38cm3的水，水面高度恰好为棱台 D 高度的分，且AB=6cm,A,B=2cm,则这个容器的容积为()cm A.52 B.60 C.68 D.76 8.瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》-一书中提出：任意三角形的外心、熏心、 垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点A(-3,0),B(1,3),其欧拉线方 程为13x-33y+22=0,则顶点C的坐标可以是() A.（2,0) C.(2,-1) 4940 D 19’19 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求的.全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分 9.已知直线1的两点式方程为”-】=-2) -3-13-（-2) 则下列选项正确的是() A.直线1经过点(3，-3) B.直线I的斜截式方程为y=-4x-3 5 C.直线1的一个方向向量为a=(4) D.直线I的一个法向量为v=(4,-5) 10.己知直线l:ax+(2a-3)y-3=0与n:（a+2)x+ay-6=0,则下列选项正确的是（) A.当a=2时，IIln B.当a=亏时，lLn C.若hm,则L,n间的距离为 D.原点到1的距离的最大值为√⑤ 2 11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，P为棱BB,的中点，Q D A B 为正方形BCC,B内一动点（含边界），则下列说法中正确的有() A.直线DP与A4所成角的正切值为2√2 B.用平面ADP截该正方体，所得截面周长为√5+√2 1页，共2页 3251 C.若DQ∥平面ADP,则D,2长度的取值范围为 4’2 D.若DQ=6,则动点Q的轨迹长度为2 元 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.两直线x+y-7=0和3x-y-1=0的交点为 13.不论a为何实数，直线：(a+2)x-(a+1)y=2-a恒过一定点，则此定点的坐标为 14.一个正三棱台的上、下底面边长分别为1和2，则它的外接球体积的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知△4BC的顶点坐标为A(-1,5)B(-2,-1)、C(4,3). ()求过点B且与直线AC平行的直线的方程（写成-一般式)： (2)求BC边上的中垂线线所在直线的方程（写成一般式）. 16.(I5分)在正四棱柱ABCD-ABGD中，AA=2AB=2BC=2,M是棱CC上的中点. (I)求证：AM⊥BD; D B (2)求直线AM与平面B1CD1所成角的正弦值. 17.(15分)已知直线4,12均过点P(1,2). (1)若直线马过点A(-1,3),且1⊥12，求直线的方程（写成斜截式）： (2)若直线l在x轴和y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程（写成斜截式）： (3)若直线1？与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线1，的方程（写成斜 截式)· 18.(I7分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AE⊥平面ABCD,CF⊥平面 ABCD,AB=AE=2CF. (I)若G为AE的中点，求证：CG//平面DEF; (2)若多面体ABCDEF的体积为32 ①求CF的长度： ②求二面角B一EF一D的余弦值. 19.(17分)已知直线：ax+by+c=0和点P(xo,y),点P到直线l的有向距离d(P,)用如下方法规定： 若6t0,dP,n=1b++d,若6=0，dPn=匹+c bya2+b2 (1)已知直线(：3x-4y+12=0,直线/2：2x+3=0,求原点O到直线4,2的有向距离d(0,4),d(0,,): (2)己知点A(2,1)和点B(3,-1),，是否存在通过点A的直线马，使得(B,4)=2？如果存在，求出所有 这样的直线，如果不存在，说明理由： (3)设直线l4:xcosa+2 ysina-2=0,问是否存在实数t>0,使得对任意的参数a都有：点 F(-t,0),F(,0)到L4的有向距离d(E,4),d(F2,l4)满足d(,l4小(F,)=1?如果满足，求出所有满足 条件的实数t;如果不存在，请说明理由. í，共2页