精品解析：辽宁省铁岭市开原市2025—2026学年八年级上学期数学随堂练习（三）

2025—2026学年度上学期随堂练习 八年数学（三）人教版 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求） 1. 下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不合题意； D．是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的运算性质，包括同底数幂的除法、幂的乘方以及积的乘方；需要根据运算法则逐一判断每个选项是否正确. 【详解】解：∵ 选项A：根据合并同类项，故A错误； ∵ 选项B：同底数幂相除，指数相减，即 ，故B错误； ∵ 选项C：幂的乘方，指数相乘，且负数的偶次幂为正，即 ，故C正确； ∵ 选项D：积的乘方，等于乘方的积，且负数的奇次幂为负，即 ，故D错误； 故选：C. 3. 下列各式：，，，中，分式共有（    ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键；根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有字母的式子叫分式． 【详解】解：，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式． ，的分母中含有字母，因此是分式，共个． 故选：B 4. 多项式的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了公因式的概念，解题关键是找出多项式各项中都含有的公因式． 通过提取多项式中各项的公共因子，确定公因式．公因式是指多项式中各项都含有的因式． 【详解】∵ ， ， ∴ 公因式为 ． 故选B． 5. 分式可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了判断分式变形是否正确，解题关键是掌握分式变形并能运用求解． 通过提取分母中的负号，将原分式变形为负的分式形式． 【详解】解：∵， ∴原分式可变形为，即选项C， 故选：C． 6. 有一道残缺不全的题目，如图所示，这道题目的被除式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算；根据整式的运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意可得：， 故选：A． 7. 已知，，则的值为（ ） A. 3 B. 20 C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题直接运用平方差公式，代入计算即可得出结果，无需复杂推导． 利用平方差公式得，将已知条件代入求解． 【详解】∵，且，， ∴， ∴． 故选A． 8. 下列因式分解中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据提公因式法、平方差公式和完全平方公式逐一验证各选项． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； 不能分解因式，故C错误； ，故D正确． 故选：D． 9. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如利用图1可以得到，那么利用图2得到的数学等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形，利用两种方法表示大正方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：由图可知：； 故选：B． 10. 如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连结．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得：，根据三角形内角和定理可得：，解方程即可求出的度数． 【详解】解：平分， ， 垂直平分， ， ， 设， 则， 在中，， ， ， 解得：， ． 故选：D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 中国射击队在2024年巴黎夏季奥运会上以5金2银3铜共10枚奖牌的成绩排名射击项目第一．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形（如图所示），这种方法应用的几何原理是______． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】根据三角形的稳定性直接写出答案即可．本题考查了三角形的稳定性，了解三角形的稳定性是解答本题的关键，难度不大． 【详解】解：射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，说明三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 12. 因式分解：=______． 【答案】2（x+3）（x﹣3） 【解析】 【分析】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可． 【详解】=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）． 故答案为：2（x+3）（x﹣3） 【点睛】考点：因式分解． 13. 要使分式有意义，则x应满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，关键是掌握分式的分母不为零，要使分式 有意义，则分母 ，进而即可求解． 【详解】解：∵分式 有意义， ∴ ，解得 ． 故答案为 ． 14. 如果规定表示单项式，，表示多项式，则计算的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可． 先分别表示三角形和矩形所代表的单项式和多项式，再进行计算． 【详解】解：根据题意，三角形表示单项式的形式，即把三角形内的字母、、代入，得：， 矩形表示多项式， 因此对矩形计算得：， 将两个结果相乘并展开得， 综上，计算结果为． 故答案为：． 15. 如图，△ABC和△FPQ均是等边三角形，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，点P在AB边上，连接EF、QE．若AB=6，PB=1，则QE=___． 【答案】2 【解析】 【详解】解：如图，连接FD， ∵△ABC为等边三角形，∴AC=AB=6，∠A=60°． ∵点D、E、F分别是等边△ABC三边的中点，AB=6，PB=1， ∴AD=BD=AF=3，DP=DB﹣PB=3﹣1=2，EF为△ABC的中位线． ∴EF∥AB，EF=AB=3，△ADF为等边三角形．∴∠FDA=60°，∴∠1+∠3=60°． ∵△PQF为等边三角形，∴∠2+∠3=60°，FP=FQ．∴∠1=∠2． ∵在△FDP和△FEQ中，FP=FQ，∠1=∠2，FD=FE，∴△FDP≌△FEQ（SAS）．∴DF=QE． ∵DF=2，∴QE=2 故答案为：2． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明，验算步骤或推理过程） 16. 化简 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方运算，积的乘方运算，同底数幂的除法运算，运用平方差公式进行运算，整式的混合运算，合并同类项等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先计算积的乘方，同底数幂相乘，同底数幂相除，再合并同类项； （2）先利用完全平方公式、平方差公式展开，再合并同类项． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 因式分解 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，综合提公因式和公式法分解因式，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式； （2）先提取公因式，再用平方差公式分解因式． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 约分： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． （1）根据分式的基本性质化简即可； （2）根据分式的基本性质利用完全平方公式和平方差公式化简即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 19. 如果分式无意义，的值为0，求的值． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查分式无意义的条件，分式的值为0的条件，根据分母为0时，分式无意义，分子为0，分母不为0时，分式的值为零，求出的值即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴； ∵的值为0， ∴且， ∴； ∴． 20. 如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． （1）求出绿化的面积是多少平方米？ （2）当，时，求出绿化面积． 【答案】（1）平方米 （2）31平方米 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法和完全平方公式在几何图形中的应用，代数式求值： （）根据大长方形的面积减去中间正方形的面积即可求解； （）将，代入（1）中化简结果进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： （平方米）； 答：绿化的面积是平方米； 【小问2详解】 解：当，时，， ∴绿化面积为31平方米． 21. 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是______． （2）应用你（1）中得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 【答案】（1） （2）①3；② 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）分别用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可； （2）①利用平方差公式得，再代入计算即可； ②将原式化为，再连续利用平方差公式即可． 【小问1详解】 解：图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形， 面积为， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：① ； ② ． 22. 请根据以下素材，完成探究任务． 探究等角三角形 素材 定义1 如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 定义2 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 任务图 探究任务 任务1 如图1，在中，，，和_____等角三角形（填“是”或者“不是”）． 任务2 如图2，在中，为角平分线，，，求证：为的等角分割线． 任务3 在中，，是的等角分割线，若是等腰三角形，请求出的度数． 【答案】任务1：是； 任务2：证明：在中，， 则， 为角平分线， ， ， 则， ，， ， 则， ，，，， 为的等角分割线． 任务3：或 【解析】 【分析】任务1：推出，,从而得出结论; 任务2：可计算得出，得出是等腰三角形，再结合，从而得出结论； 任务3：当是等腰三角形时，分为：三种情形讨论即可； 本题是在新定义的基础上，考查了等腰三角形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类讨论． 【详解】解：任务1：是 ∵ 和是等角三角形； 任务2：略 任务3： ①当时，如图1， ， 是的等角分割线， ， ②当时，如图2， ， 是的等角分割线， ， 则， ③当时，， 则， 那么（舍去）， 故的度数为或． 23. （1）呈现问题 如图①，在中，，D、E分别在、上，若，则和是顶角相等的等腰三角形，连接、，则、、之间的数量关系是________；与的数量关系是________； （2）类比探究 如图②，和均为等边三角形，点A、E、D在同一直线上，连接．求出的度数及与的数量关系； （3）拓展延伸 如图③，和均为等腰直角三角形，，点A、E、D在同一直线上，为中边上的高，连接．直接写出的度数及线段、、之间的数量关系； （4）解决问题 在（3）的条件下，若，，求出四边形的面积． 【答案】（1），；（2）的度数为；；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）由三角形外角的性质及等式的性质可得出结论； （2）证明，由全等三角形的性质得出，，则可得出结论； （3）证明，得出，最后证出即可． （4）利用四边形的面积的面积+的面积求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 即； ∵是的外角， ∴； 故答案为：，； （2）∵和均为等边三角形， ∴，，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴ ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴， ∴， 综上可得的度数为；线段与之间的数量关系是：； （3）∵和均为等腰直角三角形， ∴，，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 即． （4）∵为等腰直角三角形，为中边上的高， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积的面积+的面积 ． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的外角的定义及性质等知识解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期随堂练习 八年数学（三）人教版 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求） 1. 下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式：，，，中，分式共有（    ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 多项式的公因式是（ ） A. B. C. D. 5. 分式可变形为（ ） A. B. C. D. 6. 有一道残缺不全的题目，如图所示，这道题目的被除式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则的值为（ ） A. 3 B. 20 C. D. 10 8. 下列因式分解中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如利用图1可以得到，那么利用图2得到的数学等式是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连结．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 中国射击队在2024年巴黎夏季奥运会上以5金2银3铜共10枚奖牌的成绩排名射击项目第一．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形（如图所示），这种方法应用的几何原理是______． 12. 因式分解：=______． 13. 要使分式有意义，则x应满足的条件是______． 14. 如果规定表示单项式，，表示多项式，则计算的结果是_____． 15. 如图，△ABC和△FPQ均是等边三角形，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，点P在AB边上，连接EF、QE．若AB=6，PB=1，则QE=___． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明，验算步骤或推理过程） 16. 化简 （1） （2） 17. 因式分解 （1） （2） 18. 约分： （1）； （2）． 19. 如果分式无意义，的值为0，求的值． 20. 如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． （1）求出绿化的面积是多少平方米？ （2）当，时，求出绿化面积． 21. 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是______． （2）应用你（1）中得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 22. 请根据以下素材，完成探究任务． 探究等角三角形 素材 定义1 如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 定义2 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 任务图 探究任务 任务1 如图1，在中，，，和_____等角三角形（填“是”或者“不是”）． 任务2 如图2，在中，为角平分线，，，求证：为的等角分割线． 任务3 在中，，是的等角分割线，若是等腰三角形，请求出的度数． 23. （1）呈现问题 如图①，在中，，D、E分别在、上，若，则和是顶角相等的等腰三角形，连接、，则、、之间的数量关系是________；与的数量关系是________； （2）类比探究 如图②，和均为等边三角形，点A、E、D在同一直线上，连接．求出的度数及与的数量关系； （3）拓展延伸 如图③，和均为等腰直角三角形，，点A、E、D在同一直线上，为中边上的高，连接．直接写出的度数及线段、、之间的数量关系； （4）解决问题 在（3）的条件下，若，，求出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $