换元法或消元法解基本不等式专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

换元法或消元法+基本不等式——题库中心 1．（2025高一·全国·专题练习）若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】令，可得，利用均值不等式可求最小值. 【解析】因为， 令，则， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． 故答案为：． 2．（25-26高一·全国·单元测试）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由题可得.，然后由基本不等式可得 【解析】因为，所以. ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故选：D 3．（2025高一·全国·专题练习）若，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】解法一，利用代换法和均值不等式即可求解； 解法二，由权方和不等式：已知均为正实数，则，当且仅当时等号成立．来求解即可； 解法三，利用等式消元化为函数来求值域即可. 【解析】解法一：因为，， 所以 则 当且仅当时，取得最小值2. 解法二：由权方和不等式可得：， 当且仅当时，取得最小值2. 解法三：（消元化为函数值域法）由得，由，则， 即． 故当时，取得最小值为2. 故选：B. 4．（2025高一·河北保定·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】化简式子，然后使用基本不等式计算. 【解析】由，且， 所以， ， 当且仅当，即，时取等号， 所以，所以的最小值为. 故选：D 5．（2025·福建泉州·模拟预测）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，，，将代数式与相乘，展开后可求出的最小值. 【解析】因为，，则，，由题意可知，则， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：B. 6．（2024高一·上海·竞赛）若正实数满足，则的最小值是 . 【答案】9 【分析】双变量最值，采取消元手段或者基本不等式处理即可. 【解析】解析一:， 则，等号成立时. 所以的最小值是9. 解析二:， 则， 等号成立时所以的最小值是9. 故答案为：9. 7．（2025·陕西西安·模拟预测）已知，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】依题意可得，再由基本不等式计算可得. 【解析】因为，且， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为． 故答案为：． 8．（2025高一·全国·专题练习）已知实数满足，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据题设条件，求出，代入所求式，将其整理，运用基本不等式即可求得. 【解析】由可得：，将其代入，则有：， 因，故有：， 当且仅当时等号成立，即时，取得最小值. 故答案为：. 9．（2025高一·全国·课后作业）若正实数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】利用消元法，消去，再利用基本不等式进行求解即可. 【解析】由为正实数，且，得， 则， 当且仅当，即时，取最小值9. 故选：C. 10．（2025·安徽安庆·模拟预测）若正数x，y满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】变形得到，故，利用基本不等式求出最小值. 【解析】正数x，y满足，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 11．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】利用基本不等式转化为一元二次不等式即可求解． 【解析】由题意可知，当时等号成立， 即， 令，则 解得或舍 即， 当且仅当时，等号成立． 故选：C. 12．（2025高一·安徽宿州·阶段练习）已知x，y均为正数，，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．7 D． 【答案】A 【分析】由已知等式化简后用基本不等式即可解得结果. 【解析】∵，，， ∴， 令，则，即， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为4． 故选:A． 13.（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正数满足，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A 14.（2025高一·全国·专题练习）已知正数，满足，则的最小值是 . 【答案】1 【分析】首先将条件等式可转化为，再利用基本不等式求出最值. 【详解】由，得， 于是， 当且仅当，时取等号，故最小值为1. 故答案为：1 15.（24-25高一下·山东日照·期末）已知实数，满足，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】先将配凑为；再根据得出，，利用基本不等式可求解. 【详解】由可得：. 因为， 所以，， 则，当且仅当，即时等号成立. 故选：B. 16.（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】将拼凑成，再结合基本不等式即可求解. 【详解】原式变形可得，由得， 所以 ， 当且仅当即时取等号； 所以. 故选：C 16.（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知，且，则的最小值是 . 【答案】 【分析】利用代换1法来，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设，由对应系数相等得， 解得 所以，整理得， 即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 17.（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设令，故，，变形得到，由基本不等式“1”的代换求出的最小值，从而得到答案. 【详解】正数，，满足，故， 令，故，， ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故. 故选：D 18.（24-25高一上·广东江门·期中）已知，（1）若，都是正数，且，则的最小值为 ；（2）若，则的最大值为 . 【答案】 9 【分析】（1）直接由基本不等式得，再将看成一个整体解一元二次不等式即可. （2）方法一：首先根据得，通分后将代入，再利用判别式法求最值即可； 方法二：设，，代入化简可得，利用分离常数法与基本不等式求解即可. 【详解】（1），为正数，且， ，，. （2）方法一：因为，所以，所以， 等号成立当且仅当， 从而， 令，设， 显然，则， 因为关于的一元二次方程有实数根，所以， 整理得，即， 解得， 注意到，从而， 等号成立当且仅当， 即， 所以经检验的最大值，即的最大值为. 方法二：设，， 则 . 故答案为：. 19.（25-26高一上·江西南昌·阶段练习）（1）已知，，且，求的最小值； （2）求函数的最小值． 【答案】（1）3；（2）9． 【分析】（1）依题意可得，则，利用基本不等式计算可得； （2）令，则，利用基本不等式计算可得； 【详解】（1）∵，，且，所以， 则， 当且仅当时等号成立，因此的最小值为3． （2）因为，所以，令，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立； 所以函数的最小值为． 20.（24-25高一上·重庆·期中）已知正实数、、满足，则的最小值为 ，的最小值为 . 【答案】 ； / 【分析】根据基本不等式中常值代换法可得第一空；利用两次基本不等式计算即可. 【详解】因为，，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取得最小值； 易知 ， 当且仅当第一个不等号可取等号， 当且仅当第二个不等号可取等号. 故答案为：；. 21.（25-26高一下·山东滨州·期末）若正实数，满足，则的最小值为（    ） A．9 B．6 C．3 D．2 【解题思路】利用换元法，令，结合基本不等式得出答案. 【解答过程】令，则，， 当且仅当，即时，取等号. 故选：C. 22.（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意分析可知，利用基本不等式运算求解. 【解答过程】因为正实数x，y满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 23.（25-26高一下·江西·阶段）若正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式求解即得. 【解答过程】正数a，b满足，则， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值8. 故选：C. 24.（25-26高一下·浙江·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（     ） A． B．8 C． D． 【解题思路】由题意得，进一步表示出，结合基本不等式即可求解. 【解答过程】因为，且，所以， 从而，等号成立当且仅当， 所以的最小值为. 故选：A. 25．（24-25高一上·江苏徐州·开学考试）已知且，则的最小值为（    ） A．12 B． C．16 D． 【解题思路】根据题意可知，根据乘1法结合基本不等式运算求解. 【解答过程】因为，则，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 26．（2024高一上·江苏·专题练习）已知正实数，满足，则的最小值是 ． 【解题思路】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式“1”的妙用求解即得. 【解答过程】正实数，满足， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故答案为：. 27．（24-25高一上·全国·课后作业）若正实数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【解题思路】利用消元法，消去，再利用基本不等式进行求解即可. 【解答过程】由为正实数，且，得， 则， 当且仅当，即时，取最小值9. 故选：C. 28．（2024·浙江绍兴·三模）若，且，则的最小值是 ． 【解题思路】由题意可借助、表示出，从而消去，再计算化简后结合基本不等式计算即可得. 【解答过程】由，则， 即 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 29．（25-26高一下·山东青岛·期末）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【解题思路】根据基本不等式即可求解. 【解答过程】因为，，所以，所以， 当且仅当，即 时，取等号，所以的最小值为， 故选：C. 30．（25-26高一上·四川·阶段练习）已知实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 由已知可得出，可得出，再利用基本不等式可求出所求代数式的最小值. 【解答过程】因为，所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 故选：C． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 换元法或消元法+基本不等式——题库中心 1．（2025高一·全国·专题练习）若，，则的最小值为 ． 2．（25-26高一·全国·单元测试）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 3．（2025高一·全国·专题练习）若，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 4．（2025高一·河北保定·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 5．（2025·福建泉州·模拟预测）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024高一·上海·竞赛）若正实数满足，则的最小值是 . 7．（2025·陕西西安·模拟预测）已知，，则的最小值为 ． 8．（2025高一·全国·专题练习）已知实数满足，则的最小值是 ． 9．（2025高一·全国·课后作业）若正实数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 10．（2025·安徽安庆·模拟预测）若正数x，y满足，则的最小值是 . 11．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 12．（2025高一·安徽宿州·阶段练习）已知x，y均为正数，，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．7 D． 13.（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 14.（2025高一·全国·专题练习）已知正数，满足，则的最小值是 . 15.（24-25高一下·山东日照·期末）已知实数，满足，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 16.（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 16.（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知，且，则的最小值是 . 17.（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 18.（24-25高一上·广东江门·期中）已知，（1）若，都是正数，且，则的最小值为 ；（2）若，则的最大值为 . 19.（25-26高一上·江西南昌·阶段练习）（1）已知，，且，求的最小值； （2）求函数的最小值． 20.（24-25高一上·重庆·期中）已知正实数、、满足，则的最小值为 ，的最小值为 . 21.（25-26高一下·山东滨州·期末）若正实数，满足，则的最小值为（    ） A．9 B．6 C．3 D．2 22.（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 23.（25-26高一下·江西·阶段）若正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 24.（25-26高一下·浙江·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（     ） A． B．8 C． D． 25．（24-25高一上·江苏徐州·开学考试）已知且，则的最小值为（    ） A．12 B． C．16 D． 26．（2024高一上·江苏·专题练习）已知正实数，满足，则的最小值是 ． 27．（24-25高一上·全国·课后作业）若正实数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 28．（2024·浙江绍兴·三模）若，且，则的最小值是 ． 29．（25-26高一下·山东青岛·期末）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 30．（25-26高一上·四川·阶段练习）已知实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $