专题02 基本不等式巧解最值（七大题型）（高效培优期中专项训练）数学人教A版2019高一必修第一册

专题02 基本不等式巧解最值（七大题型） 考点01 直接法求最值 考点02 常规凑配法求最值 考点03 消参法求最值 考点04 “1”的代换求最值 考点05 双换元求最值 考点06 齐次化求最值 考点07利用基本不等式比较大小 考点01 直接法求最值 1．已知正数满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】对条件等式利用基本不等式再结合一元二次不等式即可求解. 【详解】已知正数满足， 根据基本不等式，（取等号）， 即，即， 于是，得到， 当时，时，的最大值为. 故答案为： 2．（1）已知，求的最大值； （2）已知正实数满足，求的最大值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用基本不等式可求得结果；（2）利用基本不等式可求得结果. 【详解】（1）因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立. 因此，当时，取到最大值. （2）由，解得， 当且仅当时，取等号. 所以的最大值为10. 3．已知且，则下列说法正确的有（    ） A．的最小值为9 B．的最小值为6 C．的最大值为 D．的最小值为9 【答案】AB 【分析】根据基本不等式以及函数关系，可得答案. 【详解】对于A，由，则，当且仅当时等号成立， 整理可得，解得，即，故A正确； 对于B，由，则，当且仅当时等号成立， 整理可得，解得，故B正确； 对于C，由，当时，整理可得， 由，则，即，解得， 所以，故C错误； 对于D，由，当时，整理可得， 由，则，即，解得， 则， 当且仅当等号成立，故D错误. 故选：AB. 4．已知，为正实数，，则（   ） A．的最大值为1 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值3 【答案】ACD 【分析】根据已知等式，结合基本不等式的“1”的巧用，分式分离，平方转化等方法逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，，为正实数，，所以， 当且仅当时，的最大值为1，故A正确； 对于B，由于，由A选项可知， 所以，所以的最小值为2，故B不正确； 对于C， ， 因为，为正实数，，所以， 则， 当且仅当，即时，的最小值为，故C正确； 对于D，，当且仅当时，的最小值3，故D正确. 故选：ACD. 5．已知且，则下列不等式恒成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于A，因为，， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，因为， 当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，， 则，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，因为， 当且仅当，即时取等号，而, 故D错误. 故选：ABC. 6．已知，则的最大值为 ． 【答案】1 【分析】利用基本不等式可得. 【详解】由，则， 当且仅当时取等号． 故答案为：1 7．已知，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】对进行变形，结合，运用基本不等式计算即可. 【详解】, 由于， 当且仅当，即取等号. 则. 故选：A. 8．若正数满足：，则当取最大值时的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式求解积的最值. 【详解】根据基本不等式，解得，所以，所以， 当且仅当时等号成立，此时的值为1. 故选：C 9．已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】由基本不等式的变形形式直接求解即可. 【详解】由题意得，，即， 当且仅当，即或时等号成立， 所以ab的最大值为， 故选：B 10．设，，且，则的最大值． 【答案】 【分析】运用基本不等式进行求解即可. 【详解】由，可得，． 由基本不等式可得：， 因为，所以， 即．当且仅当即，时，等号成立． 故xy的最大值为． 考点02 常规凑配法求最值 11．（1）若，求的最小值，并写出取得最小值时的值. （2）若，求函数的最小值，并写出取得最小值时的值. 【答案】（1）4，    （2）6， 【分析】（1）根据基本不等式求解即可； （2）将函数化成的形式，然后用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因，则有， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，的最小值为4；      （2）当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，的最小值为6. 12．求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将函数解析式化为，利用基本不等式可求得该函数的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值； （3）由已知条件可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）当时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最大值为. （2）当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. （3）因为，且，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为恒成立，则，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 13．（1）已知，求的最小值； （2）已知两正数满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）通过配凑将原式变形为，然后利用基本不等式求解出最小值； （2）先化简得到，然后采用常数代换法求解出最小值. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 14．（1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 【答案】（1）1；（2）. 【分析】（1）根据已知条件直接利用基本不等式求解即可； （2）对化简变形得，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为1； （2）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值为. 15．已知，则的最小值是 ． 【答案】2 【分析】变形式子，由均值等式求最值即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当．即时，等号成立． 故答案为：2 16．已知，则的最小值为 . 【答案】16 【分析】将目标式化为，结合及二次函数性质求最大值即可. 【详解】由，则， 而，故当时，目标式最小值为16. 故答案为：16 17．不等式对于，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分离参数得对于，恒成立，通过换元求最值即可求出的取值范围. 【详解】因为不等式对于，恒成立， 所以不等式对于，恒成立， 令， 由对勾函数的性质，函数在上单调递减， 所以，所以，. 故选：A 18．已知实数，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】化简整理后，将看成一个整理，利用基本不等式求最值即可. 【详解】 ， 当且仅当，，即时，等号成立. 故答案为： 19．（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值； 【答案】（1）9；（2）3. 【分析】（1）由，结合基本不等式即可求解； （2）由，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由，则， 当且仅当时等号成立，故目标式最小值为9. （2）由，则， 当且仅当时等号成立，故目标式最大值为3. 20．函数的值域是 ． 【答案】 【分析】分三种情况讨论，运用基本不等式求值域. 【详解】当时， 当，. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时 ，即. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即. 综上所述，函数的值域为. 故答案为： 考点03 消参法求最值 21．已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】A，利用变形，利用基本不等式求解即可；B，由可得，利用基本不等式求解即可；C，利用，解一元二次不等式即可；D，原式变形为，利用基本不等式求解即可. 【详解】由得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，对 , ， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，B错 因为，当且仅当时取等号， 解不等式得，故的最大值为，C对 ， 当且仅当即时取等号， 此时取得最小值，D正确 故选：ACD. 22．若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】由条件得，还原利用基本不等式求的最小值. 【详解】由，得， 则， ∴， 当且仅当，即时等号成立． ∴的最小值是18. 故选：B 23．已知 为正实数， ，则下列说法正确的是（   ） A． B． 的最小值为 -1 C．的最小值为 12 D． 的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据题意，化简得到，令，得到，结合函数单调性，可判定A正确；由，得到，结合二次函数的性质，可得判定B正确；化简，利用基本不等式，可得判定C不正确；由，得到，可判定D正确. 【详解】由，可得， 对于A中，令，则且， 可得，则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 可得，所以，所以A正确； 对于B中，由，可得， 则， 当且仅当时，取得最小值，所以B正确； 对于C中，由， 当且仅当时，即时，即时，等号成立，所以C不正确； 对于D中，由， 可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：ABD. 24．已知，（1）若，都是正数，且，则的最小值为 ；（2）若，则的最大值为 . 【答案】 9 【分析】（1）直接由基本不等式得，再将看成一个整体解一元二次不等式即可. （2）方法一：首先根据得，通分后将代入，再利用判别式法求最值即可； 方法二：设，，代入化简可得，利用分离常数法与基本不等式求解即可. 【详解】（1），为正数，且， ，，. （2）方法一：因为，所以，所以， 等号成立当且仅当， 从而， 令，设， 显然，则， 因为关于的一元二次方程有实数根，所以， 整理得，即， 解得， 注意到，从而， 等号成立当且仅当， 即， 所以经检验的最大值，即的最大值为. 方法二：设，， 则 . 故答案为：. 【点睛】常见的求最值的方法有：观察法(图象法)、配方法、基本不等式法、分离常数法、函数单调性求最值、判别式法等. 25．已知正数，满足，则下列结论中正确的是（    ）. A． B． C．的最小值为 D．与可以相等 【答案】ABD 【分析】根据已知条件，应用基本不等式及其“1”的代换求最值，注意取值条件，依次判断各项正误. 【详解】由题设，当且仅当时等号成立，A对； 由， 当且仅当，即时取等号，B对； 由题设，则，而， 当且仅当取等号，显然等号不成立，C错； 若，即，则，整理得， 所以，满足题设，D对. 故选：ABD 26．已知为正实数，且，则（   ） A．的最小值为8 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可 【详解】对于选项A，由，得， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以选项A正确， 对于选项B，因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，所以选项B错误， 对于选项C，因为， 当且仅当，即时取等号， 又，解不等式得，即，得到的最大值为8，所以选项C错误， 对于选项D，由选项A知，由，得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，所以选项D正确. 故选：AD. 27．已知都是正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件得，通过配凑变形，利用基本不等式求的最小值. 【详解】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立，此时， 所以的最小值为. 故选：C. 28．设正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可得出，利用基本不等式可得出的最小值. 【详解】设，则，， 当且仅当时，即，时，等号成立． 故选：B． 29．已知正实数x，y满足，下列说法正确的是（   ） A．xy的最大值为2 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最大值为1 【答案】BC 【分析】对于A、B，利用基本不等式，结合题目中的等式与一元二次不等式，可得答案； 对于C、D，整理等式，可得所求代数式的函数解析式，利用基本不等式与不等式性质，可得答案. 【详解】对于A，由，则， 由，则，解得， ，可得，， 解得或，综上可得，当且仅当，等号成立， 所以的最大值为，故A错误； 对于B，由，则， 由，则，解得， ，可得， ，解得或， 综上可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，由，则，由，则，解得， 由题意可得，， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D，由A可知，当且仅当时，等号成立，且， ，由，则，所以的最小值为，故D错误. 故选：BC. 30．已知，，，则的最小值为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】D 【分析】根据题设得到且，代入目标式并应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由题设，又，，故，则， 所以，当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：D 考点04 “1”的代换求最值 31．已知实数，且恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用乘“1”法并结合基本不等式可求得的最小值，从而可得实数m的取值范围. 【详解】由，可得：， 又因为，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以， 由恒成立，可得，即实数m的取值范围为. 故选：A. 32．已知，且. (1)求的最小值； (2)求的取值范围； 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）利用基本不等式求出最小值. （2）根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即得范围. 【详解】（1）由，得，当且仅当，即，时取等号. 则，而，解得，所以的最小值为16. （2）由，，得， 因此， 当且仅当，即，时取等号， 所以的取值范围为. 33．已知均为正数，且，则的最小值 . 【答案】 【分析】通过已知等式变形得到，再利用“”的代换将目标表达式展开，最后应用基本不等式求得最小值. 【详解】已知均为正数，且，所以， 则， 当且仅当，即时，取得等号， 又，所以当，时，取得最小值. 故答案为： 34．下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是3 C．当时，的最小值是5 D．设，，且，则的最小值是 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式可判断A，B，通过系数化正结合基本不等式可判断C，利用“1”的妙用，可判断D. 【详解】对于A，因为时，，当且仅当时，等号成立，A正确； 对于B，因为，所以，，当且仅当时，等号成立，B正确； 对于C，时，，所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立，故C错误； 对于D，因为，，由， 因，所以，当且仅当时，等号成立，D正确. 故选：ABD 35．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由条件，利用基本不等式求的最小值，再结合关系恒成立，求的取值范围. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，时，等号成立，即当且仅当，时，等号成立， 所以的最小值为， 因为恒成立，所以， 所以 所以的取值范围是， 故答案为：. 36．若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】对变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】因为正数x，y满足， 所以， 所以， 当且仅当，即，又，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 37．已知x，y均为正数，，则的最小值 . 【答案】 【分析】应用基本不等式计算求解. 【详解】已知x，y均为正数，，则， ， 当且仅当取最小值. 故答案为：. 38．已知． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）应用作差法证明不等式； （2）应用已知条件，常值代换根据基本不等式证明. 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以 ，   当且仅当，即，时等号成立． 39．已知，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】由基本不等式的常数代换，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，且，所以， 所以． 当且仅当时，即，即时，取等号． 故答案为： 40．[多选题]下列选项正确的是（   ） A．若，则的最小值是2 B．若，则的最小值为 C．若，则的最大值为 D．若正实数满足，则的最小值为8 【答案】CD 【详解】令，则，所以又，当且仅当，即时取等号，而不满足错误；因为，当且公当，即时取等号，故的最大值为错误；若，则，当且仅当，即时取等号，此时取得最大值，C正确；因为正实数满足，所以，当且仅当且，即时取等号，此时的最小值为8，D正确． 故选：CD. 考点05 双换元求最值 41．已知，且，则的最小值是 . 【答案】 【分析】利用代换1法来，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设，由对应系数相等得， 解得 所以，整理得， 即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 42．已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设令，故，，变形得到，由基本不等式“1”的代换求出的最小值，从而得到答案. 【详解】正数，，满足，故， 令，故，， ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故. 故选：D 43．已知，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D．10 【答案】B 【分析】首先对题中所给的式子进行变形为，利用基本不等式求得最小值，将问题转化为，解不等式求得结果. 【详解】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 令，则，解得（舍去）或， 则，当且仅当，时等号成立， 即的最小值为9. 故选：B. 44．已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，，表示出，然后代入目标式，利用基本不等式可得范围. 【详解】设，，得到，， 于是， 当且仅当，即时，等号成立，即， 又因为，解得，，满足． 一题多解 ， ， （另解：由，得，， ）． 令， 则， 令，得，此时函数单调递增； 令，得，此时函数单调递减， ， 又当时，，当时，， ，． 故答案为：. 45．若正数a，b满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】设，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设，则，可得， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，取得最小值． 故答案为：． 46．若，，，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】令 ，则，由此可将变形为，结合基本不等式，即可求得答案。 【详解】由题意，，，，得：， 设 ，则 ， 故 ， 当且仅当 ，即 时取得等号， 故的最小值为， 故答案为： 47．已知均为正实数，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】对于选项A，直接根据基本不等式可求得结果； 对于选项B，化为积为定值的形式后，根据基本不等式求出最小值可得答案； 对于选项C，变形后利用二次函数求出最小值可得答案； 对于选项D，变形后利用基本不等式求出最小值可得答案. 【详解】对于选项A，，当且仅当时取“”，故A正确； 对于选项B，， 当且仅当时取“”，故B错误； 对于选项C， ， 当且仅当时取“”，故C正确； 对于选项D， ， 令，， 则，所以 ， 当且仅当，即，时取“”， 所以， 所以，当且仅当，时取“”， 故选项D错误. 故选：AC. 48．若均为非负实数，且，则的最小值为 ． 【答案】3 【详解】由题意可知：，故： 当且仅当时等号成立. 49．已知，且，则的最小值为 ，此时 ． 【答案】 12 或1 【分析】由代入目标式，应用基本不等式求目标式的最小值，并确定取值条件. 【详解】由题设，则， 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 此时，可得，故或时等号成立. 综上，或时目标式取最小值为12. 故答案为：12；或1 50．已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意首先得，且，进一步通过换元法以及判别式法即可求解，注意验证取等条件. 【详解】因为，所以，所以，等号成立当且仅当， 从而， 令，设，显然， 则， 因为关于的一元二次方程有实数根，所以， 整理得，即， 解得，注意到，从而， 等号成立当且仅当，即， 所以经检验的最大值，即的最大值为. 故选：D. 考点06 齐次化求最值 51．若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 52．求下列函数的最值． (1)已知，求的最大值； (2)已知，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基本不等式可求得的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当， 即时，等号成立，故的最大值为． （2）因为，所以． 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，函数取得最小值. 53．解决下列问题： (1)求函数的最小值； (2)若，且，求的最小值. (3)求函数的最小值； 【答案】(1)3； (2)9； (3)10. 【分析】（1）由基本不等式可得答案； （2）注意到，后由基本不等式可得答案； （3）令，则，后由基本不等式可得答案. 【详解】（1） ∵， ∴（当且仅当，即时取等号） ∴的最小值为3； （2）因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，， 所以的最小值为9. （3）令，则， ∴ 当且仅当即时取等号 ∴的最小值为10. 54．若，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 55．已知，求的最小值 【答案】6 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6. 56．（1）当时，求的最小值； （2）已知，，都是正数，且，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【分析】（1）将看作整体进行变形，再利用基本不等式的性质即可得解； （2）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. 【详解】（1），， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当时，函数的最小值为. （2），且， ， 当且仅当， 即时，等号成立， 故. 57．设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 58．（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）二次除一次后，可直接用基本不等式求最值； （2）配凑法形成积定后即可用基本不等式求最值. 【详解】（1）因为且, 所以， 当且仅当，即时，y取到最小值. （2），，， ， 当且仅当时，即时取得等号， ，即最大值为. 59．（1）已知，，且，求的最小值； （2）求函数的最小值． 【答案】（1）3；（2）9． 【分析】（1）依题意可得，则，利用基本不等式计算可得； （2）令，则，利用基本不等式计算可得； 【详解】（1）∵，，且，所以， 则， 当且仅当时等号成立，因此的最小值为3． （2）因为，所以，令，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立； 所以函数的最小值为． 60．函数 的最大值为 . 【答案】/ 【分析】首先化简可得，由则可以利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为，则， 所以 ≤， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 考点07利用基本不等式比较大小 61．若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合基本不等式判断即得. 【详解】由，，得， 反之，满足，而，此时不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 62．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】应用作差法比较代数式的大小判断A、B；由放缩及基本不等式判断C；应用特殊值举反例判断D. 【详解】A：由，则，则，对； B：由，则， 所以，则，对； C：由，则，对； D：若，则，错. 故选：ABC 63．下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用作差法可判断AD选项，利用基本不等式可判断BC选项. 【详解】对于A选项，对任意的、，，即， 当且仅当时，等号成立，A对； 对于B选项，当，时，由A选项可知， 则，故， 当且仅当时，等号成立， 故，B对； 对于C选项，当时，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，C错； 对于D选项，因为，，则， 故，D对. 故选：ABD. 64．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据基本不等式及不等式的性质依次判断各项的正误. 【详解】用替代中的，得到，当且仅当时取等号，故A正确； 取，则，故B错误； ，当且仅当时取等号，故C正确； 因为，所以， 即，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ACD 65．已知，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的最小值为1 C．若，则的最小值为8 D．若恒成立，则的最小值为 【答案】AC 【分析】利用基本不等式求解A，利用基本不等式的取等条件判断B，利用基本不等式结合“1”的代换判断C，先分离参数，再对平方后利用换元法和判别式法求解最值，得到的最小值判断D即可. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号， 即，得到，解得．故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，显然的值不存在，故B错误； 对于C，因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时解得， 则的最小值为8，故C正确， 对于D，因为恒成立，且，， 所以恒成立，而 ， 令，则可化为， 令，则， 化简得， 而该一元二次方程一定有实数根，得到， 解得，当时，， 故，故即， 得到，则的最小值为，故D错误. 故选：AC 66．若实数a，b，c满足，则下列不等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据不等式的基本性质，可得判定A错误，B正确；利用基本不等式，可得判定C正确；利用作差比较法，可判定D正确. 【详解】因为实数满足， 对于A，因为，所以，所以A错误； 对于B，由不等式的性质，可得，所以B正确； 对于C，由，可得，所以， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确； 对于D，由，所以，所以D正确. 故选：BCD. 67．已知（a，b，），且，则（   ） A． B．存在a，c使得 C．不存在a，c使得 D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合基本不等式逐项推理判断即可. 【详解】对于A，由，，得，则，A正确； 对于B，由，，得，则，， 若存在，使得，则，与已知相矛盾，B错误； 对于C，由，得，，C正确； 对于D，，，D正确. 故选：ACD. 68．设，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A和D，利用作差法排除；对于B，利用不等式性质推理排除；对于C，利用基本不等式可推理得到. 【详解】对于A，由，因，故得，即A错误； 对于B，由两边同除以，可得 ，故B错误； 对于C，因，则，当且仅当时取等号，因，故得，即C正确； 对于D，由，因，故得，故D错误. 故选：C. 69．已知，下列不等式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于选项ABD利用不等式即可判断，而选项C举反例.即可得到答案. 【详解】对于选项A：因为，，当且仅当时取等号，故A正确。 对于选项B：因为，所以，当且仅当时取等号，故B正确. 对于选项C：当时，，故C错误. 对于选项D：，当且仅当，即时取等号.故D正确. 故选：ABD 70．设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的性质，结合基本不等式比较大小. 【详解】由，得，则， 又，则，所以. 故选：B 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 基本不等式巧解最值（七大题型） 考点01 直接法求最值 考点02 常规凑配法求最值 考点03 消参法求最值 考点04 “1”的代换求最值 考点05 双换元求最值 考点06 齐次化求最值 考点07利用基本不等式比较大小 考点01 直接法求最值 1．已知正数满足，则的最大值为 . 2．（1）已知，求的最大值； （2）已知正实数满足，求的最大值. 3．已知且，则下列说法正确的有（    ） A．的最小值为9 B．的最小值为6 C．的最大值为 D．的最小值为9 4．已知，为正实数，，则（   ） A．的最大值为1 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值3 5．已知且，则下列不等式恒成立的有（    ） A． B． C． D． 6．已知，则的最大值为 ． 7．已知，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 8．若正数满足：，则当取最大值时的值为（    ） A． B． C．1 D． 9．已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 10．设，，且，则的最大值． 考点02 常规凑配法求最值 11．（1）若，求的最小值，并写出取得最小值时的值. （2）若，求函数的最小值，并写出取得最小值时的值. 12．求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 13．（1）已知，求的最小值； （2）已知两正数满足，求的最小值． 14．（1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 15．已知，则的最小值是 ． 16．已知，则的最小值为 . 17．不等式对于，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．已知实数，则的最大值为 ． 19．（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值； 20．函数的值域是 ． 考点03 消参法求最值 21．已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 22．若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 23．已知 为正实数， ，则下列说法正确的是（   ） A． B． 的最小值为 -1 C．的最小值为 12 D． 的最小值为 24．已知，（1）若，都是正数，且，则的最小值为 ；（2）若，则的最大值为 . 25．已知正数，满足，则下列结论中正确的是（    ）. A． B． C．的最小值为 D．与可以相等 26．已知为正实数，且，则（   ） A．的最小值为8 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 27．已知都是正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 28．设正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 29．已知正实数x，y满足，下列说法正确的是（   ） A．xy的最大值为2 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最大值为1 30．已知，，，则的最小值为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 考点04 “1”的代换求最值 31．已知实数，且恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 32．已知，且. (1)求的最小值； (2)求的取值范围； 33．已知均为正数，且，则的最小值 . 34．下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是3 C．当时，的最小值是5 D．设，，且，则的最小值是 35．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 36．若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 37．已知x，y均为正数，，则的最小值 . 38．已知． (1)求证：； (2)若，求证：． 39．已知，且，则的最小值是 ． 40．[多选题]下列选项正确的是（   ） A．若，则的最小值是2 B．若，则的最小值为 C．若，则的最大值为 D．若正实数满足，则的最小值为8 考点05 双换元求最值 41．已知，且，则的最小值是 . 42．已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 43．已知，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D．10 44．已知，则的取值范围是 ． 45．若正数a，b满足，则的最小值是 ． 46．若，，，，则的最小值为 ． 47．已知均为正实数，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 48．若均为非负实数，且，则的最小值为 ． 49．已知，且，则的最小值为 ，此时 ． 50．已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 考点06 齐次化求最值 51．若，则的最小值是 . 52．求下列函数的最值． (1)已知，求的最大值； (2)已知，求的最小值． 53．解决下列问题： (1)求函数的最小值； (2)若，且，求的最小值. (3)求函数的最小值； 54．若，则的最小值为 . 55．已知，求的最小值 56．（1）当时，求的最小值； （2）已知，，都是正数，且，求证：. 57．设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 58．（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 59．（1）已知，，且，求的最小值； （2）求函数的最小值． 60．函数 的最大值为 . 考点07利用基本不等式比较大小 61．若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 62．已知，则（    ） A． B． C． D． 63．下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 64．若，则（    ） A． B． C． D． 65．已知，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的最小值为1 C．若，则的最小值为8 D．若恒成立，则的最小值为 66．若实数a，b，c满足，则下列不等式成立的有（    ） A． B． C． D． 67．已知（a，b，），且，则（   ） A． B．存在a，c使得 C．不存在a，c使得 D． 68．设，且，则（   ） A． B． C． D． 69．已知，下列不等式正确的有（    ） A． B． C． D． 70．设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $