上海市普通高中2023-2024学年高三上学期“绿色指标”调研数学试题

2023学年第一学期上海市普通高中“绿色指标”调研高三年级数学试卷 （满分：150分，完卷时间：120分钟） 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 若集合，，则________． 2. 不等式的解集为__________. 3. 椭圆的焦距是_________. 4. 设是等差数列，，则该数列的前8项的和的值为__________. 5. 到点距离之和为10的动点的轨迹方程为__________. 6. 在中，已知，则的值为__________. 7. 若等差数列满足，，则__________． 8. 已知函数的表达式为，则不等式的解集为__________． 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的点在第一象限，且与双曲线的一条渐近线平行，则的面积为__________． 10. 某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为，若这组数据的中位数和平均数相等，那么_____. 11. 已知，若函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点，则的取值范围是__________． 12. 已知函数的定义域，值域，则函数为增函数的概率是__________． 二､选择题（本题共有4题，满分18分，13､14每题4分，15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件：点数是奇数，事件：点数是偶数，事件：点数是3的倍数，事件：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 14. 污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为（ ）（参考数据：） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 15. 对一组数据3，3，3，1，1，5，5，2，4，若任意去掉其中一个数据，剩余数据的统计量一定会发生变化的为（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 16. 已知数列，若存在数列满足对任意正整数，都有，则称数列是的交错数列.有下列两个命题：①对任意给定的等差数列，不存在等差数列，使得是的交错数列；②对任意给定的等比数列，都存在等比数列，使得是的交错数列.下列结论正确的是（ ） A. ①与②都是真命题； B. ①为真命题，②为假命题； C. ①为假命题，②为真命题； D. ①与②都是假命题． 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调减区间. 18. 如图所示，正三棱锥的侧面是边长为2的正三角形. （1）求正三棱锥的体积； （2）设分别是线段的中点. 求证：①平面；②若平面交于点，则四边形是正方形. 19. 某高中举行了一次知识竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．将成绩进行整理后，依次分为五组（），其中第1组的频率为第2组和第4组频率的等比中项．请根据下面的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求a、b的值； （2）从样本数据在两个小组内的学生中，用分层抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：已知这10个分数的平均数，方差，若剔除其中的95和81两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线交椭圆于A、两点，点A在第一象限． （1）若，求点A的坐标； （2）求的取值范围； （3）若轴，垂足为，连结并延长交椭圆于点，求面积的最大值． 21. 定义：若曲线和曲线有公共点P，且曲线在点P处的切线与曲线在点P处的切线重合，则称与在点P处“一线切”. （1）已知圆 与曲线在点 处“一线切”，求实数a的值； （2）设，，若曲线与曲线在点P处“一线切”，求实数a的值； （3）定义在上的函数的图象为连续曲线，函数的导函数为，对任意的，都有成立.是否存在点使得曲线和曲线在点处“一线切”？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 2023学年第一学期上海市普通高中“绿色指标”调研高三年级数学试卷 （满分：150分，完卷时间：120分钟） 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】2 【4题答案】 【答案】36 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】##0.625 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】或 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二､选择题（本题共有4题，满分18分，13､14每题4分，15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】A 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）； （2）①证明如下： 由分别是线段的中点，得， 而平面，平面， 所以平面. ②证明如下： 由平面交于点，得面平面，而平面， 平面，则，而是的中点，则是的中点， 因此，而，则四边形是平行四边形， 又，于是为菱形，而， 平面，则平面，又平面， 因此，于是，所以四边形是正方形. 【19题答案】 【答案】（1），； （2）； （3）平均数为88，方差为19. 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【21题答案】 【答案】（1） （2） （3）不存在点满足条件，理由：假设存在满足题意， 则有，对函数求导得：， 于是，即， 平方得， 即有，因此， 整理得，而恒有成立， 则有，从而，显然， 于是，即与恒成立矛盾， 所以假设不成立，即不存在点满足条件 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $