精品解析：福建省同安第一中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题

2023年10月同安一中高一 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据含有一个量词的否定的方法判断即可. 【详解】根据含有一个量词的否定， 命题“，”的否定为“，”. 故选：B. 2. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，然后利用交集的定义运算即得. 【详解】因为， 所以. 故选：C 3. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图象可知阴影部分表示的集合为，根据交集和补集的运算即可得出结果. 【详解】由，， 得， 由图象可知阴影部分表示的集合为， 所以. 故选：B 4. 若则不等式的解是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】转化原不等式可得，结合及一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由可得， ， ， ， 故选：． 5. 若函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用方程组法即可求出函数的解析式，从而求的值. 【详解】因为函数满足 ---① 所以 ---② 联立①②，得，解得， ∴ 故选：A 6. 对于、，规定，集合，则中元素的个数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分、的奇偶性相同和奇偶性不同两种情况讨论，列举出满足条件的元素，即可得出集合的元素个数. 【详解】分、的奇偶性相同和奇偶性不同两种情况讨论： ①如果、的奇偶性相同，且、， 此时，可为：、、、、、、、、 、、，共个； ②如果、的奇偶性不同，且、， 此时，可为：、、、，共个. 因此，集合的元素个数为个. 故选：C. 7. 道路通行能力表示道路的容量，指单位时间内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标，通常由道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件决定．某条道路一小时的通行能力满足，其中为安全距离，为车速（m/s）．若安全距离取40m，则该道路一小时通行能力的最大值约为（ ） A. 98 B. 111 C. 145 D. 185 【答案】B 【解析】 【分析】结合均值不等式即可求出的最值. 【详解】由题意得， 由于，所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故选：B 8. 对于实数和，定义运算“”：，设函数，，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义求出f(x)的解析式，在同一个坐标系作出与的图像，即可得到答案. 【详解】若，则，解得； 若,则,则或， 所以作出f(x)的函数图象如图所示： 作出直线y=c， 因为函数的图象与轴恰有两个公共点， 所以与由两个交点，只需. 故选：B 【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分. 9. 实数，，，满足：，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式的性质、特殊值法和作差法判断可得解. 【详解】解：因为，所以，故选项A正确； 令、，，，满足， 此时，故选项B错误； 因为，所以，， 所以，故选项C正确； 因为，则， 因为，，所以， 所以，故选项D正确. 故选：ACD. 10. 以下说法正确的有（ ） A. 实数是成立的充要条件 B. 实数a，b中至少有一个不为0的充要条件是 C. 命题“，使得”的否定是真命题，则a的取值范围为 D. 若实数a，b满足，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，举反例说明；对B，由条件结合充要条件定义判断；对C，利用特称命题的否定是全称命题求解判断；对D，利用基本不等式求解判断. 【详解】A：x与y同为正数时不成立，如，但，错误； B：已知平方和，当且仅当时平方和等于0，所以中至少有一个不为0等价于，正确； C：命题“，使得”的否定为“，使得”， 该不等式的二次项系数大于0，只要满足，解得，错误； D：若，则与，所以，当且仅当，即时等号成立，正确. 故选：BD. 11. 已知函数，则（ ） A. B. 若，则或 C. 的解集为 D. ，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据解析式先求，再求，对于B，分和两种情况求解，对于C，分和两种情况解不等式，对于D，求出函数的最大值判断. 【详解】对于A，因为，所以，所以A错误， 对于B，当时，由，得，得，当时，则，得，，得或（舍去），综上或，所以B正确， 对于C，当时，由，得，解得，当时，由，得，解得，综上，的解集为，所以C正确， 对于D，当时，，当时，，所以的值域为， 因为，，所以，所以D正确， 故选：BCD 12. 已知集合，且有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ） A. B. C. D. 若不等式的解集为，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由于有且仅有两个子集，所以可得集合中只有一个元素，所以有两个相等的根，从而得，得，然后逐个分析判断. 【详解】因为有且仅有两个子集，所以集合中只有一个元素， 所以方程有两个相等的根， 所以，得， 所以，即， 所以，得， 所以, 所以A错误， 对于B，因为，所以 ，当时取等号，所以B正确， 对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以C错误， 对于D，因为，所以不等式可化为， 因为不等式的解集为，所以， 所以，所以D正确， 故选：BD 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13. 是的_____条件 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】根据不等式对应集合的包含关系,即可判断出答案. 【详解】由于集合是的真子集， 故是的充分不必要条件, 故答案为: 充分不必要 14. 已知，则函数的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】因，则，再由均值不等式代入即可得出答案. 【详解】因为，所以，所以 7， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为7. 故答案为：. 15. 设集合，且，则值是____或____. 【答案】 ①. ②. 0 【解析】 【分析】根据，建立元素关系，验证集合中元素的互异性是否成立，可得到结论. 【详解】∵，∴， ∴或，解得或1或0， 当时，，，满足； 当时，中元素为，不满足集合元素的互异性，应舍去； 当时，，，满足， ∴或0. 故答案：或0. 16. 关于x的不等式ax2﹣3x+4≤b的解集为[a，b]，则b－a＝________． 【答案】4 【解析】 【分析】设f（x）x2﹣3x+4，其函数图象是抛物线，画两条与x轴平行的直线y＝a和y＝b，如果两直线与抛物线有两个交点，得到解集应该是两个区间；此不等式的解集为一个区间，所以两直线与抛物线不可能有两个交点，所以直线y＝a应该与抛物线只有一个或没有交点，所以a小于或等于抛物线的最小值且a与b所对应的函数值相等且都等于b，利用f（b）＝b求出b的值，由抛物线的对称轴求出a的值，从而求出结果． 【详解】解：画出函数f（x）＝x2﹣3x+4＝（x－2）2＋1的图象，如图， 可得f（x）min＝f（2）＝1， 由图象可知，若a>1，则不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集分两段区域，不符合已知条件， 因此a≤1，此时a≤x2－3x＋4恒成立． 又不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为[a，b]， 所以a≤1<b，f（a）＝f（b）＝b，可得 由b2－3b＋4＝b，化为3b2－16b＋16＝0， 解得b＝或b＝4. 当b＝时，由a2－3a＋4－＝0，解得a＝或a＝， 不符合题意，舍去， 所以b＝4，此时a＝0， 所以b－a＝4. 故答案为：4 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，解题时应灵活应用函数的思想解决实际问题，是中档题． 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 函数满足. （1）求的解析式； （2）集合，写出集合的所有子集. 【答案】（1） （2），，和 【解析】 【分析】（1）利用换元法：，求出，即可求出的解析式； （2）根据求出集合的元素，根据元素即可写出集合的所有子集. 【小问1详解】 令，所以， 所以，即； 【小问2详解】 因为， ， 因为，解得或，所以， 所以集合的所有子集为：，，和. 18. 已知集合，. （1）时，求及； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由交集，并集，补集的概念求解， （2）由集合间关系列不等式求解， 【小问1详解】 当时，，故， 【小问2详解】 由得， 当时，由得， 当时，由得， 综上，的取值范围是 19. 集合，或，且． （1）求m，n的值； （2）若非空集合，“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知是方程的根求得值，可求得集合，从而求出值； （2）由条件知，列出满足的不等关系即可. 【小问1详解】 因为，或，故是方程的根，所以． 由可得或，所以或 又，或，故，； 【小问2详解】 因为或， 所以． 因为“”是“”的充分不必要条件，故， 又为非空集合， 所以， 故实数a取值范围是． 20. 科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用．经调研，该企业生产此设备获得的月利润（单位：万元）与投入的月研发经费（，单位：万元）有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，；当投入月研发经费高于36万元时，．对于企业而言，研发利润率，是优化企业管理的重要依据之一，越大，研发利润率越高，反之越小． （1）求该企业生产此设备的研发利润率的最大值以及相应月研发经费的值； （2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，求月研发经费的取值范围． 【答案】（1）200%，30 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用基本不等式和函数的单调性，分别求得来年两段上最大值，比较即可得到结论； （2）由（1）得到，结合一元二次不等式的解法，即可求得的范围，得到答案. 【小问1详解】 解：由题意知，当时， ，当且仅当，即时取等号； 当时，， 在上单调递减，. 又，∴当月研发经费为30万元时，研发利润率取得最大值200%. 【小问2详解】 由（1）可知，此时月研发经费， 于是，令，整理得，解得：． 因此，当研发利润率不小于190%时，月研发经费的取值范围是． 21. 定义一种新的集合运算：,且． 若集合 ， ，． （1）求集合M； （2）设不等式的解集为P，若是的必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）解不等式求得集合A,B，根据集合新定义即可求得答案; （2）由是的必要条件可得，分类讨论，列出不等式组，求得实数a的取值范围. 【小问1详解】 由题意解不等式得： ， 解,即，得 ， 故， ， 故 且 或 ， 【小问2详解】 若是的必要条件，则． ①当即时，，则 ，即； ②当即时，，则 ，即； ③当2a=2-a即时，，此时不满足条件， 综上，所求实数a的取值范围为或． 22. （1）已知求函数最小值，并求出最小值时的值； （2）问题：正数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：若实数满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （3）利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得最小的的值. 【答案】（1）当函数最小值为（2），当且仅当且，同号时等号成立.（3）当时，取得最小值 【解析】 【分析】根据乘1法，构造法，基本不等式和 转换思想解决即可. 【详解】解： 当且仅当时取“=” 所以当函数最小值为 （2）， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当且，同号时等号成立.此时，满足； （3）令，，构造求出，， 因为，所以， 所以M= 取等号时，解的，，即 所以时，取得最小值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年10月同安一中高一 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 3. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 4. 若则不等式的解是（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 若函数满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 对于、，规定，集合，则中元素的个数为（　　） A. B. C. D. 7. 道路通行能力表示道路的容量，指单位时间内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标，通常由道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件决定．某条道路一小时的通行能力满足，其中为安全距离，为车速（m/s）．若安全距离取40m，则该道路一小时通行能力的最大值约为（ ） A. 98 B. 111 C. 145 D. 185 8. 对于实数和，定义运算“”：，设函数，，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分. 9. 实数，，，满足：，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 以下说法正确的有（ ） A. 实数是成立的充要条件 B. 实数a，b中至少有一个不为0的充要条件是 C. 命题“，使得”的否定是真命题，则a的取值范围为 D. 若实数a，b满足，则 11. 已知函数，则（ ） A B 若，则或 C. 的解集为 D. ，，则 12. 已知集合，且有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ） A B. C. D. 若不等式的解集为，则 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13. 是的_____条件 14. 已知，则函数的最小值为___________. 15. 设集合，且，则值是____或____. 16. 关于x的不等式ax2﹣3x+4≤b的解集为[a，b]，则b－a＝________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 函数满足. （1）求的解析式； （2）集合，写出集合的所有子集. 18. 已知集合，. （1）时，求及； （2）若，求实数的取值范围. 19. 集合，或，且． （1）求m，n的值； （2）若非空集合，“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 20. 科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用．经调研，该企业生产此设备获得的月利润（单位：万元）与投入的月研发经费（，单位：万元）有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，；当投入月研发经费高于36万元时，．对于企业而言，研发利润率，是优化企业管理的重要依据之一，越大，研发利润率越高，反之越小． （1）求该企业生产此设备研发利润率的最大值以及相应月研发经费的值； （2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，求月研发经费的取值范围． 21. 定义一种新的集合运算：,且． 若集合 ， ，． （1）求集合M； （2）设不等式解集为P，若是的必要条件，求实数a的取值范围． 22. （1）已知求函数最小值，并求出最小值时的值； （2）问题：正数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：若实数满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （3）利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得最小的的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $