精品解析：河南开封市尉氏县第三高级中学2025-2026学年高一下学期第二次月考数学试卷

尉氏三中2025-2026学年下学期高二第二次月考数学试卷 出题人：孙永杰 审题人：吕景兰 时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到白球”为事件B，则（ ） A. B. C. D. 3. 数列的一个通项公式（ ） A. B. C. D. 4. 设是的导函数，已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻且第一个节目不能是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种. A. 144 B. 288 C. 480 D. 672 6. 《哪吒之魔童闹海》在内地市场的票房突破了154亿大关，成为全球单一电影市场票房的最高记录.一款哪吒变脸玩具深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如表所示：若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） 时间 1 2 3 4 5 销售量/万只 5 4.5 4 3.5 2.5 A. 由题中数据可知，变量与负相关 B. 线性回归方程中 C. 当时，残差为0.2 D. 可以预测当时销量约为2.1万只 7. 小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则（ ） A. B. 若某天只有34分钟可用，小明应选择骑自行车 C. D. 若某天只有38分钟可用，小明应选择坐公交车 8. 已知连续型随机变量ξ服从正态分布，记函数，则函数的图象（ ） A. 关于直线对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于点对称 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是相同的函数 B. 函数的最小值为6 C. 若，则 D. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 10. 已知，则下列描述正确的是（   ） A. B. 的展开式中，所有含的偶数次项的二项式系数和为 C. 被7整除所得的余数是4 D. 11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现．在“杨辉三角”中，除每行（不含第0行）两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．例如：第4行的6为第3行中两个3的和．则下列说法正确的是（ ） A. 第6行从左到右第4个数是15 B. 第2026行的第1014个数最大 C. D. 记第行的第个数为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，若，，则___________. 13. 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8．则王同学第2天去餐厅用餐的概率为______． 14. 若关于的方程仅有一个实数根，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 实现乡村振兴，开发本地资源，提高村民的收入，某村办企业研发了一种新手工产品，为确定合适的定价，统计了不同定价x（元）与网上月销量y（万件）的数据如下： x 10 12 14 16 18 y 8 7 6 5 4 （1）求相关系数r，并说明其意义； （2）建立y关于x的线性回归方程； （3）若月销量不低于5万件可保证盈利，根据回归方程预测定价最高可定为多少元？（取整数） （参考数据：，，，，） （参考公式：，） 16. 已知数列的前项和为，且满足 （1）求数列； （2）设，求数列的前项和. 17. 人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 15 35 非优秀 10 5 15 总计 30 20 50 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ （2）从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18. 一个研究性学习小组为了了解某市市民年春假旅游支出情况（单位：千元），对随机选取的名市民年旅游支出进行问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 4 3 9 （1）从这位市民中随机抽取两人，求这两人2026年旅游支出费用均不低于元的概率； （2）若市民年旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）假定该市年常住人口为万人，试估计有多少市民年旅游支出费用在元以上； （ii）若在该市随机抽取3位市民，设其中年旅游支出费用在元以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 附：若，则，． 19. 已知函数，. （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； （2）讨论的单调性； （3）若存在两个极值点，且，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 尉氏三中2025-2026学年下学期高二第二次月考数学试卷 出题人：孙永杰 审题人：吕景兰 时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可求解. 【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“，”的否定是：，， 故选：B. 2. 一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到白球”为事件B，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】依题意得，， 故. 3. 数列的一个通项公式（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对数列的前几项变形，找出规律，从而写出数列的一个通项公式. 【详解】数列， 可写为，，，，…， 所以数列的一个通项公式. 4. 设是的导函数，已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】由已知， . 5. 某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻且第一个节目不能是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种. A. 144 B. 288 C. 480 D. 672 【答案】B 【解析】 【分析】利用插空法分步考虑即可，需要注意限制条件. 【详解】先排 4 个歌舞节目，有种排法，排好后会产生 5 个空位（包括两端）， 然后将 2 个机器人表演节目插入除第一个以外的空位，有种排法， 所以满足条件的排法有种. 6. 《哪吒之魔童闹海》在内地市场的票房突破了154亿大关，成为全球单一电影市场票房的最高记录.一款哪吒变脸玩具深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如表所示：若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） 时间 1 2 3 4 5 销售量/万只 5 4.5 4 3.5 2.5 A. 由题中数据可知，变量与负相关 B. 线性回归方程中 C. 当时，残差为0.2 D. 可以预测当时销量约为2.1万只 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，利用表中数据变化情况或看回归方程的正负均可求解；对于B，利用样本中心点求出线性回归方程，即可判断；对于C，利用回归方程即可求出预测值，进而可求出残差，即可判断；对于D，利用回归方程即可求出预测值即可判断. 【详解】对于A，从数据看，随的增大而减小，所以变量与负相关，故A正确； 对于B，由表中数据知，， 所以样本中心点为，将样本中心点代入中， 得，所以线性回归方程为，故B正确； 对于C，当时，，残差为，故C错误； 对于D，当时销量约为（万只），故D正确. 故选：C. 7. 小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则（ ） A. B. 若某天只有34分钟可用，小明应选择骑自行车 C. D. 若某天只有38分钟可用，小明应选择坐公交车 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得：坐公交车用时（均值，标准差），骑自行车用时（均值，标准差）. 选项A：正态分布中，， 因此，A错误. 选项B：对来说，34是均值，故； 对来说，，由正态曲线的对称性，，因此，坐公交车准时概率更高，应选坐公交车，B错误. 选项C：对：，，因此38在与之间； 对：，即38恰好是， 由原则对比得，C正确. 选项D：38分钟可用时，由选项C的结论，，即骑自行车准时到达的概率更高，应选择骑自行车，D错误. 8. 已知连续型随机变量ξ服从正态分布，记函数，则函数的图象（ ） A. 关于直线对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于点对称 【答案】B 【解析】 【分析】由正态分布性质可得，据此可判断正确选项. 【详解】由于函数为下图中阴影部分面积， 则， 故函数关于点对称， 故选：B. 【点睛】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是相同的函数 B. 函数的最小值为6 C. 若，则 D. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据定义域以及对应关系即可判断A，由基本不等式即可求解B，根据配凑法求解析式判断C，由抽象函数定义域的性质即可求解D. 【详解】由，解得，所以的定义域为， 由，解得，所以的定义域为， 又， 故函数与是相同的函数，故A正确； ， 当且仅当时取等号，方程无解，等号不成立，故B错误； 因为，所以，故C正确； 由，得，所以的定义域为，故D正确． 10. 已知，则下列描述正确的是（   ） A. B. 的展开式中，所有含的偶数次项的二项式系数和为 C. 被7整除所得的余数是4 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用赋值法判断A；根据所有含的奇数次项的二项式系数和与所有含的偶数次项的二项式系数和相等，可判断B；根据被7整除得余数，可判断C；对两边求导，再赋值即可判断D. 【详解】对于A，令， 得， 令，得， 故，A正确； 对于B，所有含的奇数次项的二项式系数和， 与所有含的偶数次项的二项式系数和相等，都为，故B正确； 对于C，， 故只需考虑被7整除得余数， 因为， 被7整除的余数为4，故C正确； 对于D，， 两边求导得， 再令，得，故D错误. 11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现．在“杨辉三角”中，除每行（不含第0行）两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．例如：第4行的6为第3行中两个3的和．则下列说法正确的是（ ） A. 第6行从左到右第4个数是15 B. 第2026行的第1014个数最大 C. D. 记第行的第个数为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用二项式定理，结合组合数运算性质逐一判断即可 【详解】对A：第6行从左到右的第4个数为，故A错误； 对B：第2026行一共有2027个数，即， 由二项式系数的性质可知：中间的第个数最大，故B正确； 对C：因为，故C正确； 对D：因为， 所以，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，若，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项分布的期望和方差公式，即可求解. 【详解】由条件可知，解得：，. 故答案为： 13. 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8．则王同学第2天去餐厅用餐的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意结合全概率公式和对立事件的概率公式计算即得. 【详解】设 “第1天去餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”， 根据题意得，，， 由全概率公式，得， 即王同学第2天去餐厅用餐的概率为0.7，故王同学第2天去餐厅用餐的概率为. 故答案为： 14. 若关于的方程仅有一个实数根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，令得到或，令，利用导数说明函数的单调性，依题意可得与有且仅有一个交点，即可求出参数的取值范围. 【详解】由，可得， 令，则，即，所以或， 令，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，当时，且时，时， 则的图象如下所示： 因为关于的方程仅有一个实数根， 所以或有且仅有一个实数根， 显然无解，所以有且仅有一个实数根， 即与有且仅有一个交点，所以或， 即实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 实现乡村振兴，开发本地资源，提高村民的收入，某村办企业研发了一种新手工产品，为确定合适的定价，统计了不同定价x（元）与网上月销量y（万件）的数据如下： x 10 12 14 16 18 y 8 7 6 5 4 （1）求相关系数r，并说明其意义； （2）建立y关于x的线性回归方程； （3）若月销量不低于5万件可保证盈利，根据回归方程预测定价最高可定为多少元？（取整数） （参考数据：，，，，） （参考公式：，） 【答案】（1），与完全负相关 （2） （3）16元 【解析】 【小问1详解】 ，， 故， 故与完全负相关． 【小问2详解】 ， 故，回归方程为． 【小问3详解】 由题设，此时，故，故定价最高为16元． 16. 已知数列的前项和为，且满足 （1）求数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求得，当时，化简得到，结合等差数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）化简得到，结合裂项法求和，即可求解. 【小问1详解】 解：由数列的前项和为，且， 当时，可得，可得， 当时，， 即，可得，即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知：， 可得， 所以 . 17. 人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 15 35 非优秀 10 5 15 总计 30 20 50 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ （2）从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）先作出零假设，根据列联表计算出，所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. （2）先写出的可能取值为，再根据题目算出对应的概率，列出概率分布列，求出数学期望即可. 【小问1详解】 零假设 : 这次成绩是否优秀与性别无关. 根据表中数据，计算得到 根据小概率值的独立性检验，推断成立，所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. 【小问2详解】 的可能取值为. ; ; ; 的分布列为： 0 1 2 数学期望. 18. 一个研究性学习小组为了了解某市市民年春假旅游支出情况（单位：千元），对随机选取的名市民年旅游支出进行问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 4 3 9 （1）从这位市民中随机抽取两人，求这两人2026年旅游支出费用均不低于元的概率； （2）若市民年旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）假定该市年常住人口为万人，试估计有多少市民年旅游支出费用在元以上； （ii）若在该市随机抽取3位市民，设其中年旅游支出费用在元以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 附：若，则，． 【答案】（1） （2）（i）万人（ii） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）先确定符合条件的频数区间，得出符合条件的总人数，再用组合数分别计算总情况数和符合条件的情况数，进而求出概率； （2）（i）根据已知条件确定正态分布的两个参数，确定分布，利用正态分布的对称性结合附表计算概率，再利用概率乘以该市总人口，得出对应人数；（ii）将独立重复试验转化为二项分布，求出单次成功概率，进而确定分布类型，再利用二项分布概率公式求出分布列及期望． 【小问1详解】 由频数分布表知，旅游支出不低于元的市民人数为：人， 则从人中随机抽取人的总情况数为：； 符合条件的情况数为：； 符合条件的概率为：． 【小问2详解】 由频数分布表，结合题意可得各组中间值为：， 则样本平均数为， 已知，则； （i）元即为千元，则， 由正态分布的性质：， 则， 该市万市民中，支出在元以上的市民人数约为： 万人． （ii）元即千元，正态分布关于对称，则， 随机变量表示支出在元以上的人数，故， 则，，， ， 则随机变量的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为： ． 19. 已知函数，. （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； （2）讨论的单调性； （3）若存在两个极值点，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在和上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出曲线在给定点的切线斜率列方程求解即得； （2）将函数求导后，根据参数的取值进行分类，判断导函数的符号，即可确定函数的单调性； （3）由（2）的结论分析得，易得，设，则有，计算并化简得，设，求导分析其单调性可得，再由，利用函数单调性即可求得答案. 【小问1详解】 由求导得， 依题意，，解得 【小问2详解】 因函数的定义域为， ， 当时，，当时，，当时，， 即此时函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，若，恒成立，则，即函数在上单调递减； 若，由解得， 由可得，由可得或， 即函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，由可得，由可得， 即函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 由（2）分析可知，存在两个极值点，则 此时是方程的两个实根，则. 由 ， 设，则，将代入，化简得，， 则，， 设，则，故函数在上单调递增， 由题意，，且，即有，故可得， 又因，函数在上单调递增，故， 又因，故得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $