精品解析：广东省惠州大亚湾经济技术开发区京师实验学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度第一学期九年级第2次月考数学试卷 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分，在每小题列出的四个选项中，只有一个正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1. 平移和旋转在我们生活中随处可见．下面属于旋转的现象是（ ） A. 乘坐电梯 B. 用钥匙开锁 C. 推拉窗户 D. 火箭升空 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了旋转的概念，平移的概念，掌握旋转的概念是解题的关键。 根据旋转的概念求解即可． 【详解】解：A．乘坐电梯啊，电梯整体沿着直线上下移动，属于平移现象，故不符合题意； B．用钥匙开锁，钥匙需要绕着锁芯这个固定点转动，属于旋转现象，故符合题意； C．推拉窗户时，窗户沿着轨道做直线移动，属于平移现象，故不符合题意； D．火箭升空属于平移现象，故不符合题意； 故选：B． 2. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】A．的最高次项的次数是1，故不是一元二次方程； B．含2个未知数，故不是一元二次方程； C．的最高次项的次数是2，含一个未知数，故是一元二次方程； D．的分母含未知数，不是整式方程，故不是一元二次方程； 故选C． 3. 如图，将绕点O顺时针旋转后，得到，下列说法正确的是（ ） A. 点B的对应点是点C B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】旋转得到全等三角形，对应边和对应角相等，直接判断即可． 【详解】由题可知， 点B的对应点是点D，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D符合题意． 故选：D 【点睛】此题考查全等三角形的性质，旋转的性质，解题关键是对应边和对应角都相等． 4. 抛物线的开口向上，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线开口向上可得，进而求解． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∴， 故选：B． 5. 抛物线的顶点坐标是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法． 抛物线方程为顶点形式，直接读取顶点坐标． 【详解】解：∵是顶点形式， ∴顶点坐标为， 故选：B． 6. 对于二次函数，下列结论错误的是（ ） A. 开口向上 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 函数图象与x轴没有公共点 D. 函数有最小值 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：由二次函数，得 ，对称轴为， ∴二次函数的开口向上，当时，y随x的增大而增大， 故A，B正确， 当时，函数取得最小值为，D正确, 当时，， ， 即函数图象与x轴只有一个公共点， 故C错误． 故选C． 7. 若、是方程的两个实数根，则代数式的值为（ ） A. B. C. 2011 D. 2023 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程根的定义、代数式求值等知识点，若是一元二次方程的两根，是解题的关键． 先根据方程根的定义得到，再根据根与系数的关系得到，则，再然后利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∵、是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故选：C． 8. 如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据函数图象交点求不等式的解集．不等式的解集是抛物线在直线上方相对应的自变量x的取值范围，根据函数图象及其交点即可解答． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， ∴由图象可得，不等式的解集是． 故选：C． 9. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④；⑤．其中正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的图象与性质进行排除选项即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点，， ∴根据对称性可知：抛物线的对称轴为直线，，故①正确； ∵， ∴，即，故②正确； 由图象可知：当时，或，故③错误； 当时，则有，当时，则有， ∴，故，故④错误； 当时，则有， ∴， ∵图象开口向上，即， ∴，故⑤错误； 综上所述：正确的结论有①②，共2个； 故选A． 10. 如图，已知正方形中，，点E为边上一动点(不与点B、C重合),连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，设与相交于点G，连接以下说法：①；②点E在上运动过程中，始终有；③最小值为；④当最小时，四边形的面积是6，其中一定正确的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】先由旋转得到，，从而可得，由此可判断①； 由正方形的性质得，，可证明≌，得，从而可得，进而推得，由，可知，由此判断②； 先求得，可知点F在射线上运动，所以当时，的值最小，此时，，由，求得，从而可得出的最小值，由此可判断③； 由，得，则，再求得，由此可判断④． 【详解】解：将绕点E顺时针旋转得到， ，， ， 故①正确； 作交的延长线于点H， 四边形是正方形，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 如图1，， ， 故②错误； ， ， 点E为边上的动点， 点F在射线上运动， 当时，的值最小， 如图2，，则， ， ， ， ， 的最小值为， 故③正确； ，且，， ， ， ， ， ， 故④错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的一外角的性质，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积公式等知识，解题关键是正确地添加辅助线． 二、填空题（本大题包括5小题，每小题3分，共15分，请把各题的答案填写在答题卡上） 11. 若方程有实数根，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，分与两种情况，时，原方程为一元一次方程；时，原方程为一元二次方程，有实数根时，由此可解． 【详解】解：当时，方程变形为，有实数根； 当时，若方程有实数根， 则， 解得， 综上可知，实数k的取值范围为， 故答案为：． 12. 已知点都在二次函数的图像上，则的大小关系是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，二次函数的图像和性质． 先根据函数解析式得出开口方向及对称轴，进而得出图像的增减性，求出关于对称轴的对称点，再比较各点的横坐标即可． 【详解】解：的对称轴为直线，二次项系数为， 抛物线开口向下，在对称轴左侧，函数值随x的增大而增大，在对称轴的右侧，函数值随x的增大而减小， 关于对称轴的对称点为，， ， 故答案为：． 13. 如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升______米． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够准确地建立坐标系进行求解． 如图建立平面直角坐标系，由题意得：C为抛物线顶点且坐标为，求出抛物线解析式，然后把代入求解即可． 【详解】解：如图，以水面所在直线为x轴，的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系， 由题意得：C为抛物线顶点且坐标为， 可设抛物线解析式为 ， ∴ 即 ， ∴抛物线解析式为 ， 当水面宽度为米时，即当 ， ， ∴水面上升的高度为米， 故答案为：． 14. 如图，在中，，的长为，的长为，点从点开始，沿边向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，______秒后的面积等于． 【答案】2或4 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设t秒后的面积等于，由题意得：，则有，然后可得方程，进而求解即可． 【详解】解：设t秒后的面积等于，由题意得：，则有， ∴， 解得：， ∴当点P运动2或4秒后，的面积等于． 故答案为:2或4． 15. 如图，P是正方形内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，则正方形的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定、旋转的性质、勾股定理逆定理及勾股定理，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定、旋转的性质、勾股定理逆定理及勾股定理是解题的关键；由旋转的性质可知：，则有，，由正方形的性质可知，然后可得，进而可得是直角三角形，过点A作于点H，最后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：由旋转的性质可知：， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， 过点A作于点H，如图所示： ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即正方形的面积为； 故答案为：． 三、解答题（一）（本题包括3小题，每小题8分，共24分．请把各题的答案填写在答题卡上） 16. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，灵活选择一元二次方程的解法是解题的关键． （1）运用因式分解法求解即可； （2）运用公式法求解即可； 【小问1详解】 解：， 或， ； 【小问2详解】 ， ， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ． 17. 如图，在中，，，D是AB边上一点点D与A，B不重合，连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE． 求证：≌； 当时，求的度数． 【答案】 （1）由题意可知：，， ， ， ， ， 在与中， ， ≌； （2）． 【解析】 【分析】（1）由题意可知：，，由于，从而可得，根据SAS即可证明≌； （2）由≌可知：，，从而可求出的度数． 【详解】（1）略 （2），， ， 由（1）可知：， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质． 18. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的一个实数根为1，求另一个实数根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；以及一元二次方程根与系数关系：，是解题的关键． （1）根据一元二次方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，求出m的范围即可； （2）利用根与系数的关系求出两根之和，将一个根代入计算即可求出另一根． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：设方程另一个实数根为x， 由根与系数的关系可得：， 解得：， 则方程的另一个实数根为7． 四、解答题（二）（本题包括3小题，每小题9分，共27分．请把各题的答案填写在答题卡上） 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为、、． （1）绕点旋转后得到，请画出； （2）的面积为______； （3）若点为轴的一点，且是以为腰的等腰三角形，请写出符合条件的所有点的坐标______． 【答案】（1） 解：所作如图所示： （2）3.5 （3），， 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标关于原点对称及等腰三角形的定义，熟练掌握点的坐标关于原点对称及等腰三角形的定义是解题的关键； （1）由题意可先得出点A、B、C关于原点对称的点，然后问题可求解； （2）根据割补法可进行求解； （3）分别以点A、C为圆心，长为半径画弧，交y轴分别于点D、、，然后根据坐标系可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由坐标系可知： ； 故答案为：3.5； 【小问3详解】 解：由坐标系可知：，所以分别以点A、C为圆心，长为半径画弧，交y轴分别于点D、、，所以它们的坐标分别为，，； 故答案为，，． 20. 2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．每个纪念品进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式； （1）根据题意直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润销售量(售价进价)，列出平均每天的销售利润 (元)与销售价 (元/箱)之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 根据题意得 ， ， ∴当时，随的增大而增大， ， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元． 21. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为 （1）求m的值及抛物线的顶点坐标． （2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． （3）探究在抛物线上是否存在点M，使得的面积等于3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），抛物线的顶点坐标为 （2） （3）存在，点的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与面积的综合问题，涉及轴对称的性质，待定系数法求函数解析式等知识点． （1）将点B的坐标代入抛物线解析式中，可求得m值，然后利用顶点坐标公式，求得抛物线的顶点坐标； （2）根据A、B关于抛物线的对称轴对称，连接，交抛物线于点P，则此时最小，然后利用待定系数法求出直线的解析式，从而求得点P坐标； （3）先求出长，设，由，得到，再解方程即可． 【小问1详解】 解：把点代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 【小问2详解】 解：∵抛物线与x轴交于A，B两点， ∴点A、B关于抛物线的对称轴对称， 连接交抛物线对称轴于点P，如图，则此时的值最小， 将代入中，得， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为：， 把，代入，得 ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 将代入求得， ∴P点坐标为； 【小问3详解】 解：存在， 对于，当时，则， 解得或， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴或， 当时， 解得：， ∴或； 当时， 解得：， ∴或， 综上：存在点M，使得的面积等于3，点的坐标为或或或． 五、解答题三（本题包括2小题，每小题12分，共24分．请把各题的答案填写在答题卡上） 22. 如图1，在中，，点是线段上一点（不与点重合），，以为旋转中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接． （1）求（用含的式子表示）； （2）求证:； （3）如图2，当时，求的面积． 【答案】（1） （2） 证明：如图，过点作，交延长线于点， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∵线段顺时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得，再由三角形的外角性质得，进而即可得出结论； （2）如图，过点作，交延长线于点，证明．得，再证明，得，进而可得出答案； （3）如图，过点作，且使，连接．过点作，垂足为点，先证，由勾股定理得，然后利用三角形面积公式即可得解． 【小问1详解】 ∵线段顺时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，过点作，且使，连接．过点作，垂足为点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∵在中，根据勾股定理， ∴， ∵在中，根据勾股定理， ∴， ∵， ∴是中点， 又∵， ∴， ∴． 【点晴】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 23. 抛物线（b，c为常数）经过点，与轴的交点是点、，（点在点的左边），对称轴为直线．点在抛物线上，横坐标为． （1）______，______． （2）若点在上方，当为何值时，的面积最大； （3）点是轴正半轴上一点，点关于直线的对称点恰好在直线上时，求点的坐标： （4）点是直线上的一点，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3，4 （2）当时，的面积有最大值 （3） （4）存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标或或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的综合，平行四边形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的综合，平行四边形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由对称轴可设顶点式，将代入即可得解； （2）过点作轴平行线交于点，设参表示出，再利用求解即可； （3）由题易证是等边三角形，再解三角形即可得解； （4）由题易得轴，，，则有，，要使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则需满足，然后可建立方程进行求解． 【小问1详解】 解：由题意可设，则把点代入解析式得： ， 解得，， ∴， 即， ∴； 故答案为3，4； 【小问2详解】 解：由（1）可知抛物线的解析式为，令时，则有， 解得：， ∴， 过点作轴平行线交于点，如图所示： 设的解析式为，将和坐标代入可得， ， 解得，， ∴的解析式为， 设， ， ， ， ，即开口向下，且， ∴当时，面积有最大值； 【小问3详解】 解：如图， ∵点、点是抛物线的对称点，对称轴为直线， ， 又、关于对称， ， ， 是等边三角形， ， ∵点关于直线的对称点， 平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵点是直线上的一点，且点在抛物线上，横坐标为， ∴轴，，， ∴，， 要使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则需满足， ∴， 解得：或或， ∴点的坐标或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期九年级第2次月考数学试卷 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分，在每小题列出的四个选项中，只有一个正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1. 平移和旋转在我们生活中随处可见．下面属于旋转的现象是（ ） A. 乘坐电梯 B. 用钥匙开锁 C. 推拉窗户 D. 火箭升空 2. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将绕点O顺时针旋转后，得到，下列说法正确的是（ ） A. 点B的对应点是点C B. C. D. 4. 抛物线的开口向上，则的范围是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的顶点坐标是（    ） A. B. C. D. 6. 对于二次函数，下列结论错误的是（ ） A. 开口向上 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 函数图象与x轴没有公共点 D. 函数有最小值 7. 若、是方程的两个实数根，则代数式的值为（ ） A. B. C. 2011 D. 2023 8. 如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 9. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④；⑤．其中正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，已知正方形中，，点E为边上一动点(不与点B、C重合),连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，设与相交于点G，连接以下说法：①；②点E在上运动过程中，始终有；③最小值为；④当最小时，四边形的面积是6，其中一定正确的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②④ 二、填空题（本大题包括5小题，每小题3分，共15分，请把各题的答案填写在答题卡上） 11. 若方程有实数根，则实数k的取值范围为______． 12. 已知点都在二次函数的图像上，则的大小关系是__________． 13. 如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升______米． 14. 如图，在中，，的长为，的长为，点从点开始，沿边向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，______秒后的面积等于． 15. 如图，P是正方形内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，则正方形的面积为______． 三、解答题（一）（本题包括3小题，每小题8分，共24分．请把各题的答案填写在答题卡上） 16. 解方程： （1）． （2）． 17. 如图，在中，，，D是AB边上一点点D与A，B不重合，连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE． 求证：≌； 当时，求的度数． 18. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的一个实数根为1，求另一个实数根． 四、解答题（二）（本题包括3小题，每小题9分，共27分．请把各题的答案填写在答题卡上） 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为、、． （1）绕点旋转后得到，请画出； （2）的面积为______； （3）若点为轴的一点，且是以为腰的等腰三角形，请写出符合条件的所有点的坐标______． 20. 2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．每个纪念品进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？ 21. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为 （1）求m的值及抛物线的顶点坐标． （2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． （3）探究在抛物线上是否存在点M，使得的面积等于3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 五、解答题三（本题包括2小题，每小题12分，共24分．请把各题的答案填写在答题卡上） 22. 如图1，在中，，点是线段上一点（不与点重合），，以为旋转中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接． （1）求（用含的式子表示）； （2）求证:； （3）如图2，当时，求的面积． 23. 抛物线（b，c为常数）经过点，与轴的交点是点、，（点在点的左边），对称轴为直线．点在抛物线上，横坐标为． （1）______，______． （2）若点在上方，当为何值时，的面积最大； （3）点是轴正半轴上一点，点关于直线的对称点恰好在直线上时，求点的坐标： （4）点是直线上的一点，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $