四川省荣县中学校2025-2026学年高二上学期第二次周考（14-15周）数学试题

四川省荣县中学校高二上学期第二次周考数学试题 一、单选题 1．样本数据14，16，18，20，21，22，24，28的第75百分位数为（    ） A．16 B．17 C．23 D．24 2．圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内切 D．内含 3．一条光线从点出发，与x轴相交于点P，经过x轴反射后，反射光线经过点，则（    ） A．4 B．5 C． D． 4．已知点，，若直线与线段（包括端点）总有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长和短半轴长的乘积.已知椭圆的离心率为分别为的左､右焦点，上一点满足，且的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．在某次阅兵彩排演练中，A，B，C三个方队通过天安门广场的先后次序是随机的，则A先于B通过的概率为（    ） A． B． C． D． 7．双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 8．已知椭圆，、是的焦点，过且垂直于轴的直线截椭圆所得弦长为，是上一动点，是圆上一动点，则下列正确的有（    ） ①        ②椭圆离心率为 ③圆与圆相切    ④的最大值为4 A．①③ B．①②③ C．③④ D．①③④ 二、多选题 9．2020年至2024年某地植被面积的年增加量（单位：万公顷）如图所示，则（    ） A．这组数据的极差为0.7 B．这组数据的平均数为3.7 C．从这5个数据中随机抽取1个，抽到的数据与中位数之差大于0.2的概率为 D．从这5个数据中随机抽取1个，抽到的数据大于3.5的概率为 10．已知正方体，点满足，则（　　） A．当时，平面 B．当时，平面 C．当为直角三角形时， D．当的面积最小时， 11．已知圆，点为直线与轴的交点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线与交于点，则（   ） A．若直线与圆相切，则 B．时，四边形的面积为 C．的取值范围为 D．已知点，则为定值 三、填空题 12．已知四面体，空间的一点满足，若共面，则实数的值为 ． 13．已知椭圆，直线，则椭圆C上的点P到直线l的距离的最小值为 ． 14．已知为椭圆：上任意一点，为椭圆的左焦点，为圆：上任意一点，则的最小值为 四、解答题 15．求满足下列条件的曲线标准方程： (1)两焦点分别为，，且经过点的椭圆标准方程； (2)与双曲线有相同渐近线，且焦距为的双曲线标准方程. 16．某中学组织了一次文学常识知识竞赛（满分：100分），并从参赛学生中随机抽取100名学生的成绩并进行整理，按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)估计这100名学生这次文学常识知识竞赛成绩的众数和平均数； (3)现从被抽取的竞赛成绩在内的学生中按分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作发言，求抽取的2人恰好在同一组的概率. 17．已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为. (1)求直线的方程和点C的坐标； (2)求的面积． 18．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，不过点的直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若弦的中点的纵坐标为，求面积的最大值； (3)若，求证：直线过定点. 19．在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 四川省荣县中学校高二上学期第二次周考数学试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D A D C C A ABD ACD 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】根据百分位数计算规则计算可得. 【详解】将样本数据从小到大排列为：14，16，18，20，21，22，24，28， 又，所以第百分位数为. 故选：C 2．C 【分析】分别计算出两圆圆心及半径后，比较其半径之和与圆心距离的关系即可得. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 则，， 则，故两圆内切. 故选：C 3．D 【分析】先求点关于x轴的对称点为，利用对称得到，利用两点间距离公式计算求解. 【详解】由题意得关于x轴的对称点为， 所以. 故选：D. 4．A 【分析】根据直线方程可确定直线过定点；求出有公共点的临界状态时的斜率，即和；根据位置关系可确定的范围. 【详解】直线经过定点，又点，， 所以，， 又因为直线的斜率为，所以结合图形可得的取值范围为. 故选：A.    5．D 【分析】只需根据题目条件求得，再结合椭圆面积公式即可求解. 【详解】由，可得，则. 因为的面积为，所以，则， 从而，即. 又的离心率为，所以，解得， 从而，则的面积为. 故选：D. 6．C 【分析】考虑三个方队通过天安门广场的先后次序是随机的，故易得A先于B通过的概率为. 【详解】因A，B，C三个方队通过天安门广场的先后次序是随机的， 通过的顺序只有等可能的两种情况，故A先于B通过的概率为. 故选：C. 7．C 【分析】利用即可得解. 【详解】双曲线的离心率， ，， 因为双曲线的渐近线方程为，即为. 故选：C． 8．A 【分析】设，联立与椭圆方程，求出，即可求出、从而求出，即可判断①②，求出圆心坐标与半径，即可求出圆心距，从而判断③，设点，其中，表示出，结合二次函数的性质求出，即可求出的最大值，即可判断④. 【详解】对于①：设，则由，解得，所以，解得， 所以，则椭圆， 由椭圆的定义，可得，故①正确； 对于②：椭圆离心率，故②错误； 对于③：圆的圆心为，半径， 圆，即，则圆心为，半径， 因为，所以两圆内切，故③正确； 对于④：设点，其中，则满足，可得， 则 ， 当时，取得最大值，且，    故，故④错误； 故选：A 9．ABD 【分析】利用极差、平均数、中位数的意义，结合古典概率逐项判断即得. 【详解】对于A，将题图中数据从小到大排列为，则极差为，A正确； 对于B，平均数为，B正确； 对于C，中位数为3.6，从这5个数据中随机抽取1个，抽到的数据与中位数之差大于0.2的概率为，C错误； 对于D，这组数据中大于3.5的有3个，则从这5个数据中随机抽取1个，抽到的数据大于3.5的概率为，D正确. 故选：ABD 10．ACD 【分析】建立空间直角坐标系，利用平面法向量的性质，结合空间向量数量积的坐标表示公式逐一判断即可. 【详解】由题可知，设正方体的棱长为1，如图以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 所以，因为，所以. 对于A，当 时，，则， 因为， 所以， 又因为平面， 所以平面，故A正确； 对于B，当 时，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因为，所以平面不正确，故B错误； 对于C，当为直角三角形时， ， 当时， ，解得或（舍去）， 当时，，显然这种情况不存在； 当时，，显然这种情况不存在， 因此当为直角三角形时，，故C正确； 对于D，， ， 所以，因此是等腰三角形，底边， 设到的距离为，则， 因的面积， 则的面积最小时，的值最小，此时，故D正确． 故选：ACD 11．ACD 【分析】选项A：利用圆心到直线的距离等于半径，计算可得； 选项B：利用求出长，根据相切得到的四边形面积，等于两个全等的直角三角形面积和，计算可得； 选项C：利用求出长，在直角中，表示出，进而利用倍角公式求出，最后利用数量积公式计算可得； 选项D：利用四点共圆，且为此圆直径，求出此圆方程，再利用作差，求出相交弦所在直线方程，判断出过定点，利用判断出在以为圆心的圆上；选项D也可以利用圆极点极线性质，通过坐标，直接写出方程，进而求解. 【详解】解：圆转化为标准方程为，,在直角中，； 对于A:若直线与圆相切，圆心到直线的距离，解得，所以A正确; 对于B:当时，，，， 四边形的面积，所以B错误; 对于C: ， 因为，所以， 由对勾函数在上单调递增，所以，所以C正确; 对于D:方法一：当时，存在与轴的交点，，， 所以四点共圆，且为此圆直径，圆心为，半径为， 此圆方程为：， 因为是此圆与圆的相交弦，故直线方程为两圆方程作差， 即，化简得：， 所以直线AB经过定点, 因为，所以，因为在直线AB上，所以， 即点在以为直径的圆上，因为，，所以圆心恰为点，半径为， 因为点在该圆上，所以为定值，所以D正确. 方法二：利用圆的极点极线性质，当时，存在与轴的交点，切点所在直线AB的方程为，化简得，所以直线AB经过定点, 因为，所以，因为在直线AB上，所以， 即点在以为直径的圆上，因为，，所以圆心恰为点，半径为， 因为点在该圆上，所以为定值，所以D正确. 故选：ACD. 【点睛】此题考查的是圆切线相关问题： （1）直线与圆相切的判断方法：圆心到直线距离等于半径； （2）通过勾股定理，求切线长； （3）通过直角三角形和余弦的倍角公式，利用表示张角的余弦值； （4）利用四点共圆或极点极线性质，求切点弦所在直线方程； （5）极点极线性质：当在圆外时，过作圆的两条切线，两个切点所在直线方程为：. 12． 【分析】利用四点共面的性质即可求解参数. 【详解】空间的一点满足，由共面， 可得， 故答案为： 13． 【分析】方法一：当过点P的直线与直线l平行且与椭圆相切时，点P到直线l的距离取得最小值；方法二：应用三角换元设，再应用点到直线距离公式结合三角函数值域计算求解最小值即可. 【详解】方法一：设，即， 与椭圆C的方程联立，得． ，∴， 当时，点P到直线l的距离为， 即椭圆C上的点P到直线l的距离的最小值为． 方法二：设， 由点到直线距离公式 ∵，∴ ∴，∴． 故答案为：. 14． 【分析】利用椭圆的定义，将转化为，结合图形，得最小值. 【详解】在椭圆中，，，则，即点， 设其右焦点为， 如图，为椭圆上任意一点，则， 又因为为圆上任意一点，圆心，半径为， . 当且仅当共线且在之间时等号成立． 所以的最小值为. 故答案为：. 15．(1) (2)或 【分析】(1)利用椭圆的定义以及点在椭圆上求解；(2)根据双曲线及渐近线方程的定义求解. 【详解】（1）设所求椭圆的标准方程为 两焦点分别为，， 又椭圆过点，，又 ，，所以椭圆的标准方程为. （2）方法一： (i),若焦点在轴上，设所求双曲线方程为， 因为与双曲线有相同渐近线， 所以 ，设该双曲线的焦距为， 又因为焦距 所以，所以， 联立 解得则双曲线方程为， (ii),若焦点在轴上，设所求双曲线方程为， 因为与双曲线有相同渐近线， 所以 ，设该双曲线的焦距为， 又因为焦距 所以，所以， 联立 解得则双曲线方程为， 双曲线的标准方程为：或 方法二： 设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为：（） 焦距为， ， 双曲线的标准方程为：或 16．(1) (2)85；78 (3) 【分析】（1）由小矩形的面积之和为1可以求出a的值； （2）根据频率分布直方图，频率最高的组在之间；样本平均数表示为数据与它的频率的乘积之和. （3）先利用频率之比求出，的两组中应抽的人数，列出所有情况，找出其中符合要求的，算出概率即可. 【详解】（1）由题意可知，解得. （2）频率最高的组是，所以众数为； 平均数. （3），频率之比为，所以从内的学生中抽2人，从内的学生中抽3人. 设抽中A,B两人，抽中C,D,E三人， 则所有组合有，共10种， 2人恰好在同一组的有，共4种， ∴2人恰好在同一组的概率为 17．(1)，， (2). 【分析】（1）设点的坐标是，由的中点在直线上，求得点的坐标，再求出点关于直线的对称点即可求得直线的方程，联立方程组求出点坐标. （2）利用两点间距离公式及点到直线距离公式求出三角形面积. 【详解】（1）由点在上，设点的坐标是，则的中点在直线上， 于是，解得，即点， 设关于直线的对称点为，则有，解得，即， 显然点在直线上，直线的斜率为， 因此直线的方程为，即， 由，解得，则点， 所以直线的方程为，点C的坐标为.    （2）由（1）得，点到直线的距离， 所以的面积. 18．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据离心率公式，可得，将点坐标代入椭圆方程，结合a，b，c的关系，即可求得答案. （2）分析可得直线l斜率存在，设方程为，与椭圆联立，根据韦达定理，可得、表达式，代入弦长公式，可得表达式，再求得O到直线MN的距离，代入面积公式，结合m的范围，即可得答案. （3）由，可得，将直线方程代入，结合韦达定理，化简可得或，分别讨论，分析检验，即可得答案. 【详解】（1）由题意得：，解得，椭圆方程为： （2）因为弦的中点的纵坐标为，所以直线斜率存在. 设直线，代入，可得， 设，，则，， 因为弦的中点的纵坐标为， 所以，即， ， O到直线MN的距离， ， 由，，可得， 当即时，取得最大值. （3），， 即， ，， 代入（*）式，得， 即， 化简得， 即  ， 或， 当时，则直线，此时直线过点，不合题意舍去， 当时，则直线，此时直线过定点， 当直线斜率不存在时，直线交椭圆于，， 此时，显然成立. 直线过定点. 19．(1)证明见解析 (2) (3)存在，或 【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系； （2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角的大小； （3）假设存在点，使平面与平面成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得. 【详解】（1）因为在中，，，且， 所以，，则折叠后，， 又平面， 所以平面，平面，所以， 又已知，且都在面内，所以平面； （2）由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. 因为，故， 由几何关系可知，，，， 故，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 不妨令，则，，. 设与平面所成角的大小为， 则有， 设为与平面所成角，故， 即与平面所成角的大小为； （3）假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为. 在空间直角坐标系中，，，， 设，则，， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 若平面与平面成角余弦值为. 则满足， 化简得，解得或，即或， 故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度荣县中学校高二上学期数学12月周考卷 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题) 一、单选题 1.样本数据14,16,18,20,21,22,24,28的75百分位数为() A.16 B.17 C.23 D.24 2.圆G:x2+y2=1与圆C2:(x-1)+y-3=9的位置关系是() A.外离 B.相交 C.内切 D.内含 3.一条光线从点A(-1,-2)出发，与x轴相交于点P,经过x轴反射后，反射光线经过点 B(0,-3),则AP+B=() A.4 B.5 c.√7 D.√26 4.已知点A(2,1),B(4,2),若直线y=ax-1与线段AB(包括端点)总有公共点，则实数4 的取值范围是() A[别 B.)c. D.(o台+ 5.由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半 轴长和短半抽长的乘积已知椭圆℃：+片 容1(a>6>0的离心率为，乃分别为C 的左，右焦点，C上一点P满足成丽=0，且aPF3的面积为了，则C的面积为《) A.万m B.2W7元 C.√4r D.2W14元 6.在某次阅兵彩排演练中，A,B,C三个方队通过天安门广场的先后次序是随机的，则A 先于B通过的概率为() A.名 c. 7.双曲线女上 存存=1(>0，b>0)的离心率为22，则其渐近线方程为（) A.y=tv2x B.y=tv3x C.y=√7x D.y=t2/2x 8.已知椭圆M:+P=1a>,、E是M的焦点，过R且垂直于x轴的直线截椭圆所 得弦长为子，P是M上一动点，2是圆N:F+0-2-1上一动点，则下列正确的有() ①PEl+PF=6 ②椭圆M离心率为Y互 ③圆x2+y2=a2与圆N相切④Pg的最大值为4 A.①③ B.①②③ C.③④ D.①③④ 二、多选题 9.2020年至2024年某地植被面积的年增加量（单位：万公顷）如图所示，则() 4.1 3.9 3.6 3.5 3.4 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 A.这组数据的极差为0.7 B.这组数据的平均数为3.7 C.从这5个数据中随机抽取1个，抽到的数据与中位数之差大于0.2的概率为 5 D.从这5个数据中随机抽取1个，抽到的数据大于3.5的概率为 5 10.己知正方体ABCD-ABC,D1,点M满足M=1AC,1∈(O,1),则：) A.当1=时，BC1平面4DM B.当元=号时，DMI/平面CR,D 2 C.当a4DM为直角三角形时，1 3 :当△4DM的面积最小时， 11.已知圆M:x2+y2-4x+3=0,点P为直线：x=my-2与y轴的交点，过点P作圆M的 两条切线，切点分别为A,B,直线AB与MP交于点C,则( A.若直线1与圆M相切，则m=士V5B.m=1时，四边形PAMB的面积为√6 C。顾丽的取值范里为侵+D,已知友（子 则cg为定值号 第II卷（非选择题） 三、填空题 12.已知四面体0ABC,空间的-一点P满足0亦=OA+0B+名00，若P,A,B,C共面， 则实数父的值为 13.已知椭圆C:号+长=1，直线1：x-y-9=0,则椭圆C上的点P到直线1的距离的最 916 小值为一 14。已知M为椭图E:号+苦=1上任意一点，P为椭圆的左焦点，N为圆C: .y2 9 (x-4)2+(y-4)}=5上任意一点，则MW-MF的最小值为 四、解答题 15.求满足下列条件的曲线标准方程： (1)两焦点分别为E(-√2,0，E(V2,0,且经过点P 的椭圆标准方程； 2与双曲线￡y =1有相同渐近线，且焦距为25的双曲线标准方程 46 16.某中学组织了一次文学常识知识竞赛（满分：100分），并从参赛学生中随机抽取100 名学生的成绩并进行整理，按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成五组，得 到如图所示的频率分布直方图. 频率/组距 0.035 0.025 0.010 O 5060708090100竞赛成绩/分 (1)求频率分布直方图中a的值： (2)估计这100名学生这次文学常识知识竞赛成绩的众数和平均数： (3)现从被抽取的竞赛成绩在[50,70)内的学生中按分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈了 解，再从这5人中随机抽取2人作发言，求抽取的2人恰好在同一组的概率， 17.已知VABC的顶点A(1,2),AB边上的中线CM所在直线的方程为x+2y-1=0,∠ABC的平 分线BH所在直线的方程为y=x. (1)求直线BC的方程和点C的坐标： (2)求VABC的面积. 18.己知椭圆B:x+少 若=e>b>0)的离心率为5，点P5,1在精圆E上，不过点P的 直线1与椭圆E相交于M,N两点 (1)求椭圆E的标准方程； (2)若弦MN的中点的纵坐标为子，求△MOW面积的最大值； (3)若PM.PN=0,求证：直线1过定点. 19.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点，满足DE∥BC 且DE经过VABC的重心，将VADE沿DE折起到△ADE的位置，使AC⊥CD,M是AD 的中点，如图所示. (I)求证：AC⊥平面BCDE; (2)求CM与平面ABE所成角的大小； (③)在线段4C上是香存在点N,使平面CBM与平面BMN成角余弦值为5？若存在，求出 CW的长度；若不存在，请说明理由。 《2025-2026学年度高中数学12月周考卷》参考答案 题号 3 5 6 8 9 10 答案 O 0 A C C ABD ACD 题号 11 答案 ACD 10.ACD 11.ACD 【分析】选项A:利用圆心到直线的距离等于半径，计算可得； 选项B:利用PM求出P4长，根据相切得到的四边形面积，等于两个全等的直角三角形面 积和，计算可得； 选项C:利用PM求出P4,PB长，在直角△APM中，表示出sin/APM,进而利用倍角公 式求出cos∠APB,最后利用数量积公式计算可得； 选项D:利用A,M,B,P四点共圆，且PM为此圆直径，求出此圆方程，再利用作差，求出 相交弦AB所在直线方程，判断出AB过定点N,利用∠MCN=90°判断出C在以？为圆心 的圆上；选项D也可以利用圆极点极线性质，通过P坐标，直接写出AB方程，进而求解. 【详解】解：圆M:x2+y2-4x+3=0转化为标准方程为(x-2)2+y2=1, PA=P网=PMP-,在直角△MPM中，i血∠APM=A=1 PMPM 对于A:若直线1与圆M相切，圆心到直线的距离 4 =1，解得m=5,所以A正确； 1+m2 对于B:当m=1时，P(0,2),M(2,0),PM=√4+4=2W2, 四边形APMB的面积S=2 SPAM=AMP4=1·VPMP-1=√万，所以B错误； 对于c:PAPB=p4 PB cos∠APB=(PMP-1(1-2sin2LAPM） or-品j-p+-3, 因为PM2OM|=2,所以IPMP∈(4，+o), 由对勾函数y=x+在+四)上单调递增，所以风.历+ 所以C正确； 对于D:方法一：当m≠0时，存在与y轴的交点P0,2),M(20,∠PAM=∠PBM=90, 2 所以4M,AP四点共圆，且PM为此圆直径，圆心为月) 半径为1 此图方为：-+气--1+京 因为AB是此圆与圆M的相交弦，故直线AB方程为两圆方程作差， 即x-+(-局--2-少2=1+京-1，化筒得：2+异y+3=0, 所以直线B经过定点N侵0. 因为PM1AB,所以∠MCA=0,因为N0在直线B上，所以∠MCN=0, 即点c在以MN为直径的圆上，因为M20),N号0，所以圆心(？0恰为2点，半径为 因为点C在该圆上，所以Cg=为定值，所以D正确. 方法二：利用圆的极点极线性质，当m≠0时，存在与y轴的交点P0,二 切点所在直线 m AB的方程为(0-2x-2)+2y=1,化简得-2x+2y+3=0,所以直线AB经过定点 m 因为PM1B,所以∠MCA=9,因为N号0在直线B上，所以∠MCN=90, 即点C在以0w为直径的圆上，因为M20,N径0），所以圆心(？0哈为2点，半径为 因为点c在该圆上，所以CQ-为定值，所以D正确， 故选：ACD 12.1 3 132W2 14.V5-6 【分析】利用椭圆的定义，将MF引转化为6-ME,结合图形，得最小值. 【详解】在椭圆E中，a=3,b=√5，则c=√-b=2,即点F(-2,0), 设其右焦点为F(2,0), 如图，M为椭圆E上任意一点，则|MF|+|M=2a=6, 又因为N为圆C:(x-4)2+(y-4)}2=5上任意一点，圆心C(4,4),半径为5， MN-MF=MM-(6-ME到=M+ME-6≥lMC-5+ME-6 2CF-6-W5=4-22+(4-02-6-5=5-6. 当且仅当M,N,C,F共线且M,N在C,F之间时等号成立. 所以M-MF的最小值为√5-6. 故答案为：√5-6. 1s=6分 回号兰=1或兰兰 23 32 =1。。。。。 。。。。。。。。。。。7分 16.(1)a=0.015(2)85;78 e号 【详解】(1)由题意可知10(0.01+a+0.025+0.035+a)=1,解得a=0.015.。。。4分 （2)频率最高的组是80,90)，所以众数为80+90=85：。。。2分 2 平均数元=55×0.1+65×0.15+75×0.25+85×0.35+95×0.15=78.。。。。。。。。。3分 (3)[50,60),[60,70)频率之比为2：3，所以从[50,60)内的学生中抽2人，从[60,70)内的 学生中抽3人 设[50,60)抽中A,B两人，[60,70)抽中C,D,E三人， 则所有组合有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10种，。。。。。。。2分 2人恰好在同一组的有AB,CD,CE,DE,共4种，。。。。。。。。。。。。。。。2分 ·2人恰好在同一组的概率为÷_2 105。。。。。。 。。2分 17.(1)2x-3y-1=0, 51 、10 @7 【详解】()由点在)=上，设点8的坐标是0似网，则B的中点（四生，子在直 线CM上， 于是m+1+2x+2-1=0,解得m=-1,即点B(-1,-1),。。 2 2 。。。。。。3分 -2=-1 设A关于直线y=x的对称点为A'(,y%),则有 0-11 解得 名=2 6+2-+1 =1'即42，)， 2 2 显然点4亿，)在直线BC上，直线BC的斜率为k=9=名 2-(-)3’ 因此直线BC的方程为y+1=2x+,即2x-3y-1=0,。。。 3 。。4分 +20解得x==则点C写，， [2x-3y-1=0 所以直线C的方程为2x-3y-1=0,点C的坐标为，。。。3分 2)由(1)得18C外号+0P++0°=，点A到直线BC的距离 d=12x1-3x2-1-5 √22+(-3)2， 所以VABC的面积S=引BC1d=9, 。。。。”。。。。。。。。。。。。。5分 18.0兰+=125 6 2 (3)证明见解析 9=6 a 3 a=√6 3,1 【详解】(1)由题意得： 3+名=1，解得b=2,“椭圆方程为：石+乞1.4分 a2=b2+c2 c=2 (2)因为弦MN的中点的纵坐标为)，所以直线1斜率存在。 设直线1：y=+m,代入兰+上=1，可得1+3张)x2+6x+3m2-6=0, 62 设M(x,y),N(x2,y2),则 : 3m26’△=12(62-m2+2)小>0，。。。。3分 XX2= 1+3k2 因为弦MW的中点的纵坐标为分， 所以⅓+为=k飞+西+2m=32=1,即2m=1+3 :M=1+k及=25+存62+2-m 1+3k2 1+3k2 O到直线MN的距离do-w= V1+k2, .5.wow-lw.do-m(m-2 2 由△=12(62-m2+2列-=12(m-m)>0,2m=1+3≥1，可得m[24, 一当n=2即k=±1时，SMow取得最大值、√5。。。。。。 。。4分 (3)PM.Pm=0,(x-V3)x-5+(y-10%-1)=0, 即xx-V3(x+)+3+y2-(y+y2)+1=0(), 片+2=k(x+为)+2m,yy2=2xx2+am(x+x)+m2,。。。。。。。。3分 代入(*)式，得(1+k2)x2+(m-k-V)(x+x)+m2-2m+4=0, 答案第5页，共8页 p0+2+a-k-同0+m-2m+4=0. 化简得3k2+3√3mk+2m2-m-1=0, 即(V3k+m-(V3k+2m+1=0, m=1-V5k或m=-1-V3k 2 当m=1-√3k时，则直线1：y=(x-V)+1,此时直线过点(N3,,不合题意舍去， 自m时，则直骏y--马片此时宜线过定女个停引 当直线解率不存在时，直线一9交精西于从停习个停 此时成网()}{臣-吾-小-0，显然成立 ∴.直线1过定点 。。。3分 2 19.(1)证明见解析 9 (3)存在，5或23 【分析】(1)应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关 系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系： (2)以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系.用向量法求CM与平面 A4BE所成角的大小： (3)假设存在点N,使平面CBM与平面BMN成角余弦值为Y5 设C丽=C,分别求解 4 两平面的法向量，用入表示余弦值解方程可得. 【详解】（1)因为在Rt△ABC中，∠C=90°，DE∥BC,且BC⊥CD, 所以DE⊥CD,DE L AD,则折叠后，DE⊥AD, 又AD∩CD=D,AD,CDc平面ACD, 所以DE⊥平面ACD,ACc平面ACD,所以DE⊥AC, 答案第6页，共8页