4.2.1等差数列的概念（第二课时）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦人教版选择性必修第二册等差数列的概念（第二课时），核心内容为通项公式应用及下标和性质。通过检查预习题（如下标和相等的项和计算）与回顾旧知（递推公式、累加法等）搭建学习支架，衔接新旧知识。 亮点在于以合作探究为主线，结合具体实例（如插入数构造新等差数列推导公差，几何角度用梯形中位线解释性质），培养数学眼光（抽象数量关系）、数学思维（逻辑推理证明性质）与数学语言（符号化表达公式）。分层练习与课堂小结助力学生提升应用能力，为教师提供结构化教学流程与丰富实例。

4.2.1等差数列的概念（第二课时） 年 级：高二 学 科：数学（人教A版） 主讲人：李翥 学 校：北京市第五中学 国家中小学课程资源 人教A版选择性必修二第四章 数列 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 检查预习 人教A版选择性必修二第四章 数列 (1) 等差数列及等差中项的定义； (2) 等差数列的通项公式； (3) 通项公式的应用. 应用 通项公式 函数与方程 的思想 an＋1－an＝d，n∈N* ； an＝a1＋(n－1)d，n∈N*； 累加法. 回顾旧知 人教A版选择性必修二第四章 数列 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 例4: 已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1) 求数列{bn}的通项公式． (2) b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，说明理由． 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 例4: 已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1) 求数列{bn}的通项公式． 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 b1＝a1， bk＋2＝a2，于是 bk＋2 －b1＝a2－a1＝d ＝(k＋1)d， 所以d＝ . 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 例4: 已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (2) b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，说明理由． 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 例4: 已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (2) b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，说明理由． 合作探究 解法2：数列{an}的各项，依次是数列{bn}的第1，5，9，13，…项.这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列{cn}. 则cn＝1＋(n－1)×4＝4n－3. 令4n－3＝29，解得n＝8. 所以b29是数列{an}中的第8项. 人教A版选择性必修二第四章 数列 思考：等差数列{an}的通项公式为an＝3n－2，分别求a1＋a7，a2＋a6和a3＋a5的值.有什么发现？ 合作探究 解：由通项公式知， a1＝3×1－2＝1，a7＝3×7－2＝19； a2＝3×2－2＝4，a6＝3×6－2＝16； a3＝3×3－2＝7，a5＝3×5－2＝13； 所以a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝20. 人教A版选择性必修二第四章 数列 发现如下结论： 和相等的两项，它们的下标和也相等. a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝20. 合作探究 思考：你能写出这个结论的一般形式并证明它吗？ 人教A版选择性必修二第四章 数列 12 合作探究 思考：你能写出这个结论的一般形式并证明它吗？ 等差数列中，下标和相等的两项的和相等. 人教A版选择性必修二第四章 数列 13 思考：等差数列{an}中，能否有a2＋a4＝a6？ 2a4＝a2＋a6. 合作探究 √ × 人教A版选择性必修二第四章 数列 14 数形结合的思想 ap＋aq＝as＋at 合作探究 两个直角梯形的中位线相等 人教A版选择性必修二第四章 数列 15 学以致用 人教A版选择性必修二第四章 数列 学以致用 人教A版选择性必修二第四章 数列 学以致用 人教A版选择性必修二第四章 数列 1 等差数列通项公式的应用及性质 (1) 等差数列通项公式的应用； (2) 等差数列下标和相等的两(n)项和相等； (3) 等差数列在实际问题中的应用. 2 研究方法 回顾本节课的学习过程，你学到了什么？ 函数与方程思想；数与形的结合. 课堂小结 人教A版选择性必修二第四章 数列 19 2.已知等差数列{an}中，a3＝5，a8＝20，求a25. 3.等差数列{an}中，an＝m，am＝n，且m≠n，求an＋m. 布置作业 1.课本第18页练习第4题； 人教A版选择性必修二第四章 数列 人教A版选择性必修二第四章 数列 例3:某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少 万元（ 为正常数）.已知这台设备的安全使用年限为10年，第11年期间，它的价值将低于购进价值的5%，设备需在这年年初报废.请确定 的取值范围. 分析：这台设备使用满 年时的价值构成一个数列 .由题意可知，使用满10年时，这台设备的价值应不小于 万元；而第11年年底，这台设备的价值应小于11万元，可以利用 的通项公式列不等式求解. 例3:某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少 万元（ 为正常数）.已知这台设备的安全使用年限为10年，第11年期间，它的价值将低于购进价值的5%，设备需在这年年初报废.请确定 的取值范围. 解：设使用满 年时，这台设备的价值为 万元，则可得数列 .由已知条件，得 由于 是与 无关的常数，所以数列 是一个公差为 的等差数列.因为购进设备的价值为220万元，所以 ，于是 根据题意，得 即 解这个不等式组，得 所以， 的取值范围为 . 分析：（1） 是一个确定的数列，只要把 表示为 中的项，就可以利用等差数列的定义得出 的通项公式；（2）设 中的第 项是 中的第 项，根据条件可以求出 与 的关系式，由此即可判断 是不是 的项. 解：（1）设数列 的公差为 . 由题意可知， ， ，于是 因为 ，所以 ，所以 . 所以 所以，数列 的通项公式是 （2）数列 的各项依次是数列 的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列 ，则 . 令 ，解得 所以， 是数列 的第8项. 所以 因为 ，所以 例5:已知数列 是等差数列， ，且 .求证 . 分析：只要根据等差数列的定义写出 ，再利用已知条件即可得证. 证明：设数列 的公差为 ，则 $