4.2.1 等差数列的概念（第二课时）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等差数列性质及应用，涵盖下标成等差的项仍为等差数列、下标和相等的项和相等等核心知识点。通过设备折旧实际问题导入，引导学生经历“实际问题→抽象为等差数列→回归解决”的流程，搭建前后知识衔接的学习支架。 其亮点是以具体实例为载体，如插入k个数推导新公差公式时从特殊到一般，结合图示培养数学思维；用函数图像斜率解释下标和性质，渗透数形结合的数学眼光。小结明确性质与思想方法，助力学生深化理解，教师可高效开展概念教学与能力培养。

4.2.1 等差数列的概念 （第二课时） 等差数列 等差数列的定义 等差中项的定义 一次函数 通项公式 性质 单调性 1回顾旧知 2 例3.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值会减少 (为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定的取值范围. 实际问题 数学问题 设使用第n年的价值为 每经过一年其 价值会减少d 等差数列{} 公差为- 首项220- 使用年限为10年，超过10年，价值低于购进价值的5% ｛ a10 ≥ 11 a11 ＜11 2应用迁移 实际问题 抽象 等差数列问题 回归 实际问题 问题1：你能总结一下解决实际问题的步骤吗？ 解：设使用n年后，这台设备价值为an万元 易知{an}为等差数列，a1=220－d,公差为－d. an=220－d+(n－1)×(－d)=220－nd. 得19<d≤20.9 ∴d的取值范围为19<d≤20.9. 例4 已知等差数列{}的首项, 公差是, 在{}中每相邻两项之间都插入个数, 使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{}. (1) 求数列{bn}的通项公式; 问题2： 追问1：如何确定数列{bn}的公差d′？ 例4 已知等差数列{}的首项, 公差是, 在{}中每相邻两项之间都插入个数, 使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{}. (1) 求数列{bn}的通项公式; 解：设数列{bn}的公差为d′，由题意可知 于是b5-b1=a2-a1=8=4d′，则d′=2. 所以，数列{bn}的通项公式为bn=2n. 所以，bn=2+2(n-1)=2n b1=a1，b5=a2， 追问2：如果插入 )个数，那么{}的公差是多少？ 3个数 个数 个数 追问4：去掉k项呢？ 追问3：数列{bn}为等差数列，依次去掉b2 b3b4， b6 b7b8，…,新数列还是等差数列吗？ 追问5：你能得到什么一般性的结论？ 对于等差数列，下标成等差的项构成一个新的等差数列 构造新数列 即数列{an}，{kn}为等差数列，则{akn}任为等差数列. 10 分析：(2)设{an}中的第n项是{bn}中的第cn项, 根据条件可以求出n与cn的关系式, 由此即可判断b29是否为{an}的项. 解：由(1)知，bn=2n，于是b29=2×29=58. 又由已知，an=2+8(n-1)=8n-6， 令8n-6=58, 得n=8. 所以, b29是数列{an}的第8项. 方程思想 例4 已知等差数列{}的首项, 公差是, 在{}中每相邻两项之间都插入个数, 使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{}. (2) b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，说明理由. 方程an = b29 是否有整数解 11 问题3：对于第(2)小题, 你还有其他解决方法吗？ 则cn=1+4(n-1)=4n-3， 解法2：数列{an}的各项，依次是数列{bn}的第1,5,9,13， …项.这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列{cn}. 令4n-3 =29, 得n=8. 所以, b29是数列{an}的第8项. 例5 等差数列的通项公式为，分别求 的值. 解：由通项公式知， 问题4：三组和相等的项，下标有什么共同的特点？ 下标和相等的两项和相等 追问1：你能写出这个结论的一般形式并证明它吗？ 特殊到一般 等差数列中,下标和相等的两项和相等.即若数列是等差数列， ，且则有 设数列的公差为， 追问2：等差数列中，能否有 ？ 不一定 一般到特殊 ② an-1 + an+1=2an ③ a1 + an=a2 + an-1=a3 + an-2 =… 中项法 思考：若 推广到项成立吗？请课后思考！ 因为a4是a2和a6的等差中项，所以应该是2a4=a2+a6 特别地：数列中是等差数列 ①若 追问3：能否用函数的观点，结合函数的图象，来解释此性质呢？ n an O s p q t at aq ap as (s,as) (p,ap) (q,aq) (t,at) 图4.2-2 所以 p-s = t-q . 解：如图4.2-2, 设直线的斜率为k, 则 k = = . 因为 p+q=s+t, 所以 ap-as = at-aq 于是ap+aq = as+at . 16 追问4：你还有其他解释吗？ n an O s p q t S(s,as) P(p,ap) Q(q,aq) T(t,at) 图4.2-2 R R1 抽象 等差数列中下标成等差的项仍为等差数列 等差数列下标和相等的两(n)项和相等. 思想 方法 函数与方程，一般与特殊，数与形的结合. 实际问题 等差数列问题 实际问题 回归 性质 应用 3课堂小结 必做：教材17页练习3.4.5； 选做：请将等差数列的性质“下标和相等的 两项的和相等”推广到项并证明. 作业布置 4课后作业 谢谢！ $