精品解析：新疆维吾尔自治区哈密市第十五中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

哈密市第十五中学2025-2026学年度第一学期月考试卷 高二数学 第I卷（选择题） 一、单选题:本题共8小题，每题5分，共40分. 1. 某班有男生 20人，女生30人，用分层抽样的方法从该班抽取10 人参加志愿者活动，则应抽取的女生人数为 （ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 6 2. 在正方体中，与向量相等的向量有（ ） A. B. C. D. 3. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，那么在不超过12的素数中随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 设，向量，，，且，，则（ ） A. 5 B. 1 C. D. 5. 张明与李华两人做游戏，则下列游戏规则中不公平的是（ ） A. 抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则李华获胜 B. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则李华获胜 C. 从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则李华获胜 D. 张明、李华两人各写一个数字0或1，两人写的数字相同则张明获胜，否则李华获胜 6. 已知△ABC的顶点，点P在线段BC上运动，若直线AP的斜率k存在，则k的取值范围为（　　） A. B. C. D. 7. “科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量．年，某企业连续年累计研发投入搭亿元，我们将研发投入与经营投入的比值记为研发投入占营收比，这年间的研发投入（单位：十亿元）用右图中的折现图表示，根据折线图和条形图，下列结论错误的使 A. 年至年研发投入占营收比增量相比年至年增量大 B. 年至年研发投入增量相比年至年增量小 C. 该企业连续年研发投入逐年增加 D. 该企业来连续年来研发投入占营收比逐年增加 8. 已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 二、多选题:共3小题，每小题6分，共18分，全对得6分，部分选对得部分分，有错的得0分. 9. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（ ） A. 目标未被命中的概率为 B. 目标恰好被命中一次的概率为 C. 目标恰好被命中两次的概率为 D. 目标被命中的概率为 10. 已知空间向量，，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 D. 向量在向量上的投影向量是 11. 学校为了解学生的课外阅读情况，随机统计了1000名学生每个月的课外阅读时间，所得数据都在中，其频率分布直方图如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. B. 这1000名学生的课外阅读时间的众数为 C. 这1000名学生的课外阅读时间的中位数为 D. 若对阅读时间高于100小时的学生采取分层抽样抽取30人，则阅读时间在区间内的学生应抽取10人 第II卷（非选择题） 三、填空题:本小题共3小题，每题5分，共15分 12. 直线过点和，则的斜率为__． 13. 在正方体中，点E为的中点，则直线与所成的角的余弦值为________；平面与平面所成锐二面角的余弦值为________. 14. 已知有，两个盒子，其中盒中有3个黑球和3个白球，盒中有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从盒，乙从盒各随机抽取一个球，若两球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若两球不同色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中.按上述方法重复操作两次后，盒中有8个球的概率是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某市为了改善交通状况，实行“小红帽”志愿者服务，协助交警参与交通疏导．现对某单位参与志愿服务次数进行统计，随机抽取40名职工作为样本，得到这40名职工参加“小红帽”志愿者服务的次数．根据所得数据，按分成六组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值； （2）若该单位有职工200人，试估计该单位参加志愿服务次数不低于15次的总人数； （3）试估计该单位职工参与志愿服务次数的中位数． 16. 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束． （1）求； （2）求事件“且甲获胜”的概率． 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点. （1）当为棱的中点时，证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 2025年5月22日16时49分，经过约8小时的出舱活动，神舟二十号乘组航天员陈冬、陈中瑞、王杰密切协同，在地面科研人员配合支持下，航天员从核心舱节点舱出舱，航天员陈冬时隔两年再度漫步太空．某地区为了激发人们对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，这人按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人． （1）求及的值； （2）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数； （3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 19. 如图，在三棱锥中，分别为的中点，为正三角形，平面平面. （1）连接，求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）在线段上是否存在异于端点的点，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈密市第十五中学2025-2026学年度第一学期月考试卷 高二数学 第I卷（选择题） 一、单选题:本题共8小题，每题5分，共40分. 1. 某班有男生 20人，女生30人，用分层抽样的方法从该班抽取10 人参加志愿者活动，则应抽取的女生人数为 （ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先求出分层抽样的抽样比，由此即可计算抽取的女生人数. 【详解】该班总人数为50人，利用分层抽样抽取10 人的抽样比为， 所以该班应抽取的女生人数为. 故选：D 2. 在正方体中，与向量相等的向量有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用相等向量的定义，结合正方体的几何特征即可求解． 【详解】如图， 在正方体中，由正方体性质可知与相等的向量有. 故选：A 3. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，那么在不超过12的素数中随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法，结合古典概型的概率计算公式计算出所求概率. 【详解】不超过的素数为：，共个， 从中随机选取两个， 有：，共种， 其中和为奇数的为：，共种， 所以和为奇数的概率为. 故选：B 4. 设，向量，，，且，，则（ ） A. 5 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由有存在，即可解得，又得解得，进而求解. 【详解】由有存在，所以， 由有，所以，所以， 故选：D. 5. 张明与李华两人做游戏，则下列游戏规则中不公平的是（ ） A. 抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则李华获胜 B. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则李华获胜 C. 从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则李华获胜 D. 张明、李华两人各写一个数字0或1，两人写的数字相同则张明获胜，否则李华获胜 【答案】B 【解析】 【分析】在四个选项中分别求出张明和李华获胜的概率，由此能求出结果． 【详解】解：张明与李华两人做游戏， 在A中，抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则李华获胜， 则张明获胜与李华获胜的概率都是，故A中的游戏中公平； 在B中，同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则李华获胜， 则张明获胜的概率为，李华获胜的概率都为，故B中的游戏中不公平； 在C中，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则李华获胜，则张明获胜与李华获胜的概率都是，故C中的游戏中公平； 在D中，张明、李华两人各写一个数字0或1，如果两人写的数字相同张明获胜，否则李华获胜．则张明获胜与李华获胜的概率都是，故D中的游戏中公平． 故选：． 6. 已知△ABC的顶点，点P在线段BC上运动，若直线AP的斜率k存在，则k的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜率的计算公式求解即可. 【详解】因为，，故或． 故选：A． 7. “科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量．年，某企业连续年累计研发投入搭亿元，我们将研发投入与经营投入的比值记为研发投入占营收比，这年间的研发投入（单位：十亿元）用右图中的折现图表示，根据折线图和条形图，下列结论错误的使 A. 年至年研发投入占营收比增量相比年至年增量大 B. 年至年研发投入增量相比年至年增量小 C. 该企业连续年研发投入逐年增加 D. 该企业来连续年来研发投入占营收比逐年增加 【答案】D 【解析】 【分析】结合折线图对每一个选项分析判断得解. 【详解】对于选项A, 2012年至2013年研发投入占营收比增量为2%，2017年至2018年研发投入占营收比增量为0.3%,所以该选项正确； 对于选项B, 2013年至2014年研发投入增量为2,2015年至2016年研发投入增量为19，所以该选项正确； 对于选项C, 该企业连续12年来研发投入逐年增加,所以该选项是正确的； 对于选项D, 该企业连续12年来研发投入占营收比不是逐年增加，如2009年就比2008的研发投入占营收比下降了.所以该选项是错误的. 故选D 【点睛】本题主要考查折线图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 8. 已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】选定为基向量，利用向量数量积的计算法则求解即可. 【详解】 设，由题意得：，， . 故选：B. 二、多选题:共3小题，每小题6分，共18分，全对得6分，部分选对得部分分，有错的得0分. 9. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（ ） A. 目标未被命中的概率为 B. 目标恰好被命中一次的概率为 C. 目标恰好被命中两次的概率为 D. 目标被命中的概率为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意，结合概率的计算，逐项分析即可得解. 【详解】对A，目标未被命中，则两次都不中，概率为，故A错误； 对B，目标恰好被命中一次，则甲中乙不中，或乙中甲不中， 概率为，故B错误； 对C，目标恰好被命中两次，则两次都中，概率为，故C正确； 对D，目标被命中，从反面考虑可得概率为，故D正确； 故选：CD 10. 已知空间向量，，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 D. 向量在向量上的投影向量是 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间向量模的坐标运算判断A；利用空间向量的线性运算判断B；利用空间位置关系的向量证明判断C；求出投影向量判断D. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，， 得， B错误； 对于C，直线的方向向量为，平面的法向量为， 由，得，则或，C错误； 对于D，，，则， 所以向量在向量上的投影向量是，D正确. 故选：BC 11. 学校为了解学生的课外阅读情况，随机统计了1000名学生每个月的课外阅读时间，所得数据都在中，其频率分布直方图如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. B. 这1000名学生的课外阅读时间的众数为 C. 这1000名学生的课外阅读时间的中位数为 D. 若对阅读时间高于100小时的学生采取分层抽样抽取30人，则阅读时间在区间内的学生应抽取10人 【答案】ABD 【解析】 【分析】在频率分布直方图中，各组面积之和为1，可求出的值，可判断A；利用众数的定义可判断B；利用中位数的定义求解可判断C；利用分层抽样可判断D. 【详解】对于A选项，在频率分布直方图中，各组面积之和为1， 可得，解得，A正确； 对于B选项，由图可知这1000名学生的课外阅读时间的众数为，B正确； 对于C选项，设1000名学生的课外阅读时间的中位数为， 则，解得，C错误； 对于D选项，由图知，阅读时间高于100小时的学生有人， 随机抽取30人，抽样比为， 故阅读时间在区间内的学生应抽取人，D正确. 故选：ABD 第II卷（非选择题） 三、填空题:本小题共3小题，每题5分，共15分 12. 直线过点和，则的斜率为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率的计算公式求解即可. 【详解】， 故答案为： 13. 在正方体中，点E为的中点，则直线与所成的角的余弦值为________；平面与平面所成锐二面角的余弦值为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】依题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1， 则，， ， ， 故直线与所成的角的余弦值是. 设平面的一个法向量为，则， 取，则，故， 易得平面的一个法向量为， ， 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 故答案为：；. 14. 已知有，两个盒子，其中盒中有3个黑球和3个白球，盒中有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从盒，乙从盒各随机抽取一个球，若两球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若两球不同色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中.按上述方法重复操作两次后，盒中有8个球的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】确定两次取球后盒中有8个球必须是满足两次取球均为甲获胜，再分别计算出第一次都取黑球，第二次取同色球，第一次都取白球，第二次取同色球的概率，相加即可求解. 【详解】若两次取球后，盒中有8个球，则两次取球均为甲获胜， 第一次取球甲乙都取到黑球，其概率为， 第一次取球后盒中有4个黑球和3个白球，盒中有2个黑球和2个白球， 第二次取到同色球的概率为， 此时盒中有8个球的概率为； 若第一次取球甲乙都取到白球，其概率为， 第一次取球后盒中有3个黑球和4个白球，盒中有3个黑球和1个白球， 第二次取到同色球的概率为， 此时盒中有8个球的概率为； 所以盒中有8个球的概率为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的突破口在于先分清楚两次取球后，盒中有8个球，则两次取球均为甲获胜，再分别讨论并计算出第一次都取黑球，第二次取同色球，第一次都取白球，第二次取同色球的概率，相加即可求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某市为了改善交通状况，实行“小红帽”志愿者服务，协助交警参与交通疏导．现对某单位参与志愿服务次数进行统计，随机抽取40名职工作为样本，得到这40名职工参加“小红帽”志愿者服务的次数．根据所得数据，按分成六组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值； （2）若该单位有职工200人，试估计该单位参加志愿服务次数不低于15次的总人数； （3）试估计该单位职工参与志愿服务次数的中位数． 【答案】（1） （2） （3）15.3125 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中频率之和为1可求得的值. （2）首先求出该单位参加志愿服务次数不低于15次的频率，从而求得人数. （3）根据中位数的概念即可求出该单位职工参与志愿服务次数的中位数. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，解得． 【小问2详解】 由图可知该单位参加志愿服务次数不低于15次的频率为， 则该单位参加志愿服务次数不低于15次的人数为． 【小问3详解】 因为， 所以该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值在内． 设该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为，则， 解得，即该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为15.3125． 16. 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束． （1）求； （2）求事件“且甲获胜”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案. （2）根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案. 【小问1详解】 就是某局双方10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束， 则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分． 因此. 【小问2详解】 “且甲获胜”，就是某局双方10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束， 且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得分，后两球均为甲得分． 因此事件“X＝4且甲获胜”的概率为：. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点. （1）当为棱的中点时，证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 取的中点，连接，， 因为为的中点，所以， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以 又平面平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，求证，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求得平面法向量，代入夹角公式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面， 在平面内，所以， 即两两垂直， 故可以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则 因为，所以， 所以. 设平面的法向量为， 则，取，得，所以 因为平面，所以平面. 所以为平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 2025年5月22日16时49分，经过约8小时的出舱活动，神舟二十号乘组航天员陈冬、陈中瑞、王杰密切协同，在地面科研人员配合支持下，航天员从核心舱节点舱出舱，航天员陈冬时隔两年再度漫步太空．某地区为了激发人们对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，这人按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人． （1）求及的值； （2）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数； （3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 【答案】（1）0.04；200 （2）32.25；37.5 （3） 【解析】 【分析】（1）依次计算出频率分布直方图中每一组的频率，利用频率之和为1，解方程即可得到的值，利用第一组的人数和第一组的频率，即可得到的值； （2）直接根据频率分布直方图求解平均年龄和第80百分位数； （3）根据分层抽样确定第四组抽取人数与编号，第五组抽取人数与编号，列举样本空间中所有样本点及事件“甲、乙两人至少有一人被选上”的所有符合的样本点，结合古典概型公式计算即可得所求概率. 【小问1详解】 根据频率分布直方图可得： 第一组的频率为， 第二组的频率为， 第三组的频率为， 第四组的频率为， 第五组的频率为， 因为频率之和为1，所以，， 解得； 因为第一组的频率为，且第一组有10人， 所以， 解得. 【小问2详解】 设平均年龄为， 则， 设第80百分位数为， 根据每一组频率得：，， 因此第80百分位数出现在第四组， 可列出方程：，，， 解得， 综上，平均年龄为32.25，第80百分位数为37.5. 【小问3详解】 根据题意，进行分层抽样，则第四组抽了人，记为，，，甲， 第五组抽了人，记为，乙， 从第四组和第五组被抽到的使者中，随机抽取2名作为组长，对应的样本空间为： ，，，，，，，，，，，，，，，共15个样本点， 甲、乙两人至少有一人被选上，对应的样本空间为：，，，，，，，，，共9个样本点， 故甲、乙两人至少有一人被选上的概率. 19. 如图，在三棱锥中，分别为的中点，为正三角形，平面平面. （1）连接，求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）在线段上是否存在异于端点的点，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 连接，如图所示： 为正三角形，又为中点， ， 平面平面，平面平面平面， 平面. （2） （3）存在，为中点 【解析】 【分析】（1）根据已知条件利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）根据（1）中的结论以及已知条件以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，从而得出相关向量的坐标，设平面的法向量为，建立方程组得出法向量的坐标，再利用向量法求出点到面的距离即可； （3），且，根据（1）的结论和（2）建立的空间直角坐标系以及已知条件，利用向量法列出平面和平面夹角的余弦值的表达式求出参数分析即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，又平面， ， 分别为的中点， ， ， 如图： ， 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， ， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则， 令，则 则点到平面的距离为. 【小问3详解】 设存在， 由（1）可知是平面的一个法向量， 由题可设，且， ， 则， 设平面的法向量为，由于， 则， 令，则， ， 整理得，解得或（舍）， 故存在点，使得平面和平面夹角的余弦值为， 此时为中点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $