精品解析：浙江省宁波市镇海区尚志中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

镇海区尚志中学2025学年第一学期期中评估 九年级数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 的半径为，若点P到圆心的距离为，点P在（ ） A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题关键是掌握点与圆的位置关系． 根据点与圆的位置关系的意义，先找出点到圆心的距离与半径的关系，再作判断． 【详解】解：∵点P到圆心的距离为， 而O的半径为， ∴点P到圆心的距离等于圆的半径， ∴点P在圆上， 故选：B． 2. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 任意选择某一电视频道，它正播放动画片 B. 任意掷一枚硬币，正面朝上 C. 射击运动员射击一次，命中10环 D. 在只装有红球的袋子里摸出一个黑球 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件的定义，正确掌握相关定义是解题关键． 根据不可能事件的定义（在一定条件下一定不会发生的事件），分析各选项是否可能发生． 【详解】解：不可能事件是指在一定条件下一定不会发生的事件． A选项：任意选择电视频道可能播放动画片，是随机事件； B选项：任意掷一枚硬币可能正面朝上，是随机事件； C选项：射击运动员射击一次可能命中10环，是随机事件； D选项：只装有红球的袋子不可能摸出黑球，是不可能事件． 故选：D． 3. 将二次函数的图像先向上平移3个单位，再向右平移4个单位所得图像的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案． 【详解】解：将二次函数y=2x2的图象先向上平移3个单位，再向右平移4个单位所得图象的解析式为：y=2（x-4）2+3． 故选A． 【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，正确掌握平移移规律“上加下减，左加右减”是解题关键． 4. 如图，点在⊙O上，，弧的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆周角定理可求解∠AOB=2∠ACB，进而可求解弧AB的度数． 【详解】解：∵∠ACB=40°， ∴∠AOB=2∠ACB=80°， ∴弧AB的度数为80°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，圆心角，弦，弧的关系，求解∠AOB的度数是解题的关键． 5. 点P为线段的黄金分割点，且，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，黄金分割的定义是：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是，近似值为． 根据黄金分割的定义，点P为线段的黄金分割点且时，较长部分与较短部分的比值等于整体与较长部分的比值，即．据此分析各选项． 【详解】解：∵点P为的黄金分割点，且， ∴由黄金分割定义，有． 选项A：，符合黄金分割比例，正确； 选项B：，符合黄金分割比例，正确； 选项C：，与定义不符，错误； 选项D：，符合黄金分割比例，正确； 故选：C． 6. 如图，直线，直线，分别交，，于点，，和，，，若，，则的长等于（ ） A. 18 B. 20 C. 25 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例．由，可得，再列方程，解方程可得答案． 【详解】解：， ，即， ． 故选：C． 7. 下列命题中，正确的有（ ） ①平面内三个点确定一个圆；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③半圆所对的圆周角是直角；④圆内接平行四边形一定是矩形；⑤在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，包括确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质以及弦与弧的关系．需逐一判断每个命题的正确性． 【详解】∵①平面内三个点不一定确定一个圆（三点共线时不能），故错误； ∵②平分弦的直径不一定平分弦所对的弧（弦为直径时不一定），故错误； ∵③半圆所对的圆周角是直角（圆周角定理），故正确； ∵④圆内接平行四边形对角互补且相等，故为矩形，正确； ∵⑤弦相等则所对的弧不一定相等（未区分优弧和劣弧），故错误； ∴正确的有③和④，共2个． 故选：B 8. 如图，已知⊙O的半径为，弦垂足为，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接OB，作OP⊥AB于E，OF⊥CD于F，根据弦、弧、圆心角、弦心距的关系定理得到OP=OF，得到矩形PEFO为正方形，根据正方形的性质得到OP=PC，根据垂径定理和勾股定理求出OP，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接OB，作OP⊥AB于E，OF⊥CD于F， 则BP=AB=4，四边形PEFO为矩形， ∵AB=CD，OP⊥AB，OF⊥CD， ∴OP=OF， ∴矩形PEFO为正方形， ∴OP=PC， 在Rt△OPB中，OP==3， ∴OE==3， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理、矩形的判定与性质等知识，正确得出O到AB，CD的距离是解题关键． 9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与对称轴直线交于点A，与x、y轴交于B、C、D三点，下列命题正确的是（ ） ①； ②若，则； ③对于任意（），始终有； ④若，，（）为方程的两个根，则且． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数与x轴的交点问题及二次函数与一元二次方程的关系．判断命题的真假关键是根据二次函数的性质和图象得出信息判断．根据二次函数的性质和图象得出信息进行判断即可． 【详解】解：由图象得：，，， ∴， ∴， 故①正确； ， ， ， ，故②错误， ， 当时，函数的值最小， 对于任意，始终有，故③正确， ，对称轴为直线， 函数的图象与轴交点坐标为， 将方程变形为，如图所示， 可得且，故④正确， 故选：． 10. 如图，B，C，D，E四点均在⊙O上，连结，相交于点F，其中，，分别延长，相交于点A，若，则⊙O的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质和相似三角形的综合运用，如何准确添加辅助线是解题的关键． 首先根据题意，易判断出几组相似三角形，其中可求的长度，随后根据特殊角，所以构造，作交于点H，构造等腰直角三角形，根据以及等腰直角三角形的线段关系，得出，于是在直角三角形中存在直角边的比例关系，结合圆周角定理，围绕半径构造出与相似的三角形，即连接、，过点O作交于点M，得到，通过两组角相等证明，故得出，最后根据勾股定理求出的长度，即为⊙O的半径． 【详解】解：过点D作交于点H，连接、，过点O作交于点M，如下图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又因为三角形为等腰直角三角形， ∴， ∴，故， ∵三角形为等腰三角形，且， ∴， 根据圆周角定理，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 根据勾股定理， ∴，即⊙O的半径为． 故选：A． 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 在半径为6的圆中，的圆心角所对的弧长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，弧长公式为，把半径和圆心角代入公式计算就可以求出弧长． 【详解】解：半径为6的圆中，的圆心角所对的弧长为：． 故答案为：． 12. 已知一个正多边形的内角是，它是______边形. 【答案】八 【解析】 【分析】多边形的内角和可以表示成，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成，列方程可求解．此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解． 【详解】解：设正边形的边数是n，由内角和公式，得 ， 解得： 故答案为：八． 【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理． 13. 如图，在等腰直角中，中线，相交于点G，若，则长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据重心的性质可得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，进而得到，结合等腰三角形三线合一的性质可知，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：∵中线、相交于点 ∴交点为的重心， ∴， 又∵等腰直角中，，为中点， ∴，， ∴， ∴中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的重心的概念和性质、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键． 14. 如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则能使成立的x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，解题的关键是理解二次函数与不等式的关系，并会通过观察图象确定x的取值范围． 若，则二次函数的图象在一次函数图象的下方，再由A、B点的坐标即可解答． 【详解】解：∵，， 若，则二次函数的图象在一次函数图象的下方， ∴由图象可知：的取值范围为， 故答案为：． 15. 如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D．坐标轴上有一动点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似．则点P的坐标______． 【答案】或或 【解析】 【分析】利用勾股定理求得的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断，再分在轴和轴两种情况讨论，舍出的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解． 【详解】解：过点作轴于点． 在中，，， ， 在中，，， ， ， ， 为直角三角形． ①利用的三边，，又，故当是原点时，； ②当是直角边时，若与是对应边，设的坐标是，则，，即， 解得：，则的坐标是，三角形不是直角三角形，则不成立； ③当是直角边，若与是对应边时，设的坐标是，则，则，即， 解得：，故是时，则一定成立； ④当在轴上时，是直角边，一定在的左侧，设的坐标是． 则，当与是对应边时，，即， 解得：，此时，两个三角形不相似； ⑤当在轴上时，是直角边，一定在的左侧，设的坐标是． 则，当与是对应边时，，即， 解得：，符合条件． 总之，符合条件的点的坐标为：或或． 故答案为：或或． 【点睛】此题主要考查了抛物线与轴的交点以及勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键． 16. 如图，在正方形中，点E，F分别是的中点，连接分别交于点G、H．连接．则下列结论中：①；②平分；③；④．正确的有__________．（只写序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】可证明得到，则可证明，再证明，得到，据此可判断①；连接，证明是等腰直角三角形，得到；可证明A、E、H、F四点共圆，得到，据此可判断②；设正方形的边长为，则，由勾股定理得到，；证明，推出；由等面积法可得，则，据此可判断③；求出，得到，，则，进而得到；求出，则，据此可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； 如图所示，连接， 同理可得， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∴A、E、H、F四点共圆， ∴， ∴平分，故②正确； 设正方形的边长为，则， ∴，； 由正方形的性质可得， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，四点共圆，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． 三、解答题（本题有8小题，第17-19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分，各小题都必须写出解答过程） 17. 已知线段a，b，满足． （1）求的值； （2）当线段x是a，b的比例中项且时，求x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了比例线段， 对于（1），由，再代入计算即可； 对于（2），先求出b，再根据比例中项求出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴． ∵线段x是a，b的比例中项， ∴， ∴（舍负）． 18. 一个不透明的袋中装有分别标着汉字“尚”、“贤”、“博”、“学”的四个小球，除标注的汉字不同外，小球无任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． （1）从袋中摸出一个球，球上的汉字刚好是“学”的概率是 ． （2）从袋中任摸一球，不放回，再从袋中任摸一球，请用树状图（或列表法）表示出所有可能出现的结果，并求出摸到的两个球上的汉字恰好是“尚”和“贤”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，运用列表法或树状图法展示所有可能得结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式：概率所求情况数与总情况数之比，求出事件A或B的概率． （1）直接利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及摸到的两个球上的汉字恰好是“尚”和“贤”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，从袋中摸出一个球，一共有4种可能，球上的汉字刚好是“学”的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下： 尚 贤 博 学 尚 尚，贤 尚，博 尚，学 贤 贤，尚 贤，博 贤，学 博 博，尚 博，贤 博，学 学 学，尚 学，贤 学，博 由表格可知，共有12种等可能出现的结果， 其中摸到的两个球上的汉字恰好是“尚”和“贤”的结果有2种， ∴摸到的两个球上的汉字恰好是“尚”和“贤”的概率为． 19. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． （1）在图①中以线段为边画一个格点，使它与相似，面积之比是． （2）在图②中画一条格点线段，交于点P，使． 【答案】（1） 解：如图，为所作的图形．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，且相似比为， ∴． （2） 解：如图，为所作的线段． 连接，如图 由图可知， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了格点作图，相似三角形的判定与性质，平行线间线段成比例，掌握知识点是解题的关键． （1）取的中间格点E，连接，即可解答； （2）取格点C，D，连接，交于点P，且满足，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，是半圆O的直径，C是圆上的点，作交于点E． （1）求证：D为的中点． （2）若，，求扇形的面积． 【答案】（1） 证明：∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴． ∴D为的中点； （2） 【解析】 【分析】（1）根据直径的性质可得，根据平行线的性质可证，根据垂径定理即可得证； （2）设，则，在中用勾股定理建立方程并求解，最后用扇形面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴，， ， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，解直角三角形，垂径定理及扇形面积，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 21. 在2020年新冠肺炎抗疫期间，经营者小明决定在某直销平台上销售一批口罩，经市场调研发现：该类型口罩每袋进价为20元，当售价为低袋25元时，销售量为250袋，销售单价每提高1元，销售最就会减少10袋． （1）直接写出小明销售该类型口罩的销售量（袋）与销售单价（元）之间的函数关系式； （2）求每天所得销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式； （3）若每天销售量不少于200袋，且每袋口罩的销售利润至少为7元，则销售单价定为多少元时，所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y=−10x＋500；（2）w＝-10x2＋700x−10000；（3）销售单价定位30元时，此时利润最大，最大利润是2000元． 【解析】 【分析】（1）根据“某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋”，即可得出y关于x的函数关系式； （2）根据利润=每袋口罩的利润×销售量，得到销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （3）利用配方法将w关于x的函数关系式变形为w＝−10（x−35）2＋2250，根据二次函数的性质和x的取值范围，即可解决最值问题． 【详解】解：（1）根据题意得，y＝250−10（x−25）＝−10x＋500； （2）由题意得，w＝（x−20）（−10x＋500）＝−10x2＋700x−10000； （3）根据题意得，， ∴x的取值范围为：27≤x≤30， ∵函数w＝−10（x−35）2＋2250， ∴当x＝30时，w最大值＝2000． 答：销售单价定位30元时，此时利润最大，最大利润是2000元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的数量关系，得到二次函数表达式． 22. 在等腰直角中，点D为的三等分点，将绕点D顺时针旋转至，记旋转角为，连接，以为底边作等腰直角，连接，． （1）如图，当旋转角时，请直接写出线段与的数量关系； （2）当时， ①如图，（1）中线段与的数量关系是否还成立？并说明理由． ②如图，当点A，E，F三点共线时，证明． 【答案】（1）或 （2） ①（）仍然成立．理由如下： ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴即仍然成立． ②证明：如图，过点D作于点G， 由旋转可得 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 由①可得． 【解析】 【分析】（1）证明，，，再结合平行线分线段成比例可得答案. （2）①证明，可得． ②如图，过点D作于点G，证明，可得，结合，进一步可得结论． 【小问1详解】 解：或，理由如下： ∵等腰直角中，点D为的三等分点，将绕点D顺时针旋转至，记旋转角为， ∴，， ∵等腰直角， ∴，， ∴， ∴， ∴即. 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，熟练利用相似三角形的判定与性质解答是关键. 23. 已知二次函数． （1）若函数图象经过点，求二次函数的表达式和顶点坐标． （2）若函数图象上到x轴的距离为12的点有3个，求以这三个点为顶点的三角形面积． （3）若函数图象交x轴于，不同两点，当时，求实数m的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的解析式，根与系数的关系，判别式，二次函数的图像与性质，用一元一次不等式解决几何问题，掌握知识点是解题的关键． （1）将代入二次函数解析式，求出二次函数解析式为，即可解答； （2）先求出对称轴，推断出该二次函数的图象过点，继而求出，得到二次函数的解析式为，令，得，求出，则，即可解答． （3）根据判别式求出，由根与系数的关系，可得，，将化简并代入，即可解答． 【小问1详解】 解：将代入二次函数解析式，得 ， 解得． ∴二次函数解析式为， 又∵， ∴抛物线的顶点坐标为． 答：二次函数的表达式为，顶点坐标为． 【小问2详解】 解：对称轴：直线 ∵二次函数图象上到x轴的距离为12的点有3个，且对称轴为， ∴该二次函数的图象过点 将代入函数解析式，得 ， 解得． ∴ 令，可得 解得， ∴ ∴． 【小问3详解】 解：由二次函数， 令，则， ∴ 解得． 由根与系数的关系，可得 ， ∵ ∴ ∴， 即 解得． 综上可得． 24. 如图1，四边形内接于，对角线平分，连接交于点E． （1）求证：． （2）当，时，①求线段的长；②求的值． （3）如图2，在（2）的条件下，若为直径，点G、F分别在，上，，且H为中点，判断的面积是否为定值．若不是，求出其最大值，若是，求出其定值． 【答案】（1） 证明：∵平分 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ （2）①9；②45 （3）面积是定值， 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理的推论，勾股定理，三角形中位线定理． （1）根据平分得到，根据得到，进而证明即可； （2）①根据得到，即，进而计算即可； ②证明，得到，则； （3）作交于点M，作交于点N，连结，，根据平分得到，即，根据垂径定理的推论得到，根据勾股定理得到，根据，，得到，，证明，，进而得到，即，即可证明四边形是平行四边形，得到，即可证明是的中位线，得到，根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵ ∴ ∴，即 ∴ ②∵，， ∴ ∴ ∵，， ∴， ∴ 【小问3详解】 解：面积为定值．证明如下： 理由：作交于点M，作交于点N，连结， ∵平分 ∴ ∴ ∴ 在中， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴是的中位线 ∴ ∴的面积为定值，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 镇海区尚志中学2025学年第一学期期中评估 九年级数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 的半径为，若点P到圆心的距离为，点P在（ ） A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 无法确定 2. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 任意选择某一电视频道，它正播放动画片 B. 任意掷一枚硬币，正面朝上 C. 射击运动员射击一次，命中10环 D. 在只装有红球的袋子里摸出一个黑球 3. 将二次函数的图像先向上平移3个单位，再向右平移4个单位所得图像的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点在⊙O上，，弧的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 点P为线段的黄金分割点，且，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，直线，分别交，，于点，，和，，，若，，则的长等于（ ） A. 18 B. 20 C. 25 D. 30 7. 下列命题中，正确的有（ ） ①平面内三个点确定一个圆；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③半圆所对的圆周角是直角；④圆内接平行四边形一定是矩形；⑤在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，已知⊙O的半径为，弦垂足为，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与对称轴直线交于点A，与x、y轴交于B、C、D三点，下列命题正确的是（ ） ①； ②若，则； ③对于任意（），始终有； ④若，，（）为方程的两个根，则且． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 10. 如图，B，C，D，E四点均在⊙O上，连结，相交于点F，其中，，分别延长，相交于点A，若，则⊙O的半径为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 在半径为6的圆中，的圆心角所对的弧长为________． 12. 已知一个正多边形的内角是，它是______边形. 13. 如图，在等腰直角中，中线，相交于点G，若，则长为__________． 14. 如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则能使成立的x的取值范围是__________． 15. 如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D．坐标轴上有一动点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似．则点P的坐标______． 16. 如图，在正方形中，点E，F分别是的中点，连接分别交于点G、H．连接．则下列结论中：①；②平分；③；④．正确的有__________．（只写序号） 三、解答题（本题有8小题，第17-19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分，各小题都必须写出解答过程） 17. 已知线段a，b，满足． （1）求的值； （2）当线段x是a，b的比例中项且时，求x的值． 18. 一个不透明的袋中装有分别标着汉字“尚”、“贤”、“博”、“学”的四个小球，除标注的汉字不同外，小球无任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． （1）从袋中摸出一个球，球上的汉字刚好是“学”的概率是 ． （2）从袋中任摸一球，不放回，再从袋中任摸一球，请用树状图（或列表法）表示出所有可能出现的结果，并求出摸到的两个球上的汉字恰好是“尚”和“贤”的概率． 19. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． （1）在图①中以线段为边画一个格点，使它与相似，面积之比是． （2）在图②中画一条格点线段，交于点P，使． 20. 如图，是半圆O的直径，C是圆上的点，作交于点E． （1）求证：D为的中点． （2）若，，求扇形的面积． 21. 在2020年新冠肺炎抗疫期间，经营者小明决定在某直销平台上销售一批口罩，经市场调研发现：该类型口罩每袋进价为20元，当售价为低袋25元时，销售量为250袋，销售单价每提高1元，销售最就会减少10袋． （1）直接写出小明销售该类型口罩的销售量（袋）与销售单价（元）之间的函数关系式； （2）求每天所得销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式； （3）若每天销售量不少于200袋，且每袋口罩的销售利润至少为7元，则销售单价定为多少元时，所获利润最大？最大利润是多少？ 22. 在等腰直角中，点D为的三等分点，将绕点D顺时针旋转至，记旋转角为，连接，以为底边作等腰直角，连接，． （1）如图，当旋转角时，请直接写出线段与的数量关系； （2）当时， ①如图，（1）中线段与的数量关系是否还成立？并说明理由． ②如图，当点A，E，F三点共线时，证明． 23. 已知二次函数． （1）若函数图象经过点，求二次函数的表达式和顶点坐标． （2）若函数图象上到x轴的距离为12的点有3个，求以这三个点为顶点的三角形面积． （3）若函数图象交x轴于，不同两点，当时，求实数m的取值范围． 24. 如图1，四边形内接于，对角线平分，连接交于点E． （1）求证：． （2）当，时，①求线段的长；②求的值． （3）如图2，在（2）的条件下，若为直径，点G、F分别在，上，，且H为中点，判断的面积是否为定值．若不是，求出其最大值，若是，求出其定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $