2.5 曲线与方程（七大题型提分练） -【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

2.5 曲线与方程 题型1：平面内的轨迹方程 1．已知点，，动点满足．则动点的轨迹方程 . 【答案】 【分析】根据题意，设点，由得方程，化简整理即可. 【解析】设，由得， 化简可得动点的轨迹方程为：. 故答案为： 2．已知三角形的两个顶点、的坐标分别为、，且、所在直线的斜率之积等于，顶点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设点，根据可求出顶点的轨迹方程. 【解析】设点，则，，其中， 由题意可得，化简可得. 故顶点的轨迹方程为. 故答案为：. 3．已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】结合双曲线的定义求得的轨迹方程. 【解析】设，，由题意知动点M满足， 故动点M的轨迹是射线． 故答案为： 4．在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】先设点的坐标，再根据已知等式化简得出轨迹方程. 【解析】设，则， 又因为可得. 则点的轨迹方程为. 故答案为：. 5．已知椭圆，若斜率为1的动直线交椭圆于两点，记线段的中点为，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设为，，，联立方程得到，进而得到，即，消去得到点的轨迹方程，注意中点在椭圆内，求得的范围即可． 【解析】设直线的方程为，联立，得， 令，即， 设，，则， 所以，故，因为， 所以，则消去可得点的轨迹方程为. 故答案为：. 6．已知点A(0，4)，B(0，－4)，从点C同时出发的两个质点M，N均以每秒2个单位长度的速度做匀速直线运动，M从C运动到A，N从C运动到B，且M到达A的时间比N到达B的时间晚3秒，则C的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，，所以C的轨迹是以为焦点，且实轴长为的双曲线的下支，可得解. 【解析】如图，设， 则， 所以C的轨迹是以为焦点，且实轴长为的双曲线的下支， 由，得， 所以C的轨迹方程为. 故答案为：.    题型2：空间中的轨迹 7．已知A、B是空间中的两个定点，若△PAB为正三角形，则点P的轨迹为（        ） A．两个点 B．一个圆 C．一个平面 D．一个球面 【答案】B 【分析】 先确定A、B两个定点的坐标，根据题意可知，利用两点间的距离公式求出点P坐标的变化规律即可. 【解析】设点A坐标为，点B坐标为，则 因为△PAB为正三角形，所以， 设点P坐标为，， ， 综上可得点P的轨迹为一个圆. 故选：B 8．已知正方体中，O为正方形的中心．M为平面上的一个动点，则下列命题正确的 ①若，则M的轨迹是圆；②若M到直线距离相等，则M的轨迹是双曲线；③若M到直线距离相等，则M的轨迹是抛物线 【答案】②③ 【分析】根据题意，利用空间向量的坐标法或直接运用几何定义法来研究动点轨迹，然后再进行判断即可. 【解析】 对于①，建立如图空间直角坐标系，设正方体棱长为， 对于A，，，，则 ，则，即 此时仅有，所以的轨迹是一个点，故①错误； 对于②，过向作垂线，垂足为，过向作垂线，垂足为， 过向作垂线，垂足为，由于， 又因为，，平面， 所以平面，又因为平面， 所以， 若到直线，距离相等，即， 因为，所以， 则，即，则的轨迹是双曲线，故②正确， 对于③，若到直线，距离相等，面， 面， 所以，所以到直线的距离为到点的距离， 则到直线，点距离相等，由抛物线定义可得，的轨迹是抛物线，故③正确； 故答案为：②③. 【点睛】关键点睛：本题重点考查立体几何中的轨迹问题，关键在于对于对圆锥曲线定义的理解. 9．已知正方体的棱长为，是正方体表面上一动点，且，则点形成的轨迹的长度为 . 【答案】 【分析】根据题意，动点P在正方体的上底面及为公共棱的两侧面上有轨迹，先展开两侧面在一平面上，利用求轨迹方程方法确定轨迹，同理上底面分析轨迹，分别利用圆弧长公式求解. 【解析】将正方体两侧面和沿展开为平面图，建立平面直角坐标系如图，    设动点， 因为，所以，化简得， 故动点P在两侧面内轨迹为以为圆心，以为半径的圆弧， 因为，所以，所以， 所以在两侧面内P点轨亦长度为， 在上底面内，动点P轨迹为以为圆心的一段圆弧，如图，    由，可知，故，又， 所以，即圆弧所在圆的半径为， 所以圆弧的长为, 所以动点P形成的轨迹的长度为. 故答案为： 10．已知点P在正方体的表面上，P到三个平面ABCD、、中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为 ． 【答案】 【分析】确定在平面上，根据得到的轨迹为平面内的一条抛物线，建立坐标系确定抛物线方程，计算交点得到答案. 【解析】若P到平面ABCD、距离相等，根据对称性知在平面上， 平面，平面，故平面平面， 故到平面的距离即到的距离， 设正方体的中心为，即，故的轨迹为平面内的一条抛物线， 不妨取正方体边长为，中点为，以所在的直线为轴， 以线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系， 抛物线方程为，时，，故抛物线与棱和相交， 故共有个点满足条件. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题考查了立体几何，抛物线的轨迹方程，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力，其中根据题意得到动点的轨迹方程是解题的关键， 题型3：曲线的形状与性质 11．方程表示的曲线的形状是 ． 【答案】两条线段 【分析】直接平方化简，结合二次根式的意义计算与直线的表示方法即可得解. 【解析】由已知方程两边平方得， 结合. ∴方程表示的曲线是两条线段． 故答案为：两条线段. 12．由曲线围成的图形的面积为 . 【答案】 【分析】曲线围成的图形关于轴，轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可，结合圆的方程运算求解. 【解析】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可， 当，时，曲线可化为：， 表示的图形为以为圆心，半径为的一个半圆， 则第一象限围成的面积为， 故曲线围成的图形的面积为. 故答案为：. 13．数学中有很多形状优美，寓意美好的曲线，曲线就是其中之一，则曲线所围成的封闭图形的面积是 . 【答案】 【分析】方程，对，分类讨论，画出图象即可得出面积. 【解析】方程，对，分类讨论， ①，时，化为：； ②，时，化为：； ③，时，化为：； ④，时，化为：； 所表示的曲线所围成的图形面积. 故答案为：. 14．已知曲线C：，下列说法正确的有 ． ①曲线C关于y轴对称； ②存在a，使得曲线C与坐标轴的交点个数为3； ③曲线C围成的区域面积是关于a的增函数； ④当时，直线l：与曲线C有且仅有2个交点． 【答案】①③④ 【分析】 因为曲线C中含有，所以对分情况讨论，得到曲线C的方程，因为方程含参数，所以需要对分，，三种情况，可以画出三个图，然后根据图形判断四个选项即可. 【解析】对于①：因为，所以有， 即为：当时，， 当时， 当时，曲线C即为，关于y轴对称， 当时，曲线C表示的是关于y轴对称对称的圆的部分图象. ①正确； 对于②：当时，，所以曲线C过点，， 当时，，即：，所以曲线C过点，， 当时，曲线C与坐标轴有两个交点，当时，曲线C与坐标轴有四个交点， 所以②错误； 对于③：当时， ， 如图所示： 当时，曲线C表示的两个圆的方程分别为： ，圆心为，半径， ，圆心为，半径， 由②知，曲线C过，两点， 当时，如图所示： 由图可知，曲线C恒过，，且两个圆的圆心纵坐标均为1， 所以曲线C围成的区域面积随的增大而增大； 当时，如图所示： 由图可知，曲线C同样恒过，，且两个圆的圆心纵坐标还是1， 所以曲线C围成的区域面积随的增大而增大； 且时，区域面积介于和之间， 所以曲线C围成的区域面积是关于a的增函数，③正确； 对于④：当时，若，联立， 整理得：，解得：或， 即与曲线C有且仅有2个交点； 若，联立， 整理得：，解得：或， 即与曲线C有且仅有2个交点，所以④正确. 故答案为：①③④ 15．在直角坐标系中，为坐标原点，曲线的方程是，为上的任意一点．给出下面四个命题： ①曲线上的点关于轴，轴对称；    ②曲线上两点间的最大距离为； ③的取值范围为；    ④曲线围成的图形的面积小于． 则以上命题中正确的序号有 ． 【答案】①③ 【分析】根据对称性,最值及图像特征分别判断命题即可. 【解析】对于①,设在曲线的方程上,因为也在曲线的方程上, 也在曲线的方程上,所以曲线上的点关于轴，轴对称;故①正确 对于③,又因为曲线的方程是, 所以,即得, 得,所以,故③正确 对于④当时, 曲线的方程为, 曲线与轴交点与轴交点, 曲线上的点关于轴对称可以得到曲线的大致图像, 曲线围成的图形的面积大于,故④错误; 对于②, 如图及曲线的对称性可知, 曲线上两点间的最大距离为,故②错误; 故答案为:①③ 16．关于曲线：，有如下结论： ①曲线关于原点对称；    ②曲线关于直线对称； ③曲线是封闭图形，且封闭图形的面积大于； ④曲线不是封闭图形，且它与圆无公共点； 其中所有正确结论的序号为 . 【答案】①②④ 【分析】利用曲线方程的性质，对称性的应用及曲线间的位置关系即可判断上述结论是否正确. 【解析】对于①，将方程中的换为，换为，得，所以曲线关于原点对称，故①正确； 对于②，将方程中的换为或，换为或，得，所以曲线关于直线对称，故②正确； 对于③，由得，即，同理，显然曲线不是封闭图形，故③错误； 对于④，由③知曲线不是封闭图形，联立，消去，得，令，则上式转化为，由可知方程无解，因此曲线与圆无公共点，故④正确. 故答案为：①②④. 17．数学家笛卡尔研究了许多优美的曲线，如笛卡尔叶形线在平面直角坐标系中的方程为．当时，给出下列四个结论： ①曲线不经过第三象限； ②曲线关于直线轴对称； ③对任意，曲线与直线一定有公共点； ④对任意，曲线与直线一定有公共点． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】当时，判断是否成；点(y，x)代入方程，判断与原方程是否相同； 联立直线和曲线方程，判断方程组是否有解分别逐一判断选项即可. 【解析】当时, 方程为 当时，，故第三象限内的点不可能在曲线上，①正确； 将点代入曲线方程得，故曲线关于直线对称，②正确； 当,联立其中， 将代入得，即，则方程组无解， 故曲线与直线无公共点，③错误; 联立可得有解, 设, , 当时, 在单调递增, 单调递减,值域为所以成立, 当时成立. 当时, ,单调递增, ,所以成立, 所以曲线与直线一定有公共点 故④选项正确. 故答案为：①②④. 18．数学中有许多形状优美､寓意美好的曲线，曲线就是其中之一.曲线C对应的图象如图所示，下列结论： ①直线AB的方程为：； ②曲线C与圆有2个交点； ③曲线C所围成的“心形”区域的面积大于12； ④曲线C恰好经过4个整点(即横､纵坐标均为整数的点). 其中正确的是： .(填写所有正确结论的编号) 【答案】②③ 【分析】求出点，，结合直线方程的知识可判断①；联立方程可求出交点坐标，即可判断②；在曲线上取点，，，，由可判断③；求出整点即可判断④. 【解析】对于①，曲线， 令，则；令，则； 所以点，，所以直线AB的方程为：即， 故①错误； 对于②，由可得或， 所以曲线C与圆有2个交点，，故②正确； 对于③，在曲线上取点，，，，顺次连接各点，如图， 则， 所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于12，故③正确； 对于④，曲线经过的整点有：，，，有6个，故④错误. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查了曲线与方程的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，合理转化条件是解题关键，属于中档题. 题型4：参数方程 19．直线（为参数，）和曲线（为参数，）交于、两点，则 . 【答案】/ 【分析】根据消参可得直线方程，和曲线方程，联立直线与曲线方程，根据弦长公式即可求解. 【解析】直线方程为，曲线， 联立消去整理可得， 设则， . 故答案为： 20．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（参数），圆的参数方程为（参数），则圆心到直线的距离为 ． 【答案】/ 【分析】先把参数方程化为普通方程，然后利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离即可． 【解析】直线的参数方程化为普通方程为， 圆的参数方程化为普通方程为， 表示以为圆心，半径等于2的圆． 则圆心到直线的距离为， 故答案为： 21．曲线的焦距为 ． 【答案】 【分析】将曲线方程化为普通方程，求出的值，即可得出该曲线的焦距. 【解析】由可得， 所以，曲线的普通方程为， 该曲线为椭圆，且，，则， 因此，曲线的焦距为. 故答案为：. 22．已知直线l过点，且斜率为，点M在直线l上，若以的模t为参数，则直线l的参数方程为 . 【答案】（t为参数） 【分析】根据直线标准参数方程的求法求得正确答案. 【解析】∵直线l的斜率为，∴直线的倾斜角. ∴，. ∴直线l的参数方程为（为参数）. 故答案为：（为参数） 23．参数方程，化为普通方程为 ． 【答案】 【分析】利用消去参数，并求出的取值范围，即可求得普通方程. 【解析】由，得，又由，得， 得，，化简得， 又当时，，所以， 综上，得参数方程的普通方程为. 故答案为：. 24．已知椭圆为参数，，的焦点分别、，点为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为．若，则椭圆的普通方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由椭圆的焦点坐标可得，即可得，结合椭圆的性质可得、的长，分析可得的坐标，进而可得，两式联立解可得、的值，即可得答案． 【解析】解：根据题意，椭圆为参数，，，其普通方程为， 若其焦点分别、，则，则有，① 点为椭圆的上顶点，则的坐标为， 又由，而，则，， 又由，且、、三点共线，则的坐标为， 又由，则有，② 联立①②，解可得：，； 故椭圆的方程为； 故答案为：． 25．已知点M是椭圆上的一动点，点T的坐标为，点N满足，且 ，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】由题意确定点N在以为圆心，1为半径的圆上运动，由此可得当最小时，取得最小值；利用椭圆的参数方程进行三角代换，求得的最小值，即可求得答案. 【解析】由题意可知点T的坐标为，点N满足， 故点N在以为圆心，1为半径的圆上运动， 由于，故, 则当最小时，取得最小值； 由于点M是椭圆上的一动点，设， 则 ， 由于，故当时，取到最小值为 ， 即 的最小值为， 故答案为： 【点睛】本题考查了椭圆中最值问题的求解，涉及到椭圆的参数方程以及三角函数和二次函数的相关知识，综合性较强，解答时要注意数形结合，利用椭圆的参数方程进行三角代换，综合利用相关知识解决问题. 题型5：极坐标系与极坐标方程 26．在极坐标系中，下列各点中与不表示同一个点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察四个选项横坐标均为2，因为与极坐标相同的点可以表示为，则判断A，B，C，D四个选项的纵坐标能否写成的形式.找出不能用形式表示的选项即可. 【解析】与极坐标相同的点可以表示为， ，故A选项表示同一个的点； ，故B选项表示同一个点； 不能用，故C选项不表示同一个点； ，故D选项表示同一个点. 故选：C. 27．已知两点的极坐标为，，则 ，直线AB的倾斜角为 ． 【答案】 3 【分析】根据的极坐标可得，，得为正三角形，从而可得，由三角形内角和定理可得直线的倾斜角. 【解析】在极坐标系中作出点和，如图所示， 则，，， 所以．所以为正三角形， 从而，直线的倾斜角为． 故答案为：；. 28．过极点且倾斜角为的直线的极坐标方程可以为（    ） A．， B．， C．， D．和， 【答案】D 【分析】根据过极点的直线的极坐标方程，可直接得出结果. 【解析】过极点且倾斜角为的直线的极坐标方程为：和． 故选：D． 29．极坐标系中，圆的圆心的坐标是 . 【答案】 【分析】将原方程化为直角坐标方程得,得圆心坐标为,再把圆心化为极坐标即可. 【解析】将原方程化为圆， 配方可得直角坐标方程得, 圆心坐标为,化为极坐标为. 故答案为：. 30．把点的直角坐标化为极坐标是 ． 【答案】 【分析】利用直角坐标与极坐标的转化公式运算即可. 【解析】因为点在直角坐标系中坐标为， 所以， 且，解得， 又因为， 所以， 所以极坐标为. 故答案为： 31．在极坐标系中，过点且与极轴的倾斜角为的直线的极坐标方程是 ． 【答案】 【分析】把点化为直角坐标，然后点斜式求出直线方程，再化为极坐标方程. 【解析】点的极坐标为，即为， 所以直线的方程为，即， 化为极坐标方程为，即. 故答案为：. 32．已知直线，曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.若曲线分别交直线和曲线于点，则 . 【答案】/0.75 【分析】根据直线的极坐标方程与曲线的极坐标方程求得的极坐标，即可求出答案. 【解析】直线的极坐标方程为， 曲线的极坐标方程为， 化简得， 将代入和的极坐标方程，得，， . 故答案为：. 题型6：高考热点—曲线的性质辨析 33．定义：如果曲线段可以一笔画出，那么称曲线段为单轨道曲线，比如圆、椭圆都是单轨道曲线；如果曲线段由两条单轨道曲线构成，那么称曲线段为双轨道曲线．对于曲线有如下命题：存在常数，使得曲线为单轨道曲线； 存在常数，使得曲线为双轨道曲线．下列判断正确的是（    ）. A．和均为真命题 B．和均为假命题 C．为真命题，为假命题 D．为假命题，为真命题 【答案】A 【分析】根据方程确定研究曲线的性质，判断命题的真假． 【解析】记， 易得，因此曲线关于轴，轴成轴对称，关于原点成中心对称， 从几何上讲，曲线是到两定点和的距离乘积为的点的轨迹， 由可得，因此它在轴上方和下方分别是两个函数的图象，这两个函数图象在轴上有公共点（方程的解相同）， 由得， 时，或， 所以曲线与轴无公共点，曲线是在轴两侧的两个曲线构成，是双轨道曲线， 当时，，结合对称性知，曲线是一个封闭曲线，是单轨道曲线， （实际上上述过程中只要对取一个特定值讨论即可） 命题均正确， 故选：A． 【点睛】方法点睛：用方程确定曲线的性质，例如对称性，在曲线方程中用替换，方程不变，则曲线关于轴对称，用替换，方程不变，则曲线关于轴对称，如果同时用替换，替换，方程不变，则说明曲线关于原点对称，同样如果互换后方程不变，曲线则关于直线对称等等，通过方程中变量的变化范围得出曲线点的坐标的变化范围，即曲线的范围，由变量变化的趋势得出曲线的变化趋势． 34．曲线：，下列两个命题： 命题甲：当时，曲线与坐标轴围成的面积小于128； 命题乙：当k=2n，时，曲线围成的面积总大于4； 下面说法正确的是（    ） A．甲是真命题，乙是真命题 B．甲是真命题，乙是假命题 C．甲是假命题，乙是真命题 D．甲是假命题，乙是假命题 【答案】A 【分析】把代入，变形等式并确定图形在直线的下方（除点外）判断命题甲；当取正偶数时，分析曲线的性质，判断点与曲线的位置关系判断乙命题作答. 【解析】命题甲：当时，曲线：是端点为，在第一象限的曲线段， 由，得，， 而，当且仅当或时取等号， 即有，则曲线除两个端点外均在直线的下方， 因此曲线除端点外，在直线与坐标轴围成的区域内， 直线交轴分别于点，， 所以当时，曲线与坐标轴围成的面积小于128，甲是真命题；    命题乙：当k=2n，时，曲线：，显然， 即曲线关于x轴对称，也关于y轴对称，且在平行直线和平行直线所围成矩形及内部， 曲线是封闭曲线，其面积是曲线与x轴的非负半轴、y轴的非负半轴所围面积的4倍， 显然，即点在曲线内，而以点为顶点的正方形面积为1， 曲线上的点，当x在0到1间任意取值时，y均大于1，当y在0到1间任意取值时，x均大于1， 因此，所以曲线围成的面积恒成立，乙是真命题. 故选：A 【点睛】结论点睛：曲线C的方程为，(1)如果，则曲线C关于y轴对称；(2)如果，则曲线C关于x轴对称；(3)如果，则曲线C关于原点对称. 35．小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”.在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设、是平面直角坐标系内的两个定点，满足的动点P的轨迹为曲线C，从而得到以下4个结论：①曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形；②动点P的横坐标的取值范围是；③的取值范围是；④的面积的最大值为1.其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设，由题设可得曲线C为，将、、代入即可判断①；令，由在上有解，结合二次函数性质求P的横坐标的取值范围判断②；由②分析可得，进而求范围判断③；由基本不等式、余弦定理确定范围，再根据三角形面积公式求最值判断④. 【解析】令，则， 所以，则， 将、、代入上述方程后，均有， 所以曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形，①正确； 令，则， 对于，对称轴为， 所以在上递增，要使在上有解，只需， 所以，即，可得，②正确； 由，由中，， 所以，其中负值舍去， 综上，，又，即， 所以，则，③正确； 由，仅当时等号成立， 的面积， 而，所以， 所以的面积的最大值为1，④正确. 综上，正确结论的个数为4个. 故选：D 【点睛】关键点点睛：②③通过换元，构造，利用根的分布求P的横坐标、的取值范围. 题型7：解答题 36．把下列极坐标方程与直角坐标方程互化． (1)； (2)射线． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直角坐标和极坐标的关系互化即可. （2）利用直角坐标和极坐标的关系互化即可. 【解析】（1）原方程可化为， 把，代入上式可得， 整理为，即为所求直角坐标方程． （2）将，代入，得， 所以，所以或．因为， 所以射线的极坐标方程为． 37．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为（θ为参数），过点且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点． (1)求α的取值范围； (2)求AB中点P的轨迹的参数方程． 【答案】(1)； (2)（为参数，）． 【分析】（1）根据直线l与圆有2个交点，再由圆心到直线的距离小于半径求解； （2）l的参数方程为（t为参数，）．设A，B，P对应的参数分别为，，，再由求解. 【解析】（1）解：因为⊙O的参数方程为，（为参数）， 可得是以为圆心，半径的圆． 当时，直线l与圆有2个交点； 当，设直线l：． 要使直线l与圆有2个交点，即圆心到直线的距离小于半径， 即，解得或， 所以的取值范围为， 综上所述，的取值范围； （2）l的参数方程为（t为参数，）． 设A，B，P对应的参数分别为，，， 将直线的参数方程代入圆的普通方程并整理得：． 则，且，． 又点P的坐标满足， 所以点P的轨迹的参数方程是（为参数，）． 38．动点到直线与直线的距离之积等于，且.记点的轨迹方程为. (1)求的方程； (2)已知点，直线交于点，，上是否存在点满足?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在点，使得. 【分析】（1）利用点到直线与直线的距离之积等于建立方程，化简即可得到结果. （2）假设存在点，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及题目条件得到点坐标满足的关系式，利用点在双曲线上即可得到结果. 【解析】（1）因为动点到直线的距离为，动点到直线的距离为， 所以，化简得， 因为，所以，所以， 所以的方程为. （2）    存在，使得，理由如下： 由得，， 由得，且. 设，则，故. 由题意得，. 设存在点满足，则, 所以. 因为点在上，所以， 化简得，解得或（舍）， 因为，所以，故，即， 所以存在，使得. 【点睛】思路点睛：本题考查双曲线与直线、向量综合问题，具体思路如下： （1）联立直线与双曲线方程，利用，计算的取值范围. （2）设，利用韦达定理表示. （3）假设存在点满足，得到，利用点在双曲线上即可得到结果. 39．参数方程是以参变量为中介来表示直线或曲线上点的坐标的方程，是直线或曲线在同一坐标系下的另一种表现形式．很多曲线（如心脏线、螺线、玫瑰线）都可以用参数方程呈现．在平面直角坐标系中，直线的参数方程式（为参数），其中，角为直线的倾斜角．曲线的参数方程是（为参数）．其中，直线与曲线相交于、点． (1)根据以上的参数方程求出直线的一般式方程和曲线的标准方程； (2)设点，设点对应的参数为，试证明：； (3)试问是否存在角，使得对于任意的点，表达式均为定值，若存在，请求出及值（结果用，表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或； (2)证明见详解 (3)存在，， 【分析】（1）根据参数方程消去参数化简即可得到结果； （2）根据点对应的参数为，可得，由两点间距离公式代入运算可得证； （3）设点对应的参数为，根据直线参数方程的几何意义可得，，将直线的参数方程代入曲线的标准方程结合韦达定理可得，代入运算得解. 【解析】（1）由，消去参数， 当时，得， 当时，得， 所以直线的一般式方程为或. 由，得，消去参数，得， 所以曲线C的标准方程为. （2）由点对应的参数为，则， . （3）设点对应的参数为，由（2）可得，， 将直线的参数方程代入曲线的标准方程可得， 化简整理得， ，， ， 当，即，即时， ， 所以存在，使得对于任意的点，表达式为定值， 此时，. 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是利用直线参数方程的几何意义得，，将直线的参数方程代入曲线的标准方程结合韦达定理运算. 一、填空题 1．数学中有许多形状优美的曲线，曲线：就是其中之一．给出下列四个结论： ①曲线关于坐标原点对称； ②曲线恰好经过8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③曲线上任意一点到原点的距离的最小值为2； ④曲线所围成的区域的面积大于8． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】对于①，将点代入，依旧满足该方程可得结论；对于②，由曲线可得，将所有整数点代入即可求得，对于③，找出反例即可；对于④，借助曲线的对称性，证明该曲线在第一象限的部分与坐标轴围成的面积大于直线与坐标轴围成的面积即可. 【解析】对于①，将点代入可得，，依旧满足该方程，故曲线E关于坐标原点对称，即①正确； 对于②，由可得，令，有，解得； 令，有，解得； 令，有，此时方程无整数解； 令，有，解得； 即曲线恰好经过，共8个整点，即②正确； 对于③，由②可知在曲线上，该点到原点的距离为，即③错误； 对于④，将点代入可得，， 可知曲线关于轴对称， 令点在曲线上，且该点在第一象限， 则，即，故， 令，则，即， 当且仅当时，等号成立， 即，整理可得， 因式分解可得， 由可知，即必有， 即，当且仅当时，等号成立， 故除了点在直线上以外，点都恒在直线的上方； 直线与坐标轴的交点为， 则直线与坐标轴围成的面积为， 可知曲线在第一象限部分与坐标轴围成的面积大于， 再由曲线关于原点对称且关于轴对称，故可知曲线所围成的区域的面积大于． 可知④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】关键点点睛：本题中④的结论关键在于将曲线所围成的区域的面积大于8转化成求证曲线在第一象限部分与坐标轴围成的面积大于2，结合点在曲线上，转化为证明除点外其余点恒在直线上方，即证时恒成立. 2．已知曲线：，：，中.①当时，曲线与有个公共点；②当时，第一象限内，曲线位于曲线的下方；③存在实数，使得曲线围成的区域面积恰等于围成的区域面积；④曲线围成的区域内（不含边界）的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的个数不多于曲线围成的区域内（不含边界）的整点的个数.其中，所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】当时，由可解得交点坐标，即可判断①；令可得在第一象限内，，即可判断②；当时，可知，，取同一个值时，当满足，有，即可判断③；分别讨论当和时的整数点比较可判断④，进而可得正确答案. 【解析】对于①：当时，曲线：，：， 令可得，当时，，当时，， 所以与有个公共点分别为，，，，共个，故①正确； 对于②：当时，曲线，， 当时，：，：，所以， 在第一象限内，，所以曲线位于曲线的下方不正确，故②错误； 对于③：当时，由曲线和的方程可知，， 当取同一个值时，：，：， 当时，曲线围成的区域面积恰等于围成的区域面积，故③正确； 对于④：当时，曲线围成的区域内整点个数等于曲线围成的区域内整点个数， 当时，取同一个大于的数，可得，此时曲线围成的区域内整点个数较多， 所以曲线围成的区域内整点个数不多于曲线围成的区域内整点个数，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分情况讨论和时，当取同一个值时，两个曲线方程中的大小的比较，此类多采用数形结合的思想. 二、单选题 3．在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点与直线上任意一点，称的最小值为点与直线间的“切比雪夫距离”，记作，给定下列两个命题：①已知点，直线，则；②定点、，动点满足，则点的轨迹与直线（k为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的选项是（   ） A．命题①成立，命题②不成立 B．命题①不成立，命题②成立 C．命题①②都成立 D．命题①②都不成立 【答案】C 【分析】对于①，设是直线上一点，且，可得 ，讨论与的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值；对于②，根据定义得，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断. 【解析】设点是直线上一点，且，可得 由，解得，即有， 由，解得或，， 所以故①正确； 对于②，定点、，动点满足， 则：，显然上述方程所表示的曲线关于原点对称， 故不妨设， 当时，有，得：； 当时，有，此时无解； 当时，有，； 则点的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线. 结合图像可知，点的轨迹与直线（为常数）有且仅有个公共点，因此②正确. 故选：C. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解，对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求，但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好基础知识，以不变应万变才是制胜法宝, 4．在平面上，定点、之间的距离，曲线C是到定点、距离之积等于的点的轨迹.以点、所在直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立直角坐标系.已知点是曲线C上一点，下列说法中正确的有（    ） ①曲线C是中心对称图形； ②曲线C上的点的纵坐标的取值范围是； ③曲线C上有两个点到点、距离相等； ④曲线C上的点到原点距离的最大值为 A．①② B．①②④ C．①②③④ D．①③ 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出曲线C的方程，再利用各项的条件计算、判断作答. 【解析】依题意，令，设点是曲线C上任意一点， 则有， 显然， 即点关于原点对称点在曲线C上，因此曲线C是中心对称图形，①正确； 当时，，即， 当且仅当，即，亦即时取等号， 此时，而点在曲线C上，即成立，因此， 曲线C上的点的纵坐标的取值范围是，②正确； 曲线C上点P满足，则点P在y轴上，由得，解得， 因此曲线C上只有一个点到点、距离相等，③不正确； 因为，则， 当时，由余弦定理得， 于是得，， 当时，或，有或， 因此曲线C上的点到原点距离的最大值为，④正确， 所以说法中正确的有①②④. 故选：B 【点睛】结论点睛：曲线C的方程为，(1)如果，则曲线C关于y轴对称；(2)如果，则曲线C关于x轴对称；(3)如果，则曲线C关于原点对称. 三、解答题 5．已知椭圆的离心率为，长轴长为4，是其左、右顶点，是其右焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设是椭圆上一点，的角平分线与直线交于点． ①求点的轨迹方程； ②若面积为，求． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据椭圆离心率和长轴的概念建立方程组，解之即可求解； （2）①易知当时；当时，利用两点表示斜率公式和点斜式方程表示出直线、方程，联立方程组，化简计算求出点T的坐标，即可求解点T的轨迹方程；②利用面积公式建立关于的方程，化简计算即可求解. 【解析】（1）由题意知，，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）①：由（1）知，，设，则， 易知当时，，，此时， 由，解得，即； 当时，，，设直线的斜率为， 则， 所以直线方程为，又直线方程为， 由，得，即， 解得， 将代入直线方程，得，即， 又，所以， 故点的轨迹方程为； ②：由，得， 又，所以，得， 整理得，又，所以， 整理得，即， 由，解得. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查椭圆的标准方程、动点得轨迹方程以及面积问题，第二问关键是寻找点与直线的斜率之间的关系，即是求出直线方程的解题关键，表示出的代数式，需要扎实的计算能力才可以化简求解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5 曲线与方程 题型1：平面内的轨迹方程 1．已知点，，动点满足．则动点的轨迹方程 . 2．已知三角形的两个顶点、的坐标分别为、，且、所在直线的斜率之积等于，顶点的轨迹方程为 . 3．已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 4．在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为 . 5．已知椭圆，若斜率为1的动直线交椭圆于两点，记线段的中点为，则点的轨迹方程为 . 6．已知点A(0，4)，B(0，－4)，从点C同时出发的两个质点M，N均以每秒2个单位长度的速度做匀速直线运动，M从C运动到A，N从C运动到B，且M到达A的时间比N到达B的时间晚3秒，则C的轨迹方程为 . 题型2：空间中的轨迹 7．已知A、B是空间中的两个定点，若△PAB为正三角形，则点P的轨迹为（        ） A．两个点 B．一个圆 C．一个平面 D．一个球面 8．已知正方体中，O为正方形的中心．M为平面上的一个动点，则下列命题正确的 ①若，则M的轨迹是圆；②若M到直线距离相等，则M的轨迹是双曲线；③若M到直线距离相等，则M的轨迹是抛物线 9．已知正方体的棱长为，是正方体表面上一动点，且，则点形成的轨迹的长度为 . 10．已知点P在正方体的表面上，P到三个平面ABCD、、中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为 ． 题型3：曲线的形状与性质 11．方程表示的曲线的形状是 ． 12．由曲线围成的图形的面积为 . 13．数学中有很多形状优美，寓意美好的曲线，曲线就是其中之一，则曲线所围成的封闭图形的面积是 . 14．已知曲线C：，下列说法正确的有 ． ①曲线C关于y轴对称； ②存在a，使得曲线C与坐标轴的交点个数为3； ③曲线C围成的区域面积是关于a的增函数； ④当时，直线l：与曲线C有且仅有2个交点． 15．在直角坐标系中，为坐标原点，曲线的方程是，为上的任意一点．给出下面四个命题： ①曲线上的点关于轴，轴对称；    ②曲线上两点间的最大距离为； ③的取值范围为；    ④曲线围成的图形的面积小于． 则以上命题中正确的序号有 ． 16．关于曲线：，有如下结论： ①曲线关于原点对称；    ②曲线关于直线对称； ③曲线是封闭图形，且封闭图形的面积大于； ④曲线不是封闭图形，且它与圆无公共点； 其中所有正确结论的序号为 . 17．数学家笛卡尔研究了许多优美的曲线，如笛卡尔叶形线在平面直角坐标系中的方程为．当时，给出下列四个结论： ①曲线不经过第三象限； ②曲线关于直线轴对称； ③对任意，曲线与直线一定有公共点； ④对任意，曲线与直线一定有公共点． 其中所有正确结论的序号是 ． 18．数学中有许多形状优美､寓意美好的曲线，曲线就是其中之一.曲线C对应的图象如图所示，下列结论： ①直线AB的方程为：； ②曲线C与圆有2个交点； ③曲线C所围成的“心形”区域的面积大于12； ④曲线C恰好经过4个整点(即横､纵坐标均为整数的点). 其中正确的是： .(填写所有正确结论的编号) 题型4：参数方程 19．直线（为参数，）和曲线（为参数，）交于、两点，则 . 20．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（参数），圆的参数方程为（参数），则圆心到直线的距离为 ． 21．曲线的焦距为 ． 22．已知直线l过点，且斜率为，点M在直线l上，若以的模t为参数，则直线l的参数方程为 . 23．参数方程，化为普通方程为 ． 24．已知椭圆为参数，，的焦点分别、，点为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为．若，则椭圆的普通方程为 ． 25．已知点M是椭圆上的一动点，点T的坐标为，点N满足，且 ，则的最小值是 ． 题型5：极坐标系与极坐标方程 26．在极坐标系中，下列各点中与不表示同一个点的是（    ） A． B． C． D． 27．已知两点的极坐标为，，则 ，直线AB的倾斜角为 ． 28．过极点且倾斜角为的直线的极坐标方程可以为（    ） A．， B．， C．， D．和， 29．极坐标系中，圆的圆心的坐标是 . 30．把点的直角坐标化为极坐标是 ． 31．在极坐标系中，过点且与极轴的倾斜角为的直线的极坐标方程是 ． 32．已知直线，曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.若曲线分别交直线和曲线于点，则 . 题型6：高考热点—曲线的性质辨析 33．定义：如果曲线段可以一笔画出，那么称曲线段为单轨道曲线，比如圆、椭圆都是单轨道曲线；如果曲线段由两条单轨道曲线构成，那么称曲线段为双轨道曲线．对于曲线有如下命题：存在常数，使得曲线为单轨道曲线； 存在常数，使得曲线为双轨道曲线．下列判断正确的是（    ）. A．和均为真命题 B．和均为假命题 C．为真命题，为假命题 D．为假命题，为真命题 34．曲线：，下列两个命题： 命题甲：当时，曲线与坐标轴围成的面积小于128； 命题乙：当k=2n，时，曲线围成的面积总大于4； 下面说法正确的是（    ） A．甲是真命题，乙是真命题 B．甲是真命题，乙是假命题 C．甲是假命题，乙是真命题 D．甲是假命题，乙是假命题 35．小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”.在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设、是平面直角坐标系内的两个定点，满足的动点P的轨迹为曲线C，从而得到以下4个结论：①曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形；②动点P的横坐标的取值范围是；③的取值范围是；④的面积的最大值为1.其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型7：解答题 36．把下列极坐标方程与直角坐标方程互化． (1)； (2)射线． 37．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为（θ为参数），过点且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点． (1)求α的取值范围； (2)求AB中点P的轨迹的参数方程． 38．动点到直线与直线的距离之积等于，且.记点的轨迹方程为. (1)求的方程； (2)已知点，直线交于点，，上是否存在点满足?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 39．参数方程是以参变量为中介来表示直线或曲线上点的坐标的方程，是直线或曲线在同一坐标系下的另一种表现形式．很多曲线（如心脏线、螺线、玫瑰线）都可以用参数方程呈现．在平面直角坐标系中，直线的参数方程式（为参数），其中，角为直线的倾斜角．曲线的参数方程是（为参数）．其中，直线与曲线相交于、点． (1)根据以上的参数方程求出直线的一般式方程和曲线的标准方程； (2)设点，设点对应的参数为，试证明：； (3)试问是否存在角，使得对于任意的点，表达式均为定值，若存在，请求出及值（结果用，表示）；若不存在，请说明理由． 一、填空题 1．数学中有许多形状优美的曲线，曲线：就是其中之一．给出下列四个结论： ①曲线关于坐标原点对称； ②曲线恰好经过8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③曲线上任意一点到原点的距离的最小值为2； ④曲线所围成的区域的面积大于8． 其中所有正确结论的序号是 ． 2．已知曲线：，：，中.①当时，曲线与有个公共点；②当时，第一象限内，曲线位于曲线的下方；③存在实数，使得曲线围成的区域面积恰等于围成的区域面积；④曲线围成的区域内（不含边界）的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的个数不多于曲线围成的区域内（不含边界）的整点的个数.其中，所有正确结论的序号是 . 二、单选题 3．在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点与直线上任意一点，称的最小值为点与直线间的“切比雪夫距离”，记作，给定下列两个命题：①已知点，直线，则；②定点、，动点满足，则点的轨迹与直线（k为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的选项是（   ） A．命题①成立，命题②不成立 B．命题①不成立，命题②成立 C．命题①②都成立 D．命题①②都不成立 4．在平面上，定点、之间的距离，曲线C是到定点、距离之积等于的点的轨迹.以点、所在直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立直角坐标系.已知点是曲线C上一点，下列说法中正确的有（    ） ①曲线C是中心对称图形； ②曲线C上的点的纵坐标的取值范围是； ③曲线C上有两个点到点、距离相等； ④曲线C上的点到原点距离的最大值为 A．①② B．①②④ C．①②③④ D．①③ 三、解答题 5．已知椭圆的离心率为，长轴长为4，是其左、右顶点，是其右焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设是椭圆上一点，的角平分线与直线交于点． ①求点的轨迹方程； ②若面积为，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$