2.5曲线与方程（题型专练）数学沪教版2020选择性必修第一册

2.5曲线与方程 题型一 求平面轨迹方程 1．(24-25高二上·上海川沙中学·期末)已知点，直线，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为，，若动点满足，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线定义得到圆心轨迹，设，再结合向量的坐标表示得到，即可求解； 【详解】由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为， 设，则由动点满足， 故选：A 2．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·期中)在平面直角坐标系中，O为原点，P为曲线上一动点，则线段的中点轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】利用中点坐标公式，设出线段中点的坐标以及点的坐标，再根据点在已知曲线上，将点的坐标代入曲线方程，进而得到中点的轨迹方程. 【详解】设线段的中点为，点的坐标为. 因为是的中点，所以可得，即. 因为点在曲线上，所以将代入曲线方程可得.化简得： 故答案为：. 3．(24-25高二下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期中)已知点，，动点满足．则动点的轨迹方程 . 【答案】 【分析】根据题意，设点，由得方程，化简整理即可. 【详解】设，由得， 化简可得动点的轨迹方程为：. 故答案为： 4．过点，且与圆外切的动圆圆心P的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设点，且圆的圆心，由题意，即，得点P的轨迹为以A，B为焦点的双曲线的左支，计算得出方程. 【详解】点，且圆的圆心，半径为2， 由题意，即， 所以点P的轨迹为以A，B为焦点的双曲线的左支，且，， 得，故圆心P的轨迹方程为． 故答案为：. 5．已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】结合双曲线的定义求得的轨迹方程. 【详解】设，，由题意知动点M满足， 故动点M的轨迹是射线． 故答案为： 题型二 立体几何中的轨迹方程 1．(24-25高二下·上海杨浦高级中学·期中)已知点 在正方体 的表面上， 到三个平面 中的两个平面的距离相等，且 到剩下一个平面的距离与 到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点 的个数为（    ）    A．6 B． C．10 D．12 【答案】A 【分析】确定在平面上，根据得到的轨迹为平面内的一条抛物线，建立坐标系确定抛物线方程，计算交点得到答案. 【详解】若到平面ABCD、距离相等，根据对称性知在平面上，   平面，平面，故平面平面， 故到平面的距离即到的距离， 设正方体的中心为，即，故的轨迹为平面内的一条抛物线， 不妨取正方体边长为中点为，以所在的直线为轴， 以线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系， 抛物线方程为，时，，故抛物线与棱和相交， 故共有个点满足条件. 故选：A 2．(24-25高二上·上海七宝中学·月考)已知平面，直线，点，平面之间的距离为 ，则在内到点的距离为且到直线的距离为的点的轨迹是（    ） A．圆 B．两个点 C．四个点 D．两条直线 【答案】C 【分析】根据点到面距离定义，结合圆的定义、勾股定理进行判断即可. 【详解】设为内动点，点在内射影为，过，的平面与的交线为， 因为，所以由勾股定理可得：， 点在以为圆心，为半径的圆上，过作于， 又因为到直线的距离为， 所以，则点在与平行距离为的两条平行直线， 两条直线与圆有四个交点，这样的点有四个， 故选：C 3．(24-25高二下·上海行知中学·月考)点P是正方体的表面及其围成的空间内一点，已知正方体的棱长为2，若，与平面所成的角为30°，则点P的轨迹的形状是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，设，由易知，根据线面角的定义可得点坐标满足双曲线方程，进而可得结果. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，，所以，， 故，即，所以点在面（四点均为所在边的中点）， 过点作于点，易知面， 即，所以，即， 化简得：，即点P的轨迹的形状是双曲线， 故选：C. 4．(24-25高二上·上海建平中学·期末)已知正方体的棱长为，，为体对角线的三等分点，动点在三角形内，且三角形的面积 ，则点的轨迹长度为 . 【答案】 【分析】由正方体可证平面，及，再由三角形面积可知点到的距离，即可判断点轨迹，即可得解. 【详解】 由连接， 由正方体可知，，，， 且，，平面， 则平面， 又平面， ， 同理， 又，，平面， 所以平面， 即平面，且， 设直线平面于点， 则，且为三角形中心， 又，则， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 在中，， 又， 所以，即， 所以点的轨迹为圆上的三段弧，且每段弧所对的圆心角为， 则轨迹的长度为， 故答案为：. 题型三 椭圆的参数方程 1．(24-25高二上·上海行知中学·期中)设为椭圆 上的任一点，欲使不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件可设，利用辅助角公式及三角函数的性质求解． 【详解】∵为椭圆上的任一点， ∴可设， ∴，其中， ∴由，得，即， ∵， ∴，即的取值范围是. 故选：B． 2．(24-25高一下·上海西中学·月考)设 ，若 ，则 的最大值等于 . 【答案】1 【分析】利用椭圆的参数方程以及三角函数的性质即可求出结果. 【详解】由题意可知椭圆的参数方程为：（为参数）， 所以， 因此当时，取最大值，最大值为1. 故答案为：1. 3．(23-24高二下·上海中学东校·月考)设椭圆上有一弦长，则的面积的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，，再设，，由得到的范围，再由计算可得. 【详解】设，， 则， 设，，则，， 所以 ， ， 所以， 即，故， 又， 即． 故答案为： 4．(23-24高二下·上海实验学校·月考)在平面直角坐标系中，设是椭圆上的一个动点． (1)写出椭圆的参数方程； (2)求的最大值． 【答案】(1)（为参数）． (2)2 【分析】 （1）根据椭圆的标准方程写出它的参数方程． （2）根据，再利用正弦函数的性质即可求解最值. 【详解】（1） 是椭圆上的一个动点，令，则， 故椭圆的参数方程为（为参数）． （2）由于， 当时，取最大值2， 故的最大值为2． 题型四 双曲线的参数方程 1．已知双曲线的参数方程为（是参数），则该双曲线的焦点坐标为 ． 【答案】 【分析】将参数方程化为普通方程，由普通方程可求得焦点坐标. 【详解】由双曲线参数方程可得其普通方程为：，， 双曲线的焦点坐标为. 故答案为：. 2．设、是常数，参数方程表示的是什么曲线？ 【答案】答案见解析 【分析】对、是否为分类讨论，当时根据消去参数，即可得到曲线的直角坐标方程，从而判断曲线类型. 【详解】当时参数方程即，表示一点； 当时参数方程即，此时方程表示直线； 当时参数方程即，此时方程表示直线（）； 当时参数方程，显然， 则，所以，则，即，， 又，所以，所以，所以， 所以曲线表示焦点在轴上的双曲线. 题型五 抛物线的参数方程 1．参数方程（其中）表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】将参数方程化为普通方程即可得到结果. 【详解】由参数方程可得曲线普通方程为：，曲线为抛物线. 故选：D. 2．曲线的焦点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据消去参数，将参数方程化为普通方程，即可求出焦点坐标； 【详解】解：因为，又曲线， 所以，即，所以，即，所以， 即曲线表示焦点在轴上的抛物线，且焦点为； 故答案为： 3．方程（t为参数，）所对应曲线的普通方程为 ． 【答案】 【分析】直接用代入消元法消去t即可求解. 【详解】方程（t为参数，）消去t得：. 故答案为： 题型六 直线的参数方程 1．(23-24高二下·上海大同中学·期中)直线（为参数，）和曲线（为参数，）交于、两点，则 . 【答案】/ 【分析】根据消参可得直线方程，和曲线方程，联立直线与曲线方程，根据弦长公式即可求解. 【详解】直线方程为，曲线， 联立消去整理可得， 设则， . 故答案为： 2．(25-26高二上·上海交通大学附属中学嘉定分校·)直线（t为参数）的倾斜角是 ． 【答案】 【分析】化参数方程为普通方程，求出斜率，再根据诱导公式即可求得倾斜角． 【详解】根据直线（为参数），得， ， 该直线的斜率， 该直线的倾斜角为， 故答案为： 【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，解题的关键是化参数方程为普通方程，属于基础题． 3．已知曲线C：，直线l：（t为参数）． (1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程； (2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求的最大值与最小值． 【答案】(1)（θ为参数），． (2)最大值为；最小值为． 【分析】（1）直接由直角坐标方程与参数方程的对应法则直接互化即可求解； （2）利用点到直线的距离公式、锐角三角函数得到，结合三角函数性质即可求解. 【详解】（1）曲线C的参数方程为（θ为参数）．直线l的普通方程为． （2）曲线C上任意一点到l的距离为， 则，其中α为锐角，且． 当时，取到最大值，最大值为； 当时，取到最小值，最小值为． 4．在直角坐标系中，曲线的方程为，直线过定点，且倾斜角为． (1)写出直线的参数方程； (2)令，时直线与曲线分别交于，和，四点，求由，，，为四个顶点的四边形的面积． 【答案】(1)（为参数）； (2) 【分析】（1）直接由已知写出直线的参数方程； （2）分别写出两直线方程，分别与椭圆方程联立，求得与，再由三角形面积公式求解． 【详解】（1）直线过定点，且倾斜角为， 直线的参数方程为（为参数）； （2）当时，直线过，且斜率为1， 直线方程为，即； 当时，直线过，且斜率为， 直线方程为，即． 联立，得，，，， 则； 联立，得， 设，，，，则，， ， 又， 由，，，为四个顶点的四边形的面积为．    【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 题型七 圆的极坐标方程 1．(23-24高二下·上海七宝中学·月考)圆心极坐标为、半径为的圆的极坐标方程是 . 【答案】， 【分析】先求出圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可. 【详解】点化为直角坐标为， 所以圆的直角坐标方程为，即， 化为极坐标方程为， 即， 故答案为：， 2．在极坐标系中，已知圆C的圆心为，半径为3，点Q在圆周上运动． (1)求圆C的极坐标方程； (2)若点P是OQ的中点，求点P的轨迹． 【答案】(1) (2)点P的轨迹是圆 【分析】（1）根据极坐标的定义得出间的关系，结合几何特征得出极坐标方程； （2）结合（1）的结论结合点的关系得出极坐标方程进而判断轨迹. 【详解】（1）如图，设为圆上任意一点，OD为直径， 连接DQ、OQ，则，或， 因为，所以在中，， 即，所以圆C的极坐标方程为．    （2）若P的极坐标为，则Q点的极坐标为，所以， 所以．所以点P的轨迹是圆． 题型八 直线的极坐标方程 1．经过点并且与极轴垂直的直线的极坐标方程为 ． 【答案】ρcosθ＝1 【分析】设A(1，0)，在直线上取除A外任意一点P(ρ，θ)，在Rt△AOP中，列出ρ和θ关系即可﹒ 【详解】如图，设A(1，0)， 在直线上取除A外任意一点P(ρ，θ)，则，， 在Rt△AOP中，cosθ＝，故ρcosθ＝1． 故答案为：ρcosθ＝1． 2．求下列直线的极坐标方程． (1)过点且平行于极轴的直线； (2)过点且垂直于极轴的直线； (3)过点且倾斜角为的直线. 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】根据极坐标系的几何意义分别求各直线方程. 【详解】（1） 如图所示，在直线上取不同于点的任意一点，作垂直于极轴，垂足为， 因为，所以． 在中，，经检验点的坐标适合上述方程， 所以过且平行于极轴的直线的极坐标方程为； （2） 如图所示，在直线上任取不同于点的一点，直线交极轴于点， 因为，所以， 在中，， 所以，经检验点的坐标适合上述方程， 所以过点且垂直于极轴的直线的极坐标方程为； （3） 如图所示，在直线上取不同于点的任意一点，直线交极轴于点 因为，所以， 已知， 所以， 所以， 又， 在中，根据正弦定理得， 又因为， 将展开，可得， 经检验点的坐标适合上述方程， 所以过且倾斜角为的直线的极坐标方程为． 3．求经过点且和极轴垂直的直线的极坐标方程． 【答案】 【分析】先得出经过点且和极轴垂直的直线的直角坐标方程，再根据极坐标与极坐标的转化求解即可. 【详解】经过点且和极轴垂直的直线的直角坐标方程为， 故经过点且和极轴垂直的直线的极坐标方程为. 题型九 普通方程与极坐标方程互化 1．把点的极坐标化为直角坐标是 ． 【答案】 【分析】利用极坐标转化成直角坐标的公式求解即可. 【详解】， 即直角坐标为， 故答案为: 2．在极坐标系中，和极轴垂直且相交的直线l与圆相交于A、B两点，若，则直线l的极坐标方程为 ． 【答案】 【分析】将极坐标转化成直角坐标结合圆的知识求解即可. 【详解】则 由直线垂直于极轴且相交， 令直线方程为，则 则则 故答案为： 3．把下列极坐标方程与直角坐标方程互化． (1)； (2)射线． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直角坐标和极坐标的关系互化即可. （2）利用直角坐标和极坐标的关系互化即可. 【详解】（1）原方程可化为， 把，代入上式可得， 整理为，即为所求直角坐标方程． （2）将，代入，得， 所以，所以或．因为， 所以射线的极坐标方程为． 4．把下列极坐标方程与直角坐标方程互化． (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直角坐标和极坐标的关系转化即可. （2）利用直角坐标和极坐标的关系转化即可. 【详解】（1）由得， 因为，所以．所以． （2）由得， 因为，所以． 所以，即． 题型十 距离问题 1．已知直线，曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.若曲线分别交直线和曲线于点，则 . 【答案】/0.75 【分析】根据直线的极坐标方程与曲线的极坐标方程求得的极坐标，即可求出答案. 【详解】直线的极坐标方程为， 曲线的极坐标方程为， 化简得， 将代入和的极坐标方程，得，， . 故答案为：. 2．A、B两点的极坐标分别为，，则A、B两点的距离 ． 【答案】3 【分析】根据极坐标的意义可求出，然后利用勾股定理可求得结果. 【详解】解析：如图所示， ，，， 所以． 故答案为：3 3．在极坐标系中，O为极点，已知两点M、N的极坐标分别为、． (1)求两点M、N的距离； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意利用余弦定理求解即可； （2）根据题意利用三角形的面积公式直接求解即可. 【详解】（1）因为 ， 所以 ． （2）因为， 所以． 题型一 新定义问题 1．(25-26高三上·上海外国语大学附属浦东外国语学校·月考)双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”．如图，曲线是双纽线，关于曲线C，下列说法正确的是（   ）   A． B．C上存在点，使得 C．C上的点的纵坐标的最大值为 D．若直线与C恰有一个公共点，则k的取值范围为 【答案】C 【分析】对于A选项，直接将点代入曲线方程即可求解的值，进而判断选项正误； 对于B选项，根据图像易知，进而根据曲线方程可得：，从而判断选项正误； 对于C选项，首先将曲线方程转化为， 然后令，进而根据二次函数性质求解的最大值，从而判断选项的正误； 对于D选项，首先将代入曲线得：，然后分与两种情况分别讨论方程解的情况，进而求解参数的取值范围，从而判断选项正误. 【详解】对于A选项，由曲线C经过点，可得，解得，故A错误； 对于B选项，由，且，即有，可得，故B错误； 对于C选项，由，化为， 解得， 设，即有，可得， 当，即时，取得最大值，即C上的点的纵坐标的最大值为，故C正确； 对于D选项，由代入曲线，可得， 易知当时方程成立，即直线与曲线存在一个公共点，即为原点， 又直线与C恰有一个公共点，所以当时，可得：无解. 即，解得，或，故D错误． 故选：C． 2．(24-25高二下·上海松江区·期末)在平面直角坐标系中，若 ，则称 “ ” 是 两点的 “曼哈顿距离”. 若动点 到两定点 的 “曼哈顿距离” 之和为定值 ，则称点 的轨迹是 “曼哈顿椭圆”.若点 是该 “曼哈顿椭圆” 上一点，关于命题: ① 面积的最大值是 ；②该 “曼哈顿椭圆” 的周长是 ， 下列说法正确的是（    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题 C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【分析】根据“曼哈顿距离”的定义，把“曼哈顿距离”表示出来，根据对称性研究第一象限及轴和轴非负半轴上点的轨迹，直接去绝对值符号画图象即可逐项判断求解. 【详解】设，则两点的“曼哈顿距离”，两点的“曼哈顿距离”， 则， 易得“曼哈顿”椭圆关于坐标原点及对称轴对称， 研究第一象限及轴和轴非负半轴上点的轨迹， ， 作曲线， 根据对称性可作出如图“曼哈顿圆”， 则，，， 对于①，当点与重合时面积最大为，故①是真命题， 对于②，， 所以该“曼哈顿椭圆”周长为，故②是真命题. 故选：A. 3．(24-25高二下·上海闵行中学·月考)定义平面直角坐标系中的笛卡儿卵形线为满足方程：，则下列结论正确的是 ．①该曲线关于轴对称；②曲线与x轴交点为和；③若点P在曲线上，则；④存在直线与该曲线恰有1个交点． 【答案】② 【分析】对①，在方程中分别将替换为，以及将替换为，看看方程与原方程是否一致判断；对②，在方程中令，分类讨论求得答案；对③，令，求得曲线与轴交于点，再根据类比椭圆的性质判断；对④，根据曲线是类椭圆的封闭曲线，且原点在曲线内部，可判断. 【详解】对于①，在方程中将替换为，方程不变，所以该曲线关于轴对称， 在方程中将替换为，方程变为， 即，与原方程不同，所以该曲线不关于轴对称，故①错误； 对于②，在方程中令，可得， 当时，方程为，解得，合题意， 当时，方程为，解得，无解， 当时，方程为，解得，合题意， 综上，曲线与轴的交点为和，故②正确； 对于③，点P在曲线上，令，得，解得，即曲线与轴交于点， 设，，，则曲线表示， 类比椭圆的性质，曲线是类椭圆的封闭曲线，又曲线不关于轴对称，所以存在点P，使得，故③错误； 对于④，由于曲线是类椭圆的封闭曲线，且原点在曲线内部，所以直线一定和曲线有两个交点，故④错误. 故答案为：②. 4．(25-26高二上·上海西中学·开学考)在平面直角坐标系中，对于直线和点，记，当且仅当时，称点被直线分隔．若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线是曲线的分隔线． (1)判断点是否被直线分隔： (2)若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围 (3)动点到点的距离与到轴的距离之积为1，设动点的轨迹为曲线，证明：经过原点的直线中，有且只有一条直线是曲线的分隔线． 【答案】(1)点能被直线分隔； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用给定的定义，把、两点的坐标代入计算判断. （2）由消去，利用所得方程无解求出的范围. （3）设点，求得曲线的方程，再按与分类并与的方程联立，判断解的情况即可得证. 【详解】（1）点，直线，则， 所以点被直线分隔. （2）由直线是曲线的分隔线，得方程组无解，即方程无解， 而当且仅当时，方程无解，因此； 显然点在曲线上，， 因此点被直线分隔， 所以实数的取值范围是. （3）设点，依题意，，则曲线的方程为， 显然当时，方程无解， 点都在曲线上，且，即点被直线分隔， 因此直线为曲线的分隔线； 设过原点的直线，由消去得， 令函数，当时，， 函数的图象连续不断，则函数在上有解，即方程有实数解， 当时，方程有实数解，即直线与曲线有公共点， 因此直线不是曲线的分隔线， 所以经过原点的直线中，有且只有一条直线是曲线的分隔线，即. 1．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期中)在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”是；当是原点时，定义的“伴随点”是它自身；定义曲线上所有点的“伴随点”构成的曲线为曲线的“伴随曲线”.则下列命题中，真命题的序号是（    ） ①若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点； ②圆心在坐标原点的单位圆的“伴随点曲线”是它自身； ③若曲线关于轴对称，则其“伴随曲线”关于轴对称. A．② B．③ C．①② D．②③ 【答案】D 【分析】利用“伴随点”的定义可判断①；在圆上任取一点，推导出其“伴随点”仍在该圆上，可判断②；在曲线上取两点、，推导出这两点的“伴随点”在曲线上，可判断③. 【详解】对于①，取点，若点不是原点，则， 设点的“伴随点”为，则， ， 即点的伴随点为，①错； 对于②，在圆上任取一点， 则点的伴随点为，即点， 因为，即点在圆上， 所以圆心在坐标原点的单位圆的“伴随点曲线”是它自身，②对； 对于③，在曲线上取两点、，这两点关于轴对称， 点的“伴随点”为，点的“伴随点”为， 点、都在“伴随曲线”上，且点、关于轴对称，故曲线关于轴对称，③对. 故选：D. 2．(24-25高二下·上海延安中学·期中)已知曲线上点的坐标都是方程的解，则下列命题中正确的是（   ） A．曲线是方程的解 B．不在曲线上的点的坐标一定不是方程的解 C．凡坐标不满足方程的点都不在曲线上 D．以方程的解为坐标的点都在曲线上 【答案】C 【分析】利用曲线的意义判断A；利用互逆关系、互逆否关系命题的真假关系判断BCD. 【详解】对于A，曲线是点的集合，集合中的每个元素对应的坐标是方程的解， 不能说成曲线是方程的解，A错误； 对于BD，不在曲线上的点的坐标一定不是方程的解，等价于方程的解 为坐标的点都在曲线上，它是命题“曲线上点的坐标都是方程的解”的逆命题， 而互逆的两个命题不一定同真同假，BD错误； 对于C，坐标不满足方程的点都不在曲线上，等价于 “曲线上点的坐标都是方程的解”，C正确. 故选：C 3．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·期中)若曲线上的点都在某个圆内或圆上，则该圆半径的最小值为 ． 【答案】2 【分析】根据曲线的对称性，只需要分析第一象限的情况，故，，根据三角函数的有界性求出最值即可 【详解】设上任意的一点， 将代入方程，方程不变， 所以曲线关于 x轴、y轴、原点以及直线对称， 不妨设，， 代入得 ， 所以， 由，得， 即 又，即， 当且仅当时，，此时曲线上的点到原点的最大距离， 即该圆半径的最小值为2， 故答案为：2 4．(24-25高三下·上海浦东新区华东师范大学附属周浦中学·月考)在平面上，已知定点，动点．当在区间上变化时，动线段AP所形成图形的面积为 【答案】 【分析】根据题意确定的轨迹，数形结合及扇形的面积公式求动线段AP所形成图形的面积. 【详解】由题意，动点的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆弧，如下图示， 其中，而，易知， 所以动线段AP所形成图形的面积. 故答案为：. 5．(24-25高二下·上海大同中学·月考)已知实数满足，则的最大值和最小值之和为 . 【答案】4 【分析】应用三角换元，令，，且，结合三角恒等变换有，即可求. 【详解】由题设，令，，且， 所以，且， 所以的最大、最小值分别为、，故它们的和为4. 故答案为：4. 6．(24-25高二下·上海中学·期中)椭圆中，动弦长为． (1)请写出椭圆的参数方程； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）整理椭圆方程，结合同角三角函数的平方式，可得答案； （2）利用参数方程设出动点坐标，根据两点距离公式以及三角函数的恒等式，写出直线方程，根据点到直线距离，结合三角函数面积公式，可得答案. 【详解】（1）由，则，令，则. （2）设，，， 则 ， 所以， 所以 ， 从而，由， 可得，则 又直线的方程为， 所以点到的距离， 所以. 7．(25-26高三上·广东湛江八校·)在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若直线与曲线交于，两点，与曲线的两条渐近线分别交于，两点，证明：“，为线段的三等分点”的充要条件是“，两点的横坐标之积为”. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用双曲线的定义求的方程； （2）把直线方程分别与曲线的方程和曲线的渐近线方程联立，利用韦达定理可得与的中点重合，，为线段的三等分点等价于，结合弦长公式证明结论. 【详解】（1）因为，所以轨迹是以，分别为左、右焦点的双曲线. 设的方程为. 由，可得，所以， 所以的方程为. （2）证明：设，，，的坐标分别为，，，. 由消去得. 因为直线与双曲线相交，所以，化简得， 所以，. 由消去得， 所以，， 所以，则与的中点重合， 所以，为线段的三等分点等价于. 又， 同理可得， 所以，即，所以， 显然当时，. 故“，为线段的三等分点”的充要条件是“，两点的横坐标之积为”. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.5曲线与方程 题型一求平面轨迹方程 题型二立体几何中的轨迹方程 题型三椭圆的参数方程 题型四双曲线的参数方程 题型五抛物线的参数方程 基础达标题 题型六直线的参数方程 曲线与方程 题型七圆的极坐标方程 题型八直线的极坐标方程 题型九普通方程与极坐标方程互化 题型十距离问题 能力提升题 题型一新定义问题 拓展培优题 基础达标题 题型一求平面轨迹方程 1.(24-25高二上.上海川沙中学.期末)已知点A(1,0),直线1：x=-1,两个动圆均过点A且与1相切，其圆 心分别为C1,C2,若动点M满足2C2=CC1+C2A,则M的轨迹方程为() A.y2=2x-1 B.y2=2x+1 C.y2=4x+1 D.y2=4x-1 2.(24-25高二下.上海复旦大学附属中学.期中)在平面直角坐标系中，O为原点，P为曲线x3+y3=8上一 动点，则线段0P的中点轨迹方程为 3.(24-25高二下.上海外国语大学附属浦东外国语学校期中)已知点A(-1,0),B(2,0),动点M满足 1/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2MA=MB|.则动点M的轨迹方程 4.过点(-3,0)，且与圆(x-3)2+y2=4外切的动圆圆心P的轨迹方程为 5.已知动点M(xy)满足√x+2)+y2-x-2)+y2=4,则动点M的轨迹方程是 题型二立体几何中的轨迹方程 1.(24-25高二下.上海杨浦高级中学期中)已知点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上，P到三个 平面ABCD ADD1A1、ABB1A1中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方 体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为() B C B A.6 B.8 C.10 D.12 2.(24-25高二上上海七宝中学.月考)已知平面C//B,直线1ca心，点P∈，平面%，B之间的距离为8， 则在B内到点P的距离为10且到直线的距离为9的点的轨迹是() A.圆 B.两个点 C.四个点 D.两条直线 3.(24-25高二下.上海行知中学.月考)点P是正方体ABCD-A1B1C1D1的表面及其围成的空间内一点，已 知正方体的棱长为2，若AB,A=2,AP与平面ABCD所成的角为30，则点P的轨迹的形状是() A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 4.(24-25高二上·上海建平中学期末)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为V3,M,N为体对角线BD1的 三等分点，动点P在三角形ACB1内，且三角形PMN的面积S△PMN= 6 则点P的轨迹长度为」 题型三椭圆的参数方程 1.(24-25高二上上海行知中学.期中)设xy)为椭圆等+y2=1上的任一点，欲使不等式x+y+c≥0恒 成立，则c的取值范围是() A.[-55]B.[5,+∞) c.（-5]D.(-,-5] 2/7 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.(24-25高下.上海西中学.月考)设x,yER,若x2+4y2=4,则xy的最大值等于 3.(23-24高二下，上海中学东校月考)设椭圆等+号=1上有一弦AB长号，则△A0B的面积的取值范围 是 4.23-24高二下.上海实验学校月考)在平面直角坐标系x0y中，设P(x,y)是椭圆号+y2=1上的一个 动点。 (1)写出椭圆的参数方程； (2)求S=x+y的最大值. 题型四双曲线的参数方程 (x=4sec0 1.已知双曲线的参数方程为y=3tan日 (日是参数)，则该双曲线的焦点坐标为 X=c00, 2.设a、b是常数，参数方程 y=btana(a≠km+受，k∈Z)表示的是什么曲线 题型五抛物线的参数方程 x=t2 1.参数方程y=t (其中tER)表示的曲线为() A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 ∫x=sec20-1 2.曲线y=2tan0 (日E(-,))的焦点坐标为. (x=t+1 3.方程y=3-t2(1为参数，tER)所对应曲线的普通方程为 题型六直线的参数方程 【X=-t x=v2 cose 1.(2324高二下：上海大同中学期中直线{y=1+2t(t为参数，t∈R)和曲线C: y=v6sine (8为 参数，日ER)交于P、Q两点，则川PQ= x=-3+tsin50o 2.(25-26高二上·上海交通大学附属中学嘉定分校)直线 y=1+tcos50°(t为参数)的倾斜角 是 ∫x=2+t 3.已知曲线c:等+号=1，直线：y=2-2t1为参数). (1)写出曲线C的参数方程，直线1的普通方程： (2过曲线C上任意一点P作与1夹角为30的直线，交1于点A,求PA的最大值与最小值 3/7 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.在直角坐标系x0y中，曲线C的方程为苦+号=1，直线！过定点(1,1)，且倾斜角为日. (1)写出直线的参数方程； (2)令6=晋，日=平时直线！与曲线C分别交于A,B和C,D四点，求由A,B,C,D为四个顶点的四边形 的面积. 题型七圆的极坐标方程 1.(23-24高二下.上海七宝中学月考)圆心极坐标为M(a,号)(a>0)、半径为a的圆的极坐标方程是 2.在极坐标系中，已知圆C的圆心为(3，)，半径为3，点Q在圆周上运动. (1)求圆C的极坐标方程； (2)若点P是OQ的中点，求点P的轨迹 题型八直线的极坐标方程 1.经过点(1,0)并且与极轴垂直的直线的极坐标方程为 2.求下列直线的极坐标方程。 (1)过点A(2,号)且平行于极轴的直线： (2)过点A(2,号)且垂直于极轴的直线： 3)过点A(3,零)且倾斜角为妥的直线. 3.求经过点A(a,0)且和极轴垂直的直线1的极坐标方程. 题型九普通方程与极坐标方程互化 1.把点的极坐标(2，零)化为直角坐标是 2.在极坐标系中，和极轴垂直且相交的直线1与圆p=4相交于A、B两点，若AB=4,则直线1的极坐 标方程为一· 3.把下列极坐标方程与直角坐标方程互化。 (1)pcos(6-号)=3； (2射线y=V3x(x≥0). 4.把下列极坐标方程与直角坐标方程互化， (1)x2+y2-2x=0: 4/7 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)p cos0-2sin0; 题型十距离问题 1.已知直线1：V3x+y-4=0,曲线C1:x2+(y-1)2=1,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建 立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为日=号(p>0).若曲线C2分别交直线1和曲线C2于点AB,则 6- 10 2.A、B两点的极坐标分别为A(V5,等)，B(2,晋)，则A、B两点的距离AB1= 3.在极坐标系中，O为极点，已知两点M、N的极坐标分别为(4，弯)、（2，牙). (1)求两点M、N的距离； (2)求△M0N的面积. B 能力提升题 题型一 新定义问题 1.(25-26高三上·上海外国语大学附属浦东外国语学校月考)双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”.如图， 曲线C:(x2+y2)2=a(x2-y2)是双纽线，关于曲线C,下列说法正确的是() A.a=8 B.C上存在点(xoyg),使得+y>3 C.C上的点的纵坐标的最大值为3要 D.若直线y=kx与C恰有一个公共点，则k的取值范围为(-o,-1)U(1,+∞) 2.(24-25高二下上海松江区期末在平面直角坐标系中，若M(xy),N(x2y2)，则称“ d=x2+y1y2”是MN两点的“曼哈顿距离”.若动点E到两定点 F1(0,~C),F2(0,c)(c>0)的“曼哈顿距离”之和为定值2a(a>c),则称点E的轨迹是“曼哈 顿椭圆”若点P是该“曼哈顿椭圆”上一点，关于命题： 5/7 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①△PF1F2面积的最大值是c(a-c);②该“曼哈顿椭圆”的周长是4[V2a+（1-V2)c], 下列说法正确的是() A.①②都是真命题 B.①是真命题②是假命题 C.①是假命题②是真命题 D.①②都是假命题 3.(24-25高二下.上海闵行中学月考)定义平面直角坐标系中的笛卡儿卵形线为满足方程： 3√x-2+y2+2Wx+2+y2=12,则下列结论正确的是 ①该曲线关于x,y轴对称；②曲 线与x轴交点为（学，0）和(-2,0小：@若点P在曲线上，则y,≤2；④存在直线y=kx与该前线恰 有1个交点 4.(25-26高二上.上海西中学.开学考)在平面直角坐标系x0y中，对于直线：ax+by+c=0和点 PxyP2x3yJ,记n=(ax+by1+cax2+y2+C,当且仅当n<0时，称点PP2被直线1分 隔.若曲线C与直线1没有公共点，且曲线C上存在点PyP2被直线分隔，则称直线1是曲线C的分隔线. (1)判断点A1,0),B(-2,1)是否被直线2x+y=1分隔： (2)若直线y=kx是曲线xy=1的分隔线，求实数k的取值范围 (3)动点M到点F0,1)的距离与到y轴的距离之积为1，设动点M的轨迹为曲线r,证明：经过原点0的直线 中，有且只有一条直线是曲线Γ的分隔线， 拓展培优题 1.(24-25高二下·上海曹杨第二中学.期中)在平面直角坐标系中，当P(x,y)不是原点时，定义P的“伴随点” 是P(4,平)；当P是原点时，定义P的“伴随点”是它自身；定义曲线C上所有点的“伴随点"构成的曲 线C为曲线C的“伴随曲线”则下列命题中，真命题的序号是() ①若点A的“伴随点”是点A,则点A的“伴随点”是点A: ②圆心在坐标原点0的单位圆的“伴随点曲线”是它自身； ③若曲线C关于x轴对称，则其"伴随曲线”C关于y轴对称。 A.② B.③ C.①② D.②③ 2.(24-25高二下上海延安中学期中)已知曲线C上点的坐标都是方程Fx,y)=0的解，则下列命题中正确 的是() A.曲线C是方程F&,y)=O的解 6/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B.不在曲线C上的点的坐标一定不是方程F(xy)=0的解 C.凡坐标不满足方程Fx,y)=0的点都不在曲线C上 D.以方程Fx,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上 3.(24-25高二下.上海复旦大学附属中学.期中)若曲线T:x4+y4+x2y2-3x2-3y2=0上的点都在某个圆 内或圆上，则该圆半径的最小值为」 4.(24-25高三下.上海浦东新区华东师范大学附属周浦中学·月考)在平面上，已知定点A(√2,0)，动点 P(sinG,cosa).当α在区间[-，晋]上变化时，动线段AP所形成图形的面积为 5.(24-25高二下上海大同中学·月考)已知实数xy满足(x-2)+y2=3,则x-y的最大值和最小值之和 为 6.(24-25高二下.上海中学期中)椭圆C:x2+4y2=8中，动弦AB长为号. (1)请写出椭圆C的参数方程； (2)求△A0B面积的取值范围. 7.(25-26高三上广东湛江八校)在平面直角坐标系0xy中，己知点F1(5,0),F2(5,0),动点M满足 |MF1-|MF2|=6,记点M的轨迹为C (1)求C的方程； (2)若直线1：mx+ny=1(n≠0,9m2-16n2≠0)与曲线C交于A,B两点，与曲线C的两条渐近线分别交 于D,E两点，证明：“D,E为线段AB的三等分点的充要条件是“D,E两点的横坐标之积为-昌” 7/7