专题06 直线与圆锥曲线的位置关系（高效培优专项训练）数学沪教版2020选择性必修第一册

专题06 直线与圆锥曲线位置关系的八种题型 题型一：直线与椭圆的位置关系 题型二：椭圆的弦长相关问题 题型三：直线与双曲线的位置关系 题型四：双曲线的弦长相关问题 题型五：直线与抛物线的位置关系 题型六：抛物线的弦长相关问题 题型七：圆锥曲线中的定点、定值问题 题型八：圆锥曲线的中点弦问题 题型一：直线与椭圆的位置关系 1．已知椭圆E：，若过点的两条直线，与E都只有一个交点，且，则（    ） A． B． C．3 D．-3 【答案】A 【分析】设切线方程为，联立方程结合可得，可知为关于的方程的两根，根据垂直关系结合韦达定理运算求解. 【详解】由题意可知：过点与椭圆E相切直线的斜率存在， 设切线方程为，直线，的斜率分别为， 联立方程，消去y可得， 则，整理可得， 因为，则，可知为关于的方程的两根， 若，则，解得， 且，所以. 故选：A. 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为2，若直线与椭圆交于点，满足，则离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，可得，结合椭圆的定义及离心率公式求解即可. 【详解】因为焦距为2，故，所以, 因为直线经过椭圆的左焦点， 所以由直线斜率知，，如图， 由，得，则， 因此， 所以离心率. 故选：B 3．已知椭圆及其上点，过右焦点的直线与椭圆交于不同两点（均异于点）．若直线的斜率互为相反数，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线的方程，将其与椭圆方程联立方程组，然后根据韦达定理对直线的斜率之和进行化简，可求得直线的斜率，进而求得其方程. 【详解】依题意，，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为． 由消去，整理得，显然． 设，则， 直线的斜率分别为． 由，得，所以， 整理得， 则，解得， 所以直线的方程为，即． 故选：D． 4．已知椭圆C：的左焦点为，过原点的直线l与C交于A，B（A在第一象限）两点，P为C上异于A，B的一点，，当轴时，，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据已知条件求得，，即得椭圆方程，设，则，且，进而求出点坐标，应用两点式求线段长度，即可得. 【详解】若直线过原点且与椭圆交于A，B两点，P为椭圆上异于A，B的点，此时， 由P为椭圆C上一点，设，则，轴时， 则，，故椭圆C为，， 设，则①， 因为直线l过原点即直线AB过原点O， 根据椭圆的对称性且，则有，即②， 由①②得，，，即， 因为A，B两点关于原点对称，所以， 所以，，故. 故选：D 5．椭圆的右焦点，直线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：先根据列出等式，然后得到不等式组，进而求得离心率的范围； 解法二：先根据列出等式，然后根据范围得到不等式，进而求得离心率的范围. 【详解】解法一：由点在线段的垂直平分线上，得点到点与点的距离相等， 而，于是，即， 结合得又，故． 解法二：设点，则有，即，解得， 又因为，所以有，两边同时除以，可以解得． 故选：D. 6．已知椭圆 （）的离心率为 ，且过点 .若直线 与椭圆相切于点 ，且 （ 为坐标原点），则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件求出椭圆方程，设，可得切线的方程为 ，利用垂直关系即可求解. 【详解】由离心率 ，得 ，结合 ，解得 . 将点代入椭圆方程，得 ，解得 ，故椭圆方程为 . 设，则切线的方程为 . 当时，即，此时直线方程为，满足， 当时，即，此时直线方程为，满足 当，时，得斜率关系 ，则不满足， 结合选项，正确答案为. 故选：A 7．已知点在椭圆上运动，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】将问题转化为直线与椭圆有公共点求解. 【详解】设，因为点在椭圆上运动， 所以直线与椭圆有公共点， 由得，则， 解得， 所以的最大值为，即的最大值为. 故答案为：. 8．已知椭圆，是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用点差法可得到，进一步可得到线段的垂直平分线的方程，令，可得到，再根据的范围可得答案. 【详解】设， 因为 和 在椭圆上，所以：，两式相减得： ， 设 的中点为 ， 则：， 的斜率 ，因此：， 设线段的垂直平分线的斜率 满足 ，因此： 线段的垂直平分线过中点 ，其方程为：， 令 ：， 因为 的中点在椭圆内部，所以 所以. 故答案为： 9．已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据直线方程与曲线具有两个公共点，联立方程进行求解. 【详解】直线过点，， 联立方程 则 ， 即，故， 根据图象的交点，可得， 故. 故答案为：. 10．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点分别作斜率为的直线，分别交椭圆E于A，B和C，D四点，且，则 ． 【答案】 【分析】先设直线方程，再联立得出，，再应用弦长公式计算化简求值即可. 【详解】设直线AB的方程为， 联立 得，， 则，， ， 同理可得， 由， 化简得，则． 故答案为：. 11．若直线与圆O：相切，则过点的直线与椭圆的交点个数是 ． 【答案】2 【分析】根据直线和圆的位置关系得出，再结合点与椭圆的位置关系计算判断. 【详解】因为直线与圆O：相切， 所以圆心到直线的距离，所以， 而，所以点在椭圆的内部， 所以过点的直线与椭圆的交点个数是2． 故答案为：2. 12．已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则 ． 【答案】3 【分析】解法一：由已知条件得到直线的方程，联立直线和椭圆方程求得点横坐标，再由相似性质可得结果；解法二：由椭圆的焦半径公式表示出，化简可得结果；解法三：由焦比定理代入化简可得结果. 【详解】解法一：由题意知，，，所以，即，故直线为， 联立直线与椭圆方程得消去整理得，解得或， 又，所以，，由相似的性质可知，． 解法二：如图所示，设直线的倾斜角为，结合知，．    由题意知，，则．因为斜率，所以，所以 ． 解法三：由题意知，直线的斜率，设， 由焦比定理知，即，解得，即，所以． 故答案为：3. 13．已知椭圆为其任意一点，从原点引圆的两条切线，分别交椭圆于两点，则 ． 【答案】24 【分析】根据从原点引圆的两条切线，分别交椭圆于两点，得是方程的两根，利用韦达定理得，设，，得，即，最后利用两点间距离公式和同角三角函数平方关系即可求解. 【详解】根据题意，得直线的方程为， 因为直线与圆相切，则， 整理得，， 方程的判别式， 故方程有两个根， 设方程的根为， 则， 即，设，， 所以， 即， ，， 其中 ， 故答案为：24．    14．已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点. (1)求的周长： (2)已知点是椭圆上第一象限的点且，求点的坐标； (3)过点且与垂直的直线交椭圆于两点，若四边形的面积为，求直线的方程； 【答案】(1)8 (2) (3)或或或. 【分析】（1）求出的值，得利用焦点三角形的周长即可； （2）设，结合数量积公式计算结合椭圆方程计算求解； （3）分斜率不存在或斜率为0和斜率存在且不为0两种情况，设直线联立得出弦长结合面积公式计算求斜率即可. 【详解】（1）因为椭圆，所以， 由椭圆几何定义得的周长. （2）由题意，设，，， 故有， 解得，所以点的坐标为， （3）当斜率不存在或斜率为0时，得，与条件矛盾舍去， 故斜率存在且不为0时， 设 ， ， 故， 同理， 所以或， 故直线方程为或或或. 15．已知椭圆的离心率为，且右焦点与抛物线的焦点重合．直线过右焦点且不平行于坐标轴，与有两交点A，B． (1)求椭圆的方程： (2)若椭圆上存在点，使得四边形OAPB为平行四边形，求此时直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)由条件列出关于的方程，解方程求，由此可得椭圆C的方程； (2)由求点P的坐标，根据点在椭圆上列方程求直线l的斜率即可得解. 【详解】（1）因为抛物线的焦点为， 所以椭圆的右焦点， ，，又∵， ∴，， 因此椭圆的方程为. （2）如图， 设直线l的方程为，，， 联立，消去y得， 则， 若四边形为平行四边形，则， 设 ∴，， ∵点P在椭圆上，∴， 解得，即， ∴当四边形OAPB为平行四边形时，直线l的斜率为， 直线l的方程为，即或. 16．已知椭圆经过点，且上的点到其左焦点的最短距离为1． (1)求的标准方程； (2)设是上异于左、右顶点的点，直线交于另一点，求直线的斜率的取值范围． 【答案】(1) ； (2)或 【分析】（1）由椭圆经过点，可得，设由上的点到其左焦点的最短距离为1，可得，据此可得答案； （2）设直线方程为：，其中，将直线方程与椭圆方程联立，由判别式可得答案. 【详解】（1）因椭圆经过点，则， 设，由上的点到其左焦点的最短距离为1，可得， 又，则，则，， 所以的标准方程为； （2）设直线方程为：，由题， 将直线方程与椭圆方程联立，可得，消去并化简可得： . 由题可得与椭圆有2个交点，则 即，结合，可得或.    17．已知椭圆的焦距与椭圆的焦距相等，且经过点 (1)求的方程； (2)若直线与相交于、两点，且、关于直线对称，为的对称中心，且的面积为，求的值． 【答案】(1) ； (2) 【分析】（1）利用椭圆参数的意义，结合待定系数法来求解即可； （2）利用对称可得到参数，再利用方程组思想求解弦的中点在直线上可得，再计算面积可得方程组求解参数即可. 【详解】（1）由题意：故 ， 解得： ， ， 所以 的方程为： ； （2）因为直线 与 相交于 、 两点， 且 、关于直线 对称， 故直线 垂直，所以 ， 联立 ,可得 ， 设 ， ， 的中点为 ， 则 ， ， ， 因为 在直线 上， 所以，即 ， 所以 ，即： ， 则 ， 到直线 的距离 ， 即 ， 解得 ，即 ． 题型二：椭圆的弦长相关问题 1．已知椭圆方程，过其右焦点作互相垂直的两条直线分别与椭圆相交于和四点，则四边形面积的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】讨论直线的斜率，设联立椭圆，应用韦达定理、弦长公式及四边形面积公式得，求出对应面积，比较大小即可得. 【详解】当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为， 由，消去得，， ，，， 用代替可得，则， 令，故，则，当且仅当时取等号； 当直线的斜率不存在时，将代入椭圆得，则，，故， 同理，当直线的斜率为零时，，，故， 所以四边形面积的最小值为. 故选：C 2．已知椭圆的左焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于两点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的对称性得到，然后结合椭圆定义得到，，最后分别在三角形和三角形中利用余弦定理计算即可. 【详解】 取椭圆的右焦点为，根据椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形， 根据椭圆的定义得， 又，所以，， 在三角形中，， 在三角形中，， 解得. 故选：A. 3．若椭圆的弦AB的中点则弦长（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】设，，利用点差法即可求出直线的斜率，即可求得直线AB的方程，然后与椭圆方程联立方程组，求得有，，结合两点间距离公式即可得解. 【详解】设，， 因为为AB的中点， 所以，， 又A，B两点在椭圆上， 则，， 两式相减，得， 所以， 所以， 所以， 即有直线AB的方程为， 即为，代入椭圆方程，可得， 可得或4， 即有，， 则 故选：D. 4．经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，从而写出直线方程，联立方程组得一元二次方程，由韦达定理得到两个的和与差，利用交点弦长公式即可求得结果. 【详解】，，∴，即， ，∴， 联立方程组得，整理得， 设，，∴，， . 故选：A. 5．已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ． 【答案】 【分析】利用“点差法”求得直线的斜率，写出直线方程，联立方程组结合弦长公式即可求解. 【详解】设, 则，两式作差可得：， 因为为线段的中点，所以， 则， 所以直线的方程为， 联立，则， 所以， 故答案为： 6．如图,我们把由半椭圆：和半椭圆:合成的曲线称作“果圆”.,是曲线的焦点,是曲线的焦点,则的周长为 .过且斜率为的直线交曲线于两点,则= ．    【答案】 【分析】(1)根据椭圆方程，求得三个焦点坐标，结合距离公式求得的周长即可. (2)根据点斜式得出直线的方程，与椭圆联立，代入弦长公式即可. 【详解】(1)由题意得 的周长为 故答案为：. (2)根据题意得直线的方程为 将直线与曲线联立,得 设则 弦长 . 故答案为：；. 7．已知椭圆C：，，是椭圆C上两点，，则弦长为 ． 【答案】 【分析】由，可得两点在直线上，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式即可得解. 【详解】由，得， 故两点在直线上， 联立，消得， 恒成立， 则， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：由，得出两点在直线上，是解决本题的关键. 8．已知椭圆的左右两个焦点分别为，，过右焦点的直线与交于A，B两点，若过A，B和点的圆的圆心在轴上，则直线的斜率为 . 【答案】 【分析】根据过，和的圆的圆心在轴上得到，设直线的方程，联立直线和椭圆方程，得到中点坐标，然后根据圆的性质列方程得到，根据和韦达定理列方程，结合得到，即可得到直线的斜率. 【详解】 由题意得， 设，，中点为，过，和的圆的圆心为， 则圆的半径， 由题意知，直线的斜率不为零，设直线的方程为， 联立得，，， 所以，， 由圆的性质可得，整理得①， 则圆心到直线的距离， ， ，即， 将①代入可得，整理得， 解得，所以直线的斜率. 故答案为：. 9．过点的直线与椭圆交于两点，则的最大值是 . 【答案】 【分析】由题意可知即为椭圆与直线的交点，设，利用两点间的距离公式以及二次函数性即可求出的最大值是. 【详解】根据题意可知，显然在椭圆上，不妨取，则， 设，由不重合可知，且，即 所以， 根据二次函数性质可知，当时，取最大值为， 即可得的最大值是. 故答案为： 10．已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为的直线l与椭圆有两个不同的交点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由题意可知离心率且焦距为，结合焦距为，解出，从而得到椭圆方程；由，设出直线方程，与椭圆方程联立，再结合韦达定理可将表示成的函数，进一步求其最大值即可. 【详解】由题意得, 解得,，， ∴椭圆的方程为 . 由，设直线的方程为，，. 联立得，得 ， 又直线与椭圆有两个不同的交点， 所以， 解得， ∴，， ∴ ， 故当，即直线过原点时，最大，最大值为. 故答案为：. 11．已知椭圆的离心率为，长轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，若的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长． 【详解】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：； （2）由题设直线的斜率不为，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故． 12．已知椭圆，离心率，短轴长为4； (1)求椭圆标准方程； (2)过椭圆焦点做垂直于的直线交椭圆于两点，线段为椭圆通径，求通径的长； (3)过椭圆内一点引一条弦，弦所在直线斜率为1，求弦长. 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）根据题意列方程组求出即可； （2）求出两点的坐标； （3）联立方程组，根据弦长公式求出. 【详解】（1）由题意得，，，， 解得， 故椭圆标准方程为； （2）不妨设为右焦点，则， 联立，得，即，  故通径长为2； （3）由题知直线方程为，即， 联立，得， 设交点为，，则，， 则弦长. 13．已知椭圆C：（）的右焦点为，点在C上，直线l经过F且与C交于两点（不在x轴上）. (1)求C的方程； (2)若直线l的斜率为，求； (3)设分别为C的左，右顶点，直线与交于点T.证明：点T在定直线上. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】(1)利用已知条件列方程组求参数即可； (2)利用直线与椭圆联立方程组，结合弦长公式求解即可； (3)利用直线与椭圆联立，再用坐标去表示两直线方程，然后消，去求解交点的横坐标，再由根与系数关系，即可求得，从而问题得证. 【详解】（1）点在C上得：， 右焦点为得：，联立解得：， 所以椭圆方程为； （2）直线l经过F且斜率为，则直线方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 由弦长公式可得：； （3）    设直线l方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 由分别为C的左，右顶点，则， 所以直线方程为：，直线方程为：， 两式消得：， 整理得： 由可得：， 所以有， 即点T在定直线上. 14．已知椭圆的右焦点为，离心率为． (1)求的标准方程； (2)过点作一条斜率不为0的直线交于两点，为坐标原点，若，求弦长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由离心率及参数关系求得椭圆参数值，即可求解； （2）设直线，联立椭圆并应用韦达定理及斜率的两点式列方程求参数，再用弦长公式求. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，，所以，解得， 所以，故的标准方程为； （2）由（1）知，结合题意，设直线， 联立，可得，整理有， 令，显然，则，， 所以， 由，可得， 当时，，，此时， 当时，，，此时， 综上，. 15．已知点，为椭圆：的上､下顶点，点，，其中，且，直线与交于点. (1)证明：点在上； (2)若直线交于，两点，且，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)，或者. 【分析】（1）已知椭圆C的上、下顶点A、B，以及点M、N的坐标，分和两种情况：时，直接求出直线AM、BN的方程，得到交点P坐标，代入椭圆方程验证在椭圆上；时，求出直线AM、BN的方程，联立求解得交点P坐标，再代入椭圆方程，验证满足椭圆方程，从而证明点P在C上； （2）先求出直线MN的斜率和方程，联立直线MN与椭圆C的方程，得到关于y的一元二次方程，利用判别式确定的取值范围，再根据韦达定理得到和，结合距离公式的推广，求出，进而由已知条件求出的值，最后再根据距离公式推广和韦达定理求出. 【详解】（1）由题可知， （i）若，则，此时，经检查符合椭圆的方程，所以点在上 （ii）若，则直线的方程为， 直线的方程为， 由可得 ，消去，得， 即，所以点在上. （2）因为直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 由方程组消去，得. 由得，解得. 设，，则，. 则，，所以. 又，所以，解得，或者. 由， 又， 所以，或者. 题型三：直线与双曲线的位置关系 1．已知双曲线：（），的右支上存在两点,，使得线段的中点是.若过的右焦点且垂直于轴的直线与的右支分别交于点,，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点差法可得直线的斜率为，由直线与的右支有2个交点，可得， 根据点在的上方可得，由结合单调性求解即可. 【详解】设，，由线段的中点为， 则且，，. 因为，，两式相减整理得， 即，所以， 所以直线的斜率为， 由于双曲线的渐近线方程为：，因为直线与的右支有2个交点， 所以，化简得，解得. 把代入，得， 依题意，点在点的下方， 所以，解得.综上得，. 由于，将代入中，计算可得 ， 则， 由于当时，随的增大而增大， 又当时，. 所以，则的取值范围是 故选：D. 2．已知直线l过双曲线C：的左焦点F，与C的左、右两支分别交于A、B两点，且P为线段中点，设O为坐标原点，若是以为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的方程求得左焦点，设，利用点差法，求得点的坐标满足；由是以为底边的等腰三角形，得，得到点的坐标满足，两式联立，求出中点坐标.由，即可求出直线的斜率. 【详解】由题可知，，则，则得. 设直线的方程为，依题意设， 则，， 由，两式相减整理得， 化简得，即（*）. 依题意，，即得（**）， 代入（*），可得，化简得. 解得（舍去），或，将其代入（**），解得. 所以. 故选：C. 3．已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，线段与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】合理作出辅助线，利用锐角三角函数的定义得到，再代入得到，最后利用相似三角形的性质求解即可. 【详解】由题意得的半焦距，如图，其中， 作于点，且设，    而由锐角三角函数的定义得，解得， 故，代入，得， 化简得，而，解得（其它根舍去） 由题意得，得到. 故选：A. 4．已知双曲线的右焦点为，过的直线交于两点，点在第二象限，且关于轴的对称点为，若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意，得直线的斜率为，进行求解． 【详解】由题意知（为原点），，    故直线的斜率为， 所以的方程为，即. 故选：A. 5．直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，则（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】结合正比例函数与双曲线方程图象的中心对称性特点，可确定坐标，再代入双曲线方程解出即可. 【详解】由于正比例函数与双曲线方程的图象都关于原点成中心对称，因此易知两者的交点也关于原点成中心对称. ， ∴，解得， 不妨取，将其代入直线可知，点的纵坐标. 将点代入双曲线方程，得, 又，因此. 故选：C 6．已知为双曲线的右焦点，经过点的直线与圆切于点，与的左支交于点，记的中点为，则 ． 【答案】 【分析】由双曲线方程得到焦点坐标，设直线方程，由直线与圆的位置关系建立方程解得直线方程.联立直线方程与圆方程解得点坐标，联立直线方程与双曲线方程解得点坐标，由中点坐标公式求得点坐标，然后由两点间距离公式求出，即可求得答案. 【详解】双曲线中，，∴，即， 设直线，即， 则圆心到直线的距离，即， 由对称性不妨取，即， 联立方程组，解得，即， 联立方程组，解得，， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 7．已知等腰的底边端点在双曲线的右支上，顶点在轴上，且不垂直于轴，则顶点的横坐标的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，，的中点，则，由点差法找出之间的数量关系即可求得. 【详解】设，依题意，弦的垂直平分线与轴的交点即点， 记的中点，则， 根据题意，两式相减得： ． 于是， 即，即， 又，由， 所以， 故答案为：. 8．已知，是椭圆和双曲线的公共顶点．过坐标原点作一条射线与椭圆、双曲线分别交于，两点，直线，，，的斜率分别记为，，，，则的值是 ． 【答案】0 【分析】设，，利用在椭圆和双曲线上，根据题意分别化简表示，，再根据共线，得到，进而得到结论． 【详解】设，则， ∵，∴， ∴， 设，则， ∵，∴ ， ∴． ∵共线， ∴，∴. . 故答案为：0. 9．已知双曲线，过点的直线交其于轴下方两个不同的点，设的中点为，过点与作直线，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【分析】设过点A的直线为，，，，利用点差法可知，然后表示，联立直线方程与双曲线方程根据条件求出，然后可得结果. 【详解】设过点A的直线为，由题意知， ，，，可知，， 可得， 即.又可得 所以. 又，由， 得，解得， 则. 故答案为： 10．能够使得命题“曲线上存在四个点P，Q，R，S满足四边形是正方形”为真命题的实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可设，，由对称性可得，，可得，代入曲线方程可得，解不等式即可得到所求值． 【详解】曲线上存在四个点P，Q，R，S满足四边形PQRS是正方形， 设，， 由对称性可得，， 由，得，即， 由曲线的方程可得，即有解， 有，解得或， 即实数m的取值范围是. 故答案为：． 11．如果直线l：和曲线Γ：恰有一个交点，那么k的一个值为 . 【答案】1（答案不唯一，满足即可） 【分析】作出曲线的图象，数形结合分析恰有一个交点时实数的取值范围即可. 【详解】由题意，当时，为双曲线的上半部分； 当时，为椭圆的下半部分. 又即，故作出的图象： 考虑临界条件，当与椭圆下半部分相切时，有， 整理得，则， 由图象解得. 因为的渐近线方程为， 当与双曲线的渐近线平行时也为临界条件， 当时，由图形可知：直线与双曲线部分无交点，不符合题意； 当时，由图形可知：直线与双曲线部分恰有一个交点，符合题意； 当时，由图形可知：直线与双曲线部分恰有一个交点，符合题意； 当时，由图形可知：直线与双曲线部分无交点，不符合题意； 故实数的取值范围为，例如. 故答案为：1（答案不唯一，满足即可）. 12．已知，，三点 (1)求外接圆方程； (2)若过点的直线l与中心在原点，过B，C两点的双曲线D相交于M，N两点，A能否是线段MN的中点？请说明理由？ (3)S，T是双曲线D上的两个动点，且直线BS，BT的斜率互为相反数，证明直线ST的斜率为定值． 【答案】(1) (2)不是，理由见解析. (3)证明见解析 【分析】（1）设圆的一般方程列方程组计算求解； （2）代入点得出双曲线方程，再应用点差法计算求解结合点A为线段MN的中点得出矛盾； （3）联立方程计算得出，再应用斜率公式计算求解. 【详解】（1）设圆方程为， ， 求出， 所以所求圆方程为； （2）不能， 设双曲线D方程为， 则，所以双曲线方程为， 若存在，由题易知直线斜率存在，设，且， 因为M、N在双曲线上， 所以，两式相减可得， 所以， 若点A为线段MN的中点， 则，即，代入上式， 所以，则直线l的斜率， 又由题知点P在直线上，且 所以不存在符合题意直线l， 综上，点A不是线段MN的中点 （3）设，直线BS方程为 则， 所以， 所以 得， 同理， 所以. 13．已知双曲线． (1)求的离心率和实轴长； (2)设点在双曲线的左支上，过点分别作斜率为1与的直线、与双曲线交于两点，求的面积的取值范围； (3)过点作的两条切线、，设直线、的斜率分别为、．若，求点的取值范围及的取值范围． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）根据离心率和实轴定义直接求解； （2）设，，直线与双曲线联立后解得，同理解得，求出和，根据求出即可求解； （3）设切线方程为，与双曲线联立和化简得关于的方程，据此即可求解. 【详解】（1）由题意，，则， ∴，． （2）设，， 则直线与双曲线联立后解得， 同理解得， 故，同理， 又由于，所以， 故S的取值范围为； （3）设切线方程为， 与双曲线联立后得， 由，得，且， 化简得关于k的方程，该方程也要有两个不同的实根， 于是根据，得到且， 故且，根据韦达定理， 得t的取值范围为． 14．已知双曲线：的焦距为，焦点到渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)直线：与的左、右两支各相交于点，. （i）求的取值范围； （ii）是坐标原点，若的面积为，求的值. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据题意列方程直接求出可得方程； （2）（i）联立直线和双曲线的方程消元，利用判别式和韦达定理求解可得；（ii）利用韦达定理表示出，结合面积公式列方程求解即可. 【详解】（1）设焦距为，由题意得，所以， 因为双曲线的焦点在轴上，所以渐近线方程为， 所以焦点到渐近线的距离为，即， 所以，所以的方程为. （2）（i）设，， 联立，化简得， 若，两点分别位于的左、右两支，则，解得 即的取值范围为.    （ii）由题得， 则 ， 所以的面积为 ，解得（负值已舍去）， 又，所以. 15．在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，设点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据双曲线的定义求解. （2）设直线的方程为，直线方程代入双曲线方程后分类讨论结合直线与双曲线有且只有一个公共点，计算的值． 【详解】（1）已知点，，， 则，由双曲线定义可知， 点的轨迹为焦点在轴上的双曲线， 实轴长为，焦距为，因为， 所以点的轨迹方程为； （2）过点且斜率为的直线方程为， 代入双曲线方程得： 当二次项系数为时，即，方程为，有唯一解， 此时直线平行于双曲线的渐近线，与双曲线相交于一点. 当二次项系数不为时，即，需判别式， 化简得，解得，此时直线与双曲线相切，有唯一公共点. 综上，实数的值为或. 16．记双曲线的右焦点为，过点且斜率存在的直线与的右支交于，两点． (1)求斜率的取值范围； (2)若，求的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意设，与双曲线方程联立，设，，判断根的判别式为正数，利用韦达定理求出的范围，检验此时，即可求得直线的斜率范围； （2）计算并化简和，结合条件将题设方程化成，代入韦达定理计算即可. 【详解】（1）记的半焦距为，则，， 依题意设，， 联立，可得， 显然，， 设，，则，， 由解得， 此时 显然成立． 故直线的斜率. （2）， 同理，由可得， 则， 解得，于是直线的斜率为． 题型四：双曲线的弦长相关问题 1．过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，若，则直线有（    ）条 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】易知当直线轴时，满足题意的不存在；当不垂直轴时，结合双曲线的几何性质和弦长公式建立方程求出直线的斜率即可. 【详解】由题意知，，则. 若直线轴时，，代入方程， 解得，所以，此时直线不满足题意； 当直线不垂直轴时，若直线与双曲线的两个顶点相交时， 设，， ，消去得， 则， 所以 ， 又，所以，整理得， 得或，解得（舍去）或， 所以，此时直线与双曲线的右支相交且交点为，使得有2条. 综上，满足题意的直线有2条. 故选：C 2．已知是双曲线的左焦点，过点的直线与交于两点（点在的同一支上），且，则（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】首先由双曲线方程求出点的坐标，并设出过点的直线方程，然后借助直线与双曲线联立，得到和与积的关系，再由，得到的等量关系，从而解出的值，最后根据弦长公式求出得长. 【详解】 由可得.根据对称性，不妨设过点的直线为， 联立可得. 设，则.① 由，则，又所以.② 由①②可得，所以， 解得或（舍），， 所以. 故选：D. 3．已知双曲线的左焦点为，圆.若过的直线分别交的左、右两支于A，B两点，且圆与相切，的离心率为到的渐近线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，可得，进而可求直线的方程，联立方程组可求弦长. 【详解】由，得. 双曲线的渐近线方程为，， 因为到的渐近线的距离为，所以，解得，所以， 过的直线与圆相切于，则可得， 所以， 过且与圆相切的直线方程为， 联立方程组，消去得.设， 则，所以 . 故选：D. 4．已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若，则这样的直线l有（    ） A．0条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】分直线的斜率是否为两种情况讨论，直线的斜率不等于时，设方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式结合弦长求出即可得解. 【详解】由题意，， 当直线的斜率为时，直线的方程为， 在方程中，令，则， 此时，符合题意， 当直线的斜率不等于时，设方程为， 联立，消得， 则，解得， 设， 则， 故 ，解得， 综上所述，符合题意得直线有条. 故选：C. 5．焦点在轴上的双曲线，它的实轴长为4，虚轴长为.那么过焦点且弦长为4的直线有 条. 【答案】5 【分析】先验证直线斜率不存在时是否符合题意，然后斜率存在时，设出直线，与双曲线联立，利用韦达定理和弦长公式计算求出满足条件的直线方程，最后根据双曲线的对称性解题. 【详解】因为实轴长为，虚轴长为，所以， 双曲线为，右焦点 设直线与双曲线交于， 当直线斜率不存在时，直线方程的方程为， 令，则，得，此时弦长为，不符合题目； 当直线斜率存在时，设直线方程为 联立，可得， ， 解得且 ， 解得或，过右焦点共有3条直线符合条件； 所以根据对称性可知过左焦点与相交所得弦长为4的直线有条. 综上，总共有5条直线符合条件 故答案为：5. 6．过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于A，B两点，使得，若这样的直线有且只有两条，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①直线 只与双曲线右支相交，②直线 与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，综合可得答案． 【详解】解：过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于，两点， 如果在同一支上，则有；如果在两支上，则， 又与不可能同时等于6， 要使得，这样的直线有且只有两条， 则或，解得或． 则实数的取值范围是. 故答案为： 7．在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则的方程为 ；若，则直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】由已知结合斜率的两点式有，即可得的方程为，联立直线与曲线，结合韦达定理和求值. 【详解】令，由题意得：，即得， 设直线与曲线的交点，，联立曲线E与直线的方程，整理得：，， ∴，而，代入整理：， 即有或(舍去），故. 故答案为：； 8．已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则 ． 【答案】 【分析】联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据弦长公式求解. 【详解】设双曲线与直线交于两点， 由消去整理得，则，解得，且， 所以． 由，解得，所以． 故答案为： 9．过双曲线x2－＝1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，则|AB|＝ . 【答案】 【分析】求出直线的方程，与双曲线方程联立，再利用弦长公式计算，即可得到答案； 【详解】 ，设的方程为：，代入得：， 设，则， ， 故答案为： 10．过双曲线的右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左、右两支分别交于点，若，，则双曲线的标准方程是 . 【答案】 【分析】设，则，在中，由余弦定理得，同理得，再结合，即可值． 【详解】如图，根据点到直线的距离公式可得点到直线的距离为. 设双曲线的左焦点为，连接，则. 在中，设，则， 在中，由余弦定理得， 将代入整理后得， 同理. 因为，所以， 将其代入，解得，， 因此所求方程为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于由余弦定理得，将代入整理后得与． 11．双曲线的左焦点为． (1)点P在双曲线上，求的最小值（请写出必要推导过程）； (2)过点作倾斜角为的直线l与C交于A，B两点，求． 【答案】(1)1 (2)3 【分析】（1）设，得到，结合即可求解； （2）根据直线的倾斜角求得斜率，进而根据点斜式写出直线的方程，与双曲线联立，结合韦达定理以及弦长公式即可求解． 【详解】（1）由题可知，， 设，则，即 或， ， 又或，所以时，取得最小值1； （2）双曲线的左焦点，又因为直线的倾斜角为，所以， 则直线的方程为， 联立直线方程与双曲线方程，得， 设，则， 则． 12．已知点在曲线上运动，动点与定点的距离与到定直线的距离之比为2， (1)求曲线的标准方程； (2)过点的直线交曲线于，两点，线段的垂直平分线交轴于点（异于坐标原点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由化简可求轨迹C的方程； （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，消去并写出韦达定理，表示出弦长，并由线段的垂直平分线的方程得出点的坐标，进而把表示成关于的式子，利用基本不等式求出最小值． 【详解】（1）设，由动点到定点的距离和它到直线距离之比为2， 可得，化简得，即， 故点的轨迹C的方程为； （2）双曲线的方程为，． 由题知直线的斜率存在，设为，则，直线的方程为． 联立消去并整理，得． 方程的判别式 设，，则，， ∴． 又∵， ∴线段的中点的坐标为， ∴线段的垂直平分线的方程为． 令，得， ∴点的坐标为，∴，∴， 当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为．    13．已知双曲线：的焦距为，且左右顶点分别为,，过点的直线与双曲线的右支交于,两点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为1，求弦长； (3)记直线,的斜率分别为,,证明：是定值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据双曲线的焦距和虚半轴长求出实半轴长，即得其标准方程； （2）设直线MN的方程为，与双曲线方程联立，利用弦长公式求解； （3）设直线方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理得到，再由化简计算即得. 【详解】（1）因为双曲线：的焦距为， 所以，解得， 由题意得，则， 所以双曲线的方程为； （2）依题意，可设直线MN的方程为， 由，消去y得， 由韦达定理得， 所以； （3）如图所示，设直线的方程为，， 由，消去x得， 则，且， 则，可得， 又，则，. 14．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线交双曲线于A，B两点，且，求的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据题意，建立得方程求出，得解； （2）当直线的斜率为0时，显然不合题意；当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，与双曲线方程联立可得根与系数关系，利用弦长公式求出，进而求得，得解. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为，所以，即. 又点是双曲线的右焦点，所以， 得，所以， 所以双曲线的方程为. （2）当直线的斜率为0时，显然有，不合题意，舍去； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 联立直线与双曲线方程，消得， 设，则， ， 所以，即， 解得或0，即或0， 所以l的方程为或.    15．已知双曲线过点，左右焦点分别为． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求； (3)若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为常数，线段MN的中点为Q，求直线OQ的斜率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据双曲线的定义求得，进而求得双曲线的方程. （2）求得直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，根据弦长公式求得. （3）利用点差法求得直线的斜率. 【详解】（1）根据题意可得， ， 所以， 故双曲线C的方程为； （2）直线的方程为， 设，由得， ， 所以． （3）设，则， 则两式相减得． 设，则所以， 即， 所以，所以直线OP的斜率. 16．已知双曲线C：. (1)若直线l：与双曲线C有且仅有一个公共点，求k的值； (2)若直线l：与双曲线C相交于A，B两点，求. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）联立方程组，消去， 整理得到，讨论和这两种情况，当时，则需要，计算得解； （2）联立方程组，消去，整理得到，设，则，利用弦长公式计算得解. 【详解】（1）联立方程组，消去，得到， 整理得到， 当时，即时，，满足直线l：与双曲线C有且仅有一个公共点； 当时，即时，则，即，解得， 综上可知，直线l：与双曲线C有且仅有一个公共点，或； （2）联立方程组，消去，得到， 整理得到， 直线l：与双曲线C相交于A，B两点， 设，则， . 题型五：直线与抛物线的位置关系 1．抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，过点作一条与轴平行的直线与直线交于点（其中为坐标原点），若点的轨迹与椭圆：交于、两点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出点D的轨迹是抛物线的准线，再由直线与椭圆的弦长进行求解即可． 【详解】解：， 如图所示：    设：代入，， 得，设，， 则，， 设，则， ， 因为， 不妨令，代入椭圆： 得， 所以椭圆的离心率， 故选：D 2．过点与抛物线只有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．0条 【答案】C 【分析】分直线斜率存在与斜率不存在，设出方程，结合题意计算即可得. 【详解】当直线斜率存在时， 设直线的斜率等于，则当 时，直线的方程为， 满足直线与抛物线仅有一个公共点， 当时，设直线的方程为， 代入抛物线的方程可得：， 有，解得，故切线方程为， 当斜率不存在时，直线方程为，该直线也与抛物线相切， 故满足条件的直线方程有三条. 故选：C． 3．已知抛物线：与抛物线：，则（    ） A．过与焦点的直线方程为 B．与只有1个公共点 C．与x轴平行的直线与及最多有3个交点 D．不存在直线与和都相切 【答案】C 【分析】对于A，利用抛物线的焦点的定义及截距式即可判断；对于B，联立方程组求解方程组即可判断；对于C，利用抛物的性质即可判断；对于D，根据已知条件及直线与抛物线的位置关系即可判断. 【详解】由题意可知的焦点为，的焦点为， 过与焦点的直线方程为，即，A错误； 由，解得或， 所以与有，2个公共点，B错误； 由抛物线：知，开口向右，对称轴为轴， 所以与x轴平行的直线与有1个交点， 由抛物线：知，开口向上，对称轴为轴， 所以与最多有2个交点，C正确； 与关于直线对称，若存在直线与和都相切，则该切线也关于直线对称，不妨设为，与联立得，由得， 所以直线与和都相切，D错误． 故选：C． 4．若直线被圆所截的弦长不小于2，则l与下列曲线一定有公共点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出直线的方程，根据直线被圆所截的弦长不小于2，由弦长公式得出，进而得出；选项A通过举反例进行排除；选项B联立直线与曲线方程，判断即可；选项C联立直线与曲线方程，判断故排除；选项D联立直线与曲线方程后，通过举反例进行排除. 【详解】由题意，圆的圆心为，半径为. 设直线方程为，直线到圆心的距离为， 由弦长公式得，所以. 由点到直线的距离公式得，，即. 对于选项A，直线到该圆圆心的距离为， 取，满足条件，而，直线与圆没有公共点，故A排除； 对于选项B，当时，对于直线有，，， 联立椭圆方程得，所以必有公共点； 当时，联立直线与椭圆方程得， ， 所以必有公共点；故B正确； 对于选项C，联立直线与抛物线方程得， 若时，则，有解； 若时，，取，则，方程无解，此时无公共点，故C错误； 对于选项D，当时，对于直线有，，， 联立双曲线方程得， 取，则直线：，与双曲线不存在公共点，故D排除. 故选：B. 5．已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C有唯一公共点，则这样的直线有 条． 【答案】3 【分析】直线l与抛物线C有唯一公共点．分两类情况：一类是直线l平行于抛物线对称轴，另一类是直线l与抛物线C相切. 【详解】由题意知，直线的斜率存在. 设直线斜率为，则切线方程为， 联立 消x得， 当时，此时，与抛物线有唯一公共点； 当时，由，解得，即过M点的切线有两条． 综上可知，满足条件的直线有3条． 故答案为：3. 6．直线与抛物线至多有一个公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分、两种情况讨论，联立直线与抛物线的方程，根据已知条件可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】当时，联立可得，此时直线与抛物线有一个公共点，合乎题意； 当时，联立可得， 由题意可得，解得. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 7．设曲线与函数的图像关于直线对称，若曲线仍然为某函数的图像，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】设是在点处的切线，进而根据题意得直线关于对称后的直线方程必为，曲线才能是某函数的图像，进而得的方程为，再联立方程即可得，进而得答案. 【详解】解：设是在点处的切线， 因为曲线与函数的图像关于直线 对称， 所以直线关于对称后的直线方程必为，曲线才能是某函数的图像， 如图所示直线与的角为，所以的倾斜角为， 所以的方程为 故联立方程得，即， 所以，解得 所以的取值范围为 又因为时,函数图象为对称轴上一点，所以符合题意， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 8．过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，若，O为坐标原点，则 . 【答案】 【分析】根据条件画出示意图，设|AF|＝x，则|BF|＝3x，利用，求出x＝，进而求出比值． 【详解】过A作AE⊥准线，过B作BG⊥准线，过A作AD⊥BG交BG于点D，交y轴于点C 设|AF|＝x，则|BF|＝3x，F（0，），准线：y＝﹣， 根据抛物线性质得：|AE|＝|AF|＝x，|BG|＝|BF|＝3x，|AB|＝x+3x＝4x，|BD|＝3x﹣x＝2x，|FC|＝p﹣x， 由图可知：，即，解得x＝，则 ． 故答案为： 【点睛】本题考查抛物线中两线段比值的求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题． 9．已知直线与抛物线恰有一个公共点，则 . 【答案】或 【分析】分与两种情况讨论，联立直线与抛物线的方程，求出公共点或转化为即可求出实数的值. 【详解】当时，即当时，直线的方程为，抛物线的方程为， 联立直线与抛物线的方程，解得，此时直线与抛物线只有一个交点； 当且时，即当且时，联立， 得，则，解得. 因此，或. 故答案为或. 【点睛】本题考查利用直线与抛物线位置关系求参数，解题时要注意对直线垂直于坐标轴这种特殊的位置关系进行考查，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 10．已知是抛物线:上一点，则点到直线的最短距离是 【答案】 【分析】要求点到直线的最短距离，则过点作与直线的平行线，且与抛物线相切，然后求出两条平行线之间的距离 【详解】不妨设过点的直线与抛物线 相切 则 则 故直线为 点到直线的最短距离为两条平行线之间的距离， 点到直线的最短距离 故答案为 【点睛】本题考查了点到直线的距离最短问题，需要作出相切线，然后求出两条平行线之间的距离，考查了抛物线与直线的位置关系 11．已知抛物线的焦点为为坐标原点，点为抛物线准线上相异的两点，且两点的纵坐标之积为-4，直线，分别交抛物线于，两点，若A，B，F三点共线，则 . 【答案】2 【分析】设，，分别求出A与B的坐标，结合A，B，F三点共线可得结果. 【详解】设，， 则直线的方程为：，代入抛物线方程可得：， 解得：，故A点坐标为： 同理可得：B点坐标为： 又， ∴， 又A，B，F三点共线， ∴ ∴，由 ∴，即 又 ∴， ∴ 故答案为2 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查转换能力与计算能力，是中档题． 12．已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的一个顶点与抛物线的焦点重合. (1)求抛物线C的方程; (2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且弦AB的中点的横坐标为，求直线l的斜率. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由双曲线方程及焦点坐标求出，再由题意求出抛物线方程. （2）由（1）设出点的坐标，再利用斜率坐标公式列式求解. 【详解】（1）由双曲线的一个焦点为，得，解得， 抛物线的焦点为，依题意，，解得， 所以抛物线C的方程为. （2）由（1）设，由弦AB的中点的横坐标为，得， 所以直线l的斜率. 13．已知点为抛物线的焦点，直线与抛物线相切． (1)求抛物线的标准方程； (2)直线，与抛物线相交于两点，若之间的距离，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线与抛物线相切，则联立后，由可求得结果； （2）设，与抛物线方程联立后可得韦达定理的结论，结合弦长公式和平行直线间距离公式可构造方程求得的值；根据抛物线定义可求得结果. 【详解】（1）由得：， 直线与抛物线相切，，解得：（舍）或， 抛物线的标准方程为：. （2），可设，，， 由得：， ，解得：，，， ，又， 由得：，， 解得：或，又，， 由抛物线定义知：.    14．已知抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于两点，． (1)求的值； (2)求直线与C的公共点个数. 【答案】(1) (2)1个 【分析】（1）设出直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理即可求解； （2）由坐标表示出直线的斜率进而得到直线方程，联立抛物线方程，得到二次方程的根只有一个即可求出. 【详解】（1）易知直线的斜率不为零，可设直线的方程为，与联立得， ，所以． （2）直线的斜率为， 所以直线的方程为， 即，与联立得，解得， 所以直线与C只有1个公共点A． 15．已知动点到点的距离比到直线的距离小，过作圆的一条切线，为切点，过作直线的垂线，垂足为． (1)求点的轨迹方程； (2)当、、三点共线时，求线段的长； (3)判断满足的点有几个，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)个，；理由见解析 【分析】（1）分析可知，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的方程，即可得出点的轨迹方程； （2）当、、三点共线时，求出点的坐标，并求出，再利用勾股定理可求得的值； （3）由题意可得出，由两点间的距离公式化简得出的中垂线方程，判断该直线与抛物线的位置关系，即可得出结论. 【详解】（1）由题意可知，点到点的距离等于点到直线的距离， 所以，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的方程， 设其方程为，则，可得，所以，点的轨迹方程为. （2）由题意可知，当、、三点共线时，因为点，直线的方程为， 联立，解得，此时，点，则， 因为，由勾股定理可得. （3）因为，由题意可得， 化简可得， 联立，可得，， 故满足条件的点有两个. 16．已知直线过点，抛物线． (1)若直线与抛物线于两点，且中点的横坐标为3，求直线的方程； (2)若直线与抛物线有且仅有一个交点，求直线的方程． 【答案】(1)或； (2)或或. 【分析】（1）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即得. （2）按直线的斜率不存在、为0，存在且不为0分别求解即可. 【详解】（1）依题意，直线的斜率存在且不为0，设其方程为，， 由消去y得，， 解得，， 由中点的横坐标为3，得，解得或， 所以直线的方程为或，即或. （2）当直线的斜率不存在或为0时，直线与曲线有唯一公共点，此时直线的方程为或； 当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为， 由（1）知，，解得，直线的方程为， 所以直线的方程为或或. 题型六：抛物线的弦长相关问题 1．设抛物线的焦点为，不经过的直线与交于、两点，与轴交于点.点的坐标为，且与、的面积之比是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，结合图形得出，求出的值，即可求出的值. 【详解】由题意可知，抛物线的焦点为，准线为直线，如下图所示： ，又因为，故， 故选：B. 2．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于点．若（为坐标原点），则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，确定坐标，得到直线方程，结合弦长公式及点到线的距离公式即可求解. 【详解】 如图，不妨设在轴下方， 因为，且 所以，由抛物线方程可得， 则， 所以直线方程为：， 联立抛物线方程消去得：， 化简得：， 所以， 则， 到直线的距离， 所以的面积为， 故选：B 3．设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】A 【分析】设出直线方程后，结合韦达定理与抛物线定义计算即可得. 【详解】由可知，设，、， 联立，则有， 故，即， 又，， 由，则，即有， 则 ， 即，则或， 又，故，则，则. 故选：A. 4．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，是坐标原点，若的面积为，则（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】由焦点坐标得出，从而得出抛物线方程，设出的坐标，结合三角形面积公式计算出坐标值，进而利用两点间距离公式求解． 【详解】    ， ，即，抛物线的方程为． 设，则的面积为： ，解得，将代入，解得， ． 故答案为：D． 5．过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于两点，若线段的中点的纵坐标为1，则（    ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由以及线段的中点的纵坐标为1，可得直线的斜率，从而得到直线的方程，求出直线的中点的横坐标为，则，由抛物线的弦长公式求解即可 【详解】设，则，则. 因为线段的中点的纵坐标为1，所以，则. 又直线过的焦点，所以直线的方程为， 则线段的中点的横坐标为，则，故. 故选：C 6．已知倾斜角为的直线l过抛物线 的焦点且与抛物线C交于A，B两点，抛物线C的准线与x轴交于点 D，设点 D 到直线l的距离为d，则 . 【答案】 【分析】先求出直线的方程，再联立直线与抛物线方程，利用抛物线的定义求出，再利用点到直线的距离求出即可求解. 【详解】由题可得抛物线的焦点,准线方程为：，则, 所以直线的方程为：,设, 联立，化简可得：, 则,所以, 点到直线的距离, 所以; 故答案为： 7．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，则线段的长为 ． 【答案】13 【分析】根据抛物线定义，写出抛物线的方程，通过点斜式写出直线的方程，利用弦长公式求解线段的长. 【详解】抛物线的焦点为， ， 抛物线的方程为． 直线的方程：， 联立 得， 设， 则 ． 另解：． 8．已知为坐标原点，抛物线上一点到其焦点的距离为3，过的焦点的直线交于两点，当时，的值为 ． 【答案】8 【分析】首先利用抛物线的定义求出，确定抛物线方程；然后设直线的倾斜角为，利用焦点弦的面积公式求出；最后结合焦点弦的性质和弦长公式，即可求解. 【详解】由已知得，则，所以抛物线方程为， 设直线的倾斜角为， 由于直线过焦点，， 又，所以. 故答案为：8. 9．设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，且线段的垂直平分线交于点，交轴于点，若的面积为，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】设直线，与抛物线方程联立，结合韦达定理可得 【详解】设直线，与抛物线方程联立可得，， ，，因此，， 得，所以，解得， 因此直线的方程为或. 故答案为：或. 10．过点的直线与抛物线相交于两点，若恰为的中点，则线段的长为 . 【答案】16 【分析】用点差法求出直线斜率，得直线方程，联立方程组，利用韦达定理，由弦长公式计算可得． 【详解】设， 则，两式相减得， ∴， ∵的中点是，∴． ∴直线方程为，即， 由，得， 则， ∴． 故答案为：16 11．已知抛物线C：与：交于A，B两点，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据A，B关于x轴对称、求出点坐标，代入抛物线方程可得答案. 【详解】易知A，B关于x轴对称， 故可设，则， 因为，所以，即， 因为A，B在圆O上，， 所以，    将代入C的方程，得，解得． 故答案为：2. 12．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点，斜率为1的直线l经过该抛物线的焦点F，且与抛物线相交于C，D两点． (1)求抛物线的标准方程； (2)求线段CD的长； (3)求的值． 【答案】(1) (2)8 (3)1 【分析】（1）利用待定系数法可求抛物线的方程； （2）求得直线l的方程，与椭圆方程联立，可得，，利用弦长公式求解即可； （3）利用焦半径公式，结合（2）求解即可. 【详解】（1）设抛物线的标准方程可以为， 因为抛物线过点，所以，解得， 因此，抛物线的标准方程为； （2）由抛物线的标准方程为，可得焦点， 所以直线l的方程为：，即， 设和的坐标和. 由，得，整理得， 所以，； ； （3）由（2）可知点 和 到焦点的距离分别为：， 所以 .    13．已知直线：与抛物线：相切于点. (1)求的方程以及点的坐标； (2)过点的直线与交于，两点，的中点为，当 轴时，求的方程. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）联立方程，根据直线与曲线相切，利用一元二次方程根的判别式等于0，可得参数值，从而可得答案； （2）由题意设出直线方程，联立方程组，再根据一元二次方程根的判别式及韦达定理，可得答案. 【详解】（1）由，消去整理得（*）， 所以，解得或（舍）， 所以抛物线的方程为， 将代回（*）式，得，解得，所以，即. （2）由题易知直线的斜率存在且不为0，直线不过点， 设，，， 联立，消去整理得， ，解得或， 又直线不过点，即，即， 所以或或， 则，， 当轴时，，即，满足题意， 所以直线的方程为，即. 14．已知抛物线（）过点，其焦点为F，若. (1)求m的值以及抛物线C的方程； (2)过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，C与B，D四点，求四边形ABCD面积的最小值. 【答案】(1)， (2)8 【分析】（1）利用抛物线的定义结合条件求得，得其解析式，代入点，计算即得m的值； （2）依题意设直线：，直线：，将其分别与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式求得和，结合，表示出四边形ABCD面积的表示式，借助于基本不等式即可求出其最小值. 【详解】（1）因抛物线的焦点为F，则 ∴，即抛物线C的方程： 又因为抛物线过点,代入抛物线方程，可得，解得. 综上：，抛物线C的方程：； （2）由题知，过F点的两条互相垂直的直线斜率均存在，且不等于零，如下图：      因此设直线：，直线： 设点、、、， 联立直线与抛物线C的方程，得， 则有，∴， 又∵， 同理，联立直线与抛物线C的方程，得， 则有，∴， 又∵，∴， 又∵， ∴ ， 当且仅当，即时，四边形ABCD面积的最小值是8. 15．如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，点的坐标为. (1)若点在上，且，求点的坐标； (2)若是上的任意一点，求的最小值； (3)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线. 【答案】(1)或； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）令，应用两点距离公式求参数值，即可得点的坐标； （2）若垂直抛物线的准线于，结合抛物线的定义得，数形结合确定其最小值； （3）设，，应用导数几何意义求过的切线，进而得到，，联立直线与抛物线并应用韦达定理得，，即可证. 【详解】（1）由题设，令，则，即， 所以，故或； （2）若垂直抛物线的准线于，由抛物线的定义知， 所以，当且仅当三点共线时取等号， 又抛物线的准线时，最小为， 所以的最小值为；    （3）由题设，直线的斜率一定存在，设，， 而，则过的切线斜率为，对应切线为，即， 同理过的切线为，即， 联立，可得，整理得， 由题意，则，， 联立，得，且， 所以，则，， 显然点在直线，即上，得证. 16．已知直线与抛物线：（）交于，两点（为坐标原点）.的中点为，过点作轴的垂线，交于点，过点且与相切的直线交直线于点. (1)若，求的方程； (2)求证：点与点关于点对称. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）联立直线和抛物线方程，解得点的坐标，根据，利用两点间的距离公式建立方程，解出即可； （2）根据中点坐标公式求得点，继而可得直线的方程为，代入抛物线方程，可得.设出直线的方程，与抛物线方程联立，可得，继而可以证明结论. 【详解】（1）联立，化为，解得或， 所以，. 因为， 解得，所以的方程是. （2）由（1），得，， 所以的中点为，所以直线的方程为，如下图所示： 将代入（），得，即点， 设过点且与相切的直线的方程为（）， 与抛物线联立，得. 因为，解得. 所以直线的方程为，即， 令，得，即. 因为，所以点与点关于点对称. 题型七：圆锥曲线中的定点、定值问题 1．已知双曲线：，点P为曲线在第三象限一个动点，以下两个命题，则（    ） ①点P到双曲线两条渐近线的距离为，，则为定值. ②已知A、B是双曲线上关于原点对称不同于P的两个点，若PA、PB的斜率存在且分别为，，则为定值. A．①真②真 B．①假②真 C．①真②假 D．①假②假 【答案】A 【分析】 根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，借助点到直线距离计算判断①，利用斜率坐标公式计算判断②作答. 【详解】依题意，设，且有，双曲线的渐近线为， 因此为定值，①真； 设，则，且，显然， 否则，之一垂直于y轴，由双曲线对称性知另一条必垂直于x轴，其斜率不存在，不符合题意， 则为定值，②真， 所以①真②真. 故选：A 2．已知动点在椭圆上，点到定点的距离记为，到定直线的距离记为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据椭圆的标准方程和两点间的距离公式即可求解. 【详解】设点， 则， ， 所以. 故选：C. 3．已知是抛物线上异于原点的两点，且以为直径的圆过原点，过点向直线作垂线，垂足为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据以为直径的圆过原点可求得直线恒过定点，由四点共圆可知的最大值为该圆直径，进而求得结果. 【详解】设点，点，其中，， 以为直径的圆过原点，，解得：， 易知直线的斜率不为，不妨设直线的方程为：， 由化简整理得：，，解得：， 直线恒过定点， ，，四点共圆， 即点在以为直径的圆（除原点外）上运动，此时该圆直径为， 的最大值为该圆的直径，即. 故选：B． 4．已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B两点，右焦点为F，直线与椭圆C相交于P，Q两点，则下列说法正确的是 （填写序号） ①椭圆C的焦距为2； ②为定值； ③当以P，Q，F，B四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为； ④直线和的斜率的乘积为. 【答案】①②④ 【分析】利用给定的椭圆基本量求出焦距长度判断①，利用椭圆的对称性合理转化长度判断②，利用平行四边形性质求出的坐标，再求解平行四边形面积判断③，设出关键点的坐标，利用点在椭圆上消去参数，判断斜率乘积为定值求解④即可. 【详解】对于①，由，得到， 可得椭圆C的焦距为2，故①正确； 对于②，如图，设椭圆的左焦点为，连接 由椭圆的对称性有，故②正确； 对于③，由题意得，且， 又因为四边形为平行四边形，有， 可得点的坐标为，代入椭圆中，得到， 解得，即的坐标为， 则平行四边形的面积为，故③错误； 对于④，由，设点的坐标分别为， 代入椭圆中有．又由， ，故④正确． 故选：①②④． 5．过左顶点作两条互相垂直的直线交椭圆于，，直线必过定点 ． 【答案】 【分析】根据题意讨论得出斜率不为0，设直线的方程，，，利用设而不求法结合关系，推出关于m的方程求解. 【详解】 当斜率为0时，过点A不存在直线，互相垂直，不符合题意； 当斜率不为0时，设直线的方程，，，由椭圆方程可知，， 联立方程， 所以 化简得， 解得或（与点A重合，舍去），故直线必过定点. 故答案为：. 6．已知抛物线的准线与对称轴的交点为，过点的直线与抛物线相交于不同的两点A，B，直线经过抛物线的焦点与抛物线相交于D，E两点，且．则的值为 ． 【答案】1 【分析】设，，的方程为，直线的方程为，联立抛物线并应用韦达定理和两点距离公式求、，即可得. 【详解】由题意，设，，易知直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，与抛物线方程联立后消去， 整理得，则 ， 所以 ， 设直线的方程为，与抛物线方程联立后消去， 整理得，则，， 所以 ， 所以． 故答案为：1 7．已知直线：与双曲线：（，）相交于，两点，双曲线的左、右顶点分别为，，若直线与相交于点，则下列说法中错误的是 .（填写所有错误命题的序号） ①实数的取值范围为或； ②直线与直线的斜率之积为定值； ③点在曲线上； ④的面积最大值为. 【答案】①④ 【分析】根据双曲线的基本性质可判断①错误；通过假设点的坐标结合双曲线的方程计算可判断②③正确；通过反面假设④成立，给定面积为最大值，计算得出直线与双曲线渐近线平行，即点不存在，得出矛盾，从而判断④错误. 【详解】如图    ①由直线：与双曲线：相交于、两点，得或，故①错误； ②由点在双曲线上，设，则，即， ，，则， ，，故②正确； ③，，， 设，则， 整理得：，即， 点在曲线上， 若，为椭圆，若，为圆，故③正确； ④若的面积为，则点，， 此时直线与双曲线的渐近线平行， 直线不可能与双曲线有两个交点，故④错误. 错误的说法是①④， 故答案为：①④. 8．已知抛物线与直线相切，在轴的正半轴上，是否存在某个确定的点，过该点的动直线与抛物线交于两点，使得为定值？ （填“存在”或“不存在”），若存在，求出点的坐标为 ． 【答案】 存在 【分析】将抛物线方程与直线联立，由判别式为0可得.假设存在满足条件的点，则直线，将直线与抛物线联立结合韦达定理可得，据此可得答案. 【详解】将抛物线与直线联立有： ，消去x得：， 由于直线与抛物线相切，得，，所以． 假设存在满足条件的点，则直线， 将直线与抛物线联立有：，消去x得：. 判别式为：，设，， 由韦达定理有:，， ，， 从而 . 则当时，为定值，所以． 故答案为：存在；. 9．已知抛物线，过点任作一条直线与抛物线交于，两点，设点，连接，并延长，分别与抛物线交于点，，则直线过定点 ， ． 【答案】 【分析】第一空：设直线的方程为，直线的方程为，，，，，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理有，，求得即可；第二空：由斜率公式、韦达定理即可求解. 【详解】如图，设直线的方程为，直线的方程为， ，，，．    由得，故， 同理，，，所以，故． 由得，故， 所以，即，所以直线过定点． 下面求的值． 解法1：因为， 所以． 解法2：因为，所以． 故答案为：，. 10．已知椭圆的右焦点为，过F的直线与E交于两点．当A为E的上顶点时，． (1)求E的方程； (2)过点A作的垂线，垂足为M． （ⅰ）证明：直线过定点N； （ⅱ）记的中点为，的斜率为，NB的斜率为，证明：是定值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用椭圆参数的几何意义即可求解椭圆方程； （2）（ⅰ）利用直线与椭圆联立方程组，设交点坐标，利用假设的坐标来表示直线方程，根据椭圆的对称性可知定点在轴上，所以令，借助韦达定理去求为定值即可；（ⅱ）利用坐标法去计算斜率，通过韦达定理的应用即可证明定值. 【详解】（1）记E的半焦距为c，由右焦点为可得：，而， 故，于是E的方程为． （2） （ⅰ）不妨设，， 设，联立， 有，可得，， 即， 易知，直线MB的斜率为， 故直线MB的方程可表示为， 当时，显然， 故 ， 所以直线过定点． 而当AB斜率为0时，直线就是轴，也过点． 综上，直线MB过定点． （ⅱ）由（ⅰ）可得，所以， 则 ， 所以有，即是定值． 11．已知椭圆，其离心率为，且过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆C的左、右顶点分别为A和B，求直线HA，HB的斜率之和； (3)过点的直线交椭圆C于P，Q两点（异于点H），设直线HP，HQ的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据椭圆离心率及所过点列出方程组求解即得. （2）由（1）求出点坐标，再利用斜率坐标公式计算得解. （3）根据给定条件，设出直线的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算得证. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，则， 由椭圆过点，得，联立解得， 所以椭圆C的标准方程为. （2）由（1）得，直线的斜率， 所以直线的斜率之和为. （3）由直线过点，且交椭圆于两点，得直线的斜率存在， 当直线的斜率为0时，其方程为，不妨令点，由（2）知； 当直线的斜率不为0时，设其方程为，， 由消去并整理得， ，解得或，， 因此 ， 所以为定值. 12．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为，实轴长为． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线的左支交于两点，点与点关于轴对称． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：直线过轴上一定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)（i），（ii）证明见解析， 【分析】（1）根据渐近线的斜率和实轴长可求方程； （2）（i）联立方程，结合根与系数的关系式可求范围；（ii）求出直线的方程，利用根与系数的关系式，可得直线恒过点. 【详解】（1）由题意可知，解得， 所以双曲线的方程为. （2）（i）当时，易知不符合题意； 当时，联立，得， 因为直线与双曲线的左支交于两点，所以， 解得或，故实数的取值范围为. （ii）证明：设，则, 由（i）可知，， 直线的方程为，即， 令可得 把，代入可得， 即直线恒过，所以直线过轴上一定点，该定点的坐标为. 13．在平面直角坐标系xOy中，，曲线上有两点A，B，当时，. (1)求曲线E方程； (2)若点A在曲线E的右支上，点B在曲线E的左支上，点A，B，F三点不共线，且，试判断直线AB是否恒过一个定点，若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)过定点， 【分析】（1）根据条件，结合几何关系确定点的坐标，代入双曲线方程，即可求解； （2）首先设直线，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示，即可求解. 【详解】（1）由得，又， 所以，故点在曲线E上，所以，解得， 故的方程为. （2）判断：直线AB恒过一个定点； 由图形关系可知点A，B在x轴异侧， 故由可得直线AF，BF的斜率互为相反数 设，    联立，可得 所以 而直线AF，BF的斜率之和为 即 =， 而，故， 所以直线AB过定点. 14．在平面直角坐标系xOy中，点P到点的距离比到y轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)过点F且斜率不为零的直线l交椭圆于A，B两点，交曲线C于M，N两点，若为定值，求实数λ的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）设，根据题意列出关系式化简即可； （2）设直线l的方程为，与椭圆方程联立，根据韦达定理以及弦长公式求出，再联立直线与抛物线方程，得出，代入化简即可. 【详解】（1）设，依题意，，两边平方并整理，得， 所以曲线C的方程为. （2）设， 依题意，设直线l的方程为， 由消去y并整理，得， 则， 则， 由（1）知，， 若直线l交曲线C于M，N两点，且，则直线l与相交， 由消去y并整理，得， 则， 于是， 从而， 要使为定值，则，即， 则实数λ的值为. 15．如图，已知直线与抛物线交于两点，且.    (1)求证：直线恒过定点，并求此定点； (2)若交于点，点的坐标为，请你求出的值； (3)在第（2）问的基础上，若是抛物线上的任一点，为抛物线的焦点，求的最小值及此时点的坐标. 【答案】(1)证明见解析，定点为； (2) (3)的最小值为，此时点的坐标为 【分析】（1）根据题意设直线方程为，进而与抛物线方程联立，再根据得即可判断定点； （2）根据得直线方程为，再结合（1）得； （3）根据（2）得抛物线，再根据抛物线的定义求解即可. 【详解】（1）解：由题知直线斜率不为，且不过原点， 故设直线方程为， 联立方程得，， 所以，， 所以 因为，所以，解得， 所以直线方程为，即直线恒过定点 （2）解：因为交于点，点的坐标为， 所以，直线方程，即 因为直线方程为， 所以，即. （3）解：由（2）知，故抛物线，焦点为，准线方程为， 如图，过点作，垂足为，由抛物线的定义得， 所以， 当且仅当三点共线时等号成立，此时，代入抛物线方程得， 所以的最小值为，此时点的坐标为    题型八：圆锥曲线的中点弦问题 1．已知椭圆，过点的直线交于，两点，且是线段的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，利用设而不求点差法求解中点弦斜率. 【详解】设，，因为，两点在曲线上， 所以有，两式相减可得， 即， 因为点是线段的中点， 根据中点坐标公式可得，即，． 代入，可得， 而就是直线的斜率，所以直线的斜率为． 因为，故点在椭圆内，所以直线与椭圆相交，满足条件， 故选：B 2．若双曲线的焦距为4，直线与交于A，B两点，且线段AB的中点为，则直线的斜率为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】先根据双曲线的焦距求出，然后设，将其代入双曲线方程得到等式，根据中点坐标进而可求出直线的斜率. 【详解】由双曲线的焦距为4，得，解得. 设，则，则， 因为点是线段的中点， ，所以， 所以. 故选：A. 3．已知抛物线（），过其焦点且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为1，则该抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，进而根据题意，结合中点弦的斜率得，进而求解准线方程即可. 【详解】根据题意，设，所以①，②， 所以，①②得：，即， 因为直线AB的斜率为2，线段AB的中点的纵坐标为1， 所以，所以抛物线，准线方程为. 故选：B 4．已知椭圆以及椭圆内一点，则以P为中点的弦所在直线的方程为 【答案】 【分析】设出交点代入椭圆方程，相减化简得到答案. 【详解】由题易知P在椭圆内，设弦与椭圆交于，，斜率为， 则，，相减得到， 即，解得. 所以以P为中点的弦所在直线的方程，即； 故答案为： 5．已知直线l与椭圆交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则直线l的斜率为 . 【答案】/ 【分析】利用点差法列方程，整理求得直线的斜率. 【详解】依题意可知，直线的斜率存在. 设直线的斜率为， 则，两式相减得， 整理得. 因为线段的中点坐标为， 所以. 故答案为： 6．已知直线与双曲线相交于两点.若弦被直线平分，则实数的值为 . 【答案】 【分析】设且的中点，代入双曲线的方程，作差化简求得，根据点在直线上，求得，代入直线的方程，即可求解. 【详解】设，可得， 两式相减，可得，可得 因为，可得，所以 设的中点，则，所以， 因为点在上，可得， 可得，即，解得，所以，即， 又因为在直线上，可得，解得. 故答案为：.    7．过点的直线l与双曲线C：交于A，B两点，若，则直线l的方程为 . 【答案】 【分析】利用点差法求出直线的斜率，得到直线方程. 【详解】设，， 则，，所以， 即. 因为，所以P为线段AB的中点，所以，， 所以. 因为P为线段AB的中点，所以直线l不能垂直于x轴， 所以，即直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即． 联立可得，， 该方程有两个不等的实数解，故直线与双曲线有两个交点，满足条件， 故答案为：. 8．已知抛物线，直线与交于两点，为弦的中点，则直线的斜率为 ． 【答案】1 【分析】写出直线的方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理求解. 【详解】由题意直线的方程为 ，即 ，与抛物线方程联立： ，得， 即，， 解得. 故答案为：1. 9．在抛物线上有三个不同点、、，焦点为，点坐标为且轴，为的重心，则的面积为 ． 【答案】 【分析】由可求出抛物线的方程，由重心的性质可求得线段的中点的坐标，利用点差法求出直线的方程，将该直线方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合三角形的面积公式以及韦达定理可求得结果. 【详解】由点的坐标为且轴得，即，抛物线方程为， 设、，则相减可得， 所在直线斜率， 记中点为，又由为的重心，可知，    设点，则，可得，解得，即点， 所以，， 所以，所在直线方程为，即， 联立方程，得，， 由韦达定理可得，，得， 故：的面积为. 故答案为：. 10．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点，动点满足：直线PM与直线PN的斜率之积是． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)若直线与轨迹C相交于A，B两点，求弦长． (3)直线与（1）中轨迹C相交于A，B两点，若为线段AB的中点，求直线的方程； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由即可列出方程，化简出答案； （2）联立直线与椭圆，消去可得两交点横坐标有关的韦达定理，利用弦长公式，解出答案； （3）设，代入椭圆，两式相减、变形，再结合中点坐标即可得直线的斜率，再由点斜式写出直线. 【详解】（1）由题意，化简， 又因为直线PM、PN的斜率存在，则． 故动点P的轨迹C的方程为． （2）联立方程， 设，，则，，， 故． （3）设，，由题意，显然， 则有，，两式作差可得， 即有， 又为线段AB的中点， 则有，，代入即得直线的斜率为， ∴直线的方程为，经检验此时该直线与椭圆有两交点， 整理可得直线的方程为：． 11．已知椭圆的右焦点为，短轴长为8． (1)求椭圆的方程： (2)若是上顶点，直线交椭圆于两点，的重心恰好为点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助焦点坐标与短轴长可得、，计算即可得，即可得该椭圆方程； （2）设、，由重心定义计算可得、，再设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理计算即可得. 【详解】（1）由题意可得，，则，， 故椭圆的方程为； （2）由，故，设、，中点为， 由的重心为点，则有， 即，， 即有，，则， 当直线斜率存在时，可设， 联立，消去得， 由于，故在椭圆内部，故恒成立， 有，解得， 故直线，即； 当直线斜率不存在时，， 则有，解得，此时，不符，故舍去； 综上可得：直线的方程为.    12．已知双曲线的焦距为，其渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，进而求解即可； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点差法求解即可. 【详解】（1）由题意知，， 解得，故双曲线的方程为. （2）①当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点， 则点必在轴上，这与矛盾； ②当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为， 设，因为点为线段的中点， 所以， 因为在双曲线上，所以， 则， 所以， 则所求直线方程为，即. 经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 13．设圆：，圆：，已知动圆与其中一个圆内切，与另一个圆外切． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)若，是上的两点且线段的中点为，求所在直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）求出圆的圆心和半径，然后分两圆外切和内切两种情况得，然后利用双曲线的定义求解轨迹方程即可． （2）利用点差法求得直线的斜率，进而求解直线的方程. 【详解】（1）可化为，圆的圆心为，半径； 可化为，圆的圆心为，半径． 设动圆的半径为．若动圆与圆内切，与圆外切，则，， 可得； 若动圆与圆内切，与圆外切，则，，可得． 故．可知点的轨迹是以，为焦点的双曲线，且，， 则，故动圆圆心的轨迹的方程为． （2）设，，易得，则 ， 两式作差得，整理得到， 因为线段的中点为，且在双曲线内部，所以， 则直线的斜率， 故所求直线方程为，即． 14．已知圆的圆心是抛物线的焦点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于、两点，是否存在直线，使得点是弦的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据条件，求出圆心和半径，结合抛物线标准方程，可求出p值，即可得答案. （2）方法一：设，，利用点差法，求出直线l的斜率k，进而可得直线l的方程，与抛物线方程联立，得关于y的一元二次方程，检验判别式，方程无解，所以不成立；方法二：设l方程为，与抛物线方程联立，根据韦达定理，求出m、n的值，检验与矛盾，故无解. 【详解】（1）圆的方程可化为， 故圆心的坐标为. 设抛物线的方程为，所以，所以， 所以抛物线的方程为. （2）不存在符合题意的直线，理由如下： 方法一：假设存在符合题意的直线，设， 则两式相减，得，即， 所以直线的斜率， 若点是的中点，则，所以， 所以直线的方程为，即. 联立方程组，消去得，，方程组无解 即该直线与抛物线没有两个交点，不符合题意，即直线不存在. 方法二：假设存在符合题意的直线，设， 依题直线的斜率不为0，设其方程为， 联立方程组，消去x得，   所以， 则，解得， 所以，解得， 此时，与矛盾， 所以假设不成立，即符合题意的直线不存在. 15．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的方程； (2)当点为弦的中点时，求直线的方程； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由抛物线的焦点求得，即得抛物线的方程； （2）设的方程为，与抛物线C联立方程组，利用根与系数的关系结合中点，求得，即可求解直线的方程． （3）由抛物线定义可知根据题意得到 ，结合根与系数的关系代入即可求解. 【详解】（1）∵抛物线的焦点为，∴，即. ∴抛物线的方程为. （2）设，显然直线斜率存在. 设的方程为， 联立方程，消去，整理得，， 因为点是的中点，由，解得. 所以直线AB的方程为．即． （3）由抛物线定义可知 所以， 由（2）知， ∴ ， 所以 所以当时，取得最小值为． 82 / 91 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 直线与圆锥曲线位置关系的八种题型 题型一：直线与椭圆的位置关系 题型二：椭圆的弦长相关问题 题型三：直线与双曲线的位置关系 题型四：双曲线的弦长相关问题 题型五：直线与抛物线的位置关系 题型六：抛物线的弦长相关问题 题型七：圆锥曲线中的定点、定值问题 题型八：圆锥曲线的中点弦问题 题型一：直线与椭圆的位置关系 1．已知椭圆E：，若过点的两条直线，与E都只有一个交点，且，则（    ） A． B． C．3 D．-3 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为2，若直线与椭圆交于点，满足，则离心率是（   ） A． B． C． D． 3．已知椭圆及其上点，过右焦点的直线与椭圆交于不同两点（均异于点）．若直线的斜率互为相反数，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆C：的左焦点为，过原点的直线l与C交于A，B（A在第一象限）两点，P为C上异于A，B的一点，，当轴时，，，则（   ） A． B． C．1 D．2 5．椭圆的右焦点，直线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆 （）的离心率为 ，且过点 .若直线 与椭圆相切于点 ，且 （ 为坐标原点），则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．已知点在椭圆上运动，则的最大值为 ． 8．已知椭圆，是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，则的取值范围是 . 9．已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是 ． 10．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点分别作斜率为的直线，分别交椭圆E于A，B和C，D四点，且，则 ． 11．若直线与圆O：相切，则过点的直线与椭圆的交点个数是 ． 12．已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则 ． 13．已知椭圆为其任意一点，从原点引圆的两条切线，分别交椭圆于两点，则 ． 14．已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点. (1)求的周长： (2)已知点是椭圆上第一象限的点且，求点的坐标； (3)过点且与垂直的直线交椭圆于两点，若四边形的面积为，求直线的方程； 15．已知椭圆的离心率为，且右焦点与抛物线的焦点重合．直线过右焦点且不平行于坐标轴，与有两交点A，B． (1)求椭圆的方程： (2)若椭圆上存在点，使得四边形OAPB为平行四边形，求此时直线的方程. 16．已知椭圆经过点，且上的点到其左焦点的最短距离为1． (1)求的标准方程； (2)设是上异于左、右顶点的点，直线交于另一点，求直线的斜率的取值范围． 17．已知椭圆的焦距与椭圆的焦距相等，且经过点 (1)求的方程； (2)若直线与相交于、两点，且、关于直线对称，为的对称中心，且的面积为，求的值． 题型二：椭圆的弦长相关问题 1．已知椭圆方程，过其右焦点作互相垂直的两条直线分别与椭圆相交于和四点，则四边形面积的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 2．已知椭圆的左焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于两点，若，则（   ） A． B． C． D． 3．若椭圆的弦AB的中点则弦长（    ） A．4 B． C．2 D． 4．经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 5．已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ． 6．如图,我们把由半椭圆：和半椭圆:合成的曲线称作“果圆”.,是曲线的焦点,是曲线的焦点,则的周长为 .过且斜率为的直线交曲线于两点,则= ．    7．已知椭圆C：，，是椭圆C上两点，，则弦长为 ． 8．已知椭圆的左右两个焦点分别为，，过右焦点的直线与交于A，B两点，若过A，B和点的圆的圆心在轴上，则直线的斜率为 . 9．过点的直线与椭圆交于两点，则的最大值是 . 10．已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为的直线l与椭圆有两个不同的交点，则的最大值为 . 11．已知椭圆的离心率为，长轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，若的面积为，求． 12．已知椭圆，离心率，短轴长为4； (1)求椭圆标准方程； (2)过椭圆焦点做垂直于的直线交椭圆于两点，线段为椭圆通径，求通径的长； (3)过椭圆内一点引一条弦，弦所在直线斜率为1，求弦长. 13．已知椭圆C：（）的右焦点为，点在C上，直线l经过F且与C交于两点（不在x轴上）. (1)求C的方程； (2)若直线l的斜率为，求； (3)设分别为C的左，右顶点，直线与交于点T.证明：点T在定直线上. 14．已知椭圆的右焦点为，离心率为． (1)求的标准方程； (2)过点作一条斜率不为0的直线交于两点，为坐标原点，若，求弦长． 15．已知点，为椭圆：的上､下顶点，点，，其中，且，直线与交于点. (1)证明：点在上； (2)若直线交于，两点，且，求. 题型三：直线与双曲线的位置关系 1．已知双曲线：（），的右支上存在两点,，使得线段的中点是.若过的右焦点且垂直于轴的直线与的右支分别交于点,，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知直线l过双曲线C：的左焦点F，与C的左、右两支分别交于A、B两点，且P为线段中点，设O为坐标原点，若是以为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，线段与交于点，则（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的右焦点为，过的直线交于两点，点在第二象限，且关于轴的对称点为，若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 5．直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，则（   ） A． B．3 C． D．6 6．已知为双曲线的右焦点，经过点的直线与圆切于点，与的左支交于点，记的中点为，则 ． 7．已知等腰的底边端点在双曲线的右支上，顶点在轴上，且不垂直于轴，则顶点的横坐标的取值范围是 ． 8．已知，是椭圆和双曲线的公共顶点．过坐标原点作一条射线与椭圆、双曲线分别交于，两点，直线，，，的斜率分别记为，，，，则的值是 ． 9．已知双曲线，过点的直线交其于轴下方两个不同的点，设的中点为，过点与作直线，则直线的斜率的取值范围是 . 10．能够使得命题“曲线上存在四个点P，Q，R，S满足四边形是正方形”为真命题的实数m的取值范围是 . 11．如果直线l：和曲线Γ：恰有一个交点，那么k的一个值为 . 12．已知，，三点 (1)求外接圆方程； (2)若过点的直线l与中心在原点，过B，C两点的双曲线D相交于M，N两点，A能否是线段MN的中点？请说明理由？ (3)S，T是双曲线D上的两个动点，且直线BS，BT的斜率互为相反数，证明直线ST的斜率为定值． 13．已知双曲线． (1)求的离心率和实轴长； (2)设点在双曲线的左支上，过点分别作斜率为1与的直线、与双曲线交于两点，求的面积的取值范围； (3)过点作的两条切线、，设直线、的斜率分别为、．若，求点的取值范围及的取值范围． 14．已知双曲线：的焦距为，焦点到渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)直线：与的左、右两支各相交于点，. （i）求的取值范围； （ii）是坐标原点，若的面积为，求的值. 15．在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，设点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的值. 16．记双曲线的右焦点为，过点且斜率存在的直线与的右支交于，两点． (1)求斜率的取值范围； (2)若，求的斜率． 题型四：双曲线的弦长相关问题 1．过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，若，则直线有（    ）条 A．4 B．3 C．2 D．1 2．已知是双曲线的左焦点，过点的直线与交于两点（点在的同一支上），且，则（    ） A．6 B．8 C． D． 3．已知双曲线的左焦点为，圆.若过的直线分别交的左、右两支于A，B两点，且圆与相切，的离心率为到的渐近线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若，则这样的直线l有（    ） A．0条 B．2条 C．3条 D．4条 5．焦点在轴上的双曲线，它的实轴长为4，虚轴长为.那么过焦点且弦长为4的直线有 条. 6．过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于A，B两点，使得，若这样的直线有且只有两条，则实数的取值范围是 . 7．在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则的方程为 ；若，则直线的斜率为 ． 8．已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则 ． 9．过双曲线x2－＝1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，则|AB|＝ . 10．过双曲线的右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左、右两支分别交于点，若，，则双曲线的标准方程是 . 11．双曲线的左焦点为． (1)点P在双曲线上，求的最小值（请写出必要推导过程）； (2)过点作倾斜角为的直线l与C交于A，B两点，求． 12．已知点在曲线上运动，动点与定点的距离与到定直线的距离之比为2， (1)求曲线的标准方程； (2)过点的直线交曲线于，两点，线段的垂直平分线交轴于点（异于坐标原点，求的最小值． 13．已知双曲线：的焦距为，且左右顶点分别为,，过点的直线与双曲线的右支交于,两点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为1，求弦长； (3)记直线,的斜率分别为,,证明：是定值. 14．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线交双曲线于A，B两点，且，求的方程. 15．已知双曲线过点，左右焦点分别为． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求； (3)若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为常数，线段MN的中点为Q，求直线OQ的斜率． 16．已知双曲线C：. (1)若直线l：与双曲线C有且仅有一个公共点，求k的值； (2)若直线l：与双曲线C相交于A，B两点，求. 题型五：直线与抛物线的位置关系 1．抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，过点作一条与轴平行的直线与直线交于点（其中为坐标原点），若点的轨迹与椭圆：交于、两点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．过点与抛物线只有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．0条 3．已知抛物线：与抛物线：，则（    ） A．过与焦点的直线方程为 B．与只有1个公共点 C．与x轴平行的直线与及最多有3个交点 D．不存在直线与和都相切 4．若直线被圆所截的弦长不小于2，则l与下列曲线一定有公共点的是（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C有唯一公共点，则这样的直线有 条． 6．直线与抛物线至多有一个公共点，则的取值范围为 ． 7．设曲线与函数的图像关于直线对称，若曲线仍然为某函数的图像，则实数的取值范围为 8．过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，若，O为坐标原点，则 . 9．已知直线与抛物线恰有一个公共点，则 . 10．已知是抛物线:上一点，则点到直线的最短距离是 11．已知抛物线的焦点为为坐标原点，点为抛物线准线上相异的两点，且两点的纵坐标之积为-4，直线，分别交抛物线于，两点，若A，B，F三点共线，则 . 12．已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的一个顶点与抛物线的焦点重合. (1)求抛物线C的方程; (2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且弦AB的中点的横坐标为，求直线l的斜率. 13．已知点为抛物线的焦点，直线与抛物线相切． (1)求抛物线的标准方程； (2)直线，与抛物线相交于两点，若之间的距离，求． 14．已知抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于两点，． (1)求的值； (2)求直线与C的公共点个数. 15．已知动点到点的距离比到直线的距离小，过作圆的一条切线，为切点，过作直线的垂线，垂足为． (1)求点的轨迹方程； (2)当、、三点共线时，求线段的长； (3)判断满足的点有几个，并说明理由． 16．已知直线过点，抛物线． (1)若直线与抛物线于两点，且中点的横坐标为3，求直线的方程； (2)若直线与抛物线有且仅有一个交点，求直线的方程． 题型六：抛物线的弦长相关问题 1．设抛物线的焦点为，不经过的直线与交于、两点，与轴交于点.点的坐标为，且与、的面积之比是，则（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于点．若（为坐标原点），则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（   ） A． B．4 C． D．3 4．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，是坐标原点，若的面积为，则（    ） A．2 B．3 C． D．4 5．过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于两点，若线段的中点的纵坐标为1，则（    ） A．12 B． C． D． 6．已知倾斜角为的直线l过抛物线 的焦点且与抛物线C交于A，B两点，抛物线C的准线与x轴交于点 D，设点 D 到直线l的距离为d，则 . 7．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，则线段的长为 ． 8．已知为坐标原点，抛物线上一点到其焦点的距离为3，过的焦点的直线交于两点，当时，的值为 ． 9．设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，且线段的垂直平分线交于点，交轴于点，若的面积为，则直线的方程为 . 10．过点的直线与抛物线相交于两点，若恰为的中点，则线段的长为 . 11．已知抛物线C：与：交于A，B两点，若，则 ． 12．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点，斜率为1的直线l经过该抛物线的焦点F，且与抛物线相交于C，D两点． (1)求抛物线的标准方程； (2)求线段CD的长； (3)求的值． 13．已知直线：与抛物线：相切于点. (1)求的方程以及点的坐标； (2)过点的直线与交于，两点，的中点为，当 轴时，求的方程. 14．已知抛物线（）过点，其焦点为F，若. (1)求m的值以及抛物线C的方程； (2)过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，C与B，D四点，求四边形ABCD面积的最小值. 15．如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，点的坐标为. (1)若点在上，且，求点的坐标； (2)若是上的任意一点，求的最小值； (3)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线. 16．已知直线与抛物线：（）交于，两点（为坐标原点）.的中点为，过点作轴的垂线，交于点，过点且与相切的直线交直线于点. (1)若，求的方程； (2)求证：点与点关于点对称. 题型七：圆锥曲线中的定点、定值问题 1．已知双曲线：，点P为曲线在第三象限一个动点，以下两个命题，则（    ） ①点P到双曲线两条渐近线的距离为，，则为定值. ②已知A、B是双曲线上关于原点对称不同于P的两个点，若PA、PB的斜率存在且分别为，，则为定值. A．①真②真 B．①假②真 C．①真②假 D．①假②假 2．已知动点在椭圆上，点到定点的距离记为，到定直线的距离记为，则（    ） A． B． C． D． 3．已知是抛物线上异于原点的两点，且以为直径的圆过原点，过点向直线作垂线，垂足为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B两点，右焦点为F，直线与椭圆C相交于P，Q两点，则下列说法正确的是 （填写序号） ①椭圆C的焦距为2； ②为定值； ③当以P，Q，F，B四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为； ④直线和的斜率的乘积为. 5．过左顶点作两条互相垂直的直线交椭圆于，，直线必过定点 ． 6．已知抛物线的准线与对称轴的交点为，过点的直线与抛物线相交于不同的两点A，B，直线经过抛物线的焦点与抛物线相交于D，E两点，且．则的值为 ． 7．已知直线：与双曲线：（，）相交于，两点，双曲线的左、右顶点分别为，，若直线与相交于点，则下列说法中错误的是 .（填写所有错误命题的序号） ①实数的取值范围为或； ②直线与直线的斜率之积为定值； ③点在曲线上； ④的面积最大值为. 8．已知抛物线与直线相切，在轴的正半轴上，是否存在某个确定的点，过该点的动直线与抛物线交于两点，使得为定值？ （填“存在”或“不存在”），若存在，求出点的坐标为 ． 9．已知抛物线，过点任作一条直线与抛物线交于，两点，设点，连接，并延长，分别与抛物线交于点，，则直线过定点 ， ． 10．已知椭圆的右焦点为，过F的直线与E交于两点．当A为E的上顶点时，． (1)求E的方程； (2)过点A作的垂线，垂足为M． （ⅰ）证明：直线过定点N； （ⅱ）记的中点为，的斜率为，NB的斜率为，证明：是定值． 11．已知椭圆，其离心率为，且过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆C的左、右顶点分别为A和B，求直线HA，HB的斜率之和； (3)过点的直线交椭圆C于P，Q两点（异于点H），设直线HP，HQ的斜率分别为，，证明：为定值． 12．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为，实轴长为． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线的左支交于两点，点与点关于轴对称． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：直线过轴上一定点，并求出该定点的坐标. 13．在平面直角坐标系xOy中，，曲线上有两点A，B，当时，. (1)求曲线E方程； (2)若点A在曲线E的右支上，点B在曲线E的左支上，点A，B，F三点不共线，且，试判断直线AB是否恒过一个定点，若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由. 14．在平面直角坐标系xOy中，点P到点的距离比到y轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)过点F且斜率不为零的直线l交椭圆于A，B两点，交曲线C于M，N两点，若为定值，求实数λ的值． 15．如图，已知直线与抛物线交于两点，且.    (1)求证：直线恒过定点，并求此定点； (2)若交于点，点的坐标为，请你求出的值； (3)在第（2）问的基础上，若是抛物线上的任一点，为抛物线的焦点，求的最小值及此时点的坐标. 题型八：圆锥曲线的中点弦问题 1．已知椭圆，过点的直线交于，两点，且是线段的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．若双曲线的焦距为4，直线与交于A，B两点，且线段AB的中点为，则直线的斜率为（    ） A．2 B． C．1 D． 3．已知抛物线（），过其焦点且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为1，则该抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知椭圆以及椭圆内一点，则以P为中点的弦所在直线的方程为 5．已知直线l与椭圆交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则直线l的斜率为 . 6．已知直线与双曲线相交于两点.若弦被直线平分，则实数的值为 . 7．过点的直线l与双曲线C：交于A，B两点，若，则直线l的方程为 . 8．已知抛物线，直线与交于两点，为弦的中点，则直线的斜率为 ． 9．在抛物线上有三个不同点、、，焦点为，点坐标为且轴，为的重心，则的面积为 ． 10．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点，动点满足：直线PM与直线PN的斜率之积是． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)若直线与轨迹C相交于A，B两点，求弦长． (3)直线与（1）中轨迹C相交于A，B两点，若为线段AB的中点，求直线的方程； 11．已知椭圆的右焦点为，短轴长为8． (1)求椭圆的方程： (2)若是上顶点，直线交椭圆于两点，的重心恰好为点，求直线的方程． 12．已知双曲线的焦距为，其渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 13．设圆：，圆：，已知动圆与其中一个圆内切，与另一个圆外切． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)若，是上的两点且线段的中点为，求所在直线的方程． 14．已知圆的圆心是抛物线的焦点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于、两点，是否存在直线，使得点是弦的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 15．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的方程； (2)当点为弦的中点时，求直线的方程； (3)求的最小值． 21 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $