精品解析：上海市奉贤区2026届高三上学期数学一模试卷

2025学年第一学期奉贤区高三数学练习卷 一、填空题（本题共12小题，1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分．） 1. 已知集合，，则______________．(区间表示结果) 2. 不等式的解集是______． 3. 在二项式的展开式中，的系数是______．（用数字表示答案） 4. 已知向量，则经过点且与垂直的直线方程为______． 5. 已知等比数列的各项均为正数，若，，则该等比数列的公比为______． 6. 从3位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，只有1位女生入选，则不同的选法有______种．（用数字表示答案） 7. 在正四棱台中，异面直线与所成角的大小为______． 8. 若函数是偶函数，则实数______． 9. 若复数满足，，则复数______． 10. 已知两个非负实数、满足，则的最小值是______． 11. 在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则的最大值是______． 12. 运动员关心的是在足球场上的哪些位置射门命中的角度较大．在真实的射门过程中，我们做一些假定： （1）将足球看成一个质点； （2）接近球门时，足球运动的轨迹与地面平行； （3）射门时，足球与球门之间无防守员； （4）足球场平面图是一个矩形； （5）标准足球场的长度为105米，宽度为68米，球门的宽度为7.32米； 如图，以线段 所在直线为轴，以线段 的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，是球门中心，两门柱位置分别为点、，两个角球点为、，是半场分界线． 对于区域内，射门点， 对于每一个确定的横坐标，可以找到唯一的，可以证明横坐标不变时， 时，最大．此时，点在轴上是最佳射门点． 对于每一个确定的纵坐标，同样可以找到唯一的，当______时，最大．此时，点是最佳射门点． 二、选择题（本题共4小题，13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 13. 设、为实数，且，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. 时， D. 14. 设，，是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出四个命题： ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，则 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. 曲线的方程为（、不同时为0），则下列说法正确的是（ ） A. 曲线不可能是直线 B. 当 ，时，曲线是椭圆 C. 若曲线是双曲线，则双曲线的渐近线与无关 D. 曲线是抛物线 16. 已知等差数列的公差不为零，为其前项和，存在正整数满足，有两个命题： 命题①：设数列公差，则． 命题②：、 均是小于的正整数，则． 以上判断正确的是（ ） A. 命题①②都是真命题 B. 命题①是真命题，命题②是假命题 C. 命题①②都是假命题 D. 命题①是假命题，命题②是真命题 三、解答题（本题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 已知函数． （1）当时，求函数的值域； （2）在中，角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求． 18. A校高一年级共有学生462名，其中女生224名．为了解该校高一年级学生的身高和体重情况，按分层随机抽样从中获取66名学生的身高（cm）和体重（kg），其中66名学生的身高（从低到高排序三列，每列22人）汇总如左下表（隐蔽部分信息数据），身高的频率分布表如右下表（隐蔽了部分信息数据），66名学生体重绘制茎叶图如右下图． A校66名高一年级学生身高数据 性别 身高/cm 性别 身高/cm 性别 身高/cm 女 152 女 164 男 172 女 153 男 165 男 172 女 154 女 172 女 155 男 173 女 156 男 173 女 156 男 174 女 156 男 174 女 157 男 174 女 157 男 174 女 159 男 175 女 159 男 176 女 160 男 176 女 160 男 177 女 160 男 177 女 160 男 178 女 161 男 178 女 162 男 178 女 163 男 170 男 178 女 163 男 170 男 179 女 164 男 170 男 181 女 164 男 170 男 182 女 164 男 170 男 184 A校66名高一年级学生身高的频率分布表 身高分组区间 频数 频率 累积频数 [151.5,154.5) 3 0.05 3 [154.5,157.5) 0.09 9 [157.5,160.5) 0.09 15 [160.5,163.5) 19 [163.5,166.5) 31 [166.5,169.5) 39 [169.5,172.5) 47 [172.5,175.5) 54 [175.5,178.5) 8 0.12 62 [178.5,181.5) 2 0.03 64 [181.5,184.5] 2 0.03 66 （1）能否推算出身高165cm的具体人数？ （2）求抽取的男生人数、抽取到的男生体重的中位数； （3）已知这66名学生中男生身高平均数为173.1cm，方差为25.9；女生身高平均数为161.3cm，方差为23.3．请计算该样本数据在区间中包含样本数据的个数． （其中是样本平均数，是样本标准差） 19. 如图，将直角三角形 绕直角边 所在直线旋转一周形成圆锥 ．已知圆锥 的底面半径为3cm，圆锥的侧面积．设、是底面圆周上的两点，线段 不经过点． （1）求圆锥 的体积； （2）求证：直线 与直线是异面直线； （3）二面角 的大小为，求直线 与平面 所成角的大小． 20. 椭圆，是第一象限内椭圆上的点，，，，椭圆的离心率是．，， 且 ． （1）求椭圆的方程并在下图1中作出椭圆的左焦点，写出作图依据； （2）如图2，设，三角形 的面积记为，三角形的面积记为，若，求点的坐标； （3）设，连结与椭圆交于点，连结与椭圆交于点，判断是否为定值？请说明理由． 21. 记，分别为函数和的导数，存在，满足且，则称为和的一个“点”． （1）若函数与存在“点”，求实数的值； （2）证明函数与不存在“点”； （3）已知函数，，对任意的 ，判断是否存在 ，使得函数和在区间内存在“点”，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期奉贤区高三数学练习卷 一、填空题（本题共12小题，1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分．） 1. 已知集合，，则______________．(区间表示结果) 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的定义即可得出答案. 【详解】由交集的定义可知. 故答案为： 2. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值不等式计算求解. 【详解】因为，所以，所以 ， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 3. 在二项式的展开式中，的系数是______．（用数字表示答案） 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式计算求解. 【详解】二项式的展开式中，通项公式为， 当时，， 的系数是． 故答案为： . 4. 已知向量，则经过点且与垂直的直线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据向量垂直得出斜率，再点斜式得出直线方程进而得出一般式. 【详解】因为向量，则与垂直的直线方程斜率为， 则经过点且与垂直的直线方程为， 即得 故答案为： 5. 已知等比数列的各项均为正数，若，，则该等比数列的公比为______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据等比数列的通项关系作除法运算即可得公比的值. 【详解】设等比数列的公比为， 因为各项均为正数，若，， 则， 故该等比数列的公比为. 故答案为：. 6. 从3位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，只有1位女生入选，则不同的选法有______种．（用数字表示答案） 【答案】 【解析】 【分析】根据组合数及乘法原理计算求解. 【详解】从3位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，只有1位女生入选，则不同的选法有种． 故答案为：. 7. 在正四棱台中，异面直线与所成角的大小为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正四棱台特征得出 平面，再结合线面垂直判定定理得出 平面 ，进而得出异面直线所成的角. 【详解】 取中点，取中点，连接. 因为四棱台是正四棱台， 所以 平面， 平面， 所以， 又因为是正方形，所以， 且平面 ，所以 平面 ， 平面 ，所以， 所以异面直线与所成角的大小为. 故答案为：. 8. 若函数是偶函数，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】由偶函数定义建立方程，解得实数. 【详解】函数的定义域为 ， 由题意可知，即， 所以， 因该等式对定义域内的任意都成立，故， 解得 故答案为： 9. 若复数满足，，则复数______． 【答案】或． 【解析】 【分析】先设复数，再计算得出即可求解. 【详解】设复数， 复数满足，， 所以， 所以，或 (当时，，与矛盾，故舍去)， 所以， 则复数或． 故答案为：或． 10. 已知两个非负实数、满足，则的最小值是______． 【答案】10 【解析】 【分析】由 ，代入结合二次函数单调性即可求解. 【详解】因为两个非负实数、，， 所以， ， 所以， 令，对称轴为， 由二次函数单调性可知当 时，取得最小值10， 故答案为：10 11. 在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据模长值得出圆的轨迹，再根据模长关系得出椭圆，最后应用圆与椭圆的位置关系得出最值即可. 【详解】因为和是互相垂直的单位向量，所以设， 向量满足，表示以为圆心，半径为1的圆， ， 向量满足， 表示长轴为，焦距的椭圆，且为椭圆焦点， 因为表示以为圆心，半径为1的圆上的点到椭圆上的点距离， 则. 故答案为：16． 12. 运动员关心的是在足球场上的哪些位置射门命中的角度较大．在真实的射门过程中，我们做一些假定： （1）将足球看成一个质点； （2）接近球门时，足球运动的轨迹与地面平行； （3）射门时，足球与球门之间无防守员； （4）足球场平面图是一个矩形； （5）标准足球场的长度为105米，宽度为68米，球门的宽度为7.32米； 如图，以线段所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，是球门中心，两门柱位置分别为点、 ，两个角球点为、，是半场分界线． 对于区域内，射门点， 对于每一个确定的横坐标，可以找到唯一的，可以证明横坐标不变时，时，最大．此时，点在轴上是最佳射门点． 对于每一个确定的纵坐标，同样可以找到唯一的，当______时，最大．此时，点是最佳射门点． 【答案】 【解析】 【分析】作的外接圆，得到圆心所在直线，由圆的圆心角和圆周角的关系找到最大时两点的位置关系，即可求得的值. 【详解】如图，，设 作的外接圆，∵，，∴圆心在轴正半轴上. 则， ∴当最大时，取最大值， ， ∴， ∴当取最小值时，取得最小值，∵，所以取最大值， 又∵，点为直线上动点， ∴当时，取得最小值， 此时，即. 故答案为：. 二、选择题（本题共4小题，13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 13. 设、为实数，且，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. 时， D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用特殊值法计算判断A，B，C，应用对数函数单调性判断D. 【详解】因为、为实数，且， 当，，A选项错误； 当，，B选项错误； 当时，，C选项错误； 当，所以，D选项正确； 故选：D. 14. 设，，是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出四个命题： ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，则 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面位置关系的判定定理、性质定理，以及推论，逐项判定，即可求解. 【详解】由是互不重合的平面，，是互不重合的直线， 对于①中，由，则或与相交，所以不正确； 对于②中，由，则或或与相交，所以不正确； 对于③中，由，根据垂直于同一直线的两平面平行，可得， 所以正确的； 对于④中，由，可得，所以正确. 故选：B. 15. 曲线的方程为（、 不同时为0），则下列说法正确的是（ ） A. 曲线不可能是直线 B. 当 ，时，曲线是椭圆 C. 若曲线是双曲线，则双曲线的渐近线与无关 D. 曲线是抛物线 【答案】C 【解析】 【分析】根据的取值结合圆、椭圆、双曲线方程的特点逐项分析曲线的方程. 【详解】A．当时，，所以为两条直线，A选项错误； B．因为，所以曲线是半径为的圆，故B错误； C．因为，，所以曲线是双曲线，则，则渐近线，故C正确； D．因为曲线，、 不同时为0， 当时， 当时，曲线是两条相交直线； 当时，曲线是点； 当时，曲线是点； 当时，曲线是两条相交直线； 当时，曲线是直线； 当时，曲线是直线； 当时，曲线是直线； 当时，曲线是直线； 当时， 当时，曲线是双曲线； 当时，曲线不存在； 当时，曲线是椭圆； 当时，曲线是圆； 当时，曲线是双曲线； 当时，曲线不存在； 当时，曲线是直线； 当时，曲线不存在； 当时，曲线是直线； 所以曲线不能是抛物线，故D错误； 故选：C. 16. 已知等差数列的公差不为零，为其前项和，存在正整数满足，有两个命题： 命题①：设数列公差，则． 命题②：、 均是小于的正整数，则． 以上判断正确的是（ ） A. 命题①②都是真命题 B. 命题①是真命题，命题②是假命题 C. 命题①②都是假命题 D. 命题①是假命题，命题②是真命题 【答案】D 【解析】 【分析】命题①：利用等差数列的求和公式，将条件整理得到，又，计算即可得解；命题②：利用等差数列的求和公式求解即可. 【详解】等差数列的公差不为零，为其前项和，， ，， 命题①：， ， ，， 当时，； 当 且时，；故命题①错误； 命题②：，、 均是小于的正整数， ， ， ，故命题②正确. 故选：D. 三、解答题（本题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 已知函数． （1）当时，求函数的值域； （2）在中，角、 及所对边的边长分别为、及，若，，，求． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式将函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数的性质计算即得； （2）由计算出，利用两角和的正弦公式求得，再借助于正弦定理计算即得. 【小问1详解】 ， 当时，， 则，即的值域为； 【小问2详解】 ，则，即， 又，故或； 若，由，则 ， 由正弦定理，可得； 若，由，则 ， 由正弦定理，可得. 综上，或. 18. A校高一年级共有学生462名，其中女生224名．为了解该校高一年级学生的身高和体重情况，按分层随机抽样从中获取66名学生的身高（cm）和体重（kg），其中66名学生的身高（从低到高排序三列，每列22人）汇总如左下表（隐蔽部分信息数据），身高的频率分布表如右下表（隐蔽了部分信息数据），66名学生体重绘制茎叶图如右下图． A校66名高一年级学生身高数据 性别 身高/cm 性别 身高/cm 性别 身高/cm 女 152 女 164 男 172 女 153 男 165 男 172 女 154 女 172 女 155 男 173 女 156 男 173 女 156 男 174 女 156 男 174 女 157 男 174 女 157 男 174 女 159 男 175 女 159 男 176 女 160 男 176 女 160 男 177 女 160 男 177 女 160 男 178 女 161 男 178 女 162 男 178 女 163 男 170 男 178 女 163 男 170 男 179 女 164 男 170 男 181 女 164 男 170 男 182 女 164 男 170 男 184 A校66名高一年级学生身高的频率分布表 身高分组区间 频数 频率 累积频数 [151.5,154.5) 3 0.05 3 [154.5,157.5) 0.09 9 [157.5,160.5) 0.09 15 [160.5,163.5) 19 [163.5,166.5) 31 [166.5,169.5) 39 [169.5,172.5) 47 [172.5,175.5) 54 [175.5,178.5) 8 0.12 62 [178.5,181.5) 2 0.03 64 [181.5,184.5] 2 0.03 66 （1）能否推算出身高165cm的具体人数？ （2）求抽取的男生人数、抽取到的男生体重的中位数； （3）已知这66名学生中男生身高平均数为173.1cm，方差为25.9；女生身高平均数为161.3cm，方差为23.3．请计算该样本数据在区间中包含样本数据的个数． （其中是样本平均数， 是样本标准差） 【答案】（1）不能，理由如下： 由身高的频率分布表可得，身高位于的人数为 人， 由身高数据表格可得身高 的有人，则身高为 、 的共人， 故不能得到身高 的具体人数； （2）抽取的男生人数为人，抽取到的男生体重的中位数为 （3） 【解析】 【分析】（1）结合表格可得身高为 、 的共人，不能得到身高165cm的具体人数； （2）借助茎叶图可得抽取的男生人数，再利用中位数定义可得抽取到的男生体重的中位数； （3）借助分层抽样的平均数与方差公式，可得与 ，即可得，再借助身高数据表格即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由茎叶图可得抽取的男生人数为人， 抽取到的男生体重的中位数为 ； 【小问3详解】 ， ， 则 ， 则 ， ， 则由身高数据表格可得位于区间的人数为 人. 19. 如图，将直角三角形 绕直角边 所在直线旋转一周形成圆锥 ．已知圆锥 的底面半径为3cm，圆锥的侧面积．设、 是底面圆周上的两点，线段不经过点． （1）求圆锥 的体积； （2）求证：直线 与直线是异面直线； （3）二面角 的大小为，求直线 与平面 所成角的大小． 【答案】（1） （2）证明如下： 因为 平面 ， 平面 ， 所以直线 与直线是异面直线； （3） 【解析】 【分析】（1）由侧面积公式求得母线长，进而得到圆锥高，结合体积公式即可求解； （2）由异面直线判定定理即可求解； （3）过点作 于，连接 ，确定 为直线 与平面 所成角，进而可求解. 【小问1详解】 设圆锥的母线长为，底面半径为， 由题意可得： ， 所以 ， 所以圆锥 的体积 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为二面角 的大小为， 由圆锥的结构可知： ， 所以即为二面角 的平面角， 所以，又 ， 所以， 过点作 于，连接 ， 因为 ， 为平面 两条相交直线， 所以 平面 所以 即为直线 与平面 所成角， 又， 又 平面 ， 在平面 内， 所以 ， 所以， 所以， 即直线 与平面 所成角大小为. 20. 椭圆，是第一象限内椭圆上的点，，，，椭圆的离心率是．，， 且 ． （1）求椭圆的方程并在下图1中作出椭圆的左焦点，写出作图依据； （2）如图2，设，三角形 的面积记为，三角形的面积记为，若，求点的坐标； （3）设，连结与椭圆交于点，连结与椭圆交于点 ，判断是否为定值？请说明理由． 【答案】（1）椭圆的方程为 ，作图依据如下： 因为椭圆中，，，椭圆的离心率是， 则，解得， 则椭圆的方程为 ； 如下图：以为圆心，以的长为半径在线段上画圆弧，与线段的交点即为椭圆的左焦点； （2） （3）为定值，理由如下： 如图所示，， 且 ，，则 ， 过作 轴于，过 作 轴于， 设 ，其中， ，恒成立， 所以， 则， 设 ，其中， ，恒成立， 所以， 则， 因为， 所以 为定值， 所以为定值. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆中的关系求解椭圆方程即可，利用椭圆的定义作图即可得椭圆的左焦点； （2）设，则 ，根据三角形面积公式即可得，关于的式子，利用面积比例求解即可得所求； （3）设 ，其中， ，其中，分别与椭圆方程联立，根据根于系数的关系得与，与的关系，再根据线段比例关系计算验证是否为定值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则 ①，且 ， 当时，， 又， 因为，，所以直线的方程为 ，即 ， 故点到直线的距离， ， 因为，所以，即 ②， 联立①②，且 ，解得， 故点的坐标为； 【小问3详解】 略 21. 记，分别为函数和的导数，存在，满足且，则称为和的一个“点”． （1）若函数与存在“点”，求实数的值； （2）证明函数与不存在“点”； （3）已知函数，，对任意的 ，判断是否存在 ，使得函数和在区间内存在“点”，请说明理由． 【答案】（1）； （2）由题意 需同时满足：， 令， 函数 有，函数，有， 令，所以得， 因为，所以无解， 故函数 与不存在“ 点”； （3）对任意的 ，存在 ，使得函数和在区间内存在“ 点”. 设，，则，， 函数与在区间内存在“ 点”， 则 且需同时满足：，即， 得：且， 联立得：， 因为 ， 所以， 由 得： ， 又因为 ，所以，解得， 此时，当 ，所以， 当，设，， 故在为增函数，且，而时，， 故对于任意 ，总存在，使得， 令， 求导得， ， 故函数在 单调递增，故， 所以存在 满足题意； 所以存在 ，使得函数和在区间内存在“ 点”. 【解析】 【分析】（1）求导，设“ 点”为，解方程组，可得结论． （2）假设存在“ 点”为，解方程组，应用等式无解可得结论； （3）设“ 点”为，由，用表示出 ，由 求得的范围，利用导数求得 的范围即可求解. 【小问1详解】 设 ，，则 ，， 由题意得： 需同时满足：，故， 所以， 得，所以 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $