专题02 整式的加减（必备知识+14大题型+分层训练）（期末复习讲义）七年级数学上学期新教材青岛版

该初中数学期末复习讲义通过表格系统梳理整式加减的核心考点、复习目标与考情规律，以“同类项-合并同类项-去括号/添括号-整式加减”的递进知识框架呈现内容，明确符号运算、步骤规范等重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层递进的题型设计，涵盖基础运算（如合并同类项）、规律探索（如数字/图形类规律）、实际应用（如公园花圃篱笆问题），培养运算能力与推理意识。通过例题变式与易错点拨，帮助不同层次学生掌握方法，助力教师实施精准复习教学。

专题02 整式的加减（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 合并同类项 掌握同类项概念，能准确合并同类项。 常结合化简求值，侧重符号与系数运算。 去括号法则 熟练应用去括号法则，准确处理符号变化。 多在整式化简中考查，易错点为负号分配。 添括号法则 掌握添括号法则，确保括号内外符号正确。 偶考于公式逆用，需注意括号前符号对各项影响。 整式的加减运算法则 熟练进行整式加减运算，规范步骤。 综合考查合并同类项与去括号，注重运算准确性。 知识点01：同类项 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式. 【易错点拨】 (1)判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可． (2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关． (3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项． 知识点02：合并同类项 1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变． 【易错点拨】 合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意： (1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有． (2) 合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算. 知识点03：去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 【易错点拨】 （1） 去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘． （2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号． (3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号． （4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 知识点04：添括号法则 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号． 【易错点拨】 (1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的． (2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误： 如：， 知识点理05：整式的加减运算法则 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 【易错点拨】 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来． (3)整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数． 题型一多项式的项、项数或次数 【例1】（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）已知多项式，按要求解答下列问题： (1)该多项式的次数是 ． (2)按的降幂排列为： ． (3)若，求该多项式的值． 【变式】（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）下列说法：①若、互为相反数，则；②是二次三项式；③立方等于本身的数为0和1；④若为正整数，则．其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型二 多项式系数、指数中字母求值 【例2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）多项式是关于的四次三项式，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【变式】（25-26七年级上·吉林松原·期中）已知多项式是关于x的四次四项式． (1)求a、b的值； (2)将该多项式按x的降幂重新排列． 题型三 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【例3】（25-26七年级上·吉林·期中）已知多项式是关于、的四次三项式． (1)直接写出 ； (2)将此多项式按的升幂重新排列． 【变式】（25-26七年级上·吉林·期中）已知关于、的多项式是五次四项式（、为有理数），且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求、的值； (2)将这个多项式按x的降幂重新排列． 题型四 已知同类项求指数中字母或代数式的值 【例4】（25-26七年级上·河南驻马店·期中）（1）单项式与是次数相同的单项式，求m的值． （2）已知单项式与单项式是同类项，求的值． 【变式】（25-26七年级上·安徽宿州·期中）若单项式和是同类项，则的值为 ． 题型五 合并同类项 【例5】（23-24七年级上·吉林白城·期末）如图所示的图形由一个正方形和两个长方形组成． (1)求该图形的面积（用含x的式子表示） (2)若，求该图形的面积． 【变式】（25-26七年级上·福建龙岩·期中）计算或化简 (1) ； (2)； (2) ； (4)． 题型六 去括号 【例6】（25-26七年级上·辽宁盘锦·期中）化简 (1)； (2)． 【变式】（25-26七年级上·河南洛阳·期中）把多项式去括号后按字母的降幂排列为 . 题型七 添括号 【例7】（25-26七年级上·山西长治·期中）下列各项中，添括号与去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】（24-25七年级上·辽宁朝阳·期中）【知识呈现】 我们可把中的“”看成一个字母a，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 （1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为_____；（用含的式子表示） （2）若代数式的值为4，则代数式的值为______； 【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题： （3）已知，的值为最大的负整数，求的值． 题型八 整式的加减运算 【例8】（25-26七年级上·云南玉溪·期中）已知数，，在数轴上的位置如图所示，化简． 【变式】（25-26七年级上·湖南株洲·期中）已知a，b在数轴上的位置如图所示： (1)用“”、“”或“”填空：a______0， _____0， ______0； (2)化简：． 题型九 整式的加减中的化简求值 【例9】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式】（25-26七年级上·河南新乡·期中）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，．类似的我们可以把看成一个整体，则 ．请尝试解决： (1)把看成一个整体，合并_________； (2)已知，求的值； (3)已知，求代数式的值． 题型十 整式加减中的无关型问题 【例10】（25-26七年级上·四川达州·期中）已知代数式．． (1)化简：； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【变式】（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）日常生活中每星期都有7天，所以我们定义：若，则称与为“完美星期数”，例如：因为，我们就说6和1是“完美星期数”，请根据以上材料，回答下列问题： (1)与_____是“完美星期数”， 与_____是“完美星期数”；（用含的代数式表示） (2)若，请你通过计算判断与是否为“完美星期数”； (3)已知，且与为“完美星期数”，求与的值． 题型十一整式加减的应用 【例11】（25-26七年级上·四川绵阳·月考）定义：若，则称m与n是关于2的平衡数． (1)3与 是关于2的平衡数；与 （用含x的整式表示）是关于2的平衡数． (2)若，，判断A与B是否是关于2的平衡数，并说明理由． 【变式】（25-26七年级上·河南信阳·期中）如图，公园有一块长为米，宽为a米的长方形土地(一边靠着墙)，现将公园三面留出宽都是b米的小路，余下部分设计成长方形花圃，并用篱笆沿该花圃不靠墙的三边将花圃围挡起来． (1)花圃的宽为 米，花圃的长为 米；(用含a，b的代数式表示) (2)求围挡该花圃的篱笆的总长度；(用含a，b的代数式表示) (3)若，篱笆的单价为50元/米，请计算围挡该花圃的篱笆的总价． 题型十二 带有字母的绝对值化简问题 【例12】（25-26七年级上·云南玉溪·期中）如果，那么的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级上·山东日照·期中）三个有理数，满足，求 ． 题型十三 数字类规律探索 【例13】（25-26七年级上·辽宁大连·期中）【问题初探】 数形结合思想通过将数与形相互转化、相互结合，把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化． 如图1，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的通过观察图形可以发现，图1中阴影部分的面积为进而得到 如图2，按图1的方式依次取这个正方形面积的类比图1，可求的值． 【归纳结论】 （1）(用含n的式子表示)； 【学以致用】 （2）运用（1）发现的结论计算的值； 【拓广探索】 （3）计算的值． 【变式】（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·月考）如图是一根起点为1的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上第一行的数是1，第二行的数是13，第三行的数是43，…，依此规律，第五行的数是（ ） A．91 B．183 C．153 D．157 题型十四 图形类规律探索 【例14】（25-26七年级上·四川乐山·期中）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：，和分别可以按如图所示的方式“分裂”成个，个和个连续奇数的和，即；；；…；若也按照此规律来进行“分裂”，则“分裂”出的奇数中，最小的那个奇数是（   ） 一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：，和分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和， A． B． C． D． 【变式】（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形共有 个★． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）单项式的系数和次数是（） A．系数是，次数是5 B．系数是，次数是5 C．系数是，次数是3 D．系数是5，次数是 2．（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）在代数式，，中，单项式的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（25-26七年级上·宁夏固原·月考）单项式的次数是（   ） A．8 B．6 C．5 D．3 4．（25-26七年级上·云南昭通·月考）观察下列图形规律．用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，如果图形中含有n个三角形，需要火柴棍的根数是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·四川乐山·期中）单项式的系数是 ；次数是 ． 6．（25-26七年级上·四川达州·月考）若单项式和是同类项，则 ． 7．（25-26七年级上·河南新乡·期中）定义：若一个多项式有两项且两项的次数相同，则这样的多项式就叫做“齐次二项式”．若关于a，b的多项式是“齐次二项式”，在数轴上表示n的点在表示的点距离5个单位长度处，则 ． 8．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）化简： (1) (2) (3) (4) 9．（25-26七年级上·甘肃天水·期中）第十五届全运会于年在广东、香港、澳门举行．某场馆建设需要采购一批运动器材，采购清单如下： 篮球：个；足球：个；排球：个． (1)用代数式表示采购的球类总数； (2)当，时，计算采购的球类总数． 10．（25-26七年级上·河南信阳·期中）阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是 ．例如： (1)按照这个规定，请你计算的值． (2)按照这个规定，请你计算当时，的值． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·湖南株洲·期中）下列说法中正确的是（　　） A．0既不是整数也不是分数 B．一个数的绝对值一定是正数 C．单项式的系数是 D．是四次三项式 3．（22-23七年级上·河北保定·期末）王老师将正确的演算过程书写在黑板上，随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，则所捂的多项式为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·上海·期中）合并同类项： ． 5．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第25个图案中的基础图形个数为 个． 6．（25-26七年级上·四川成都·期中）某多媒体电子杂志上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为，将每条边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，得到图形如图（2），称为第一次变化：再对图（2）的每条边做相同的变化，得到图形如图（3），称为第二次变化；如此连续作几次，便可得到一个变化丰富的雪花图案．请问第次变化时，图形的面积为 ，图形的周长为 ． 7．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）化简： (1)． (2)． 8．（25-26七年级上·广西南宁·期中）某书店推出“读书月”促销活动，规则如下：·单本定价：故事书每本a元，科普书每本b元．·优惠政策：一次性购买同类型书籍超过5本时，超出部分每本价格打8折（不超过5本按原价）．七年级（2）班分两天采购书籍：第一天：买了4本故事书和6本科普书；第二天：买了7本故事书和3本科普书． (1)请用含a、b的代数式分别表示（化简代数式）； ①第一天采购书籍的总费用 ②第二天采购书籍的总费用 ③这两天采购的总费用 (2)若故事书单价元，科普书单价元，计算这两天采购的总费用实际是多少元． 9．（25-26七年级上·河南新乡·期中）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知． (1)请说明原点在第______部分； (2)若点A与点C之间的距离长是多项式的一次项系数，点B与点C之间的距离长是单项式的次数，b是最大的负整数，求a． 10．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）【问题背景】 在数轴上，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点距离原点12个单位长度，点距离原点2个单位长度． 【初步探究】 （1）点表示的数是___________，点表示的数为___________； （2）若点是数轴上的点，且点到点的距离为6，求点表示的数及两点之间的距离； 【深度拓展】 （3）若点是数轴上的点，且点与点之间的距离相等．若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左移动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，经过秒，求两点之间的距离．（用含的代数式表示） 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（23-24七年级上·重庆南岸·期中）下列说法中错误的有（    ） ① 多项式的常数项是1；② 单项式的次数是5； ③ 单项式和多项式统称为整式；④若与是同类项，那么 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级上·山东济南·期中）下列说法正确的是（） A．的系数为 B．单项式与是同类项 C．的次数是3 D．多项式是，与1三项的和 3．（25-26七年级上·重庆·期中）已知整式，其中，为正整数，，，，为自然数，为整数，若，下列说法：①满足条件的所有整式中有且仅有个三次三项式；②存在一个，使得满足条件的整式有且仅有个；③在满足条件的所有整式中，存在几个整式的和为；其中正确的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）有依次排列的3个数：3，0，6，对任意相邻的两个数，都用左边的数减去右边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，3，0，-6，6，这称为第一次操作；第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，0，3，3，0，6，-6，-12，6，继续依次操作下去，已知第n次操作后，得到的新数串各个数之和为0，则第次操作后，得到的新数串各个数之和为（   ） A． B．-39 C．-174 D．-183 5．（25-26七年级上·山东日照·期中）有理数、、在数轴上的位置如图所示． ． 6．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）现有1张大长方形和3张相同的小长方形卡片，按如图所示两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是 ．（用含a，b的代数式表示） 7．（25-26七年级上·福建泉州·期中）如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为42的长方形内，两个正方形中均有一组邻边分别落在长方形的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为56，那么这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长为 ． 8．（25-26七年级上·云南玉溪·期中）化简． (1)； (2)． 9．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）已知多项式． (1)若该多项式不含有3次项，求a的值并写出常数项． (2)若该多项式是关于x的三次二项式，求a的值并写出最高次项． 10．（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）如图①，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为，即．如图②，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是3的相反数，是最大的负整数，是多项式的次数． (1)______，______，______． (2)是数轴上任意一个有理数，则的最小值是______． (3)如图③，，，是数轴上的三点，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是6，点，，同时开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，点和点分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设运动后，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．若的值是一个定值，请求出的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式的加减（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 合并同类项 掌握同类项概念，能准确合并同类项。 常结合化简求值，侧重符号与系数运算。 去括号法则 熟练应用去括号法则，准确处理符号变化。 多在整式化简中考查，易错点为负号分配。 添括号法则 掌握添括号法则，确保括号内外符号正确。 偶考于公式逆用，需注意括号前符号对各项影响。 整式的加减运算法则 熟练进行整式加减运算，规范步骤。 综合考查合并同类项与去括号，注重运算准确性。 知识点01：同类项 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式. 【易错点拨】 (1)判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可． (2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关． (3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项． 知识点02：合并同类项 1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变． 【易错点拨】 合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意： (1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有． (2) 合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算. 知识点03：去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 【易错点拨】 （1） 去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘． （2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号． (3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号． （4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 知识点04：添括号法则 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号． 【易错点拨】 (1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的． (2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误： 如：， 知识点理05：整式的加减运算法则 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 【易错点拨】 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来． (3)整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数． 题型一多项式的项、项数或次数 【例1】（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）已知多项式，按要求解答下列问题： (1)该多项式的次数是 ． (2)按的降幂排列为： ． (3)若，求该多项式的值． 【答案】(1)3 (2) (3) 【思路引导】（1）先分别说出各项的次数，再得出多项式的次数； （2）将多项按的次数由高到低排列即可； （3）先利用绝对值的非负性求出、的值，再代入代数式求值． 【规范解答】（1）解：，第1项为2次，第2项为3次，第3项为常数项， 故该多项式的次数是3， 故答案为：3； （2）按的降幂排列为：， 故答案为：； （3）∵， ∴，， ∴，， ∴ ． 【考点剖析】本题考查了多项式的项、项数或次数，将多项式按某个字母升幂（降幂）排列，已知字母的值求代数式的值，绝对值非负性等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 【变式】（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）下列说法：①若、互为相反数，则；②是二次三项式；③立方等于本身的数为0和1；④若为正整数，则．其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【思路引导】本题考查了相反数、多项式的次数与项数、乘方运算的知识，解题的关键是逐一分析每个说法的正确性． 分别对4个说法进行判断∶①考虑的情况；②分析多项式的次数和项数；③补充立方等于本身的数；④计算乘方后求和，最后统计正确说法的个数． 【规范解答】解：①中，若、互为相反数，则，但当时，无意义，故①错误； ②中，多项式的最高次项的次数为2，且有三项，故是二次三项式，正确； ③中，立方等于本身的数有、、，③错误； ④中，为正整数，，，故和为，④错误． 只有②正确，正确的个数是1个． 故选B． 题型二 多项式系数、指数中字母求值 【例2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）多项式是关于的四次三项式，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【思路引导】本题考查多项式的次数与项数的概念，解题的关键是根据“四次三项式”的定义，同时满足最高次项次数为4、多项式有三项这两个条件． 根据“四次三项式”的定义，先确定最高次项的次数为4，再保证多项式有三项（一次项系数不为0），进而求出的值． 【规范解答】解：∵多项式是关于的四次三项式， ∴，且． 由，得或． 若，则，一次项消失，多项式变为二项式，不符合 “三项式” 的条件， 若，则，符合条件． ∴． 故选：A． 【变式】（25-26七年级上·吉林松原·期中）已知多项式是关于x的四次四项式． (1)求a、b的值； (2)将该多项式按x的降幂重新排列． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题主要考查了多项式的定义，按字母次数排列多项式等等，熟知多项式的次数的定义是解题的关键． （1）根据多项式的定义可得，，解之即可得到答案； （2）按照x的次数从高到低排列多项式即可． 【规范解答】（1）解：∵多项式是关于x的四次四项式，是六次式， ∴，， ∴，； （2）解：把多项式按照的降幂重新排列为． 题型三 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【例3】（25-26七年级上·吉林·期中）已知多项式是关于、的四次三项式． (1)直接写出 ； (2)将此多项式按的升幂重新排列． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查多项式的项与次数，绝对值，掌握知识点是解题的关键． （1）根据多项式的定义，列出方程且，求解即可； （2）根据多项式按的升幂重新排列即可． 【规范解答】（1）解：∵多项式是关于、的四次三项式， ∴且， 解得且， ∴． （2）∵ ∴ ． 【变式】（25-26七年级上·吉林·期中）已知关于、的多项式是五次四项式（、为有理数），且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求、的值； (2)将这个多项式按x的降幂重新排列． 【答案】(1) ，； (2) ． 【思路引导】本题考查了多项式的项与次数，单项式的次数，熟练掌握以上定义是解题的关键． （1）根据关于、的多项式是五次四项式，求出，根据单项式的次数与该多项式的次数相同，可得：，解方程求出的值； （2）由、的值分别为2、5，可知多项式为，再按的降幂排列即可． 【规范解答】（1）解：关于、的多项式是五次四项式， ， 解得：， 单项式的次数与该多项式的次数相同， ， 解得：， 、的值分别为2、5； （2）解：由（1）可知、的值分别为2、5， 多项式为， 按的降幂排列为：． 题型四 已知同类项求指数中字母或代数式的值 【例4】（25-26七年级上·河南驻马店·期中）（1）单项式与是次数相同的单项式，求m的值． （2）已知单项式与单项式是同类项，求的值． 【答案】（1）4；（2） 【思路引导】本题考查单项式的相关概念和同类项的定义，解题的关键是掌握单项式系数、次数的相关概念．单项式中，所有字母的指数和叫单项式的次数，数字因数叫单项式的系数，通常系数不为0，以及字母和字母指数相同的单项式是同类项． （1）根据单项式次数的定义，得出，即可解答； （2）根据同类项的定义，得出，，求出m和n的值，再将其代入，即可解答． 【规范解答】解：（1）因为单项式与次数相同， 所以， 所以； （2）∵单项式与单项式是同类项， ∴，， 所以， 所以原式：， 所以的值为． 【变式】（25-26七年级上·安徽宿州·期中）若单项式和是同类项，则的值为 ． 【答案】8 【思路引导】本题考查了同类项的定义、求代数式的值，根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，列出方程求解． 【规范解答】解：单项式 和 是同类项， ， ， 解得：，， ． 故答案为：． 题型五 合并同类项 【例5】（23-24七年级上·吉林白城·期末）如图所示的图形由一个正方形和两个长方形组成． (1)求该图形的面积（用含x的式子表示） (2)若，求该图形的面积． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了列代数式，代数式求值． （1）根据长方形的面积公式列代数式即可； （2）把代入（1）中结果计算即可． 【规范解答】（1）解：该图形的面积为：； （2）解：当时，该图形的面积为． 【变式】（25-26七年级上·福建龙岩·期中）计算或化简 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，整式的加减； （1）根据有理数的加减法进行计算即可求解； （2）根据乘法分配律进行计算即可求解； （3）根据有理数的混合运算进行计算即可求解； （4）直接合并同类项，即可求解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型六 去括号 【例6】（25-26七年级上·辽宁盘锦·期中）化简 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了去括号和合并同类项，理解去括号法则和合并同类项计算法则是解答关键. （1）先去括号，再合并同类项求解； （2）先去小括号，再去中括号，最后合并同类项求解. 【规范解答】（1）解： （2）解： . 【变式】（25-26七年级上·河南洛阳·期中）把多项式去括号后按字母的降幂排列为 . 【答案】 【思路引导】本题考查了将多项式按某个字母升幂（降幂）排列，去括号．首先根据去括号法则去除括号，然后按照字母的指数从高到低进行排列，即可作答． 【规范解答】 即把多项式去括号后按字母的降幂排列为， 故答案为：． 题型七 添括号 【例7】（25-26七年级上·山西长治·期中）下列各项中，添括号与去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了去括号和添括号的规则，解决此题的关键是熟记规则：括号前是正号，括号内各项符号不变；括号前是负号，括号内各项符号改变，根据规则逐一检查各选项的符号变化是否正确即可． 【规范解答】解： A：左边添括号得，与右边 不相等，故错误； B：左边去括号得 ，与右边 不相等，故错误； C：左边去括号得 ，与右边一致，故正确． D：左边添括号得，与右边 不相等，故错误； 故选：C． 【变式】（24-25七年级上·辽宁朝阳·期中）【知识呈现】 我们可把中的“”看成一个字母a，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 （1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为_____；（用含的式子表示） （2）若代数式的值为4，则代数式的值为______； 【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题： （3）已知，的值为最大的负整数，求的值． 【答案】（1）；（2）；（2） 【思路引导】本题主要考查了代数式求值，添括号，合并同类项，正确理解并应用整体思想是解题的关键． （1）根据合并同类项的法则计算出的结果，再把结果中的a用替换即可得到答案； （2）先求出的结果，再根据求解即可； （3）先求出的值，再根据求解即可． 【规范解答】解：（1） ； （2）∵代数式的值为4， ∴， ∴， ∴； （3）∵的值为最大的负整数， ∴， ∴ ． 题型八 整式的加减运算 【例8】（25-26七年级上·云南玉溪·期中）已知数，，在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【思路引导】本题考查利用数轴比较数的大小关系，绝对值的性质，整式加减，根据数轴得到，，再化简绝对值，最后合并同类项即可． 【规范解答】解：由数轴可得，， ，，， ． 【变式】（25-26七年级上·湖南株洲·期中）已知a，b在数轴上的位置如图所示： (1)用“”、“”或“”填空：a______0， _____0， ______0； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【思路引导】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减计算，有理数的加减计算，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据数轴可得，再根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）根据（1）所求先化简绝对值，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【规范解答】（1）解：由数轴可得， ∴； （2）解：由（1）得， ∴ ． 题型九 整式的加减中的化简求值 【例9】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【规范解答】解： ， 当，时，原式． 【变式】（25-26七年级上·河南新乡·期中）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，．类似的我们可以把看成一个整体，则 ．请尝试解决： (1)把看成一个整体，合并_________； (2)已知，求的值； (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【思路引导】本题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键； （1）把看成一个整体，合并即可得到结果； （2）原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值； （3）原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值． 【规范解答】（1）解： ； 故答案为：； （2）解：， 原式 ； （3）解：，， 原式 ． 题型十 整式加减中的无关型问题 【例10】（25-26七年级上·四川达州·期中）已知代数式．． (1)化简：； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2)1 【思路引导】本题考查了整式的运算． （1）先化简表达式，得到，再代入和的表达式计算； （2）先计算，得到，由于其值与无关，令的系数为零，即，求解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴． 【变式】（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）日常生活中每星期都有7天，所以我们定义：若，则称与为“完美星期数”，例如：因为，我们就说6和1是“完美星期数”，请根据以上材料，回答下列问题： (1)与_____是“完美星期数”， 与_____是“完美星期数”；（用含的代数式表示） (2)若，请你通过计算判断与是否为“完美星期数”； (3)已知，且与为“完美星期数”，求与的值． 【答案】(1)9； (2)p与q不是“完美星期数” (3)， 【思路引导】本题考查了新定义，整式的加减混合运算的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“完美星期数”进行列式计算，即可作答． （2）根据“完美星期数”进行列式计算，得出，即可作答． （3）根据“完美星期数”进行列式计算，先整理，则，，即可作答． 【规范解答】（1）解：，， 故答案为：9；； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴p与q不是“完美星期数”． （3）解：∵， ∴ ∵与为“完美星期数”， ∴， ∴，， ∴，． 题型十一整式加减的应用 【例11】（25-26七年级上·四川绵阳·月考）定义：若，则称m与n是关于2的平衡数． (1)3与 是关于2的平衡数；与 （用含x的整式表示）是关于2的平衡数． (2)若，，判断A与B是否是关于2的平衡数，并说明理由． 【答案】(1) (2)A与B不是关于2的平衡数，理由见解析 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，新定义，整式的加减，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用新定义解答． （1）根据题意，可以列出相应的方程，从而可以解答本题； （2）将相加，化简判断即可． 【规范解答】（1）解：设与是关于2的平衡数， 则， 解得：， 设与是关于的平衡数， 则， 解得：， 故答案为：，； （2）解：A与B不是关于2的平衡数． 理由如下：∵，， ∴ ∴A与B不是关于2的平衡数． 【变式】（25-26七年级上·河南信阳·期中）如图，公园有一块长为米，宽为a米的长方形土地(一边靠着墙)，现将公园三面留出宽都是b米的小路，余下部分设计成长方形花圃，并用篱笆沿该花圃不靠墙的三边将花圃围挡起来． (1)花圃的宽为 米，花圃的长为 米；(用含a，b的代数式表示) (2)求围挡该花圃的篱笆的总长度；(用含a，b的代数式表示) (3)若，篱笆的单价为50元/米，请计算围挡该花圃的篱笆的总价． 【答案】(1)， (2)米 (3)1150元 【思路引导】本题主要考查了列代数式、整式的加减、代数式求值的实际应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系是解题的关键． （1）根据所给的图形，列出花圃的长和宽的代数式即可； （2）根据（1）所得花圃的长和宽，再根据长方形周长公式求出篱笆总长度即可； （3）直接将代入第（2）问所得的式子中求得花圃的周长，再乘以篱笆的单价即可解答． 【规范解答】（1）解：花圃的宽为米，花圃的长为米． 故答案为：，． （2）解：围挡该花圃的篱笆的总长度为： 米． （3）解：围挡该花圃的篱笆的总价为： （元）． 答：围挡该花圃的篱笆的总价为1150元． 题型十二 带有字母的绝对值化简问题 【例12】（25-26七年级上·云南玉溪·期中）如果，那么的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了绝对值，有理数的大小比较，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 由题意可知，得到，，结合，得到，然后根据两个负数，绝对值大的反而小，得到，据此即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴， 又∵ ，且， ∴， 综上，． 故选：D． 【变式】（25-26七年级上·山东日照·期中）三个有理数，满足，求 ． 【答案】 或 【思路引导】本题考查了有理数的乘、除法运算，绝对值的意义、利用分类讨论的思想方法是解题关键．由条件可得，即三个有理数的乘积为正数，因此中要么全为正数，要么有一个正数和两个负数，分别计算两种情况下表达式的值即可． 【规范解答】解：因为， 所以，即均不为零，且它们的符号情况有两种： 若全为正数，则，，，，故； 若中有一个正数和两个负数，则正数对应的项为，负数对应的项为，且， 故； 因此，的值为或． 故答案为：或． 题型十三 数字类规律探索 【例13】（25-26七年级上·辽宁大连·期中）【问题初探】 数形结合思想通过将数与形相互转化、相互结合，把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化． 如图1，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的通过观察图形可以发现，图1中阴影部分的面积为进而得到 如图2，按图1的方式依次取这个正方形面积的类比图1，可求的值． 【归纳结论】 （1）(用含n的式子表示)； 【学以致用】 （2）运用（1）发现的结论计算的值； 【拓广探索】 （3）计算的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路引导】本题考查了有理数的求和运算，解题的关键是运用数形结合思想，将分数和转化为几何图形的面积关系推导规律． （1）通过观察正方形面积的截取过程，利用“总面积剩余面积”，得出分数和为． （2）提取，将式子转化为含（1）中规律的形式，代入计算． （3）将每一项拆分为“分数”的形式，提取公因式后，利用（1）的规律计算． 【规范解答】（1）∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第次截取后剩余， ∴． 故答案为：； （2）将原式变形，提取，得到 ． 根据（1）的结论，． 所以原式． （3）将每一项拆分：，，，，，． 原式可转化为： ． 【变式】（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·月考）如图是一根起点为1的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上第一行的数是1，第二行的数是13，第三行的数是43，…，依此规律，第五行的数是（ ） A．91 B．183 C．153 D．157 【答案】D 【思路引导】本题考查了数字类规律探索，正确发现规律是解题关键．观察数轴可得，所有的数字都是奇数，第一行的数是1，第二行的数是1向右数第个数，第三行的数是13向右数第个数，第四行的数是43向右数第个数，按照这样的规律依次计算即可得． 【规范解答】解：第一行的数是1， 第二行的数是1向右数第个数，为第个奇数，即， 第三行的数是13向右数第个数，为第个奇数，即， 第四行的数是43向右数第个数，为第个奇数，即， 第五行的数是91向右数第个数，为第个奇数，即， 故选：D． 题型十四 图形类规律探索 【例14】（25-26七年级上·四川乐山·期中）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：，和分别可以按如图所示的方式“分裂”成个，个和个连续奇数的和，即；；；…；若也按照此规律来进行“分裂”，则“分裂”出的奇数中，最小的那个奇数是（   ） 一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：，和分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和， A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了数字变换规律，有理数的乘方，根据已有数据找到规律是解题的关键．观察发现，“分裂”出的最小奇数为，据此求解即可． 【规范解答】解： “分裂”出的最小奇数为， “分裂”出的最小奇数为， “分裂”出的最小奇数为， ， “分裂”出的最小奇数为， “分裂”出的奇数中，最小的那个奇数是， 故选：A． 【变式】（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形共有 个★． 【答案】60 【思路引导】本题主要考查了图形的变化规律，通过归纳总结，得到其中规律是解题的关键． 根据图形的特点归纳总结规律即可求解． 【规范解答】解：∵第一个图形有个五角星， 第二个图形有个五角星， 第三个图形有个五角星， 第四个图形有个五角星， ∴第20个图形共有个五角星， 故答案为：60． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）单项式的系数和次数是（） A．系数是，次数是5 B．系数是，次数是5 C．系数是，次数是3 D．系数是5，次数是 【答案】A 【思路引导】本题考查单项式系数和次数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据单项式系数和次数的定义，系数是数字因数（包括符号），次数是所有字母的指数之和． 【规范解答】解：∵单项式的数字因数为， ∴系数是． 又∵字母a的指数为2，b的指数为3， ∴次数为． 故选A． 2．（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）在代数式，，中，单项式的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路引导】本题考查单项式定义，熟记单项式定义是解决问题的关键．根据单项式的定义，数字与字母的乘积或单个数字或字母是单项式，分母中含字母的式子不是单项式，逐个判断即可得到答案． 【规范解答】解：是常数，是单项式； 是多项式，不是单项式； 是数字与字母的积，是单项式； 分母含字母，不是单项式； 是常数，是单项式； 是字母的幂，是单项式； ∴单项式有：、、、，共4个， 故选：C． 3．（25-26七年级上·宁夏固原·月考）单项式的次数是（   ） A．8 B．6 C．5 D．3 【答案】C 【思路引导】本题考查了单项式的次数，明确单项式次数的定义是关键； 单项式的次数是指所有字母的指数之和，常数因子（如）不影响次数，进而求解. 【规范解答】解：∵ 单项式 中，字母的指数为 2，字母的指数为 3， ∴ 单项式的次数为； 故选：C. 4．（25-26七年级上·云南昭通·月考）观察下列图形规律．用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，如果图形中含有n个三角形，需要火柴棍的根数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查图形类规律问题，解题的关键是得到图形的一般规律；由图可知有1个三角形需要火柴的根数为3；有2个三角形需要火柴的根数为；有3个三角形需要火柴的根数为；有4个三角形需要火柴的根数为；有5个三角形需要火柴的根数为；……；然后问题可求解． 【规范解答】解：由图可知：有1个三角形需要火柴的根数为3； 有2个三角形需要火柴的根数为； 有3个三角形需要火柴的根数为； 有4个三角形需要火柴的根数为； 有5个三角形需要火柴的根数为； ……； 由此可知：含有n个三角形，需要火柴棍的根数是； 故选A． 5．（25-26七年级上·四川乐山·期中）单项式的系数是 ；次数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查单项式的系数和次数，系数是单项式中的数字因数，包括符号；次数是所有字母的指数之和．成绩决定即可． 【规范解答】解：单项式的系数是，次数是， 故答案为：，． 6．（25-26七年级上·四川达州·月考）若单项式和是同类项，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键．先根据同类项的定义求出m和n的值，再把求得的m和n的值代入所给代数式计算即可． 【规范解答】解：∵单项式 和 是同类项， ∴ 且 ， 解得 ，， ∴ ， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·河南新乡·期中）定义：若一个多项式有两项且两项的次数相同，则这样的多项式就叫做“齐次二项式”．若关于a，b的多项式是“齐次二项式”，在数轴上表示n的点在表示的点距离5个单位长度处，则 ． 【答案】9或49 【思路引导】该题主要考查了多项式的次数和数轴上点的特征，乘方等知识点，解题的关键是算出m，的值．根据多项式是“齐次二项式”求出m，再根据在数轴上表示n的点在表示的点距离5个单位长度处，求出，再代入计算即可． 【规范解答】解：∵多项式是“齐次二项式”， ∴， 解得：， ∵在数轴上表示n的点在表示的点距离5个单位长度处， ∴或， ∴或， 故答案为：9或49． 8．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）化简： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查整式的加减运算，关键是先去括号（注意符号），再将同类项的系数相加减，易错点是去括号时符号处理错误或同类项混淆． 【规范解答】（1）解： （2） （3） （4） 9．（25-26七年级上·甘肃天水·期中）第十五届全运会于年在广东、香港、澳门举行．某场馆建设需要采购一批运动器材，采购清单如下： 篮球：个；足球：个；排球：个． (1)用代数式表示采购的球类总数； (2)当，时，计算采购的球类总数． 【答案】(1)个； (2)个． 【思路引导】本题考查了列代数式，整式的加减，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出代数式，然后通过整式加减即可； （）把，代入即可求解． 【规范解答】（1）解：球类总数为， （个）， （2）解：当，时， （个）． 10．（25-26七年级上·河南信阳·期中）阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是 ．例如： (1)按照这个规定，请你计算的值． (2)按照这个规定，请你计算当时，的值． 【答案】(1)52 (2)39 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算、整式加减中的化简求值等知识点，理解新定义运算法则是解题的关键． （1）根据新定义运算法则结合有理数的混合运算法则求解即可； （2）根据新定义运算法则结合整式加减混合运算先化简，再把代入化简后代数式求解即可． 【规范解答】（1）解：． （2）解： ， ∵， ∴． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查去括号法则的应用，掌握括号前面是负号，去括号时，括号里面的各项都要改变负号是本题的解题关键，用去括号的法则进行计算并逐个判断即可． 【规范解答】解：A、，计算错误，故本选项不符合题意； B、，计算错误，故本选项不符合题意； C、，计算错误，故本选项不符合题意； D、，计算正确，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26七年级上·湖南株洲·期中）下列说法中正确的是（　　） A．0既不是整数也不是分数 B．一个数的绝对值一定是正数 C．单项式的系数是 D．是四次三项式 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了多项式的次数和项的定义，单项式系数的定义，求一个数的绝对值，0的意义，根据0是整数可判断A；根据0的绝对值是0可判断B；单项式中的数字因数为单项式的系数，据此可判断C；多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，每一个单项式都叫做多项式的项，据此可判断D． 【规范解答】解：A、0是整数，但不是分数，原说法错误，不符合题意； B、0的绝对值是0，但0不是正数，原说法错误，不符合题意； C、单项式的系数是，原说法错误，不符合题意； D、是四次三项式，原说法正确，符合题意； 故选：D． 3．（22-23七年级上·河北保定·期末）王老师将正确的演算过程书写在黑板上，随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，则所捂的多项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了整式的加减运算，解题的关键是根据“加数和另一个加数”列出算式并计算． 【规范解答】解：设所捂的多项式为， 由题意得 ． 故选：A． 4．（25-26七年级上·上海·期中）合并同类项： ． 【答案】 【思路引导】本题考查合并同类项，按照合并同类项法则运算即可． 【规范解答】解：． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第25个图案中的基础图形个数为 个． 【答案】76 【思路引导】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知后面一个图形比前面一个图形（相邻两个图形之间）多3个基础图形，据此规律求解即可． 【规范解答】解：第1个图案由个基础图形组成， 第2个图案由个基础图形组成， 第3个图案由个基础图形组成， ……， 以此类推，可知第n个图案由个基础图形组成， ∴第25个图案由个基础图形组成， 故答案为：76． 6．（25-26七年级上·四川成都·期中）某多媒体电子杂志上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为，将每条边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，得到图形如图（2），称为第一次变化：再对图（2）的每条边做相同的变化，得到图形如图（3），称为第二次变化；如此连续作几次，便可得到一个变化丰富的雪花图案．请问第次变化时，图形的面积为 ，图形的周长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了图形的规律变化，观察图形得到后一个图形的周长是前一个图形周长两倍是解决问题的关键． 图（1）正方形的面积为，突出和凹进部分相等，所以面积不变为，第一个周长是，第一次周边变化后，第二次变化后，所以第n次变化是． 【规范解答】解：图（1）正方形的面积为， 观察图形可知，突出和凹进部分相等，所以面积不会变化 ∴第次变化时，图形的面积为； ∵正方形的边长为， ∴正方形的周长为， 观察图形，可得正方形每进行一次变化，周长变为原来的两倍， ∴第一次变化后的图形的周长为： ， 第二次变化后的图形的周长为：， …… ∴第n次变化后图形的周长为：． 故答案为：，． 7．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）化简： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的方法是解答本题的关键．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 8．（25-26七年级上·广西南宁·期中）某书店推出“读书月”促销活动，规则如下：·单本定价：故事书每本a元，科普书每本b元．·优惠政策：一次性购买同类型书籍超过5本时，超出部分每本价格打8折（不超过5本按原价）．七年级（2）班分两天采购书籍：第一天：买了4本故事书和6本科普书；第二天：买了7本故事书和3本科普书． (1)请用含a、b的代数式分别表示（化简代数式）； ①第一天采购书籍的总费用 ②第二天采购书籍的总费用 ③这两天采购的总费用 (2)若故事书单价元，科普书单价元，计算这两天采购的总费用实际是多少元． 【答案】(1)①；②；③ (2)这两天采购的总费用实际是344元 【思路引导】本题主要考查整式加减的应用，解题的关键是理解题意； （1）①根据“一次性购买同类型书籍超过5本时，超出部分每本价格打8折（不超过5本按原价）”可进行求解；②根据“一次性购买同类型书籍超过5本时，超出部分每本价格打8折（不超过5本按原价）”可进行求解；③根据①②可进行求解； （2）由（1）中的③可代值求解即可． 【规范解答】（1）解：①由题意得：； ②由题意得：； ③由题意得：； （2）解：把，代入（1）中的③得： （元）； 答：这两天采购的总费用实际是344元． 9．（25-26七年级上·河南新乡·期中）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知． (1)请说明原点在第______部分； (2)若点A与点C之间的距离长是多项式的一次项系数，点B与点C之间的距离长是单项式的次数，b是最大的负整数，求a． 【答案】(1)③ (2) 【思路引导】本题考查了数轴，有理数的运算，单项式，多项式的含义 . （1）根据，则数b与c异号，则原点在第③部分； （2）根据题意先求出，结合即可求解； 【规范解答】（1）解：∵， ∴则数b与c异号， ∴原点在第③部分． 故答案为：③； （2）解：多项式的一次项系数是5， ∴点A与点C之间的距离长为5． ∵单项式的次数是3， ∴点B与点C之间的距离长为3． ∵b是最大的负整数， ∴． ∴． 根据A与点C之间的距离长为5可得． 10．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）【问题背景】 在数轴上，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点距离原点12个单位长度，点距离原点2个单位长度． 【初步探究】 （1）点表示的数是___________，点表示的数为___________； （2）若点是数轴上的点，且点到点的距离为6，求点表示的数及两点之间的距离； 【深度拓展】 （3）若点是数轴上的点，且点与点之间的距离相等．若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左移动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，经过秒，求两点之间的距离．（用含的代数式表示） 【答案】（1）；；（2）点表示的数为，、两点之间的距离为8或点表示的数为，、两点之间的距离为20；（3） 【思路引导】本题主要考查了数轴上动点问题，两点间距离，有理数加减运算，整式加减运算，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． （1）根据点A在原点O的左侧，点B在原点O的右侧，点A距离原点12个单位长度，点B距离原点2个单位长度，得出答案即可； （2）分两种情况进行讨论：当点C在点B左侧时，当点C在点B右侧时，分别求出点C表示的数，然后再求出点C和点A之间的距离即可； （3）先求出点D表示的数，然后求出t秒后点P和点Q所表示的数，列式表达两点之间的距离． 【规范解答】解：（1）∵点A在原点O的左侧，点B在原点O的右侧，点A距离原点12个单位长度，点B距离原点2个单位长度， ∴点A表示的数是，点B表示的数为2； （2）当点C在点B左侧时，点C表示的数为， 此时点C到点A的距离为； 当点C在点B右侧时，点C表示的数为， 此时点C到点A的距离为； （3）∵点D到A、B两点的距离相等， ∴点D表示的数为：， ∵点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左移动，点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动， ∴经过t秒后点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴两点之间的距离为． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（23-24七年级上·重庆南岸·期中）下列说法中错误的有（    ） ① 多项式的常数项是1；② 单项式的次数是5； ③ 单项式和多项式统称为整式；④若与是同类项，那么 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查多项式常数项、单项式次数、整式定义和同类项概念，掌握基本概念是解题关键．①根据常数项的概念即可得出；②把单项式中字母的次数进行相加计算即可；③根据整式的定义即可判断；④根据题意得，，求出，的值再求解即可． 【规范解答】解：①∵多项式的常数项是，∴说法错误； ②∵ 单项式的次数是字母指数和，∴说法错误； ③∵ 单项式和多项式统称为整式，∴说法正确； ④∵ 与是同类项， ∴ 且， 解得，， ∴，与说法一致，∴说法正确。 综上，错误的有①和②，共个． 故选：B． 2．（25-26七年级上·山东济南·期中）下列说法正确的是（） A．的系数为 B．单项式与是同类项 C．的次数是3 D．多项式是，与1三项的和 【答案】D 【思路引导】本题考查了同类项的定义，单项式的定义以及系数定义，多项式的项和次数的定义，熟练掌握相关知识点是解题关键．根据同类项的定义，单项式的系数定义，多项式的项和次数的定义以及单项式的定义逐一判断即可得到答案． 【规范解答】解：选项A：单项式的系数是数字部分，包括常数π，应为，而不是，故A错误； 选项B：同类项需字母相同且相同字母指数相同，中a指数为1、b指数为2，中a指数为2、b指数为1，指数不同，不是同类项，故B错误； 选项C：单项式的次数是所有字母指数之和，即，不是3，故C错误； 选项D：多项式由项、和1组成，是三项的和，故D正确； 故选：D． 3．（25-26七年级上·重庆·期中）已知整式，其中，为正整数，，，，为自然数，为整数，若，下列说法：①满足条件的所有整式中有且仅有个三次三项式；②存在一个，使得满足条件的整式有且仅有个；③在满足条件的所有整式中，存在几个整式的和为；其中正确的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了整式的定义，系数条件限制下多项式构造，推理能力等，合理分析给定条件是解题的关键． 根据给定的条件逐条分析判断即可． 【规范解答】当（奇数），由，得， 即， 是正整数（为正整数）， ，剩余（，为自然数，为整数）， 要满足“三项式”，需，中有一个为： 若，：时， ，多项式为，； 若时，，，多项式为，不符合题意； 若，：时， ，多项式为，； 时，，，多项式为，不符合题意； 当，，，多项式为； 实际满足条件的三次三项式有个，故正确； 当（偶数）时，由，得， 即， ，故时，， 当时， ，对应整式为：，； 当时， ，对应整式为：； 当时，，，对应整式为：； 实际满足条件的整式有个，故正确； 满足条件的整式中，给定多项式为，需包含五次整式，剩余和为，选三次整式（满足条件），二次整式（满足条件），一次整式（满足条件），和为，加上后等于给定多项式，这些整式可组合出，故正确； 综上所述，正确的个数有个； 故选． 4．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）有依次排列的3个数：3，0，6，对任意相邻的两个数，都用左边的数减去右边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，3，0，-6，6，这称为第一次操作；第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，0，3，3，0，6，-6，-12，6，继续依次操作下去，已知第n次操作后，得到的新数串各个数之和为0，则第次操作后，得到的新数串各个数之和为（   ） A． B．-39 C．-174 D．-183 【答案】D 【思路引导】本题考查了数字类规律探索，有理数的加法，弄清数字的排列规律是解题的关键．先从给定的数字找寻规律，发现每次操作后和减少3，从而找到一般的规律求解即可． 【规范解答】解：∵ 初始数串：，和； 第1次操作后，得到的数串为：，和； 第2次操作后，得到的数串为：，和； 第3次操作后，得到的数串为：，和； ， 第n次操作后和为， 当第n次操作后和为0时，则，解得； ∴ 第次操作后，和为． 故选：D． 5．（25-26七年级上·山东日照·期中）有理数、、在数轴上的位置如图所示． ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了数轴与绝对值的性质，准确判断是解题的关键． 根据数轴得到的大小，再根据绝对值的性质化简即可 【规范解答】由数轴可知，，， ∴，，， ∴ ． 故答案为． 6．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）现有1张大长方形和3张相同的小长方形卡片，按如图所示两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是 ．（用含a，b的代数式表示） 【答案】 【思路引导】本题主要考查了列代数式，整式的加减，正确用两种方式表示出大长方形的长是解题的关键． 设小长方形的长和宽分别为，大长方形的长为，分别根据两种摆放方式表示出总高度，进而得到对应的等式，从而得到答案． 【规范解答】解：设小长方形的长为、宽为，大长方形的长为，则 ，， ，， ， ， ． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·福建泉州·期中）如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为42的长方形内，两个正方形中均有一组邻边分别落在长方形的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为56，那么这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长为 ． 【答案】14 【思路引导】本题主要考查了整式加减的应用，正确理解题意是解题的关键． 设较小的正方形边长为x，较大的正方形边长为y，阴影部分的长和宽分别为a、b，然后根据长方形周长公式分别得到，，由此即可得到答案． 【规范解答】解：设较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，阴影部分的长和宽分别为、， ∵两个正方形的周长和为56， ∴， ∴， ∴，， ∵长方形的周长为42， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的周长为14， 故答案为：14． 8．（25-26七年级上·云南玉溪·期中）化简． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了整式的加减，熟练掌握整式加减的混合运算法则是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，即可求解； （2）先去括号，合并同类项，即可求解． 【规范解答】（1）， ， ， ． （2）， ， ， ． 9．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）已知多项式． (1)若该多项式不含有3次项，求a的值并写出常数项． (2)若该多项式是关于x的三次二项式，求a的值并写出最高次项． 【答案】(1)，常数项为 (2)，最高次项为 【思路引导】本题主要考查了多项式的知识，解题的关键是掌握多项式的次数和系数． （1）根据多项式的系数进行求解即可； （2）根据多项式次数和项数的定义来解答． 【规范解答】（1）解：由题意可知，， 所以， 常数项为； （2）解：由题意可知，， 所以， 最高次项为． 10．（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）如图①，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为，即．如图②，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是3的相反数，是最大的负整数，是多项式的次数． (1)______，______，______． (2)是数轴上任意一个有理数，则的最小值是______． (3)如图③，，，是数轴上的三点，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是6，点，，同时开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，点和点分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设运动后，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．若的值是一个定值，请求出的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了数轴上的动点问题，多项式的定义． （1）根据有理数相关知识，多项式的定义，即可获得答案； （2）根据的范围分类讨论即可； （3）先分别用含的代数式表示出与，再根据的范围去掉绝对值符号，根据的值是一个定值求出m的值． 【规范解答】（1）解：对于：是3的相反数，所以； 对于：最大的负整数是，所以； 对于：多项式的次数是次数最高项的次数，中次数最高项为， 故； 故答案为：；；； （2）解：当时，，因为，故； 当时，； 当时，，因为，故； 综上，当时，的最小值为． 故答案为：； （3）解：点初始表示，向左运动（速度2单位/秒），秒后表示的数为， 点初始表示，向右运动（速度3单位/秒），秒后表示的数为， 点初始表示，向右运动（速度1单位/秒），秒后表示的数为， 根据计算与， ， ， 当时，，， 由于的值是定值，所以， 解得； 当时，，， 由于的值是定值，所以， 解得； 可知若，则当时，不再是定值，不符合运动后，的值是一个定值； 若，则当时，是定值，符合运动后，的值是一个定值； 综上，的值为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $