专题03 一元一次方程（必备知识+21大题型+分层训练）（期末复习讲义）七年级数学上学期新教材青岛版

专题03 一元一次方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 方程的概念与解 掌握方程的概念和方程的解； 基础必考点，一般出现在小题中，难度不大 等式的性质 掌握等式的基本性质，学会用等式的基本性质解方程； 基础必考点，一般出现在小题中，做题时要结合等式的性质来思考 一元一次方程的概念 掌握一元一次方程的概念，注意一元一次方程一次项系数不能为0； 基础常考点，一般出现在小题中 一元一次方程的解法 掌握一元一次方程的解法，会用消元法解较为复杂的一元一次方程 重要考点，一般出现在计算题 一元一次方程解的关系 掌握一元一次方程解的关系，如同解，相反数等 常考点，小题和解答题中均会出现 根据一元一次方程的解求参数 掌握一元一次方程的解求参数题型，要注意分析题意，得出结果后可以代入理解 常考点，一般出现在小题中 一元一次方程的实际应用 掌握一元一次方程各类实际应用题型 必考点，一般出现在解答题中，小题考查时难度不大 一元一次方程的新定义问题 掌握一元一次方程的新定义问题 重要考点，一般出现在解答题中，重点考查学生对一元一次方程的深度理解 知识点01：一元一次方程的基础 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程. 方程的判断条件：①等式；②方程. 一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a、b是常数，且a≠0）. 方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 解方程：求方程的解得过程叫做解方程. 知识点02：等式的性质 等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式.即： 如果a=b，那么a±c=a±c 等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等.即： 如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b(c≠0)，那么 = 等式的性质3：如果a=b，则b=a （对称性） 等式的性质4：如果a=b，b=c，则a=c （传递性） 【易错易混】 1）利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算. 2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立. 知识点03：解一元一次方程 基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为x=. 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 不要弄错符号. 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 1）移项时不要丢项; 2）将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在方程同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 1）系数的符号处理要得当； 2）字母及其指数不变. 系数化为1 将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x= 1)未知数的系数为整数或小数时,方程两边同除以该系数; 2)未知数的系数为分数时,方程两边同乘该系数的倒数. 【易错点拨】 1）解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 2) 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100． 知识点04： 一元一次方程与实际应用 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数； ③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数. 列：根据题中相等关系，列出一元一次方程； 解：解所列出的一元一次方程； 验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 答：写出答案，包括单位. 题型一 解一元一次方程（一）-合并同类项与移项 【例1】（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了解一元一次方程．按照解一元一次方程的步骤解方程即可． （1）直接展开去括号，合并同类项，系数化为1即可求解． （2）去分母，去括号，合并同类项即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得． （2）解：∵， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 【变式】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：；；．从而在化简时，可分以下三种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ∴，通过以上阅读，解决问题： (1)直接写出的零点值是________； (2)化简； (3)直接写出的最大值为________． 【答案】(1) (2) (3)9 【思路引导】本题主要考查了化简绝对值，整式的加减计算，正确理解题意是解题的关键． （1）求出时x的值即可得到答案； （2）先求出所求式子的零点，再仿照题意求解即可； （3）先求出所求式子的零点，再分三种情况化简绝对值，再求解化简后的代数式的值的范围即可得到最大值． 【规范解答】（1）解：当时，， ∴的零点值是； （2）解：当时，， 当时，， 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述， （3）解：当时，，当时，， 当时，； 当时，， ∴当时，的值最大，最大为； 当时，； ∵， ∴的最大值为9． 题型二 解一元一次方程（二）-去括号 【例2】（25-26七年级上·重庆·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的一般步骤，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，根据方程特点灵活运用这些步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的一般步骤，移项、合并同类项、系数化为1，即可求解． （2）解一元一次方程的一般步骤，去分母，去括号、去分母、移项、合并同类项、系数化为1，即可求解． 【规范解答】（1）解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 【变式】（25-26七年级上·浙江金华·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了一元一次方程的解法，解题的关键是熟练运用移项、合并同类项、去分母等解方程步骤． （1）移项合并同类项后系数化为1； （2）先去分母，再去括号、移项合并后系数化为1． 【规范解答】（1）解： ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ． 题型三 解一元一次方程（三）-去分母 【例3】（25-26七年级上·云南昭通·月考）小明在解关于x的方程 去分母时，方程右边的“”没有乘6，从而求得的解为 ． (1)请求出a的值； (2)求出原方程正确的解． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题主要考查了解一元一次方程，正确移项合并同类项是解题关键． （1）根据题意把x的值代入进而得出答案a的值； （2）再把a的值代入解方程即可． 【规范解答】（1）解：根据小明错误的解法，方程两边同乘6（右边未乘）得： ， 将代入得：， 解得 ； （2）解：原方程为， 去分母（两边同乘6）得：， 去括号得： 移项合并得：． 【变式】（25-26七年级上·湖北十堰·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键． （1）移项、合并同类项，系数化为1即可； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1即可． 【规范解答】（1）解： 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）解： 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 题型四 已知一元一次方程的解，求参数 【例4】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）定义：如果两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一个方程的“和谐方程”，例如：方程是方程的“和谐方程”． (1)若方程是方程的“和谐方程”，则______． (2)若关于x的方程是关于x的方程的“和谐方程”，求m的值． 【答案】(1)2 (2)1 【思路引导】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． （1）先求出两方程的解，作差后，即可得出结论； （2）由方程的解及关于x的方程是关于x的方程的“和谐方程”，可得出关于x的方程的解为，据此即可求解． 【规范解答】（1）∵方程的解为，方程的解为，， 方程是方程的“和谐方程”． 故答案为：2； （2）∵方程的解为，关于x的方程是关于x的方程的“和谐方程”， 关于x的方程的解为， ， 解得， 的值为1． 【变式】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）【程序】有一种整式处理器，能将“二次多项式”处理成“一次多项式”．处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项，例如多项式经过处理器得到，如图所示． 【应用】若关于的二次多项式经过处理器得到，根据以上方法，解决下列问题： (1)填空：若，则___________； (2)若，求关于的方程的解； (3)若，且方程的解是负整数，求整数的值． 【答案】(1) (2) (3)整数的值为或 【思路引导】本题考查了新定义运算，整式的加减运算，一元一次方程，根据题意列出一次多项式是解题的关键． （1）根据题意进行计算即可求解； （2）根据题意，得出，进而解方程即可求解； （3）根据，求出，联立求出，最后根据是关于的二次多项式，得出，进而即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得， ， 故答案为：； （2）解：由题意得， ， 当时， ， 解得； （3）解：由题意得， ， ∵， ∴ ， 解得， ∵是负整数， ∴是7的负因数（7的负因数为、)， 当时，， 此时（符合负整数)； 当时，， 此时（符合负整数)， 同时，A是二次多项式，故，上述m值均满足． 综上所述，整数的值为或． 题型五 —元一次方程解的关系 【例5】（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是（    ） A．21 B． C．23 D．24 【答案】B 【思路引导】本题主要考查一元一次方程的解及其解法，熟练掌握一元一次方程的解及其解法是解题的关键；通过变量替换，将关于y的方程转化为与原方程相同的形式，利用已知解求解即可． 【规范解答】解：设，则关于y的方程化为， ∵关于x的一元一次方程的解是， ∴关于z的一元一次方程，的解是， ∴， ∴； 故选B． 【变式】（25-26七年级上·重庆合川·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程和为“美好方程”．若关于x的一元一次方程 和 是“美好方程”，那么关于y的一元一次方程 的解为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元一次方程的解法及新定义“美好方程”的应用，解题的关键是先利用美好方程的定义求出对应方程的解，再通过换元法求解关于的方程． 先解出方程的解，利用“美好方程”的定义求出另一个方程的解；再将关于的方程变形为与该方程同形式的方程，通过换元法求出的值． 【规范解答】解：，得. ∵两方程为“美好方程”， ∴的解为 将关于的方程 整理为， 令，则方程为，此方程与形式相同，其解为， 即，解得. 故答案为：. 题型六 绝对值方程 【例6】（25-26七年级上·四川泸州·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 【探究问题】 如图，数轴上，点A、B、P分别表示数，因为的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，，而当点在点的左侧或点的右侧时，．所以当点在线段上时，有最小值，最小值是3． 【解决问题】 （1）根据绝对值的几何意义，当时，的值为_____________； （2）利用绝对值的几何意义，直接写出式子的最小值为_____________； （3）利用绝对值的几何意义，当时，的值为_____________； （4）利用绝对值的几何意义，写出的最小值为_____________． 【答案】（1）或1；（2）；（3）或5；（4） 【思路引导】本题考查了绝对值以及绝对值方程，掌握绝对值的几何意义是解题关键． （1）根据绝对值求解即可； （2）根据绝对值几何意义求解即可； （3）由（2）可知，的最小值为，则当时，或，再分别求解即可； （4）根据绝对值几何意义求解即可；． 【规范解答】解：（1）当时，， 解得：或1， 故答案为：或1； （2）表示到4和的距离和， 当时，有最小值，最小值， 故答案为：6； （3）由（2）可知，的最小值为， 则当时，在左侧或的右侧，即或， 当时，，解得：； 当时，，解得：， 故答案为：或5； （4）表示到、2、5的距离和， 则当时，距离和最小为， 即的最小值为8， 故答案为：8． 【变式】（25-26七年级上·广东汕头·月考）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 举例：数轴上表示2和5两点间的距离是3；表示和5两点间的距离是7； 一般地，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离可表示为； 运用： (1)若，则a的值为________； (2)若数轴上表示数a的点位于与2之间，则________． (3)若代数式，求a的值． 【答案】(1)或5 (2)7 (3)或7． 【思路引导】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义与化简，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义和代数意义． （1）直接根据数轴上两点之间的距离的意义计算即可； （2）根据a的范围化简绝对值，再计算即可； （3）分，，三种情况，去绝对值，得到方程，解之即可． 【规范解答】（1）解：表示数轴上a与2的距离为3， ∴这样的a值为或5， 故答案为：或5； （2）解：∵数轴上表示数a的点位于与2之间， ∴ ， 故答案为：； （3）解：， 当时， ， 解得：； 当时， ，不符合题意； 当时， ， 解得：； 综上：a的值为或7． 题型七 配套问题（一元一次方程的应用） 【例7】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿． (1)现有木材，要用多少木料制作桌面，多少木料制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子？ (2)甲、乙两个工厂合作加工（1）中数量的桌子，5天加工完毕（每个工厂都独立加工完整的桌子），已知甲工厂每天加工的桌子比乙工厂的2倍少5张，求甲工厂每天加工几张桌子？ 【答案】(1)安排木材用来生产桌面，用木材用来生产桌腿 (2)25张 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． （1）设应安排木材用来生产桌面，则应安排木材用来生产桌腿．根据“木材可以制作个桌面，或者制作条桌腿”建立方程求出其解即可． （2）设乙工厂每天生产桌子m张，则甲工厂每天生产桌子张，根据题意列出方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设用木材制作桌面，则用木材制作桌腿， 根据题意得， 解得，， 则配成的桌子套数为套， 答：应安排木材用来生产桌面，用木材用来生产桌腿． （2）由（1）得，一共生产200套桌子， 设乙工厂每天生产桌子m张，则甲工厂每天生产桌子张， 根据题意得：， 解得：， ∴张， ∴甲工厂每天加工25张桌子． 【变式】（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）制作一张桌子要一个桌面和3条桌腿，1立方米木材可制作20个桌面，或者制作360条桌腿，现有7立方米木材，应用多少立方米木材生产桌面，才能使生产出的桌面与桌腿配套？若设用x立方米木材制作桌面，则可列为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用（配套问题），涉及“1个桌面配3条桌腿”的数量配套关系；解题的关键是根据木材总量确定制作桌腿的木材量，再依据“桌腿总数桌面总数”的配套关系列方程． 设用x立方米木材做桌面，则用立方米木材做桌腿；分别计算出桌面总数个）和桌腿总数条）；根据“1个桌面配3条桌腿”，即桌腿数是桌面数的3倍，列出方程． 【规范解答】解：设用x立方米木材制作桌面 则用立方米木材制作桌腿 桌面总数：个立方米做个桌面） 桌腿总数：条立方米做条桌腿） ∵1个桌面需配3条桌腿，即桌腿数桌面数 ∴列方程： 故答案为： 题型八 工程问题（一元一次方程的应用） 【例8】（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）某水池可以用甲、乙两个水管注水，单开甲管需12小时注满，单开乙管需24小时注满，若要求10小时注满水池，且甲、乙两管同时打开的时间尽量少，那么甲、乙最少要同时开放 小时． 【答案】4 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找到等量关系并列出方程是解题的关键； 为了使甲、乙两管同时开放的时间尽量少，应让注水效率较高的甲管单独工作的时间尽量长；甲管单独工作10小时可注水池，剩余池需由乙管在同时开放期间注满，根据乙管的注水效率可求出同时开放时间． 【规范解答】解：设甲、乙两管同时开放的时间为小时．甲管始终开放10小时，注水量为，乙管开放小时，注水量为．总注水量为1， 故有：． 解方程：， 解：， 答：甲、乙最少要同时开放4小时． 【变式】25-26七年级上·重庆·期中）列方程解应用题:某隧道及连接道路工程项目全长500米，其中隧道(地下路段)长度220米，剩余为连接道路（地上路段）．现有甲、乙两个工程队负责工程项目的修建，已知乙工程队每天修建地上路段的长度是甲工程队每天修建地上路段长度的倍，一期工程甲、乙两工程队一起修建完280米长的地上路段，用时共4天． (1)求一期工程中甲、乙两工程队每天分别修建地上道路多少米? (2)工程二期，由甲、乙两工程队继续负责地下路段的建设，由于建设难度的提升，甲、乙两工程队每天可修建地下道路长度缩减为一期工程的一半．工程二期，甲工程队每天修建道路的费用为3万元，乙工程队每天修建道路的费用为9万元．若安排由甲、乙共同修建该地下路段的一部分，剩下部分由甲工程队单独完成，工程二期总费用为72万元，求甲工程队在工程二期道路建设中单独修建了多少天? 【答案】(1)甲工程队每天修建20米，乙工程队每天修建50米 (2)甲工程队在工程二期道路建设中单独修建了8天 【思路引导】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （1）由题意得，设甲工程队每天修建地上道路x米，则乙工程队每天修建米，根据甲、乙两工程队一起修建完280米长的地上路段，用时共4天，列方程求解即可； （2）设甲工程队单独修建了y天，则甲单独修建的费用为万元，甲乙共同修建的费用为万元，甲乙每天共同费用为万元，进而可求出共同修建的天数为天，再根据“地下路段总长220米”列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设甲工程队每天修建地上道路x米，则乙工程队每天修建米， 由题意得， 解得， ∴乙每天修建：米， 答：甲工程队每天修建20米，乙工程队每天修建50米； （2）解：∵工程二期，甲、乙每天修建地下道路的长度为一期的一半， ∴甲每天修地下道路：米；乙每天修地下道路：米， 设甲工程队单独修建了y天， ∴甲单独修建的费用：万元，甲乙共同修建的费用：万元，甲乙每天共同费用为万元， ∴共同修建的天数为天， ∵“地下路段总长220米”， ∴ 解得． 答：甲工程队在工程二期道路建设中单独修建了8天． 题型九 销售盈亏（一元一次方程的应用） 【例9】（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元、30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款140元，求所购商品的标价？ 【答案】所购商品的标价为95元或80元 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确运用分类讨论思想是解答本题的关键． 设所购商品的标价是元，然后根据两人共付款元的等量关系，分所购商品的标价小于元和大于元两种情况，分别列出方程求解即可． 【规范解答】解：设所购商品的标价为x元， ①两人都可以用券时，即时， 根据题意列方程得：，解得， ②只能用A券时，即时， 根据题意列方程得：，解得， 答：所购商品的标价为95元或80元． 【变式】（25-26七年级上·山东潍坊·期中）某超市在双十一期间推出优惠活动，优惠的具体方案如下表： 一次性购物金额 优惠办法 不超过200元 不予优惠 超过200元但不超过400元 超过200元的部分给予9折优惠 超过400元 超过200元但不超过400元的部分给予9折优惠 超过400元的部分给予8折优惠 (1)若小亮一次购买原价300元的商品，他实际付款________元；若一次购买原价600元的商品，他实际付款________元； (2)若小亮在该超市一次购物元，当超过200元但不超过400元时，他实际付款多少元（用含的代数式表示）？ (3)如果小亮一次购物实际付款524元，试求他这次购买商品的原价是多少元？ 【答案】(1)290；540 (2)元 (3)580元 【思路引导】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，理解优惠方案中的付费方式是解题的关键． （1）利用一次性购物超过200元但不超过400元的优惠方案和超过400元的优惠方案解析计算即可得出结论； （2）根据超过200元但不超过400元的优惠方案列出代数式即可； （3）利用相关优惠方式进行计算即可得出结论． 【规范解答】（1）解：（元）； ∵， ∴（元）， 故答案为：290；540； （2）解：当时，实际付款为（元）， 答：当超过200元但不超过400元时，他实际付款元； （3）解：当原价为400元时，实际付款为（元）， ∵， ∴原价超过400元， 设原价为元，根据题意得， ， 解得：， 答：他这次购买商品的原价是580元． 题型十 比赛积分（一元一次方程的应用） 【例10】（2025·河北邯郸·一模）某代表队参加知识竞赛，竞赛依次分必答和抢答两个环节，规定：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分；抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分．初始分数为100分． (1)必答环节该队答对7道题，求该队必答环节后的总分数； (2)若抢答环节该队共抢答6次，本环节得140分，请通过列方程求该队抢答环节答对题目数． 【答案】(1)该队必答环节后的总分数为210分 (2)该队抢答对5道题 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程的应用，充分理解赛事规则，抓住等量关系是解题关键 （1）根据必答环节赛事规则：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分，列算式求解； （2）设抢答答对道题，根据抢答环节赛事规则：抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分，列方程求解． 【规范解答】（1）解：（分）． 答：该队必答环节后的总分数为210分． （2）解：设抢答答对道题． ，解得． 答：该队抢答对5道题． 【变式】（24-25九年级下·湖南长沙·期中）为了丰富同学们的课余生活，某学校组织九年级足球比赛，在小组赛环节，每个班级的队伍分为一个组，小组内进行单循环赛，积分规则为：胜一场积分，平一场积分，负一场积分，其中班被分在了组．以下是本次小组赛组的积分表，小组赛结束后，整理数据时，负责登记分数的小明同学发现忘记登记班的积分了，他只记得，组比赛共场，其中只有两场比赛结果是战平，则根据此表，可以推断班的积分是 ． 排名 球队 积分 班 班 班 班 【答案】 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据题意，列方程求解即可； 【规范解答】解：设班的积分为， 根据题意，可得：， 解得：； 故答案为： 题型十一 方案选择(一元一次方程的应用） 【例11】（2025七年级上·全国·专题练习）国庆期间，七年级（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩，如下是购买门票时，明明与他爸爸的对话，试根据信息，解答下列问题： 票价 成人：每张元 学生：按成人票五折优惠 团体票（人以上含人）：按成人票6折优惠 大人门票是每张元，学生门票是5折优惠，我们一共人，共需元 爸爸，等一下，我算算换一种方式买票是否可以省钱？ (1)明明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)请你帮助明明算一算，用哪种方式购票更省钱？ (3)购完票后，明明发现七年级（2）班的张小涛等8个学生和他们的个家长共人也来购票，请你为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【答案】(1)学生人数为4人，成人人数为8人 (2)购团体票更省钱，理由见解析 (3)买人的团体票，再买4张学生票 【思路引导】本题考查一元一次方程的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所题目中的等量关系，列出相应的方程． （1）设成人人数为x人，则学生人数为人，由题中所给的票价单可得出关于x的一元一次方程，解此方程即可得出成人与学生各有多少人数； （2）已知购个人票的价钱，再算出购团体票的价钱，哪个更低哪个就更省钱； （3）由第二问可知购团体票要比购个人票便宜，再算出购张团体票和4张学生票的价钱与全部购团体票的价钱比较，即可得最省的购票方案． 【规范解答】（1）解：设成人人数为x人，则学生人数为人，则： 由题中所给的票价单可得：， 解得， 学生人数为人，成人人数为8人， 答：学生人数为4人，成人人数为8人． （2）解：如果买团体票，按人计算，共需费用： 元， ， ∴购团体票更省钱． （3）解：需要分三种情况， ①若成人和学生分开买票，费用：（元）， ②若购买团体票，费用：（元）， ③人全部买团体票，费用：（元）， ∵， 最省的购票方案为：买人的团体票，再买4张学生票． 【变式】（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）联合国教科文组织正式宣布每年的3月14日为“国际数学日”，以纪念圆周率的诞生，在国际数学日到来之际，学校计划订购一批数学教具，以下是某商店给出的优惠方案： 当销售量不超过100个时，单价为15元/组： 当销售量超过100个时，超过的部分按照单价的八折销售． (1)若购买80组教具，花费______元；若购买130组教具，花费_______元． (2)学校购买数学教具共花费2220元，请用一元一次方程求出购买了多少组教具． 【答案】(1)1200，1860 (2)购买了160组教具 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式，解题的关键是根据各数量之间的关系列出代数式． （1）利用总价单价数量，结合该商店给出的优惠方案，即可求出结论； （2）设购教具的组数为组，，由（元元，可得出，结合（1）的结论及总价为2220元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【规范解答】（1）解：购买80组教具，花费的钱数为（元）， 购买130组教具，花费的钱数为 （元）， 故答案为：1200；1860． （2）解：设购教具的组数为组， （元元， ， 依题意得，， 解得：， 答：购买教具的组数为160组． 题型十二 数字问题（一元一次方程的应用） 【例12】（25-26七年级上·福建莆田·期中）定义一种对整数的“”运算：，以表示对整数进行次“”运算．例如，表示对进行次“”运算，因为是偶数，所以，第一次运算的结果为，因为第一次运算的结果是奇数，所以第二次运算的结果为，所以的运算结果是．请回答下列问题： (1)直接写出：的运算结果是 ，的运算结果是 ． (2)若为偶数，且的运算结果为，求的值． 【答案】(1)，4 (2)的值为或 【思路引导】本题考查了新定义运算，一元一次方程的应用，有理数的混合运算，理解新定义是解此题的关键． （1）根据题干所给的运算方式计算即可得解； （2）由题意可得的第一次运算结果为，再分两种情况：当是偶数时；当是奇数时，分别求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得：， 第一次运算的结果为，第二次运算的结果为，第三次运算的结果为，故； （2）解：∵为偶数， 的第一次运算结果为， 当是偶数时，的第二次运算结果为， 解得：； 当是奇数时，的第二次运算结果为， 解得：； 综上所述，的值为或． 【变式】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）阅读材料：在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为（），把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的倍． 回答问题： (1)请证明小智的发现； (2)已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于594，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了整式加减的应用，列代数式，一元一次方程的应用等，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据题意列出原数与新数之差进行计算； （2）设十位上的数字为，根据题意，表示出原数和新数，列出方程，求解即可． 【规范解答】（1）证明：由题意可得：原数为，新数为， ∵， ∴， ∴原数与新数的差为， ∵与的差为， 故原数与所得新数的差等于与的差的倍． （2）解：设十位上的数字为， 根据题意可得：原数为，新数为：， 两数之差为：， 根据题意：， ∴． 题型十三 几何问题（一元一次方程的应用） 【例13】（25-26七年级上·四川绵阳·月考）点A，B在数轴上，分别表示数m，n，且． (1)直接写出m的值是 ，n的值是 ，线段的长度是 ； (2)如图1，线段的长为定值（点P在点Q的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线段完全经过点A（即点A在线段上的这段过程）所需的时间为2秒，线段完全经过线段（即线段与线段有公共点的这段过程）所需的时间为12秒． ①求线段的长； ②直接写出线段运动的速度为 个单位长度/秒； ③如图2，是否存在点C使时． 【答案】(1)，15，40 (2)①8个单位长度；②4；③存在，对应的数为或 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，绝对值和平方的非负性，找到相等关系是解题的关键． （1）根据题意，可知，即可算出m与n的值，线段用两点间的距离公式即可解出； （2）①设的长度为m，根据题目，我们知道，解这个方程即可； ②根据题目直接计算即可； ③分，，：三种情况讨论即可． 【规范解答】（1）解：∵， ， ， 故答案为：，15，40； （2）①设的长度为m， 根据题意得：， 解得：， ∴线段的长是8个单位长度； ②线段完全经过点所需的时间为2秒， ， 故答案为：4； ③存在， 设点表示的数为， 则：，， 根据条件，分情况讨论： 当时： ， ， 即， 解得（与矛盾，舍去）． 当时： ， 化简：，即，解得（符合条件）． 当时： ， 化简：，即，解得（符合条件）． 综上，存在点，对应的数为或． 【变式】（25-26七年级上·福建莆田·期中）已知M、N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且满足． (1)    ； (2)若点P从N点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时点Q从M点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，经过多长时间后P、Q两点相距6个单位长度？ (3)若点A、B为线段M、N上的两点，且，点P从N点出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，点Q从M点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，点R从B点出发，以每秒5个单位长度的速度向右运动，P、Q、R同时出发，是否存在常数k，使得的值与它们的运动时间无关，为定值？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)11，； (2)或 (3)时，定值为8 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用、数轴上两点间的距离、绝对值及偶次方的非负性，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）利用绝对值及偶次方的非负性，可求出m，n的值； （2）当运动时间为t秒时，点P对应的数是，点Q对应的数是，根据，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由A，B，M，N四点间的关系可找出点A，B对应的数，当运动时间为t秒时，点P对应的数是，点Q对应的数是，点R对应的数是，利用数轴上两点间的距离公式可得出，的长度，进而可得出，再结合的值与它们的运动时间无关，即可求出结论． 【规范解答】（1）解： 故答案为：11，； （2）当运动时间为t秒时，点P对应的数是，点Q对应的数是 依题意得：， 解得：或； （3），为线段上的两点，且， 点对应的数是，点对应的数是 当运动时间为t秒时，点P对应的数是，点Q对应的数是，点R对应的数是 ， ， 当时，与它们的运动时间无关， 解得，此时 当时，与它们的运动时间无关，为定值，该定值为8． 题型十四 动点问题（一元一次方程的应用） 【例14】（25-26七年级上·广东珠海·期中）如图，在数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为6，点从点出发以每秒3个单位长度的速度在数轴上由向运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒3个单位长度的速度运动至点停止运动，设运动时间为（单位：秒） (1)当时，点表示的有理数为______； (2)当点表示的有理数与原点的距离是2个单位长度时，求出的值； (3)在点沿数轴由点到点再回到点的运动过程中，求点与点的距离（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)或或或 (3)（） 【思路引导】本题考查了数轴，利用了速度与时间的关系，分类讨论是解题关键． （1）根据P点的速度，有理数的加法，可得答案； （2）分四种情况分别求解； （3）分点P沿数轴由点A到点B，再回到点A，两种情况分别求解． 【规范解答】（1）解：当时，， 所以点P所表示的有理数是； 故答案为： （2）解：当点P表示的有理数与原点（设原点为O）的距离是2个单位长度时，则有以下四种情况： 当点P由点A到点O时：，即：， ∴； 当点P由点O到点B时：，即：， ∴； 当点P由点B到点O时：，即：， ∴； 当点P由点O到时：，即：， ∴ 即：当点P表示的有理数与原点的距离是2个单位长度时，t的值为或或或． （3）解：点P沿数轴由点A到点B再回到点A的运动过程中，点P与点A的距离分为2种情况： 当点P到达点B前点P与点A的距离是（）； 当点P到达点B再回到点A的运动过程中点P与点A的距离是：（）． 【变式】（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）已知数轴上两点，对应的数分别为，，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)点在移动的过程中，其到点、点的距离之和为，直接写出此时点对应的数的值； (2)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足倍关系时，则称该点是其他两个点的“倍点”．如图，原点是点，的倍点．现在，点、点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从表示数的点向左运动．设出发秒后，点P恰好是点，的“倍点”，请求出此时的值． 【答案】(1)或 (2)或或． 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用、数轴上的动点问题，解决本题的关键是根据数轴上两点之间的距离，利用数形结合法列出方程． 根据点到点、点的距离之和为，分情况列方程求解； 把点、、表示的数用含的代数式表示出来，根据“倍点”分情况列方程求解． 【规范解答】（1）解：当点在点左侧时，，， 点到点、点的距离之和为， ， 解得：； 当点在点、之间时，，， 可得：， 整理可得：， 故不成立； 当点在点右侧时，，， 可得：， 解得：； 综上所述，点对应的数的值为或； （2）解：运动秒时，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ，， 点恰好是点，的“倍点”， 当时，可得：， 解得：或(不符合题意，舍去)； 当时，可得：， 解得：或； 综上所述，或或． 题型十五 和差倍分问题（一次方程的应用） 【例15】（2025七年级上·河北·专题练习）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数多6人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底26个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男生28人，女生22人 (2)4名 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设七年级一班有女生人，则有男生人，根据七年级一班共有学生50人，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设需要名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套，根据制作盒底的总数量是制作盒身总数量的2倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设七年级一班有女生人，则有男生人， 根据题意，得， 解方程，得， ， ∴七年级一班有男生28人，女生22人； （2）解：设需要名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套， 根据题意，得， 解方程，得． ∴需要4名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【变式】（2025九年级·江西·专题练习）把一批图书分给七年级某班的学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则差25本． (1)这个班有多少名学生？ (2)读书周期间，这个班级的学生去图书馆整理图书，由1个人做要完成．现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做，正好完成这项任务．假设这些人的效率相同，具体应先安排多少人整理图书？ 【答案】(1)这个班有45名学生 (2)应先安排2人整理图书 【思路引导】（1）设这个班有名学生，根据如果每人分本，则剩余本；如果每人分本，则差本．列出一元一次方程，解方程即可； （2）设应先安排人整理图书，现计划由一部分人先做，然后增加人与他们一起做，正好完成这项任务，列出一元一次方程，解方程即可． 【规范解答】（1）解：设这个班有名学生． 由题意，得， 解得． 答：这个班有名学生． （2）解：设应先安排人整理图书． 由题意，得， 解得． 答：应先安排人整理图书． 【考点剖析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 题型十六 电费和水费问题（一元一次方程的应用） 【例16】（25-26七年级上·重庆·期中）某市居民用气阶梯气价标准如下： 阶梯 年度用气量 （单位：立方米） 价格 （单位：元/立方米） 第一阶梯 大于0小于等于的部分 a 第二阶梯 大于小于等于的部分 第三阶梯 以上的部分 (1)小依家年度用气立方米，应缴纳气费______元(用含a的式子表示)；已知该年度缴纳气费元，则______ (2)在（1）的结论下，该市某天然气公司推出了“居民家庭采暖用气”政策，居民用户在申请执行该政策后，全年用气量划分为两个阶段．每年1月、2月以及月共三个月为采暖期，无论用气量为多少，均按第一阶梯气价计费，其余的9个月为非采暖期，用气总量按普通阶梯气价计费．小钟家成功申请了“居民家庭采暖用气”，今年的年用气总量为立方米，共缴纳气费元．已知非采暖期用气量不低于立方米，求小钟家今年采暖期用气费用． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查了列代数式，阶梯计价问题(一元一次方程的应用)等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用应缴纳气费超出立方米的部分，可用含a的代数式表示出应缴纳气费，结合该年度缴纳气费元，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设小钟家今年非采暖期用气量为x立方米，则小钟家今年采暖期用气量为立方米，分及两种情况考虑，根据小钟家今年共缴纳气费元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入中，即可求出结论． 【规范解答】（1）解：当小依家年度用气立方米时，应缴纳气费元， 根据题意得：， 解得：． 故答案为：，； （2）设小钟家今年非采暖期用气量为x立方米，则小钟家今年采暖期用气量为立方米， 当时，， 解得：， ∴（元）； 当时， ， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：小钟家今年采暖期用气费用为元． 【变式】（25-26七年级上·天津·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段以达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下（消费按月份结算）： 价目表 每月用水量 价格 不超过 3元/ 超出不超出的部分 5元/ 超出的部分 7元/ (1)某户居民1月份和2月份的用水量分别为和，则应收水费分别是 元和 元． (2)若该户居民3月份用水量为（其中），则应收水费多少元（用含a的式子表示，并化简）？ (3)若该户居民4月份交水费元，该户居民4月份用水多少立方米？ 【答案】(1)12，25； (2)应收水费元 (3)该户居民4月用水 【思路引导】本题考查列代数式，整式的加减的应用，一元一次方程的应用，根据题意分类讨论是解题的关键． （1）月份用水，则按第一档缴费；月份用水，则按第二档缴费； （2）由于月份用水量(其中)，根据缴费的形式得到化简即可； （3）设月份用水，根据题意可得，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【规范解答】（1）解：1月份用水，不超过，水费为（元）； 2月份用水，超过不超出，水费为（元）； 故答案为：12，25； （2）解：∵， ∴应收水费为元． 答：应收水费元； （3）解：设4月份用水， 当时，水费为（元）； 当时，水费为（元）； ∵， ∴． 则水费为． ∴， ， ， ． 答：该户居民4月用水． 题型十七 行程问题（一元一次方程的应用） 【例17】（25-26七年级上·广东东莞·期中）以下是两张不同类型火车的车票：（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁）： (1)根据车票中的信息填空：两车行驶方向______，出发时刻______（填“相同”或“不同”）； (2)已知该动车和高铁的平均速度分别为，，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点， ①设A，B两地之间的距离为s，则动车行驶完全程所用的时间可表示为______；高铁行驶完全程所用的时间可表示为______； ②求A，B两地之间的距离． 【答案】(1)相同，不同 (2)①；；② 【思路引导】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据车票上的信息即可得到答案； （2）①根据时间等于路程除以速度即可得到答案；②根据两车同时到达终点列出方程求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，两车都是从A地开往B地的列车，动车的发车时间为，高铁的发车时间为， ∴两车的行驶方向相同，发车时间不同； （2）解：①由题意得，动车行驶完全程所用的时间为，高铁行驶完全程所用的时间为； ②由题意得，， 解得， 答：A，B两地之间的距离为； 【变式】（25-26七年级上·湖北荆门·期中）已知：数轴上点A、B、C对应的数分别为、、，且满足，且多项式 是八次四项式，动点P在数轴上从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动． (1)求数 ， ， ； (2)当点P到点B的距离是点A到点B距离的一半时，求点P移动的时间； (3)当点P移动到点B时，点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在数轴上向点C移动，点Q到达点C后，再立即以同样的速度返回，移动到终点A．当P，Q两点之间的距离为5个单位长度时，求点Q移动的时间． 【答案】(1) (2)6 或 18 秒 (3)3.5秒或8.5秒或10.75秒或13.25秒 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用以及利用数轴确定点的位置，利用分类讨论得出结果是解题的关键． （1）根据非负数的性质即多项式的次数求得a，b，c的值； （2）根据题意设点P的移动时间为a s，列出方程进而求解即可； （3）根据点Q到达点C前后进行分类讨论，进而分别得出结果． 【规范解答】（1）解：， ， ， 多项式 是八次四项式， ， ； （2）解：设点P运动时间为a s，由题意可得， ∴点P表示的数为， 点P到点B的距离是点A到点B距离的一半时， ， 解得：或， 点P移动的时间6 秒或 18 秒， （3）解：由题意得：， 秒，秒， 即点Q比点P先到C点， 秒， 点Q用6秒追上点P， 设点Q运动时间为t s， 当点Q在点P的左边且都未到C点时， ，解得， 当点Q在点P的右边且都未到C点时， ，解得， 当点Q已到C点且开始向点A返回，点Q在点P的右边时， ，解得， 当点Q已到C点且开始向点A返回，点Q在点P的左边时， ，解得， 故点Q运动时间为3.5秒或8.5秒或10.75秒或13.25秒． 题型十八 比例分配（一元一次方程的应用） 【例18】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）某商场进了20台A、B、C三种型号的冰箱，根据下表提供的信息，解答以下问题： 冰箱类型 A B C 购进的台数（台） 8 6 每台冰箱的销售价（元） 2000 3000 (1)商场购进A型号冰箱__________台； (2)每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜． ①每台C型号冰箱的销售价是__________元； ②如果每台A、B两种型号冰箱的成本价之比是，每台C型号冰箱的成本价比每台B型号冰箱的成本价少500元，且每台C型号冰箱的成本价比每台A型号冰箱的成本价多300元，则每台C型号冰箱的成本价是多少元？每台C型号冰箱的盈利率是多少？（百分号前保留一位小数） 【答案】(1)6 (2)①2500；②1900元，； 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，百分数应用题，比的应用，读懂题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）用总数减去B、C两种型号的冰箱的数量，即可得解； （2）①设C型冰箱销售价为元，根据每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜，列方程求解即可；②设A、B两种型号冰箱的成本价分别为元、元，则C型号冷冻箱的成本价为元，根据题意，列方程求解即可，再用C的售价减去成本再除以成本得到盈利率得出答案． 【规范解答】（1）解：A型号冰箱购买了（台）； 故答案为：6． （2）解：①设C型冰箱销售价为元， 根据题意得， 解得， 故答案为：2500； ②设A、B两种型号冰箱的成本价分别为元、元，则C型号冷冻箱的成本价为元， 根据题意得，， 解得， （元）， 每台C型号冰箱的盈利率为：， 答：每台C型号冰箱的成本价是1900元，每台C型号冰箱的盈利率是． 【变式】（23-24七年级上·河南南阳·开学考试）如图，两根铁棒直立于桶底水平的桶中，在桶中加入水后，一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，另一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，已知两根铁棒的长度之和是31厘米，桶内水深多少厘米？ 【答案】桶内水深12厘米． 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确没入水中的长度即是水深并由此设未知数列出方程是解题的关键． 由两根铁棒没如水中部分的长度相等，设桶内水深为x厘米，则第一根铁棒的长度为，第二根铁棒法长度为，又知两根铁棒的长度之和是31厘米列方程求解即可． 【规范解答】解：设桶内水深为x厘米， ， ， ， ， ， ． 答：桶内水深12厘米． 题型十九 日历问题（一元一次方程的应用） 【例19】（25-26七年级上·江苏淮安·期中）小刘在某月的日历上圈出相邻的三个日期，并求出它们的和是21，则三个日期在日历中的排布不可能的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查一元一次方程的实际应用，日历中的每个数都是整数且上下相邻是，左右相邻相差是．根据题意可列方程求解． 【规范解答】解：A、设最小的数是，则，，故本选项不符合题意； B、设最小的数是，则，，故本选项不符合题意； C、设最小的数是，则，，故本选项不符合题意； D、设最小的数是，则，，本选项符合题意． 故选：D 【变式】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）在月历中，每个字母都代表某个具体日期． (1)在图（1）中任意框出五个数，则______，这5个数的和为______(都用含x的式子表示)； (2)在图（1）中，的和与x的关系是什么？通过计算说明； (3)已知图（2）是某个月的月历，如果用框出的5个数的和为80，求中间的那个数． 【答案】(1)， (2) (3)中间的那个数为16 【思路引导】（1）根据月历的排列特征表示出，，，， 再求和即可得解； （2）根据月历的排列特征表示出，，再求和即可得解； （3）由题意得出一元一次方程，解方程即可． 本题考查了整式的加减的应用、一元一次方程的应用，掌握月历特点是解题的关键． 【规范解答】（1）解：，，，， ∴， 故答案为：，； （2）解： ； 理由： 由题意得，， ∴； （3）解：设中间的数为x， 由（1）题意得这5个数的和为， ∴， 解得：， 答：中间的那个数为． 题型二十 古代问题（一元一次方程的应用） 【例20】（25-26九年级上·天津和平·期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了列一元二次方程，理解题意，找准等量关系是解题的关键．　 根据题意，每株椽的价钱为文，少拿一株椽后，剩下的椽数量为株且运费为文，根据“剩下的椽的运费等于一株椽的价钱”可列出方程； 【规范解答】解：设这批椽的数量为株， 由题意得， 两边同时乘以得； 故选：A． 【变式】（24-25七年级上·全国·课后作业）《孙子算经》中有一题；今有妇人河上荡杯，津吏问：杯何以多？妇人曰有客．吏曰：客几何？妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？大意：有一位妇女在河边洗碗，管理桥梁的官吏见了，问道：“你要洗的碗为什么这样多？”妇人回答说：“家里来了客人．”官吏又问：“来了多少客人？”妇人说：“我家来的客人，2人共用一只饭碗，3人共用一只汤碗，4人共用一只肉碗，总共用了65只碗．请你算算吧，我家的客人有多少个？”请解决这道古题． 【答案】60人 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． 设妇人家中来了位客人，则共使用只饭碗，只汤碗，只肉碗，根据共用了只碗，列方程求解，即可得出结论． 【规范解答】解：设妇人家中来了位客人， 则共使用只饭碗，只汤碗，只肉碗， 依题意，得， 解得． 故妇人家中来了位客人． 题型二十一 其他问题（一元一次方程的应用） 【例21】（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图所示，A，B两市相距20千米，在A，B两市之间距A市6千米处有一个加油站某天出租车从A市出发，规定向东行驶为正．出租车当天行驶的记录如下（单位：千米）：，，，，，，， 现以A市为原点，向东为正方向画数轴，1个单位长度代表1千米． (1)市在数轴上表示的数为______，加油站C在数轴上表示的数为______． (2)当时，出租车将最后一名乘客送达目的地时，出租车在B市的哪个方向？距B市距离是多少千米？ (3)若出租车从A市出发时油箱里还有15升油，出租车每行驶1千米耗油升，出租车送完最后一名乘客后需赶往加油站加油．为保证车辆安全，到达加油站时油箱内剩余油量不应低于5升，若，求m的最大值． 【答案】(1)； (2)出租车将最后一名乘客送达目的地时，出租车在B市的东边，距B市距离是10千米 (3)m的最大值为 【思路引导】本题考查用数轴上的点表示有理数，有理数的加减运算，以及一元一次方程的应用，理解题意得出正确的算式是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义，将各数相加并计算即可； （3）根据正数和负数的实际意义列得关于m的方程，解得m的值即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得市在数轴上表示的数为， 加油站在数轴上表示的数为， 故答案为：； （2）解：（千米）， 当时， （千米）， ， 出租车将最后一名乘客送达目的地时，出租车在市的东边，距市距离是10千米； （3）解：（千米）， 整理得：， 解得：， 即的最大值为7． 【变式】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）观察下列三行数： 将上述框进行左右平移，在平移的过程中，设框中这4个数分别为，，，，即： (1)若，则______，______，______； (2)在平移过程中，探究如下问题： ①是否存在满足条件的的值，使和为51，若存在，求出的值，若不存在，说明理由； ②已知为常数，若的值为定值，求的值． 【答案】(1) (2)①不存在满足条件的的值，使和为51；② 【思路引导】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是观察得到数字变化的规律． （1）观察数字变化的规律可得答案； （2）①由，可得，解得；而第一行没有27，故不存在满足条件的的值，使和为51； ②求出，可得，即得． 【规范解答】（1）解：当时，； 故答案为：； （2）解：①不存在满足条件的的值，使和为51； 理由如下： 根据规律，， ∵和为51， ， 解得：； 观察可知，第一行没有27， ∴不存在满足条件的的值，使和为51； ②， ∵的值为定值， ， ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·云南昭通·月考）已知关于x的方程的解是，则a的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【思路引导】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解是解题的关键；将已知解代入方程，直接求解a的值即可． 【规范解答】解：把代入方程得， 解得：； 故选：D． 2．（25-26七年级上·云南昭通·月考）下列方程中，是一元一次方程的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查一元一次方程的判断，根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且含未知数的项的最高次数为1的整式方程，叫做一元一次方程，进行判断即可． 【规范解答】解：A、含有2个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； B、含有2次项，不是一元一次方程，不符合题意； C、是一元一次方程，符合题意； D、含有2个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； 故选C． 3．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【思路引导】本题考查等式的性质，需考虑变形中的限制条件，如除数不为零或系数为零等，熟练掌握等式的性质是解题的关键；因此此题可根据等式的性质进行排除选项即可． 【规范解答】解：A、∵当时，恒成立，但与不一定相等，∴A错误； B、∵可化为，∴或，不一定等于2，∴B错误； C、∵，且（否则），∴成立，∴C正确； D、∵当时，恒成立，但与不一定相等，∴D错误； 故选C． 4．（25-26七年级上·甘肃甘南·月考）若一个关于的一元一次方程的解是，则这个方程可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题考查一元一次方程的定义，掌握只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程是解题关键．根据定义结合方程解的定义即可求解． 【规范解答】解：由题意，方程的解为，因此可构造方程（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 5．（25-26七年级上·河南周口·期中）已知是方程的解，则a = 【答案】1 【思路引导】本题考查方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．将已知解代入方程求解未知数即可． 【规范解答】解：将 代入方程 ， 得， 解得：． 故答案为：1． 6．（25-26七年级上·云南昭通·月考）我们知道，无限循环小数可以化为分数．例如将（即0.333…）化为分数：设，则，两式相减得，解得．仿照此方法，将无限循环小数（即）化为分数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查一元一次方程的实际应用，设，则：，两式相减，得到一元一次方程，进行求解即可． 【规范解答】解：设，则：， 两式相减得， 解得； 故答案为：． 7．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知、、三点在同一直线上，某人乘船由地顺流而下到地，然后又逆流而上到地，共乘船3小时，已知船在静水中的速度是7千米/小时，水流速度是1千米/小时，若、两地距离为2千米，则、两地之间的距离是 千米． 【答案】或 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键．由题意可知，船顺流速度为千米/小时，逆流速度为千米/小时，设、两地之间的距离为千米，分两种情况讨论：当在线段上时和当在线段的反向延长线上时，根据顺流速度和逆流速度列出方程求解． 【规范解答】解：由题意可得，船顺流速度为千米/小时，逆流速度为千米/小时， 设 、两地之间的距离为千米， 情况一：当在线段上时， 有， 两边同乘得：， 即， ， 解得； 情况二：当在线段的反向延长线上时， 有， 两边同乘得：， 即， ， 解得； 综上可知，、两地之间的距离为或千米， 故答案为：或． 8．（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查“解一元一次方程”，熟练掌握解一元一次方程的步骤与方法是解题关键． （1）利用等式的性质和合并同类项法则解方程即可； （2）利用等式的性质和合并同类项法则解方程即可． 【规范解答】（1）解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：合并同类项，得， 系数化为1，得． 9．（25-26七年级上·四川成都·期中）下面是某同学解方程的过程．请仔细阅读，并完成以下任务 解方程：． 解：去分母，得……① 去括号，得……② ，得……③ 合并同类项，得……④ 系数化为1，得……⑤ (1)该同学的解答过程在第 步开始就出现错误；（填写对应编号） (2)该同学求解过程中，第③步中的横线上应填的步骤是 ； (3)请你写出此方程的正确解答过程． 【答案】(1)① (2)移项 (3)详见解析 【思路引导】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据去分母的方法，进行判断得出答案即可； （2）根据解一元一次方程的基本步骤，此时应该是移项； （3）根据解一元一次方程步骤解方程即可求解． 【规范解答】（1）解：该同学的解答过程在第①步开始出现错误，出现错误的原因是去分母时漏乘常数项， 故答案为：①； （2）解：该同学求解过程中，第③步中的横线上应填移项， 故答案为：移项； （3）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 10．（25-26七年级上·黑龙江·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是________，点P表示的数是________（用含t的式子表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： 当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ 当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【答案】(1)； (2)当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度 【思路引导】本题考查了数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，绝对值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）根据数轴上两点之间的距离，计算求解即可； （2）由题意知，运动过程中，P点表示的数为，Q点表示的数为，由点P与点Q相遇，可得，计算求解即可； 由题意可知，之间的距离为分为：当P不超过Q时，当P超过Q时，分别计算求解即可． 【规范解答】（1）解：数轴上点A表示的数为6， 则 点B在原点左边， 数轴上点B所表示的数为； 动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 点P运动t秒的长度为， P所表示的数为：； 故答案为：，； （2）解：点P运动t秒时追上点Q， 根据题意得，解得， 答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇； 当P不超过Q时，则，解得； 当P超过Q时，则，解得； 答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）运用等式的性质进行变形，下列不正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【思路引导】本题主要考查等式的性质；由题意可根据等式的性质进行排除选项． 【规范解答】解：A、若，则，原变形正确，该选项不符合题意； B、若，则，原变形正确，该选项不符合题意； C、若，则，原变形正确，该选项不符合题意； D、若，则或，原变形不正确，该选项符合题意； 故选：D． 2．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）下列各式中，一元一次方程的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键；根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程）进行判断即可． 【规范解答】解：∵①：只含一个未知数，且次数为1，是整式方程，∴是一元一次方程； ∵②：只含一个未知数，且次数为1，是整式方程，∴是一元一次方程； ∵③：含有两个未知数，∴不是一元一次方程； ∵④：化简后为，只含一个未知数，且次数为1，是整式方程，∴是一元一次方程； ∵⑤：未知数的最高次数为2，∴不是一元一次方程； ∴一元一次方程有①②④，共3个； 故选C． 3．（25-26七年级上·云南昭通·月考）一个长方形的周长为，长比宽多．设宽为，依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；根据长方形周长公式和长比宽多的条件，列出方程即可． 【规范解答】解：设宽为，则长为，由题意可列方程为； 故选D． 4．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）如图是某月的月历，用形如“十”字型框任意框出5个数，这5个数的和不可能是（   ） A．125 B．110 C．75 D．60 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用，设框出的最中间的数为，则其它几个数分别为，可求出这五个数的和，再令这五个数的和分别为四个选项中的数，解方程求出的值，看是否满足日历的特点即可得到答案． 【规范解答】解：设框出的最中间的数为，则其它几个数分别为， ∴这五个数的和为， 当，解得，而25不能作为最中间的数，故A符合题意； 当，解得，而22能作为最中间的数，故B不符合题意； 当，解得，而15能作为最中间的数，故C不符合题意； 当，解得，而12能作为最中间的数，故D不符合题意； 故选：A． 5．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）是关于x的一元一次方程，则方程的解为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，根据一元一次方程的定义，未知数的指数为1且系数不为0，求出m的值，再代入方程求解． 【规范解答】解：由一元一次方程的定义，得且， 解得， 把代入，则 解得． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）对于数、定义这样一种运算：，例如，若，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，利用新定义运算法则是解题关键．根据新定义的运算法则，将得到关于的方程，求解即可． 【规范解答】解：， ， 解得：， 故答案为：． 7．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）足球比赛的规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场是0分．某队踢了17场比赛，负了5场，共得28分，那么这个队胜了 场． 【答案】8 【思路引导】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；设胜场数为x，则平场数为，根据积分规则列出方程求解即可． 【规范解答】解：设这个队胜了x场，则平了场，即场， 根据题意， 解得：； 故这个队胜了8场； 故答案为8． 8．（25-26七年级上·新疆昌吉·月考）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤及注意事项是解题的关键． （1）移项，合并同类项， 系数化为1即可求解． （2）去分母， 合并同类项， 系数化为1即可求解． 【规范解答】（1）解：． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解： 去分母，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 9．（25-26七年级上·云南昭通·月考）【阅读与思考】 在解形如()的方程时，我们可以根据绝对值的意义，分情况讨论： 当时，原方程化为，解得； 当时，原方程化为，解得． 所以，方程()的解为或． 【理解与应用】 利用上述方法解方程：． 【答案】或 【思路引导】本题主要考查绝对值方程，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键；因此此题可根据绝对值方程的解法进行求解即可． 【规范解答】解：根据阅读材料的方法： 当，即时，原方程化为， 解得：； 当，即时，原方程化为， 解得：， 综上所述，方程的解为或． 10．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图1，有一长，宽的科幻空间站长方形实验舱，动点P以每秒4个单位从A向B运动，同时点Q以每秒a个单位从B向C，运动，设点P运动时间为t秒，连接、．求： (1)_____（用t表示）； (2)当a为何值时，四边形的面积不会随运动时间t的变化而改变； (3)如图2，若点P每运动1秒实验舱的M区显示结果就会自动加上4，同时N区会自动将整个代数式乘以2且均显示化简后的结果．已知M，N两区初始显示的分别是和（为正整数），若，试用作差法比较M区、N区显示结果哪个大． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了列代数式及整式加减的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据求解即可； （2）根据四边形的面积=长方形的面积-三角形的面积-三角形的面积求解，然后整理即可得出结果； （3）根据题意得出，，然后用作差法比较即可． 【规范解答】（1）解：∵宽，动点P以每秒4个单位从A向B运动， ∴． 故答案为：； （2）四边形的面积=长方形的面积三角形的面积三角形的面积， 即 ， ∵四边形的面积不会随运动时间t的变化而改变， ∴，即时，四边形的面积不会随运动时间的变化而变化； （3）当时，由题意得 ，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）下列各式进行的变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【思路引导】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式两边同时加、减、乘、除同一个数（除数不为零）等式仍然成立，判断各选项变形是否正确． 【规范解答】解：∵等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立， ∴选项A（加2）和B（减5）正确； ∵从，两边同时除以6，得，即， ∴选项C正确； ∵从，两边同时乘以3，得， ∴选项D不正确． 故选：D． 2．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【思路引导】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可，解题的关键是正确理解等式性质：、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；、等式的两边同时乘以或除以同一个不为数或字母，等式仍成立． 【规范解答】解：、若，则，原选项正确，不符合题意； 、若，则，原选项正确，不符合题意； 、若，当时，则，原选项错误，符合题意； 、若，则，原选项正确，不符合题意； 故选：． 3．（25-26七年级上·福建三明·期中）如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点同时沿边长为4的正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2025次相遇在边（    ） A．上 B．上 C．上 D．上 【答案】A 【思路引导】本题考查了图形规律问题和行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用： 根据乙的速度是甲的速度的4倍，求得第一次，第二次，第三次……相遇的地点，找出规律解答即可． 【规范解答】解：正方形的边长为4，因为乙的速度是甲的速度的4倍，时间相同，所以甲，乙行驶的路程比为，由题意得， ①第一次相遇甲乙的行驶路程和为8，甲的行驶路程为，在边相遇； ②第二次相遇甲乙的行驶路程和为16，甲的行驶路程为，共行驶，在边相遇； ③第三次相遇甲乙的行驶路程和为16，甲的行驶路程为，共行驶，在顶点相遇； ④第四次相遇甲乙的行驶路程和为16，甲的行驶路程为，共行驶，在边相遇； ⑤第五次相遇甲乙的行驶路程和为16，甲的行驶路程为，共行驶，在顶点相遇； ⑥第六次相遇甲乙的行驶路程和为16，甲的行驶路程为，共行驶，在顶点相遇； …… ∴每5次循环一次， ∵， ∴它们第2025次相遇在边上， 故选：A． 4．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是和7，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点与点B之间的距离为2，则C点表示的数是 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了数轴上两点间距离，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握数轴知识列出方程．设点C表示的数为c，根据两点间距离公式得出，，分两种情况：当时，当时，分别列出方程，解方程即可． 【规范解答】解：点A、B表示的数分别是和7，点A对应的点与点B之间的距离为2，假设点C表示的数为c， ，， 当时， ， 解得：， 当时， ， 解得：， 点表示的数是或． 故答案为：或． 5．（25-26七年级上·湖北十堰·期中）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．“三阶积幻方”是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵，其中每一横行，每一竖列，每条斜对角线上的三个数字之积均相等的幻方，如图为“三阶积幻方”，m，n为有理数，则的值是 ． 【答案】48 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，根据幻方特点，利用积相等是解题的关键． 根据三阶积幻方的性质，每一行、每一列和每条对角线上的三个数字之积相等，利用已知数字建立方程，求解出m和n的值，然后计算即可． 【规范解答】解：设公共积为P， 由第二列可得：， 由第一行可得：， ， ， ， ， 由对角线可得：， 由第一列：， ， ， ， ， ． 故答案为：48． 6．（25-26七年级上·四川绵阳·月考）已知两个多项式，，以下结论正确的有 （填序号）． 若，则； 若的值与的值无关，则； 若，则的取值范围是； 若，则满足等式的的值有个． 【答案】 【思路引导】本题考查了整式的加减，一元一次方程的应用，绝对值方程，对于结论，计算得到，令其等于解得；对于结论，计算表达式系数得，，；对于结论利用绝对值性质得，解不等式得范围；对于结论，解绝对值方程得三个值，而非个，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解： ， 由，得， ，故正确； ， ∵值与无关， ∴且， 解得，， ∴，故错误； 设，则， 当时，恒成立， 即， ∴， ， ，故正确； 由，即， 设，则， ， 或， 即或， 当时，； 当时，或， 解得或， ∴共三个值，故错误， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·云南玉溪·期中）请解下列一元一次方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）先移项，合并同类项，再把未知数的系数化为1，即可解答； （2）先去分母，方程两边同时乘以4，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1，即可解答； （3）先去分母，方程两边同时乘以12，再去括号，然后移项、合并同类项，最后把未知数的系数化为1，即可解答． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 8．（25-26七年级上·云南玉溪·期中）已知数轴上，，三点对应的数分别为，，，点为数轴上任意一点，其对应的数为．点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． (1)若，则___________； (2)若，求的值； (3)点以每秒个单位的速度向右运动，设运动时间为秒．试计算点需要运动多长时间能够到达点？请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)点需要运动秒时间能够到达点 【思路引导】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程，掌握数轴上两点间的距离是解题的关键． （1）数轴上两点间的距离列方程进行求解即可； （2）数轴上两点间的距离列方程进行求解即可； （3）先求出，进而求出时间即可． 【规范解答】（1）解： ，，， ， 解得， 故答案为：； （2） ， 或； （3） ， 秒， 点需要运动秒时间能够到达点． 9．（25-26七年级上·湖北十堰·期中）如图，在数轴上有两条线段，，，，点A，B在数轴上表示的数分别是a，b，且a，b满足． (1)填空： ； ； (2)从此时刻开始，以3个单位长度/秒的速度向数轴正方向匀速移动，以2个单位长度/秒的速度向数轴负方向匀速移动． ①移动多少秒时A，B相距6个单位长度 ②移动多少秒时A，B到原点的距离相等 ③在上的某一位置P处有一爱动脑筋的小蚂蚁，它发现在移动过程中有一段时间t秒钟内，它的位置P到A，B的距离和加上到C，D的距离和是一个不变的值（即为定值），请直接写出t的值及这个定值． 【答案】(1)；8 (2)①移动或6秒时，A，B相距6个单位长度；②移动或8秒时，A，B到原点的距离相等；③，定值为6 【思路引导】本题考查了数轴上两点间的距离公式，数轴上的动点问题，以及一元一次方程的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）根据非负性即可求解； （2）①设移动时间为t秒，根据题意表达出点A、B、C和D的各表达式，再根据A，B相距6个单位长度列方程求解即可；②根据A，B到原点的距离相等列方程求解即可；③根据题意得P在上，则为定值，再根据当线段位于B、D之间时，为定值即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 解得， 故答案为：，8； （2）解：①设移动时间为t秒， ∵，， ∴移动后点A的位置：，点B的位置：，点D的位置（在点B的右侧）：，点C的位置（在点A的左侧）：， 由题意得，A、B的距离为 ， ∵A，B相距6个单位长度， ∴， ∴或， ∴或， 解得或， ∴移动或6秒时，A，B相距6个单位长度； ②∵A，B到原点的距离相等， ∴， ∴分为两种情况： （Ⅰ） 解得， （Ⅱ） 解得， ∴移动或8秒时，A，B到原点的距离相等； ③∵P在上， ∴， ∵要使为定值，需使为定值， ∴当线段位于B、D之间时，， ∴当点C与点B重合时，， 解得， 当点A与点D重合时，， 解得， ∴， 此时定值为． 10．（25-26七年级上·福建泉州·期中）如图，甲、乙两台搬运机器人分别固定在数轴型仓库的8号货架（甲初始位置）和13号货架（乙初始位置），货架编号沿数轴正方向递增，机器人仅沿数轴正/负方向移动，每次移动以“货架间距”为单位（1个单位对应1个货架间距）．系统每次下达1条运输指令，指令类型分为三类，各类指令对应的机器人移动规则唯一且固定： ①协同搬运指令：甲向正方向移动2个单位，乙向负方向移动2个单位； ②甲优先搬运指令：甲向正方向移动2个单位，乙向正方向移动1个单位； ③乙优先搬运指令：甲向负方向移动2个单位，乙向负方向移动1个单位． (1)从初始位置出发，仅执行1条“协同搬运指令”后，甲、乙两台机器人之间的货架间距为 个单位长度； (2)从初始位置出发，累计执行k条运输指令 ①若，且两台机器人只执行“优先搬运指令”，设“甲优先搬运指令”执行次数为n，甲最终停留的货架编号为 （用n的代数式表示）； ②若“协同搬运指令”次数与“优先搬运类指令”总次数的比为，设“甲优先搬运指令”执行次数为n，最终停留的货架编号为 （用k、n的代数式表示）；若此时甲、乙的位置间距为3个货架单位，求所有符合条件的k值及对应的各类指令执行次数． 【答案】(1)17 (2)①；②；所有符合条件的k值为8或12或16；当，时，“协同搬运指令”次数为6，“甲优先搬运指令”执行次数为3，“乙优先搬运指令”执行次数为3；当，时，“协同搬运指令”次数为8，“甲优先搬运指令”执行次数为0，“乙优先搬运指令”执行次数为8；当，时，“协同搬运指令”次数为4，“甲优先搬运指令”执行次数为3，“乙优先搬运指令”执行次数为1．当，时，“协同搬运指令”次数为6，“甲优先搬运指令”执行次数为0，“乙优先搬运指令”执行次数为6 【思路引导】（1）根据“协同搬运指令”的移动方式列式求解即可； （2）①首先得到“乙优先搬运指令”执行次数为，然后列式求解即可； ②首先表示出“协同搬运指令”次数与“优先搬运类指令”总次数都为，“乙优先搬运指令”执行次数为，然后表示出甲最终停留的货架编号和乙最终停留的货架编号，然后根据甲、乙的位置间距为3个货架单位列出方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵从初始位置出发，仅执行1条“协同搬运指令” ∴甲移动后表示的数为，乙移动后表示的数为， ∴ ∴甲、乙两台机器人之间的货架间距为17个单位长度， 故答案为：； （2）解：①设“甲优先搬运指令”执行次数为n， ∴“乙优先搬运指令”执行次数为， ∴甲最终停留的货架编号为， 故答案为：； ②∵“协同搬运指令”次数与“优先搬运类指令”总次数的比为， ∴“协同搬运指令”次数与“优先搬运类指令”总次数都为 ∵设“甲优先搬运指令”执行次数为n， ∴“乙优先搬运指令”执行次数为， ∴甲最终停留的货架编号为； ∴乙最终停留的货架编号为； ∵此时甲、乙的位置间距为3个货架单位， ∴ 整理得， ∵k和n都是正整数，且， ∴ ∴当时，整理得， ∴，或，， ∴“协同搬运指令”次数为，“甲优先搬运指令”执行次数为3，“乙优先搬运指令”执行次数为； “协同搬运指令”次数为，“甲优先搬运指令”执行次数为0，“乙优先搬运指令”执行次数为； 当时，整理得， ∴，或，， ∴“协同搬运指令”次数为，“甲优先搬运指令”执行次数为3，“乙优先搬运指令”执行次数为； “协同搬运指令”次数为，“甲优先搬运指令”执行次数为0，“乙优先搬运指令”执行次数为； 综上所述，所有符合条件的k值为8或12或16； 当，时，“协同搬运指令”次数为6，“甲优先搬运指令”执行次数为3，“乙优先搬运指令”执行次数为3； 当，时，“协同搬运指令”次数为8，“甲优先搬运指令”执行次数为0，“乙优先搬运指令”执行次数为8； 当，时，“协同搬运指令”次数为4，“甲优先搬运指令”执行次数为3，“乙优先搬运指令”执行次数为1． 当，时，“协同搬运指令”次数为6，“甲优先搬运指令”执行次数为0，“乙优先搬运指令”执行次数为6； 【考点剖析】此题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，数轴动点问题，列代数式等知识，解题的关键是正确读懂题意． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 方程的概念与解 掌握方程的概念和方程的解； 基础必考点，一般出现在小题中，难度不大 等式的性质 掌握等式的基本性质，学会用等式的基本性质解方程； 基础必考点，一般出现在小题中，做题时要结合等式的性质来思考 一元一次方程的概念 掌握一元一次方程的概念，注意一元一次方程一次项系数不能为0； 基础常考点，一般出现在小题中 一元一次方程的解法 掌握一元一次方程的解法，会用消元法解较为复杂的一元一次方程 重要考点，一般出现在计算题 一元一次方程解的关系 掌握一元一次方程解的关系，如同解，相反数等 常考点，小题和解答题中均会出现 根据一元一次方程的解求参数 掌握一元一次方程的解求参数题型，要注意分析题意，得出结果后可以代入理解 常考点，一般出现在小题中 一元一次方程的实际应用 掌握一元一次方程各类实际应用题型 必考点，一般出现在解答题中，小题考查时难度不大 一元一次方程的新定义问题 掌握一元一次方程的新定义问题 重要考点，一般出现在解答题中，重点考查学生对一元一次方程的深度理解 知识点01：一元一次方程的基础 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程. 方程的判断条件：①等式；②方程. 一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a、b是常数，且a≠0）. 方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 解方程：求方程的解得过程叫做解方程. 知识点02：等式的性质 等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式.即： 如果a=b，那么a±c=a±c 等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等.即： 如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b(c≠0)，那么 = 等式的性质3：如果a=b，则b=a （对称性） 等式的性质4：如果a=b，b=c，则a=c （传递性） 【易错易混】 1）利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算. 2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立. 知识点03：解一元一次方程 基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为x=. 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 不要弄错符号. 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 1）移项时不要丢项; 2）将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在方程同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 1）系数的符号处理要得当； 2）字母及其指数不变. 系数化为1 将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x= 1)未知数的系数为整数或小数时,方程两边同除以该系数; 2)未知数的系数为分数时,方程两边同乘该系数的倒数. 【易错点拨】 1）解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 2) 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100． 知识点04： 一元一次方程与实际应用 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数； ③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数. 列：根据题中相等关系，列出一元一次方程； 解：解所列出的一元一次方程； 验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 答：写出答案，包括单位. 题型一 解一元一次方程（一）-合并同类项与移项 【例1】（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）解方程 (1)； (2)． 【变式】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：；；．从而在化简时，可分以下三种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ∴，通过以上阅读，解决问题： (1)直接写出的零点值是________； (2)化简； (3)直接写出的最大值为________． 题型二 解一元一次方程（二）-去括号 【例2】（25-26七年级上·重庆·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式】（25-26七年级上·浙江金华·期中）解下列方程： (1)； (2)． 题型三 解一元一次方程（三）-去分母 【例3】（25-26七年级上·云南昭通·月考）小明在解关于x的方程 去分母时，方程右边的“”没有乘6，从而求得的解为 ． (1)请求出a的值； (2)求出原方程正确的解． 【变式】（25-26七年级上·湖北十堰·期中）解方程： (1) (2) 题型四 已知一元一次方程的解，求参数 【例4】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）定义：如果两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一个方程的“和谐方程”，例如：方程是方程的“和谐方程”． (1)若方程是方程的“和谐方程”，则______． (2)若关于x的方程是关于x的方程的“和谐方程”，求m的值． 【变式】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）【程序】有一种整式处理器，能将“二次多项式”处理成“一次多项式”．处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项，例如多项式经过处理器得到，如图所示． 【应用】若关于的二次多项式经过处理器得到，根据以上方法，解决下列问题： (1)填空：若，则___________； (2)若，求关于的方程的解； (3)若，且方程的解是负整数，求整数的值． 题型五 —元一次方程解的关系 【例5】（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是（    ） A．21 B． C．23 D．24 【变式】（25-26七年级上·重庆合川·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程和为“美好方程”．若关于x的一元一次方程 和 是“美好方程”，那么关于y的一元一次方程 的解为 ． 题型六 绝对值方程 【例6】（25-26七年级上·四川泸州·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 【探究问题】 如图，数轴上，点A、B、P分别表示数，因为的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，，而当点在点的左侧或点的右侧时，．所以当点在线段上时，有最小值，最小值是3． 【解决问题】 （1）根据绝对值的几何意义，当时，的值为_____________； （2）利用绝对值的几何意义，直接写出式子的最小值为_____________； （3）利用绝对值的几何意义，当时，的值为_____________； （4）利用绝对值的几何意义，写出的最小值为_____________． 【变式】（25-26七年级上·广东汕头·月考）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 举例：数轴上表示2和5两点间的距离是3；表示和5两点间的距离是7； 一般地，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离可表示为； 运用： (1)若，则a的值为________； (2)若数轴上表示数a的点位于与2之间，则________． (3)若代数式，求a的值． 题型七 配套问题（一元一次方程的应用） 【例7】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿． (1)现有木材，要用多少木料制作桌面，多少木料制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子？ (2)甲、乙两个工厂合作加工（1）中数量的桌子，5天加工完毕（每个工厂都独立加工完整的桌子），已知甲工厂每天加工的桌子比乙工厂的2倍少5张，求甲工厂每天加工几张桌子？ 【变式】（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）制作一张桌子要一个桌面和3条桌腿，1立方米木材可制作20个桌面，或者制作360条桌腿，现有7立方米木材，应用多少立方米木材生产桌面，才能使生产出的桌面与桌腿配套？若设用x立方米木材制作桌面，则可列为 ． 题型八 工程问题（一元一次方程的应用） 【例8】（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）某水池可以用甲、乙两个水管注水，单开甲管需12小时注满，单开乙管需24小时注满，若要求10小时注满水池，且甲、乙两管同时打开的时间尽量少，那么甲、乙最少要同时开放 小时． 【变式】25-26七年级上·重庆·期中）列方程解应用题:某隧道及连接道路工程项目全长500米，其中隧道(地下路段)长度220米，剩余为连接道路（地上路段）．现有甲、乙两个工程队负责工程项目的修建，已知乙工程队每天修建地上路段的长度是甲工程队每天修建地上路段长度的倍，一期工程甲、乙两工程队一起修建完280米长的地上路段，用时共4天． (1)求一期工程中甲、乙两工程队每天分别修建地上道路多少米? (2)工程二期，由甲、乙两工程队继续负责地下路段的建设，由于建设难度的提升，甲、乙两工程队每天可修建地下道路长度缩减为一期工程的一半．工程二期，甲工程队每天修建道路的费用为3万元，乙工程队每天修建道路的费用为9万元．若安排由甲、乙共同修建该地下路段的一部分，剩下部分由甲工程队单独完成，工程二期总费用为72万元，求甲工程队在工程二期道路建设中单独修建了多少天? 题型九 销售盈亏（一元一次方程的应用） 【例9】（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元、30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款140元，求所购商品的标价？ 【变式】（25-26七年级上·山东潍坊·期中）某超市在双十一期间推出优惠活动，优惠的具体方案如下表： 一次性购物金额 优惠办法 不超过200元 不予优惠 超过200元但不超过400元 超过200元的部分给予9折优惠 超过400元 超过200元但不超过400元的部分给予9折优惠 超过400元的部分给予8折优惠 (1)若小亮一次购买原价300元的商品，他实际付款________元；若一次购买原价600元的商品，他实际付款________元； (2)若小亮在该超市一次购物元，当超过200元但不超过400元时，他实际付款多少元（用含的代数式表示）？ (3)如果小亮一次购物实际付款524元，试求他这次购买商品的原价是多少元？ 题型十 比赛积分（一元一次方程的应用） 【例10】（2025·河北邯郸·一模）某代表队参加知识竞赛，竞赛依次分必答和抢答两个环节，规定：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分；抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分．初始分数为100分． (1)必答环节该队答对7道题，求该队必答环节后的总分数； (2)若抢答环节该队共抢答6次，本环节得140分，请通过列方程求该队抢答环节答对题目数． 【变式】（24-25九年级下·湖南长沙·期中）为了丰富同学们的课余生活，某学校组织九年级足球比赛，在小组赛环节，每个班级的队伍分为一个组，小组内进行单循环赛，积分规则为：胜一场积分，平一场积分，负一场积分，其中班被分在了组．以下是本次小组赛组的积分表，小组赛结束后，整理数据时，负责登记分数的小明同学发现忘记登记班的积分了，他只记得，组比赛共场，其中只有两场比赛结果是战平，则根据此表，可以推断班的积分是 ． 排名 球队 积分 班 班 班 班 题型十一 方案选择(一元一次方程的应用） 【例11】（2025七年级上·全国·专题练习）国庆期间，七年级（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩，如下是购买门票时，明明与他爸爸的对话，试根据信息，解答下列问题： 票价 成人：每张元 学生：按成人票五折优惠 团体票（人以上含人）：按成人票6折优惠 大人门票是每张元，学生门票是5折优惠，我们一共人，共需元 爸爸，等一下，我算算换一种方式买票是否可以省钱？ (1)明明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)请你帮助明明算一算，用哪种方式购票更省钱？ (3)购完票后，明明发现七年级（2）班的张小涛等8个学生和他们的个家长共人也来购票，请你为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【变式】（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）联合国教科文组织正式宣布每年的3月14日为“国际数学日”，以纪念圆周率的诞生，在国际数学日到来之际，学校计划订购一批数学教具，以下是某商店给出的优惠方案： 当销售量不超过100个时，单价为15元/组： 当销售量超过100个时，超过的部分按照单价的八折销售． (1)若购买80组教具，花费______元；若购买130组教具，花费_______元． (2)学校购买数学教具共花费2220元，请用一元一次方程求出购买了多少组教具． 题型十二 数字问题（一元一次方程的应用） 【例12】（25-26七年级上·福建莆田·期中）定义一种对整数的“”运算：，以表示对整数进行次“”运算．例如，表示对进行次“”运算，因为是偶数，所以，第一次运算的结果为，因为第一次运算的结果是奇数，所以第二次运算的结果为，所以的运算结果是．请回答下列问题： (1)直接写出：的运算结果是 ，的运算结果是 ． (2)若为偶数，且的运算结果为，求的值． 【变式】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）阅读材料：在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为（），把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的倍． 回答问题： (1)请证明小智的发现； (2)已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于594，请直接写出的值． 题型十三 几何问题（一元一次方程的应用） 【例13】（25-26七年级上·四川绵阳·月考）点A，B在数轴上，分别表示数m，n，且． (1)直接写出m的值是 ，n的值是 ，线段的长度是 ； (2)如图1，线段的长为定值（点P在点Q的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线段完全经过点A（即点A在线段上的这段过程）所需的时间为2秒，线段完全经过线段（即线段与线段有公共点的这段过程）所需的时间为12秒． ①求线段的长； ②直接写出线段运动的速度为 个单位长度/秒； ③如图2，是否存在点C使时． 【变式】（25-26七年级上·福建莆田·期中）已知M、N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且满足． (1)    ； (2)若点P从N点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时点Q从M点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，经过多长时间后P、Q两点相距6个单位长度？ (3)若点A、B为线段M、N上的两点，且，点P从N点出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，点Q从M点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，点R从B点出发，以每秒5个单位长度的速度向右运动，P、Q、R同时出发，是否存在常数k，使得的值与它们的运动时间无关，为定值？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 题型十四 动点问题（一元一次方程的应用） 【例14】（25-26七年级上·广东珠海·期中）如图，在数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为6，点从点出发以每秒3个单位长度的速度在数轴上由向运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒3个单位长度的速度运动至点停止运动，设运动时间为（单位：秒） (1)当时，点表示的有理数为______； (2)当点表示的有理数与原点的距离是2个单位长度时，求出的值； (3)在点沿数轴由点到点再回到点的运动过程中，求点与点的距离（用含的代数式表示）． 【变式】（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）已知数轴上两点，对应的数分别为，，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)点在移动的过程中，其到点、点的距离之和为，直接写出此时点对应的数的值； (2)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足倍关系时，则称该点是其他两个点的“倍点”．如图，原点是点，的倍点．现在，点、点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从表示数的点向左运动．设出发秒后，点P恰好是点，的“倍点”，请求出此时的值． 题型十五 和差倍分问题（一次方程的应用） 【例15】（2025七年级上·河北·专题练习）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数多6人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底26个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【变式】（2025九年级·江西·专题练习）把一批图书分给七年级某班的学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则差25本． (1)这个班有多少名学生？ (2)读书周期间，这个班级的学生去图书馆整理图书，由1个人做要完成．现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做，正好完成这项任务．假设这些人的效率相同，具体应先安排多少人整理图书？ 题型十六 电费和水费问题（一元一次方程的应用） 【例16】（25-26七年级上·重庆·期中）某市居民用气阶梯气价标准如下： 阶梯 年度用气量 （单位：立方米） 价格 （单位：元/立方米） 第一阶梯 大于0小于等于的部分 a 第二阶梯 大于小于等于的部分 第三阶梯 以上的部分 (1)小依家年度用气立方米，应缴纳气费______元(用含a的式子表示)；已知该年度缴纳气费元，则______ (2)在（1）的结论下，该市某天然气公司推出了“居民家庭采暖用气”政策，居民用户在申请执行该政策后，全年用气量划分为两个阶段．每年1月、2月以及月共三个月为采暖期，无论用气量为多少，均按第一阶梯气价计费，其余的9个月为非采暖期，用气总量按普通阶梯气价计费．小钟家成功申请了“居民家庭采暖用气”，今年的年用气总量为立方米，共缴纳气费元．已知非采暖期用气量不低于立方米，求小钟家今年采暖期用气费用． 【变式】（25-26七年级上·天津·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段以达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下（消费按月份结算）： 价目表 每月用水量 价格 不超过 3元/ 超出不超出的部分 5元/ 超出的部分 7元/ (1)某户居民1月份和2月份的用水量分别为和，则应收水费分别是 元和 元． (2)若该户居民3月份用水量为（其中），则应收水费多少元（用含a的式子表示，并化简）？ (3)若该户居民4月份交水费元，该户居民4月份用水多少立方米？ 题型十七 行程问题（一元一次方程的应用） 【例17】（25-26七年级上·广东东莞·期中）以下是两张不同类型火车的车票：（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁）： (1)根据车票中的信息填空：两车行驶方向______，出发时刻______（填“相同”或“不同”）； (2)已知该动车和高铁的平均速度分别为，，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点， ①设A，B两地之间的距离为s，则动车行驶完全程所用的时间可表示为______；高铁行驶完全程所用的时间可表示为______； ②求A，B两地之间的距离． 【变式】（25-26七年级上·湖北荆门·期中）已知：数轴上点A、B、C对应的数分别为、、，且满足，且多项式 是八次四项式，动点P在数轴上从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动． (1)求数 ， ， ； (2)当点P到点B的距离是点A到点B距离的一半时，求点P移动的时间； (3)当点P移动到点B时，点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在数轴上向点C移动，点Q到达点C后，再立即以同样的速度返回，移动到终点A．当P，Q两点之间的距离为5个单位长度时，求点Q移动的时间． 题型十八 比例分配（一元一次方程的应用） 【例18】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）某商场进了20台A、B、C三种型号的冰箱，根据下表提供的信息，解答以下问题： 冰箱类型 A B C 购进的台数（台） 8 6 每台冰箱的销售价（元） 2000 3000 (1)商场购进A型号冰箱__________台； (2)每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜． ①每台C型号冰箱的销售价是__________元； ②如果每台A、B两种型号冰箱的成本价之比是，每台C型号冰箱的成本价比每台B型号冰箱的成本价少500元，且每台C型号冰箱的成本价比每台A型号冰箱的成本价多300元，则每台C型号冰箱的成本价是多少元？每台C型号冰箱的盈利率是多少？（百分号前保留一位小数） 【变式】（23-24七年级上·河南南阳·开学考试）如图，两根铁棒直立于桶底水平的桶中，在桶中加入水后，一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，另一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，已知两根铁棒的长度之和是31厘米，桶内水深多少厘米？ 题型十九 日历问题（一元一次方程的应用） 【例19】（25-26七年级上·江苏淮安·期中）小刘在某月的日历上圈出相邻的三个日期，并求出它们的和是21，则三个日期在日历中的排布不可能的是（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）在月历中，每个字母都代表某个具体日期． (1)在图（1）中任意框出五个数，则______，这5个数的和为______(都用含x的式子表示)； (2)在图（1）中，的和与x的关系是什么？通过计算说明； (3)已知图（2）是某个月的月历，如果用框出的5个数的和为80，求中间的那个数． 题型二十 古代问题（一元一次方程的应用） 【例20】（25-26九年级上·天津和平·期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式】（24-25七年级上·全国·课后作业）《孙子算经》中有一题；今有妇人河上荡杯，津吏问：杯何以多？妇人曰有客．吏曰：客几何？妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？大意：有一位妇女在河边洗碗，管理桥梁的官吏见了，问道：“你要洗的碗为什么这样多？”妇人回答说：“家里来了客人．”官吏又问：“来了多少客人？”妇人说：“我家来的客人，2人共用一只饭碗，3人共用一只汤碗，4人共用一只肉碗，总共用了65只碗．请你算算吧，我家的客人有多少个？”请解决这道古题． 题型二十一 其他问题（一元一次方程的应用） 【例21】（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图所示，A，B两市相距20千米，在A，B两市之间距A市6千米处有一个加油站某天出租车从A市出发，规定向东行驶为正．出租车当天行驶的记录如下（单位：千米）：，，，，，，， 现以A市为原点，向东为正方向画数轴，1个单位长度代表1千米． (1)市在数轴上表示的数为______，加油站C在数轴上表示的数为______． (2)当时，出租车将最后一名乘客送达目的地时，出租车在B市的哪个方向？距B市距离是多少千米？ (3)若出租车从A市出发时油箱里还有15升油，出租车每行驶1千米耗油升，出租车送完最后一名乘客后需赶往加油站加油．为保证车辆安全，到达加油站时油箱内剩余油量不应低于5升，若，求m的最大值． 【变式】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）观察下列三行数： 将上述框进行左右平移，在平移的过程中，设框中这4个数分别为，，，，即： (1)若，则______，______，______； (2)在平移过程中，探究如下问题： ①是否存在满足条件的的值，使和为51，若存在，求出的值，若不存在，说明理由； ②已知为常数，若的值为定值，求的值． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·云南昭通·月考）已知关于x的方程的解是，则a的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26七年级上·云南昭通·月考）下列方程中，是一元一次方程的（   ） A． B． C． D． 3．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（25-26七年级上·甘肃甘南·月考）若一个关于的一元一次方程的解是，则这个方程可以是 ．（写出一个即可） 5．（25-26七年级上·河南周口·期中）已知是方程的解，则a = 6．（25-26七年级上·云南昭通·月考）我们知道，无限循环小数可以化为分数．例如将（即0.333…）化为分数：设，则，两式相减得，解得．仿照此方法，将无限循环小数（即）化为分数是 ． 7．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知、、三点在同一直线上，某人乘船由地顺流而下到地，然后又逆流而上到地，共乘船3小时，已知船在静水中的速度是7千米/小时，水流速度是1千米/小时，若、两地距离为2千米，则、两地之间的距离是 千米． 8．（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）解方程： (1)； (2)． 9．（25-26七年级上·四川成都·期中）下面是某同学解方程的过程．请仔细阅读，并完成以下任务 解方程：． 解：去分母，得……① 去括号，得……② ，得……③ 合并同类项，得……④ 系数化为1，得……⑤ (1)该同学的解答过程在第 步开始就出现错误；（填写对应编号） (2)该同学求解过程中，第③步中的横线上应填的步骤是 ； (3)请你写出此方程的正确解答过程． 10．（25-26七年级上·黑龙江·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是________，点P表示的数是________（用含t的式子表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： 当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ 当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）运用等式的性质进行变形，下列不正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）下列各式中，一元一次方程的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26七年级上·云南昭通·月考）一个长方形的周长为，长比宽多．设宽为，依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）如图是某月的月历，用形如“十”字型框任意框出5个数，这5个数的和不可能是（   ） A．125 B．110 C．75 D．60 5．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）是关于x的一元一次方程，则方程的解为 ． 6．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）对于数、定义这样一种运算：，例如，若，则的值为 ． 7．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）足球比赛的规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场是0分．某队踢了17场比赛，负了5场，共得28分，那么这个队胜了 场． 8．（25-26七年级上·新疆昌吉·月考）解方程 (1) (2) 9．（25-26七年级上·云南昭通·月考）【阅读与思考】 在解形如()的方程时，我们可以根据绝对值的意义，分情况讨论： 当时，原方程化为，解得； 当时，原方程化为，解得． 所以，方程()的解为或． 【理解与应用】 利用上述方法解方程：． 10．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图1，有一长，宽的科幻空间站长方形实验舱，动点P以每秒4个单位从A向B运动，同时点Q以每秒a个单位从B向C，运动，设点P运动时间为t秒，连接、．求： (1)_____（用t表示）； (2)当a为何值时，四边形的面积不会随运动时间t的变化而改变； (3)如图2，若点P每运动1秒实验舱的M区显示结果就会自动加上4，同时N区会自动将整个代数式乘以2且均显示化简后的结果．已知M，N两区初始显示的分别是和（为正整数），若，试用作差法比较M区、N区显示结果哪个大． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）下列各式进行的变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26七年级上·福建三明·期中）如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点同时沿边长为4的正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2025次相遇在边（    ） A．上 B．上 C．上 D．上 4．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是和7，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点与点B之间的距离为2，则C点表示的数是 ． 5．（25-26七年级上·湖北十堰·期中）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．“三阶积幻方”是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵，其中每一横行，每一竖列，每条斜对角线上的三个数字之积均相等的幻方，如图为“三阶积幻方”，m，n为有理数，则的值是 ． 6．（25-26七年级上·四川绵阳·月考）已知两个多项式，，以下结论正确的有 （填序号）． 若，则； 若的值与的值无关，则； 若，则的取值范围是； 若，则满足等式的的值有个． 7．（25-26七年级上·云南玉溪·期中）请解下列一元一次方程． (1)； (2)； (3)． 8．（25-26七年级上·云南玉溪·期中）已知数轴上，，三点对应的数分别为，，，点为数轴上任意一点，其对应的数为．点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． (1)若，则___________； (2)若，求的值； (3)点以每秒个单位的速度向右运动，设运动时间为秒．试计算点需要运动多长时间能够到达点？请说明理由． 9．（25-26七年级上·湖北十堰·期中）如图，在数轴上有两条线段，，，，点A，B在数轴上表示的数分别是a，b，且a，b满足． (1)填空： ； ； (2)从此时刻开始，以3个单位长度/秒的速度向数轴正方向匀速移动，以2个单位长度/秒的速度向数轴负方向匀速移动． ①移动多少秒时A，B相距6个单位长度 ②移动多少秒时A，B到原点的距离相等 ③在上的某一位置P处有一爱动脑筋的小蚂蚁，它发现在移动过程中有一段时间t秒钟内，它的位置P到A，B的距离和加上到C，D的距离和是一个不变的值（即为定值），请直接写出t的值及这个定值． 10．（25-26七年级上·福建泉州·期中）如图，甲、乙两台搬运机器人分别固定在数轴型仓库的8号货架（甲初始位置）和13号货架（乙初始位置），货架编号沿数轴正方向递增，机器人仅沿数轴正/负方向移动，每次移动以“货架间距”为单位（1个单位对应1个货架间距）．系统每次下达1条运输指令，指令类型分为三类，各类指令对应的机器人移动规则唯一且固定： ①协同搬运指令：甲向正方向移动2个单位，乙向负方向移动2个单位； ②甲优先搬运指令：甲向正方向移动2个单位，乙向正方向移动1个单位； ③乙优先搬运指令：甲向负方向移动2个单位，乙向负方向移动1个单位． (1)从初始位置出发，仅执行1条“协同搬运指令”后，甲、乙两台机器人之间的货架间距为 个单位长度； (2)从初始位置出发，累计执行k条运输指令 ①若，且两台机器人只执行“优先搬运指令”，设“甲优先搬运指令”执行次数为n，甲最终停留的货架编号为 （用n的代数式表示）； ②若“协同搬运指令”次数与“优先搬运类指令”总次数的比为，设“甲优先搬运指令”执行次数为n，最终停留的货架编号为 （用k、n的代数式表示）；若此时甲、乙的位置间距为3个货架单位，求所有符合条件的k值及对应的各类指令执行次数． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $