专题02 有理数的运算重点复习:必备知识+重难题型+分层验收（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材青岛版

专题02 有理数的运算（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 有理数的运算 能准确运算并解决应用题 必考点，易错运算顺序或符号括号 科学记数法 能用科学记数法表示数，理解规则 小题必考，易错确定的值 有理数的实际应用 能运用有理数解决实际问题，熟练使用科学记数法解决问题，建立数学模型 综合应用题必考，需要强化建模能力 知识点01 有理数的加法 （1）有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） （2）相关运算律 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 知识点02 有理数的减法 （1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 知识点03 有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 知识点04 有理数的乘法法则 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 知识点05 倒数的概念 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点06 有理数的乘法运算律 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 知识点07 多个有理数相乘 多个有理数相乘的法则： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点08 有理数除法法则 1. 有理数除法法则一：除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数. 用字母表示：a÷b=a·(b ≠ 0). 2. 有理数除法法则二 两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0 除以任何一个不等于0 的数，都得0 . 方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 知识点09 有理数的乘除混合运算 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 知识点10 有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算顺序 在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的. 在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算. 知识点11 有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 知识点12 非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点13 有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 知识点14 近似数和有效数字 （1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （3）规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前 者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 知识点15 科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规 律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是 前面多一个负号． 题型一 有理数的加减混合运算 解｜题｜技｜巧 1.先确定运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内 2.将除法转化为乘法 3.注意符号规则，特别是负号的处理 4.分步计算，避免一步出错全盘皆错 易｜错｜点｜拨 混合运算中最容易出现符号错误和运算顺序错误，特别是乘方运算的优先级 【例1】（25-26七年级上·江西九江·阶段练习）阅读下面的材料，并完成相应任务． 计算：． 解：因为，，____①____，， 所以原式 ． 上面这种计算方法叫拆项法． 任务： (1)上述材料中，序号①的内容为________． (2)试用上述方法计算： ①________； ②． 【答案】(1) (2)①；② 【思路引导】本题考查有理数的加法运算，解题的关键是掌握拆项法，将带分数拆成整数和分数两部分，再分别相加． （1）根据拆项法的规则，将带分数拆分为整数17和分数； （2）①利用拆项法把带分数拆成整数和分数，然后分别对整数部分和分数部分进行计算； ②运用拆项法拆分带分数，再分别结合整数与整数、分数与分数进行计算。 【完整解答】（1）解：由拆项法可知，． （2）解：① ② ． 【变式1-1】（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了有理数的加减运算，掌握有理数的加减运算法则和加法运算律是解题的关键． （1）根据有理数的加法交换律，将正数和负数分别相加，然后再进行加法运算； （2）将绝对值化简、括号去掉，将同分母的分数结合，计算即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-2】（25-26七年级上·新疆和田·阶段练习）有理数的加减混合运算：（写出必要的计算过程） (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)1.5 (4) 【思路引导】本题主要考查有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先根据有理数减法法则进行变形，然后再进行加减运算即可； （2）原式根据加法交换律和结合律进行简算即可； （3）原式根据加法交换律和结合律进行简算即可； （4）原式根据加法交换律和结合律进行简算即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型二 有理数加减中的简便运算 【例2】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段练习）阅读下题的计算方法： 计算：． 解：原式 ． 上面这种计算算方法叫做拆项法，请按此方法计算： ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了有理数的加减混合运算，掌握拆项法是解题关键． 根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【完整解答】解：原式 ， ， ， ． 【变式2-1】（25-26七年级上·新疆和田·阶段练习）计算：用适当的方法计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【思路引导】本题主要考查了有理数的加减混合运算，涉及减法转化为加法、加法运算律的应用以及绝对值的性质等知识点．熟练掌握有理数的运算法则、运算律以及绝对值的性质是解题的关键． （1）先将减法转化为加法，再按照从左到右的顺序依次计算； （2）将小数化为分数，再利用加法交换律和结合律进行简便计算； （3）利用加法交换律和结合律，把分母相同的分数结合在一起进行计算； （4）先根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再将减法转化为加法进行计算． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2-2】（25-26七年级上·重庆·阶段练习）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【思路引导】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握运算法则及简便运算方法是解题的关键； （1）先算绝对值，再算加减； （2）把同分母的结合，能凑整的结合计算即可； （3）把同分母的结合计算即可； （4）拆带分数，将整数部分结合，分数部分结合计算即可． 【完整解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型三 有理数加减混合运算的应用 答｜题｜模｜板 1.明确实际问题中的正负意义 2.建立有理数运算模型 3.计算结果并结合实际解释 易｜错｜点｜拨 实际问题中要特别注意单位的统一和结果的合理性。 【例3】（25-26七年级上·重庆·阶段练习）如图所示，将分别填入图中的圆圈内，使图中横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则图中的值为（    ） A．或 B．或1 C．或 D．1或 【答案】A 【思路引导】本题考查了有理数的加法．解决本题的关键是内、外两圈上的4个数字的和是2，横、竖的4个数字的和也是2． 设内圈上的数为c，外圈上的数为d， 由于八个数的和是4，可得内、外两圈上的4个数字的和是2，横、竖的4个数字的和也是2，列等式可得结论． 【完整解答】解：如图，设内圈上的数为c，外圈上的数为d， ∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，， ∴内、外两圈上的4个数字的和是2，横、竖的4个数字的和也是2， ∴，，， ∴， 当时， ，符合题意，此时； 当时， ，符合题意，此时； 综上所述，图中的值为或． 故选：A． 【变式3-1】（23-24七年级上·福建厦门·开学考试）一辆客车从甲地开往乙地，每小时行驶75千米，预计3小时到达，行了1小时，机器发生故障，就地维修了20分钟，要想准时到达而不误事，以后每小时应加快多少千米？ 【答案】每小时应加快千米． 【思路引导】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用，由剩余路程除以实际行驶的时间可得实际的速度，再减去计划速度即可得到答案． 【完整解答】解：由题意可得： （千米）， 答：每小时应加快千米． 【变式3-2】（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过个停靠站，最后到达终点站．下表记录了这辆公共汽车全程载客的变化情况，其中正数表示上车人数，负数表示下车人数，0表示无人上车或下车． 停靠站 起点站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 终点站 上、下车人数 ； ； ； ； ； ； (1)中间第站上车的人数是 人，下车的人数是 人； (2)途中的个站中，第 站没有人上车，第 站没有人下车； (3)公共汽车离开中间第站时车上的人数为 人，离开中间第站时车上的人数为 人； (4)从表中你还能知道什么信息？ 【答案】(1)1；7 (2)6；3 (3)24；22 (4)见解析（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了正负数的应用、有理数加减法的应用，正确理解正负数的意义是解题关键． （1）根据表格中的数据，正数表示上车人数，负数表示下车人数解答即可； （2）在表格的数据中，找出上车人数为0人、下车人数为0人即可得； （3）将起始点的人数，与中间第1站和中间第2站的上、下车人数相加即可得；再与中间第3站、中间第4站的上、下车人数相加即可得； （4）在表格的数据中，途中的个站中，分别找出上、下车人数最多的站点即可得． 【完整解答】（1）解：由表格可知，中间第站上车的人数是1人，下车的人数是7人， 故答案为：1；7． （2）解：由表格可知，途中的个站中，中间第3站的下车人数为0人，中间第6站的上车人数为0人， 所以途中的个站中，第6站没有人上车，第3站没有人下车， 故答案为：6；3． （3）解：公共汽车离开中间第站时车上的人数为 （人）， 离开中间第站时车上的人数为 （人）， 故答案为：24；22． （4）解：从表中可以知道，途中的6个站中，中间第5站下车的人数最多，中间第1站上车的人数最多． 题型四 有理数乘除混合运算 【例4】（25-26七年级上·山西太原·阶段练习）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程从第________步开始出现错误，错误原因是________________； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)二；运算顺序不对 (2)过程见解析 【思路引导】本题考查的是有理数的乘除混合运算，准确的计算是解决本题的关键． （1）根据有理数的乘除混合运算的运算顺序可得答案； （2）先计算括号内的运算，再按照从左至右的顺序进行计算即可. 【完整解答】（1）解：上面解题过程从第二步开始出错，错误的原因是运算顺序不对， 故答案为：二，运算顺序不对； （2）解： ． 【变式4-1】（25-26七年级上·山东临沂·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3)2 (4)5 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解决问题的关键． （1）同号两数先相加进行简便运算； （2）同分母两数先相加进行简便运算； （3）先将带分数化为假分数，再把除法转化为乘法计算即可； （4）用乘法分配律进行计算即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式4-2】（25-26七年级上·河北保定·阶段练习）有理数混合计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【思路引导】该题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握相关运算法则． （1）先计算乘除法，再计算减法； （2）先计算小括号，再计算除法，最后计算加减法； （3）先计算绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法； （4）先计算括号，再计算除法； 【完整解答】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型五 有理数四则混合运算 【例5】（25-26七年级上·云南红河·阶段练习）观察下列等式规律： 等式一：； 等式二：； 等式三：； 等式四：；…… 探寻规律，解答下列问题： (1)直接写出第五个等式； (2)计算：； (3)观察探究，并计算： ． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查有理数的运算，从给定的等式中找到规律，是解题的关键： （1）仿照给出的等式写出算式即可； （2）去绝对值后进行计算即可； （3）去绝对值后，利用裂项相消法，进行计算即可． 【完整解答】（1）解：第五个等式为； （2）原式； （3）原式 ． 【变式5-1】（25-26七年级上·湖北襄阳·阶段练习）我们定义一种新运算对任意两个有理数x、y，有． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)0 (2)23 【思路引导】本题主要考查了有理数的四则混合运算、新定义运算等知识点，掌握有理数的四则混合运算法则是解题的关键． （1）直接根据新定义的法则，结合有理数的混合运算法则求解即可； （2）先根据新定义计算，再计算即可求解． 【完整解答】（1）解：． （2）解： ． 【变式5-2】（25-26七年级上·山东临沂·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【思路引导】本题主要考查有理数的混合运算，熟练运用运算法则和运算律是解答本题的关键． （1）将变形为，再运用乘法分配律进行计算即可； （2）原式运用乘法分配律进行计算即可； （3）原式先计算，再取倒数即可； （4）原式运用乘法分配律进行计算即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：因为 所以，； （4）解： ． 题型六 有理数四则混合运算的实际应用 【例6】（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）某陶瓷厂计划每个工人一周生产陶瓷工艺品280个，平均每天生产40个，但实际每天的生产量与计划相比有出入，下表是该厂一工人某周的生产情况（以40个为标准，超产记为正，减产记为负）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（个） (1)根据上表的数据可知该工人星期三生产工艺品__________________个： (2)该工人本周实际生产工艺品多少个？ (3)已知该厂实行计件工资制，每周结算一次，每生产一个工艺品可得5元，以280个为标准，超过部分每个另奖10元，未达标准的部分每个扣3元，求该工人在这一周实际获得的工资总额． 【答案】(1)45 (2)295个 (3)1625元 【思路引导】本题考查了有理数加减法的实际应用，能正确理解题意，根据题意列式计算是解题的关键． （1）用星期三的增减量与标准相加即可； （2）用计划的总数加上这7天超出的数量即可得到答案； （3）用生产的总数乘以单价5加上超过的数量乘以单价10，即可得到答案； 【完整解答】（1）星期三的增减量是，以每天生产40个为标准， 所以星期三生产工艺品的数量为个； 故答案为：45； （2）（个） 该工人在本周实际生产工艺品的数量为295个． （3） （元） 该工人在这一周实际获得的工资总额为1625元． 【变式6-1】（25-26七年级上·福建泉州·阶段练习）随着城市的快速发展，小张计划对城市中的几个重要地点进行考察，以便更好地了解城市规划．他依次访问了博物馆、图书馆、公园、科技馆和市政府，收集了相关资料如下表． 素材一 路线图：小张家→博物馆→图书馆→公园→科技馆→市政府 素材二 这条考察路线近似看成南北走向．如果规定向北为正，向南为负，他这天行走的里程（单位：）如下： 素材三 小张选择骑共享电单车进行考察，已知每千米的骑行费用为元 (1)向市政府在小张家的哪个方向？距离是多少？ (2)计算小张骑共享电单车完成整个考察路线的总费用． 【答案】(1)市政府在小张家的正北方向，距离是． (2)元 【思路引导】本题主要考查了有理数的加减运算的应用，四则混合运算的应用，正负数的实际应用等知识． （1）把记录的数据直接相加得出答案，再根据题意可判断方向和距离． （2）把记录数据的绝对值相加再乘每千米的骑行费用即可求解． 【完整解答】（1）解：， ∵规定向北为正，向南为负， ∴市政府在小张家的正北方向，距离是． （2）解：（元） ∴小张骑共享电单车完成整个考察路线的总费用为元． 【变式6-2】（25-26七年级上·甘肃白银·阶段练习）小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 0 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走多少千米？ (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，请计算小明家这7天的行驶费用是多少钱？ 【答案】(1) (2) (3)元 【思路引导】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，有理数减法的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可知第七天路程最多，第三天路程最少，据此列式求解即可； （2）把表格中这七天的路程相加，所得结果加上7天中每天行驶的总路程即可得到答案； （3）求出总用电量，再乘以每度电的费用即可得到答案． 【完整解答】（1）解：， 答：这7天里路程最多的一天比最少的一天多走； （2）解： ， 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了； （3）解：元， 答：小明家这7天的行驶费用是元． 题型七 有理数乘除中的简便运算 【例7】（23-24七年级上·贵州遵义·开学考试）怎样简便就怎样计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查有理数的运算，掌握算理是解决问题的关键． （1）先计算括号里的乘法和减法，再计算括号外的除法； （2）能凑整的先运算，然后再进行加减计算即可； （3）用乘法分配律的逆运算简便计算； （4）先将除法转化为乘法，再用乘法分配律进行简便计算； 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式7-1】（24-25七年级下·重庆·自主招生）计算：． 【答案】432 【思路引导】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键．根据有理数乘除的运算法则即可求解． 【完整解答】解： ． 【变式7-2】（23-24七年级上·广东河源·期中）学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： (1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； (2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ (3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 【答案】(1)小刚的解题是对的，小明的解题是不对的，见解析 (2)小华的思路正确，理由见解析 (3) 【思路引导】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数除法的运算法则即可解答； （2）根据倒数的性质即可得出结论； （3）先计算的值，再结合（2）中的结论即可求解． 【完整解答】（1）解：小刚的解题是对的，小明的解题是不对的， ②的正确计算过程如下： ； （2）解：小华的思路正确，理由如下： ， ∴①、②这两个式子是互为倒数的关系， 由小刚的解题可得，， ∴，与（1）中的计算结果相符， ∴先求出①式的结果，即可得到②式的结果， ∴小华的思路正确； （3）解： ， ∵与互为倒数的关系， ∴， ∴原式． 题型八 根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例8】（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）已知，，三个数在数轴上对应的位置如图所示． (1)填空：___________0；___________0；（填“＞”“＜”或“=”） (2)已知，表示数的点到原点距离为，且与互为相反数，与互为倒数，求的值． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题考查了数轴上点的特征，绝对值的意义，相反数的定义，倒数的定义，熟悉掌握绝对值的意义是解题的关键． （1）根据数轴上的位置关系和绝对值的定义判断即可； （2）根据数轴上点的位置特征，相反数的定义，倒数的定义，得到，，，代入运算即可． 【完整解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；． （2）∵的点到原点距离为，， ∴， ∵与互为相反数， ∴， ∵与互为倒数， ∴， ∴． 【变式8-1】（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，数轴上点A和点B 分别表示数a 和b，则下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了数轴表示有理数，有理数的混合运算等知识点，正确判断的大小以及正负是解题的关键． 先根据数轴得到，再判断，，即可判断各选项． 【完整解答】解：由数轴可得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故C错误，符合题意， 故选：C． 【变式8-2】（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）有理数，，在数轴上的位置如图所示，且表示数的点、数的点与原点的距离相等． (1)用“”“”或“”填空： ， ， ， ； (2)若，则 ； (3)计算：． 【答案】(1)，，，； (2)； (3)． 【思路引导】本题主要考查数轴、绝对值、整式的加减，解决本题的关键是能够根据数轴上的信息，判断出、、的取值范围，再利用加法法则判断代数式的取值范围． 根据表示数的点在原点左侧，可知，根据表示数的点、数的点在原点的两侧，且与原点的距离相等，可知表示数和数互为相反数，所以，由数轴可知，，根据有理数的加法法则可知，由数轴可知，可知，，根据有理数的加法法则可知； 根据，可知，根据表示数的点、数的点与原点的距离相等，可知； 由数轴可知：，，，，因为表示数的点、数的点与原点的距离相等，可知，根据绝对值的性质和有理数的加法则计算即可． 【完整解答】（1）解：由数轴可知表示数的点在原点左侧， 表示数的点、数的点与原点的距离相等， 和互为相反数， ； 由数轴可知， ， ； 由数轴可知， ，， ， 故答案为：，，，； （2）解：， ， 故答案为： （3）解：由有理数，，在数轴上的位置， 可得：，， ，， 表示数的点、数的点与原点的距离相等 ， ∴． 题型九 数轴上的翻折 【例9】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）如图，小丽在纸上画了一条不完整的数轴，折叠纸面，使数轴上表示的点和表示3的点重合，若该数轴上A，B两点之间的距离为8，且折叠后也互相重合，则点A表示的数是（    ） A．或4 B．或5 C．或4 D．或5 【答案】D 【思路引导】本题考查了数轴，有理数的加减法，能正确找出折叠点是解题的关键．表示点和表示3的点重合，则折叠的点表示1，数轴上，两点经上述折叠后重合，且，两点之间的距离为8，则点与点到折叠点（表示1的点）距离都是4，进而求出点表示的数即可． 【完整解答】解：∵折叠后数轴上表示的点与表示3的点重合， ∴折叠点为和3的中点，它表示1， 数轴上，两点经上述折叠后重合，且，两点之间的距离为8， 点与点到折叠点（表示1的点）距离都是4， 当点在折叠点右侧时，对应的数为， 当点在折叠点左侧时，对应的数是， ∴点A表示的数是5或． 故选∶D． 【变式9-1】（25-26七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有点，其中点到点的距离为3，点到点的距离为8， (1)若表示的数是，则数轴上点所表示的数为：___________； (2)若以点为原点，求点，，所对应的数的和． (3)若表示的数是4，将数轴折叠，使点与点重合，求折叠后与点重合的点表示的数． 【答案】(1) (2)5 (3)1 【思路引导】本题考查数轴与有理数，两点中点的计算方法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据点在数轴上所表示的数以及点与点的位置和距离进行解答即可； （2）根据数轴表示数的方法以及绝对值的定义确定、、的值，再代入求和即可； （3）求出长度，则可求中点与的距离，则长可求，因为按相同方式折叠重合，所以，进而可求，则题目可解． 【完整解答】（1）解：点在数轴上所表示的数是，点在点的右边，且， 点在数轴上所表示的数为， 故答案为：； （2）解：当点在原点时，点表示的数为0， 点在点的左边，且，点在点的右边，且， 点在数轴所表示的数为，点在数轴上所表示的数为， ， ∴点，，所对应的数的和为5； （3）解：折叠后，重合，则是沿过中点的E的直线折叠， 到距离， ∴到距离， ∴B到距离， ∵按相同方式折叠重合， ∴为中点， ∴B到F距离， ∴C到F距离， ∵表示的数是4， ∴表示的数为． 【变式9-2】（25-26七年级上·河南南阳·阶段练习）已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面．操作一：若数轴上表示数1的点与表示数的点重合，则折痕经过的点表示的数是0；操作二：若数轴上表示数的点与表示数0的点重合，则根据操作二解答下列各题： (1)此时折痕经过的点表示的数是______；数轴上表示数3的点与表示数______的点重合； (2)若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，B两点经折叠后重合，求点B表示的数； (3)若数轴上M，N两点之间的距离为2026，并且M，N两点经折叠后重合，如果点M表示的数比点N表示的数大，点M表示的数是______；N表示的数是______． 【答案】(1)， (2)或1 (3)1011， 【思路引导】本题主要考查了数轴的综合应用，读懂题意，根据数轴上两点间的距离计算方法进行计算是解题的关键． （1）根据题目中对折痕点解释可知，折痕点是两个点的中间数字，再根据题目给的条件计算即可； （2）根据数轴上两点间的距离计算方法计算即可； （3）根据已知条件得到，， ，再根据点表示的数比点表示的数大，即可得解． 【完整解答】（1）解：∵数轴上数表示的点与数0表示的点关于点对称， ，而， ∴数轴上数3表示的点与数表示的点重合． 故答案为：，； （2）解：点A到原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为5或， A、B两点经折叠后重合， 当点A表示时，，， 当点A表示5时，，， B点表示的数是或1， （3）解：∵M、N两点之间的距离为2026，并且M、N两点经折叠后重合， ，， 又∵M点表示的数比N点表示的数大， ∴M点表示的数是1011，N点表示的数是． 题型十 有理数的乘方运算 【例10】（25-26七年级上·辽宁锦州·阶段练习）（1）已知，，且，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）或（2） 【思路引导】本题考查绝对值的意义，非负性，有理数的运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据绝对值的意义和非负性，求出的值，再利用减法法则进行计算即可； （2）根据非负数的性质求出的值，再根据乘方法则进行计算即可． 【完整解答】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴或； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 【变式10-1】（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段练习）阅读材料：求的值． 解：设，记为①式，将①式两边同时乘以2得： ，记为②式， 将②式减去①式，得即 即 仿照此法计算（其中为正整数）的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了有理数乘方的应用，读懂材料是解题的关键．仿照所给的解答方式进行求解即可. 【完整解答】设，将等式两边同时乘以3得： ， 将下式减去上式得， 即， 即， 故选：B. 【变式10-2】（23-24七年级上·甘肃酒泉·期末）在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【思路引导】本题主要考查负数的定义、有理数乘方、去括号、绝对值等知识点，熟记相关概念是解题的关键． 先运用有理数乘方、去括号、绝对值化简相关数据，然后再根据负数的定义解答即可． 【完整解答】解：，，，，， 所以在，、、、、、0中，负数有、、共3个． 故选B． 题型十一 有理数乘方逆运算 【例11】（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）阅读下列各式：，，，… 解答下列问题： (1)写出 ，猜想： ． (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查的是新定义运算的含义，乘方的运算，理解题意，总结规律再运用规律解题是关键． （1）由题干阅读部分信息，再总结可得答案； （2）利用（1）中规律结合乘方的含义把原式化为，再计算即可． 【完整解答】（1）解：，； （2）解： ． 【变式11-1】（2023·山东枣庄·一模）定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 【答案】A 【思路引导】先根据乘方确定，根据新定义求出，然后代入计算即可． 【完整解答】解：∵， ∴ ∴， ， ． 故选：A． 【考点评析】本题考查新定义对数函数运算、乘方的逆运算等知识点，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质是乘方的逆运算是解答本题的关键． 【变式11-2】（22-23七年级上·重庆云阳·期中）请认真阅读下面材料，并解答下列问题． 如果  的次幂等于，即指数式，那么数叫做以为底的对数，对数式记作：例如： ①因为指数式，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：； ②因为指数式，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：． (1)请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式： ①；② (2)将下列对数式改为指数式： ①=2 ② (3)计算： 【答案】(1)①；② (2)①；② (3)6 【思路引导】（1）根据对数的定义求解； （2）利用对数的定义写成幂的形式； （3）先利用乘方的意义得到，然后根据对数的定义求解． 【完整解答】（1）解：①； 对数式记作：； ②； 对数式记作：； （2）①； 指数式为， ②； 指数式为； （3）， ． 【考点评析】本题考查了有理数乘方：求个相同因数积的运算，叫做乘方． 也考查了阅读理解能力． 题型十二 程序流程图与有理数计算 【例12】（25-26七年级上·江苏镇江·阶段练习）根据如图所示的程序进行计算，若输入的值为，则输出的值为 ． 【答案】14 【思路引导】本题考查了代数式求值及程序流程图的理解与应用，解题的关键是准确识别程序给定的运算顺序（输入→平方→乘以2→减去4），并将输入值代入该顺序逐步计算． 先明确程序的运算步骤：用输入的值先进行平方运算，再将平方结果乘以2，最后用所得结果减去4；将按此顺序代入，先计算的平方，再依次完成乘法和减法运算，即可得到输出值． 【完整解答】解：根据程序运算顺序，输入，计算过程如下：   第一步，计算的平方：；   第二步，将平方结果乘以2：；   第三步，将乘法结果减去4：. 故答案为：14． 【变式12-1】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图是一个计算机的运算程序，若一开始输入的值为，则输出的结果是 【答案】 【思路引导】本题主要考查了程序框图与有理数的运算． 根据程序要求先计算，若结果输出，若结果，再次代入，循环计算即可． 【完整解答】解：当输入为时，，， 将再次输入， 当输入的数为时，，， 所以输出的结果为， 故答案为：． 【变式12-2】（25-26七年级上·北京·阶段练习）如图是一个数字传输器，箭头代表传输路径，方框代表传输方式，菱形代表判断，理解这个数字传输器的工作原理，回答下列问题： (1)当时，____________；当时，___________； (2)若输出的值为0，则输入的为___________；（用含的代数式表示，为正整数） (3)若是自然数，请写出的所有可能值________________． 【答案】(1)3，1 (2) (3)0，1，2，3 【思路引导】（1）根据这个数字传输器的工作原理和操作步骤正向推导即可得出答案； （2）根据这个数字传输器的工作原理和操作步骤反向推导即可得出答案； （3）将自然数逐个输入求得输出，通过观察、分析，即可总结出规律． 【完整解答】（1）根据这个数字传输器的工作原理，可知： 当时， ∵3不大于3， ∴取相反数，得：， ∵不大于0， ∴取绝对值，得：3， ∴当时，； 当， ∵2024大于3， ∴加，得：， ∵2019大于3， ∴加，得：， ∵2014大于3， ∴加，得：， …… ∵9大于3， ∴加，得：， ∵4大于3， ∴加，得：， ∵不大于3， ∴取相反数，得：， ∵1大于0， ∴取倒数，得：1， ∴当，； 故答案为：3，1； （2）若输出的y的值为0， ∵0没有倒数， ∴0是取绝对值而来， ∴取绝对值之前的值是：0， 又∵0是取相反数而来， ∴取相反数之前的值是：0， ∵0是输入的x经过若干次加而来， 即， ∴， 故答案为： （3）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， …… 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：0，1，2，3． 【考点评析】本题主要考查了程序流程图与有理数计算，有理数大小比较，有理数的加法运算，求一个数的相反数，求一个数的绝对值，求倒数等知识点，弄懂题意并熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 题型十三 算“24”点 【例13】（25-26七年级上·安徽六安·阶段练习）小明有5张写着不同数字的卡片（如图），请你按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中抽取2张卡片，使这两张卡片上数字相乘的积最大，如何抽取，最大值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使其运算结果为24．请写出运算式子．（一种即可） 【答案】(1)抽取和两张卡片，乘积最大，最大为20 (2)抽取和两张卡片，商最小，最小为 (3)抽取，，，6四张卡片， 【思路引导】（1）根据同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，计算积，再根据有理数的大小比较解答即可； （2）根据同号得正，异号得负，并把绝对值相除，计算商，再根据两个负数相比较，绝对值大的反而小，解答即可； （3）根据有理数大的混合运算解答即可． 本题考查了有理数乘除，有理数的大小比较，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，大小比较是解题的关键． 【完整解答】（1）解：根据正数大于零，正数大于负数， 故抽取的卡片上的数字之积为正数时，由可能最大， 抽取和两张卡片，， 抽取6和两张卡片，， 故最大为20 故抽取和两张卡片，乘积最大，最大为20． （2）解：根据负数小于0，小于正数，正数大于零，正数大于负数， 故抽取的卡片上的数字之商为负数时，有可能最小，且负数的绝对值越大，越小， 故抽取和两张卡片，商最小，最小为． （3）解：抽取，，，6四张卡片，（不唯一）． 【变式13-1】（25-26七年级上·广东东莞·阶段练习）如图，小玉有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数字的和最小，则应如何抽取？最小的和是多少？ (2)从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数字的乘积最小，则应如何抽取？最小的乘积是多少？ (3)从中抽出3张卡片，使这3张卡片上的数字经过加、减、乘、除运算后，组成一个最大的数，则应如何抽取？最大的数是多少？ (4)从中抽出4张卡片，用学过的运算方法，要使结果为24，则应如何抽取？写出运算式子（一种即可）． 【答案】(1)应抽取；最小和为． (2)抽取，最小的乘积是； (3)应抽取，4，最大的数是60； (4)，（答案不唯一） 【思路引导】有理数的四则混合运算，掌握知识点是解题的关键． （1）观察这五个数，根据有理数的加法进行计算判断即可； （2）观察这五个数，根据有理数的乘法进行计算判断即可； （3）观察这五个数，根据有理数的四则运算进行计算判断即可； （4）利用加减乘除来连接，答案不唯一． 【完整解答】（1）解：∵， ∴从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数字的和最小，则应抽取， 则，即最小的和为． 答：抽取，最小的和为； （2）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数字的乘积最小，则应抽取，则， 答：抽取，最小的乘积是； （3）应抽取，4，则， 答：应抽取，4，最大的数是60； （4）答案不唯一；例如抽取； 则． 【变式13-2】（23-24七年级下·河北保定·期中）嘉琪有6张写有不同数值的卡片，请按下列要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数乘积最大，最大值是多少？ (2)从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数相除的商最小，最小值是多少？ (3)从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数的倒数最大和最小，这两数的倒数分别是多少？ (4)从中取出非负数的卡片组成一个最大的数，用科学记数法表示； (5)算24点游戏：从中取出四张卡片，用学过的“、、、”进行运算，使结果为24．写出1个算式即可（运算算式可以加括号）． 【答案】(1)18 (2) (3)1， (4) (5)（答案不唯一） 【思路引导】此题主要考查了有理数的混合运算，倒数的性质，科学记数法． （1）根据有理数的乘法法则即可确定； （2）根据有理数的除法法则即可确定； （3）根据倒数的性质即可确定； （4）根据科学记数法的定义解答即可； （5）根据有理数的混合运算法则即可确定． 【完整解答】（1）解：∵从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，则取同号两张卡片， ∴都抽取负数，即卡片是、，乘积的为18，都抽取正数，即卡片是、，乘积的为16， ∴抽取的2张卡片是、，乘积的最大值为18； （2）解：∵从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，则选取异号两数， ∴我抽取的2张卡片是、1，商的最小值； （3）解：∵各张卡片的倒数分别为，，，，，0没有倒数， ∴倒数最大是，最小是， ∴我抽取的2张卡片是1、，这两数的倒数分别是1、； （4）解：∵中取出非负数的卡片组成一个最大的数， ∴抽取的卡片是0、2、8、1，最大的数是8210， 用科学记数法表示为：； （5）解：抽取的卡片是、、8、1， 结果为24的算式． 题型十四 含乘方的有理数混合运算 【例14】（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算题： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3)25 (4)25 (5) (6)30 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的减法运算法则求解即可； （2）根据有理数的乘除混合运算法则求解即可； （3）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减； （4）利用有理数的乘法分配律求解即可； （5）首先计算乘方和括号内的加法，然后计算除法即可； （6）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【完整解答】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【变式14-1】（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）先计算除法，再进行有理数的加减运算； （2）先将除法化为乘法，再进行有理的乘法运算； （3）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减； （4）先将除法化为乘法，再利用乘法分配律计算； （5）先将带分数进行变形，再利用乘法分配律计算； （6）逆用乘法分配律计算即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： （6）解： ． 【变式14-2】（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）（1）①观察一列数1，2，4，8，16，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么 ， ； ②为了求的值，可以这么做； 令， 则， 因此， 所以， 即． 仿照以上推理： （2）计算的值． （3）计算． 【答案】（1）2，，；（2）；（3） 【思路引导】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数探索出数的排列规律，再根据例题会用错位相减法求和是解题的关键． （1）根据所给的数，可得，再求解即可； （2）令，则，再作差求和即可； （3）设 ，则，再作差得，再结合（1）②的结论求和即可． 【完整解答】解：（1）∵， ∴每一项与前一项之比是常数2， ∴， ∴， 故答案为：2，，； （2）令， ∴， ∴， 解得，     ∴的值为； （3）设 ， ∴ ， ∴， 由（1）②得， 所以， 即， 所以． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查的是省略加号的和的形式，将各选项中的算式通过有理数加减法则转换为省略括号和加号的形式，逐一对比即可确定正确选项． 【完整解答】解：A． 转换为：，不符合题意； B． 转换为：，不符合题意； C． 转换为：，不符合题意； D． 转换为：，符合题意． 故选：D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）人工智能模型的参数量越大，理解能力越强．模型参数可达685000000000个，其中数685000000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【完整解答】解：， 故选：A． 3．（25-26七年级上·辽宁·期中）如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数，若输入，则输出的结果为（   ） A．15 B．13 C．11 D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算顺序和运算法则，根据数值转换机列出对应算式．把代入数值转换机中计算即可求出所求． 【完整解答】解：当时，， 当时，，输出11， 故选：C． 4．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）点在数轴上表示的数是，从点出发，沿数轴向左平移个单位长度到达点，则点到原点的距离为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是数轴上动点问题，有理数的减法运算，数轴上两点之间的距离，先求解B表示的数，进一步可得答案． 【完整解答】解：点在数轴上表示的数是， ∴， ∴点到原点的距离为． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·广东深圳·期中）手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元）王老师当天微信收支的最终结果是 ． 【答案】支出3元 【思路引导】本题考查了有理数的加减应用，根据有理数的加减法进行计算，最后根据结果的正负，即可求解． 【完整解答】解：依题意得， 即支出元， 故答案为：支出元． 6．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）定义一种新运算“#”，，如，那么 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．也考查了阅读理解能力．根据新定义先运算，再运算即可． 【完整解答】解：根据题中新定义可得， 则， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·广东揭阳·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了有理数的加减混合运算和乘法混合运算，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据有理数加减混合运算的方法一一计算即可； （2）根据乘法混合运算的步骤，先乘后加，有括号的先算括号里的进行计算即可； 【完整解答】（1）（1）原式 ； （2）（2）原式      8．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）随着短视频软件的普及，许多人利用各种直播平台做电商，小李也将自己家果园的苹果梨在某直播平台进行销售，经过一段时间的销售，小李发现每天能销售100左右的苹果梨．下表为小李12月份第一周销售苹果梨的情况(以100为标准，超额记为正，不足记为负，单位：)． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准销售量的差值 根据以上内容解答下列问题： (1)这周销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少千克苹果梨? (2)若苹果梨的售价为元，不考虑其他因素，求小李这周直播销售苹果梨的总收入． 【答案】(1)19 (2)3905元 【思路引导】（1）根据表格可知星期六销售最多，星期五销售最少，用星期六的减去星期五的即可； （2）求出一周总的销售量，再用单价乘以数量，即可得到总收入． 本题考查了正负数的意义，有理数的加减混合运算，有理数的乘法运算，掌握正负数的意义是解题的关键． 【完整解答】（1）由表格可知，星期六销售最多，星期五销售最少， 星期六比星期五多销售：（）； （2）小李这周直播销售苹果梨的总量为： （）， ∴总收入为：（元）． 9．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中） [情境题 生活应用]随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如下表，单位：），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 (1)这七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了多少千米？ (2)请求出这七天中平均每天行驶多少千米． (3)若行驶需用汽油，请估计小明家一个月（按30天计算）共用多少升汽油？ 【答案】(1)行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了54千米 (2)这七天中平均每天行驶千米 (3)小明家一个月共用升汽油 【思路引导】本题考查了正负数在实际生活中的应用，有理数的加减乘除法的应用，熟练掌握题意，正确列出各运算式子是解题关键． （1）用多于50千米最多的减去不足50千米最少的； （2）50加上将表格中数字的和除以7的商即可得； （3）用（2）中的结果乘以30求出一个月行驶的总里程，再乘以平均每千米耗油量，即得小明家一个月用的汽油． 【完整解答】（1）解：， 答：行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了54千米． （2）解： 则 答：这七天中平均每天行驶千米， （3）解：（升）， 答：小明家一个月共用升汽油． 10．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目： 计算：，看谁算得又快又对，有两位同学的解法如下： 小明：原式； 小军：原式； (1)希望你通过以上两种解法的不同理解，用不同于以上两种方法求解，并写出计算过程． (2)用你认为最合适的方法计算：． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了有理数乘法运算律．把带分数进行适当的转化，再利用乘法分配律计算即可求解． （1）将原式变形为，利用乘法分配律计算即可； （2）把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）有下列计算：①；②；③；④，其中计算正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路引导】本题考查了有理数的减法、乘法、除法、乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据有理数的运算法则逐个计算判断即可． 【完整解答】解：①，故原式计算错误； ②，故原式计算错误； ③，故原式计算正确； ④，故原式计算错误； 所以计算正确的1个． 故选：A． 2．（25-26七年级上·全国·期中）小李同学做了以下几道计算题，其中做对的题的数量为（    ） ①； ②； ③； ④． A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 【答案】A 【思路引导】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 按照有理数混合运算的计算方法，逐一计算，进一步比较得出答案即可． 【完整解答】解：①，原题计算错误； ②，原题计算错误； ③，原题计算正确； ④，原题计算错误， 综上所述，正确的是③，有1道， 故选：A． 3．（25-26七年级上·浙江·期中）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是 (　　) 甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，按照有理数的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，进行计算逐一判断即可解答． 【完整解答】解：甲：，故甲不正确； 乙：，故乙不正确； 丙：，故丙不正确； 丁：，故丁正确； 所以，我认为做对的同学是丁， 故选：D． 4．（25-26七年级上·江苏·期中）计算： ． 【答案】 【思路引导】此题主要考查了相反数和有理数的乘方，关键是掌握多重符号的化简的方法． 根据多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正，结合乘方运算即可得到答案． 【完整解答】解：， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·广东揭阳·阶段练习）如果一对有理数a、b使等式成立，那么这对有理数a、b叫做“幻生有理数对”，记为．根据上述定义，下列四对有理数 ；；；中不是“幻生有理数对”的是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查新定义运算和有理数的混合运算，理解“幻生有理数对”的定义是解题的关键；根据题意将各项列式计算后进行判断即可． 【完整解答】解：∵ ∴ 故是“幻生有理数对”． ∵， ， ∴ ， 故是“幻生有理数对”． ∵， ， ∴ 故不是“幻生有理数对”． ∵ ∴ 故是“幻生有理数对”． 故答案为： 6．（24-25七年级上·陕西西安·期中）某数学爱好者制作了一个魔术盒，当把有理数对放入其中时，会得到一个新的有理数：，例如把有理数对放入其中，就会得到．现将有理数对放入其中，得到有理数，再将有理数对放入其中后，得到的有理数是 ． 【答案】3 【思路引导】本题考查有理数的混合运算和新定义问题，解题的关键是理解新定义． 先根据新定义求出，得到有理数对的值，再根据新定义解即可． 【完整解答】解：将有理数对放入其中，得到有理数，则根据题意可得， 再将即放入其中后，得到的有理数是， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·甘肃天水·期末）某公路检修队乘车从地出发，在南北走向的公路上检修道路，规定向南走为正，向北走为负，从出发到收工时所行驶的路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)问收工时，检修队在地哪边？距地多远？ (2)问从出发到收工时，汽车共行驶多少千米？ (3)在汽车行驶过程中，若每行驶1千米耗油升，则检修队从地出发到收工后回到地，汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)收工时，检修队在地南边，距地10千米 (2)从出发到收工时，汽车共行驶58千米 (3)检修队从地出发到收工后回到地，汽车共耗油升． 【思路引导】本题主要考查了有理数加减的应用，有理数四则混合运算的应用； （1）把所给的路程记录相加，如果结果为正，则在A地南边，如果结果为负则在A地北边，如果为0则在A地，据此求解即可； （2）把每次所走的路程相加即可得到答案； （3）根据油耗每千米油耗路程进行求解即可． 【完整解答】（1）解：（千米）． 答：收工时，检修队在地南边，距地10千米． （2）解：（千米）． 答：从出发到收工时，汽车共行驶58千米． （3）解：（升）． 答：检修队从地出发到收工后回到地，汽车共耗油升． 8．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某水果超市购进箱苹果，标准质量为每箱千克，每箱与标准质量差值如下（单位：千克，超过的用正数表示，不足的用负数表示）：，，，，，，，实际总质量与标准质量相比超过或不足多少千克？这箱苹果共有多少千克？ 【答案】实际总质量与标准质量相比超过千克，这箱苹果共有千克． 【思路引导】本题主要考查了有理数加法，乘法的实际应用，明确题意，熟练掌握有理数加法，乘法运算法则是解题的关键．由题意将记录的数据相加，用有理数的加法法则计算再结合正负数的定义即可得到实际总质量与标准质量相比是超过还是不足；将标准质量乘以7再加上即可得到答案． 【完整解答】解：（千克） （千克） 答：实际总质量与标准质量相比超过千克，这箱苹果共有千克． 9．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）对于任意有理数m，n定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)已知点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7，y是的相反数，求的值． 【答案】(1)12 (2)或 【思路引导】本题考查了新定义的运算，有理数的加减混合运算，数轴上两点的距离，绝对值的化简，相反数的定义，理解新定义运算规则，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据新定义运算规则直接计算即可； （2）先根据数轴上两点的距离和相反数的定义得出x，y的值，然后根据新定义计算，最后计算即可． 【完整解答】（1）解：， ； （2）解：∵点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7， ， 或6， 是的相反数，且， ， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述，的值为或． 10．（25-26七年级上·陕西·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（）根据有理数的加减运算法则计算即可； （）先进行乘法运算，再进行加法运算即可； （）利用乘法分配律计算即可； （）先进行乘方运算，再进行乘法运算，最后进行减法运算即可； 本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26七年级上·陕西·期中）下列各组运算结果中，数值最小的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查有理数的运算，有理数比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．根据有理数运算法则逐项计算，然后比较大小即可． 【完整解答】解：A、； B、； C、； D、； ∵． ∴最小的数是， 故选：A． 2．（25-26七年级上·全国·期中）有理数a、b在数轴上的位置：数轴上在原点左侧，在原点右侧，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了数轴上的点，有理数的运算，先根据数轴上点的大小关系得出，，再根据有理数的运算法则逐项判断即可． 【完整解答】由数轴可得，且， A．，故选项A正确； B．，故选项B错误； C．，故选项C错误； D．，故选项D错误．               故选：A． 3．（24-25七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）对于，不改变数字和运算符号的顺序，也不添加任何运算符号，对至少两个数添加括号后并计算出结果，称为一种“加括号操作”．例如：是一种“加括号操作”，是其运算结果：是一种“加括号操作”，是其运算结果，给出下列说法： ①至少存在一种“加括号操作”的运算结果是； ②不存在任何“加括号操作”的运算结果是； ③所有“加括号操作”共有7种不同的运算结果． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【思路引导】将的“加括号操作”的所有结果计算出来即可得解． 本题主要考查了有理数混合运算，将的“加括号操作”的所有结果列出来，并进行正确的计算是解题的关键． 【完整解答】解：对于，进行“加括号操作”的所有结果如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 观察以上结果发现：至少存在一种“加括号操作”的运算结果是，故①正确； 不存在任何“加括号操作”的运算结果是，故②正确； 所有“加括号操作”共有7种不同的运算结果，即，，，，，，，故③正确． 故选：D． 4．按照下列程序，如果输入的数是，则输出的数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查有理数的乘法，绝对值． 根据有理数的乘法，按程序进行运算即可． 【完整解答】解：，， ，， ，， ，， ∴输出的数是． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·四川巴中·期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，第三次“F运算”的结果是11．则若，则第449次“F运算”的结果是 ． 【答案】8 【思路引导】本题考查了有理数的运算能力，既渗透了转化思想、分类思想，又蕴含了次数、结果规律探索问题，解决此类问题的关键在于将新运算转化为学过的数的有关运算法则进行计算，从而求出答案． 【完整解答】解：当，为奇数，第1次进行F①运算，即（偶数）， 第2次进行F②运算，即（奇数）， 第3次进行F①运算，即（偶数）， 第4次进行F②运算，即（奇数）， 第5次进行F①运算，即（偶数）， 第6次进行F②运算，即（奇数）， 第7次进行F①运算，即（偶数）， 即从第4次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次为1， 第449次“F运算”，得到的结果是8， 故答案为：8． 6．（2025·广东广州·模拟预测）已知为有理数，定义新运算：，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查有理数的混合运算、新定义，根据题目中的新定义可以计算出所求式子的值． 【完整解答】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·天津·期中）计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先算乘除，再算加法即可； （2）先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可； （3）先计算乘方和乘法运算，再计算括号内的，最后算减法运算即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 8．（24-25七年级上·福建厦门·期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早是从A 地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（位：）：，，． (1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？ (2)若冲锋舟每千米耗油0.5L，油箱容量为28L，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 【答案】(1)B地位于A地的东方向，距离A地20千米处 (2)9升 【思路引导】本题主要考查了有理数的加法运算，正负数和绝对值的实际意义，解题的关键是理解题意，掌握有理数的加法法则． （1）根据题意进行有理数的加法运算即可； （2）进行每个数的绝对值的加法运算得出结果，再求出总需油量即可． 【完整解答】（1）解：， 所以，B地位于A地的东方，距离A地20千米； （2）解：（千米）， （升）， （升）， 所以，至少还需要补充9升油． 9．（24-25七年级上·北京·期中）有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫作幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． (1)如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是______； (2)如图2，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把到这6个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，请直接写出S的最大值是______． 【答案】(1)15 (2) 【思路引导】本题考查了有理数的加法的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据图中数据计算即可作答； （2）根据三角形的每条边上的三个数的和S都相等，且和最大，把到这个数较大的三个数放在三个顶点处即可求解； 【完整解答】（1）解：任取两组数据，由图可知，， 故答案为：； （2）将填入三角形的三个顶点处， 与之间填， 与之间填， 与之间填， 如图， 则三角形的每条边上的三个数的和都相等，且和最大， 此时，， ∴的最大值为， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图1，，为一把不完整刻度尺有刻度一侧的两端，现将其紧贴数轴摆放，已知刻度尺上“”，“”两个刻度分别对应着数轴上表示数，的两点，且，两数满足．    (1)________，________； (2)若将图1中的数轴沿水平方向移动个单位，此时刻度“”对应数轴上的数为________； (3)若刻度尺右端的刻度为“”，将刻度尺沿数轴向右移动个单位长度，此时，刻度尺的左端点恰好与数轴上表示数的点重合，请确定这把刻度尺有刻度一侧的长度，并说明理由． 【答案】(1)，2． (2)或 (3)，理由见详解． 【思路引导】本题考查了数轴与刻度尺，绝对值的非负性质，有理数混合运算的应用等知识． （1）利用绝对值和平方的非负性质，即可得出a和b的值． （2）先根据题意求出a，b两点之间的距离以及对应刻度尺上的距离，进而得出对应的数为，再分类讨论向左向右移动，进而可得出对应数轴上的数． （3）设N表示的数为：n，先求出n的值，再得出N的刻度， 进而可求出刻度尺有刻度一侧的长度． 【完整解答】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，2． （2）解：∵，， ∴a，b两数之间的距离为，对应刻度尺上的距离为：， ∵， ∴对应数轴上的数为， 若向左移动一个单位，则对应， 若向右移动一个单位，则对应， ∴对应的数为或 （3）解：刻度尺沿数轴向右移动个单位长度， 设N表示的数为：n， ∵刻度尺的左端点恰好与数轴上表示数的点重合， ∴， ∴N的刻度为：， ∴， 则这把刻度尺有刻度一侧的长度为． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数的运算（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 有理数的运算 能准确运算并解决应用题 必考点，易错运算顺序或符号括号 科学记数法 能用科学记数法表示数，理解规则 小题必考，易错确定的值 有理数的实际应用 能运用有理数解决实际问题，熟练使用科学记数法解决问题，建立数学模型 综合应用题必考，需要强化建模能力 知识点01 有理数的加法 （1）有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） （2）相关运算律 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 知识点02 有理数的减法 （1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 知识点03 有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 知识点04 有理数的乘法法则 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 知识点05 倒数的概念 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点06 有理数的乘法运算律 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 知识点07 多个有理数相乘 多个有理数相乘的法则： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点08 有理数除法法则 1. 有理数除法法则一：除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数. 用字母表示：a÷b=a·(b ≠ 0). 2. 有理数除法法则二 两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0 除以任何一个不等于0 的数，都得0 . 方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 知识点09 有理数的乘除混合运算 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 知识点10 有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算顺序 在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的. 在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算. 知识点11 有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 知识点12 非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点13 有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 知识点14 近似数和有效数字 （1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （3）规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前 者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 知识点15 科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规 律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是 前面多一个负号． 题型一 有理数的加减混合运算 解｜题｜技｜巧 1.先确定运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内 2.将除法转化为乘法 3.注意符号规则，特别是负号的处理 4.分步计算，避免一步出错全盘皆错 易｜错｜点｜拨 混合运算中最容易出现符号错误和运算顺序错误，特别是乘方运算的优先级 【例1】（25-26七年级上·江西九江·阶段练习）阅读下面的材料，并完成相应任务． 计算：． 解：因为，，____①____，， 所以原式 ． 上面这种计算方法叫拆项法． 任务： (1)上述材料中，序号①的内容为________． (2)试用上述方法计算： ①________； ②． 【变式1-1】（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式1-2】（25-26七年级上·新疆和田·阶段练习）有理数的加减混合运算：（写出必要的计算过程） (1) (2) (3) (4) 题型二 有理数加减中的简便运算 【例2】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段练习）阅读下题的计算方法： 计算：． 解：原式 ． 上面这种计算算方法叫做拆项法，请按此方法计算： ． 【变式2-1】（25-26七年级上·新疆和田·阶段练习）计算：用适当的方法计算： (1) (2) (3) (4) 【变式2-2】（25-26七年级上·重庆·阶段练习）计算下列各题： (1) (2) (2) (4) 题型三 有理数加减混合运算的应用 答｜题｜模｜板 1.明确实际问题中的正负意义 2.建立有理数运算模型 3.计算结果并结合实际解释 易｜错｜点｜拨 实际问题中要特别注意单位的统一和结果的合理性。 【例3】（25-26七年级上·重庆·阶段练习）如图所示，将分别填入图中的圆圈内，使图中横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则图中的值为（    ） A．或 B．或1 C．或 D．1或 【变式3-1】（23-24七年级上·福建厦门·开学考试）一辆客车从甲地开往乙地，每小时行驶75千米，预计3小时到达，行了1小时，机器发生故障，就地维修了20分钟，要想准时到达而不误事，以后每小时应加快多少千米？ 【变式3-2】（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过个停靠站，最后到达终点站．下表记录了这辆公共汽车全程载客的变化情况，其中正数表示上车人数，负数表示下车人数，0表示无人上车或下车． 停靠站 起点站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 终点站 上、下车人数 ； ； ； ； ； ； (1)中间第站上车的人数是 人，下车的人数是 人； (2)途中的个站中，第 站没有人上车，第 站没有人下车； (3)公共汽车离开中间第站时车上的人数为 人，离开中间第站时车上的人数为 人； (4)从表中你还能知道什么信息？ 题型四 有理数乘除混合运算 【例4】（25-26七年级上·山西太原·阶段练习）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程从第________步开始出现错误，错误原因是________________； (2)请写出正确的解答过程． 【变式4-1】（25-26七年级上·山东临沂·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)； 【变式4-2】（25-26七年级上·河北保定·阶段练习）有理数混合计算 (1) (2) (4) (4) 题型五 有理数四则混合运算 【例5】（25-26七年级上·云南红河·阶段练习）观察下列等式规律： 等式一：； 等式二：； 等式三：； 等式四：；…… 探寻规律，解答下列问题： (1)直接写出第五个等式； (2)计算：； (3)观察探究，并计算： ． 【变式5-1】（25-26七年级上·湖北襄阳·阶段练习）我们定义一种新运算对任意两个有理数x、y，有． (1)求的值； (2)求的值． 【变式5-2】（25-26七年级上·山东临沂·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 题型六 有理数四则混合运算的实际应用 【例6】（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）某陶瓷厂计划每个工人一周生产陶瓷工艺品280个，平均每天生产40个，但实际每天的生产量与计划相比有出入，下表是该厂一工人某周的生产情况（以40个为标准，超产记为正，减产记为负）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（个） (1)根据上表的数据可知该工人星期三生产工艺品__________________个： (2)该工人本周实际生产工艺品多少个？ (3)已知该厂实行计件工资制，每周结算一次，每生产一个工艺品可得5元，以280个为标准，超过部分每个另奖10元，未达标准的部分每个扣3元，求该工人在这一周实际获得的工资总额． 【变式6-1】（25-26七年级上·福建泉州·阶段练习）随着城市的快速发展，小张计划对城市中的几个重要地点进行考察，以便更好地了解城市规划．他依次访问了博物馆、图书馆、公园、科技馆和市政府，收集了相关资料如下表． 素材一 路线图：小张家→博物馆→图书馆→公园→科技馆→市政府 素材二 这条考察路线近似看成南北走向．如果规定向北为正，向南为负，他这天行走的里程（单位：）如下： 素材三 小张选择骑共享电单车进行考察，已知每千米的骑行费用为元 (1)向市政府在小张家的哪个方向？距离是多少？ (2)计算小张骑共享电单车完成整个考察路线的总费用． 【变式6-2】（25-26七年级上·甘肃白银·阶段练习）小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 0 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走多少千米？ (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，请计算小明家这7天的行驶费用是多少钱？ 题型七 有理数乘除中的简便运算 【例7】（23-24七年级上·贵州遵义·开学考试）怎样简便就怎样计算． (1) (2) (3) (4) 【变式7-1】（24-25七年级下·重庆·自主招生）计算：． 【变式7-2】（23-24七年级上·广东河源·期中）学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： (1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； (2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ (3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 题型八 根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例8】（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）已知，，三个数在数轴上对应的位置如图所示． (1)填空：___________0；___________0；（填“＞”“＜”或“=”） (2)已知，表示数的点到原点距离为，且与互为相反数，与互为倒数，求的值． 【变式8-1】（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，数轴上点A和点B 分别表示数a 和b，则下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）有理数，，在数轴上的位置如图所示，且表示数的点、数的点与原点的距离相等． (1)用“”“”或“”填空： ， ， ， ； (2)若，则 ； (3)计算：． 题型九 数轴上的翻折 【例9】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）如图，小丽在纸上画了一条不完整的数轴，折叠纸面，使数轴上表示的点和表示3的点重合，若该数轴上A，B两点之间的距离为8，且折叠后也互相重合，则点A表示的数是（    ） A．或4 B．或5 C．或4 D．或5 【变式9-1】（25-26七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有点，其中点到点的距离为3，点到点的距离为8， (1)若表示的数是，则数轴上点所表示的数为：___________； (2)若以点为原点，求点，，所对应的数的和． (3)若表示的数是4，将数轴折叠，使点与点重合，求折叠后与点重合的点表示的数． 【变式9-2】（25-26七年级上·河南南阳·阶段练习）已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面．操作一：若数轴上表示数1的点与表示数的点重合，则折痕经过的点表示的数是0；操作二：若数轴上表示数的点与表示数0的点重合，则根据操作二解答下列各题： (1)此时折痕经过的点表示的数是______；数轴上表示数3的点与表示数______的点重合； (2)若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，B两点经折叠后重合，求点B表示的数； (3)若数轴上M，N两点之间的距离为2026，并且M，N两点经折叠后重合，如果点M表示的数比点N表示的数大，点M表示的数是______；N表示的数是______． 题型十 有理数的乘方运算 【例10】（25-26七年级上·辽宁锦州·阶段练习）（1）已知，，且，求的值； （2）若，求的值． 【变式10-1】（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段练习）阅读材料：求的值． 解：设，记为①式，将①式两边同时乘以2得： ，记为②式， 将②式减去①式，得即 即 仿照此法计算（其中为正整数）的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（23-24七年级上·甘肃酒泉·期末）在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型十一 有理数乘方逆运算 【例11】（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）阅读下列各式：，，，… 解答下列问题： (1)写出 ，猜想： ． (2)计算：． 【变式11-1】（2023·山东枣庄·一模）定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 【变式11-2】（22-23七年级上·重庆云阳·期中）请认真阅读下面材料，并解答下列问题． 如果  的次幂等于，即指数式，那么数叫做以为底的对数，对数式记作：例如： ①因为指数式，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：； ②因为指数式，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：． (1)请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式： ①；② (2)将下列对数式改为指数式： ①=2 ② (3)计算： 题型十二 程序流程图与有理数计算 【例12】（25-26七年级上·江苏镇江·阶段练习）根据如图所示的程序进行计算，若输入的值为，则输出的值为 ． 【变式12-1】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图是一个计算机的运算程序，若一开始输入的值为，则输出的结果是 【变式12-2】（25-26七年级上·北京·阶段练习）如图是一个数字传输器，箭头代表传输路径，方框代表传输方式，菱形代表判断，理解这个数字传输器的工作原理，回答下列问题： (1)当时，____________；当时，___________； (2)若输出的值为0，则输入的为___________；（用含的代数式表示，为正整数） (3)若是自然数，请写出的所有可能值________________． 题型十三 算“24”点 【例13】（25-26七年级上·安徽六安·阶段练习）小明有5张写着不同数字的卡片（如图），请你按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中抽取2张卡片，使这两张卡片上数字相乘的积最大，如何抽取，最大值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使其运算结果为24．请写出运算式子．（一种即可） 【变式13-1】（25-26七年级上·广东东莞·阶段练习）如图，小玉有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数字的和最小，则应如何抽取？最小的和是多少？ (2)从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数字的乘积最小，则应如何抽取？最小的乘积是多少？ (3)从中抽出3张卡片，使这3张卡片上的数字经过加、减、乘、除运算后，组成一个最大的数，则应如何抽取？最大的数是多少？ (4)从中抽出4张卡片，用学过的运算方法，要使结果为24，则应如何抽取？写出运算式子（一种即可）． 【变式13-2】（23-24七年级下·河北保定·期中）嘉琪有6张写有不同数值的卡片，请按下列要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数乘积最大，最大值是多少？ (2)从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数相除的商最小，最小值是多少？ (3)从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数的倒数最大和最小，这两数的倒数分别是多少？ (4)从中取出非负数的卡片组成一个最大的数，用科学记数法表示； (5)算24点游戏：从中取出四张卡片，用学过的“、、、”进行运算，使结果为24．写出1个算式即可（运算算式可以加括号）． 题型十四 含乘方的有理数混合运算 【例14】（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算题： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式14-1】（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式14-2】（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）（1）①观察一列数1，2，4，8，16，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么 ， ； ②为了求的值，可以这么做； 令， 则， 因此， 所以， 即． 仿照以上推理： （2）计算的值． （3）计算． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）人工智能模型的参数量越大，理解能力越强．模型参数可达685000000000个，其中数685000000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·辽宁·期中）如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数，若输入，则输出的结果为（   ） A．15 B．13 C．11 D． 4．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）点在数轴上表示的数是，从点出发，沿数轴向左平移个单位长度到达点，则点到原点的距离为 ． 5．（25-26七年级上·广东深圳·期中）手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元）王老师当天微信收支的最终结果是 ． 6．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）定义一种新运算“#”，，如，那么 ． 7．（25-26七年级上·广东揭阳·期中）计算： (1)； (2) 8．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）随着短视频软件的普及，许多人利用各种直播平台做电商，小李也将自己家果园的苹果梨在某直播平台进行销售，经过一段时间的销售，小李发现每天能销售100左右的苹果梨．下表为小李12月份第一周销售苹果梨的情况(以100为标准，超额记为正，不足记为负，单位：)． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准销售量的差值 根据以上内容解答下列问题： (1)这周销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少千克苹果梨? (2)若苹果梨的售价为元，不考虑其他因素，求小李这周直播销售苹果梨的总收入． 9．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中） [情境题 生活应用]随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如下表，单位：），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 (1)这七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了多少千米？ (2)请求出这七天中平均每天行驶多少千米． (3)若行驶需用汽油，请估计小明家一个月（按30天计算）共用多少升汽油？ 10．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目： 计算：，看谁算得又快又对，有两位同学的解法如下： 小明：原式； 小军：原式； (1)希望你通过以上两种解法的不同理解，用不同于以上两种方法求解，并写出计算过程． (2)用你认为最合适的方法计算：． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）有下列计算：①；②；③；④，其中计算正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级上·全国·期中）小李同学做了以下几道计算题，其中做对的题的数量为（    ） ①； ②； ③； ④． A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 3．（25-26七年级上·浙江·期中）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是 (　　) 甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．（25-26七年级上·江苏·期中）计算： ． 5．（25-26七年级上·广东揭阳·阶段练习）如果一对有理数a、b使等式成立，那么这对有理数a、b叫做“幻生有理数对”，记为．根据上述定义，下列四对有理数 ；；；中不是“幻生有理数对”的是 ． 6．（24-25七年级上·陕西西安·期中）某数学爱好者制作了一个魔术盒，当把有理数对放入其中时，会得到一个新的有理数：，例如把有理数对放入其中，就会得到．现将有理数对放入其中，得到有理数，再将有理数对放入其中后，得到的有理数是 ． 7．（24-25七年级上·甘肃天水·期末）某公路检修队乘车从地出发，在南北走向的公路上检修道路，规定向南走为正，向北走为负，从出发到收工时所行驶的路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)问收工时，检修队在地哪边？距地多远？ (2)问从出发到收工时，汽车共行驶多少千米？ (3)在汽车行驶过程中，若每行驶1千米耗油升，则检修队从地出发到收工后回到地，汽车共耗油多少升？ 8．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某水果超市购进箱苹果，标准质量为每箱千克，每箱与标准质量差值如下（单位：千克，超过的用正数表示，不足的用负数表示）：，，，，，，，实际总质量与标准质量相比超过或不足多少千克？这箱苹果共有多少千克？ 9．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）对于任意有理数m，n定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)已知点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7，y是的相反数，求的值． 10．（25-26七年级上·陕西·期中）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26七年级上·陕西·期中）下列各组运算结果中，数值最小的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·期中）有理数a、b在数轴上的位置：数轴上在原点左侧，在原点右侧，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）对于，不改变数字和运算符号的顺序，也不添加任何运算符号，对至少两个数添加括号后并计算出结果，称为一种“加括号操作”．例如：是一种“加括号操作”，是其运算结果：是一种“加括号操作”，是其运算结果，给出下列说法： ①至少存在一种“加括号操作”的运算结果是； ②不存在任何“加括号操作”的运算结果是； ③所有“加括号操作”共有7种不同的运算结果． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．按照下列程序，如果输入的数是，则输出的数是 ． 5．（24-25七年级下·四川巴中·期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，第三次“F运算”的结果是11．则若，则第449次“F运算”的结果是 ． 6．（2025·广东广州·模拟预测）已知为有理数，定义新运算：，则 ． 7．（25-26七年级上·天津·期中）计算 (1)； (2)； (3)． 8．（24-25七年级上·福建厦门·期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早是从A 地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（位：）：，，． (1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？ (2)若冲锋舟每千米耗油0.5L，油箱容量为28L，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 9．（24-25七年级上·北京·期中）有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫作幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． (1)如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是______； (2)如图2，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把到这6个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，请直接写出S的最大值是______． 10．（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图1，，为一把不完整刻度尺有刻度一侧的两端，现将其紧贴数轴摆放，已知刻度尺上“”，“”两个刻度分别对应着数轴上表示数，的两点，且，两数满足．    (1)________，________； (2)若将图1中的数轴沿水平方向移动个单位，此时刻度“”对应数轴上的数为________； (3)若刻度尺右端的刻度为“”，将刻度尺沿数轴向右移动个单位长度，此时，刻度尺的左端点恰好与数轴上表示数的点重合，请确定这把刻度尺有刻度一侧的长度，并说明理由． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $