专题03 代数式重点复习:必备知识+重难题型+分层验收（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材青岛版

专题03 代数式（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 代数式的概念与列代数式 理解代数式的概念，能根据题意正确列出代数式 基础必考点，选择题中出现频率较高，实际意义理解错误率较高 代数式的值 能准确求出代数式的值，掌握整体代入思想 计算基础考点，代入求值、整体思想必考 整式的相关概念 理解单项式、多项式的概念，掌握系数、次数等概念 概念辨析重点 整式的加减运算 掌握合并同类项法则，能熟练进行整式的加减运算 核心计算能力，符号错误是主要失分点 代数式规律探索 能观察分析简单规律，并用代数式表示 综合能力考查，规律发现与表达 知识点01 用字母表示数的常见应用 1.用字母表示运算律 1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a 2）加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。 即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 3）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝b×a 4）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚ ×c＝a×﹙b×c﹚。 5） 乘法对加法的分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a 6） ×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 2.用字母表示公式 1）对于任意一个三角形，用S表示三角形的面积，用a表示三角形的底，用h表示对应底边上的高，则 . 2）长方形的长为a，宽为b,则面积公式为. 3）长方体的长为a，宽为b,高为h,则体积公式为。 3.用字母表示各种数 当n为整数时，我们可以用2n表示任意一个偶数，可以用2n＋1表示任意一个奇数等. 4.用字母表示数量关系 如小明有a本课外书，小红的课外书比小明的2倍少3本，则小红的课外书为（2a-3）本. 知识点02 代数式 定义：用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子叫做代数式，特别的，单独的一个数或一个表示数的字母也是代数式. 注意：带等号（＝）或不等号（≠、＜、＞、≤、≥）的都不是代数式. 知识点03 代数式的书写要求 1）数字与字母相乘或字母与字母相乘，通常把乘号写成“· ”或省略不写； 2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； 3）如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写； 4）带分数与字母相乘时，要将带分数转化成假分数； 5）除法运算要用分数线； 6）若式子后面有单位且式子是和或差的形式，式子应看作是一个整体，要用括号括起来，再在括号后面写 上单位. 知识点04 列代数式 列代数式常用的方法：抓关键性词语，如“大”、“小”、“多”、“少”、“差”、“积”、“商”、 “倍”等；在具体情境中，运用公式或数量关系列代数式 知识点05 代数式的实际意义 明白每个符号代表的意义以及整个式子所表示的数量关系，用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同 的实际问题中的数量关系. 知识点06 代数式的值 定义：用数代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算出的结果叫做代数式的值. 代数式中的字母取值限制条件： 必须使代数式有意义，如中的a不能取1； 实际问题中的字母取值要符合实际意义，比如小明买了b支铅笔，这里的b只能是0或正整数，不能取小 数或者负数. 求代数式的值的步骤： （1）代入：将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原； （2）计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的. 知识点07 生活中的常量与变量 在某一变化中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量。 题型一 用字母表示数 解｜题｜技｜巧 1.列代数式时要明确运算顺序，适当添加括号 2.求代数式的值时，先化简再代入 3.整体代入时要观察已知条件与所求式子的联系 易｜错｜点｜拨 代入数值时，特别是负数和分数，务必加上括号，避免符号错误。 【例1】（25-26七年级上·广东揭阳·开学考试）已知是非零自然数，以下四道算式中，结果最大的是（   ）． A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级上·四川泸州·期末）北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．在冬季奥运会前，某赛场计划造雪，每天造雪量与造雪天数成反比例关系．具体如下表，则表中的值是（    ）． 每天造雪量 5000 5200 6500 造雪天数 50 40 A．50 B．52 C．60 D．65 【变式1-2】某种窗户由上下两部分组成，其上部是用木条围成的半圆形，且半圆形内部由三根等长的木条分隔，下部是用木条围成的边长相等的四个小正方形，木条的宽度和厚度不计．已知下部每个小正方形的边长为a米． (1)用含a的代数式分别表示窗户的面积和所用木条的总长度； (2)若米，窗户上安装的是玻璃，玻璃25元/平方米，木条20元/米，求制作这个窗户需要的总钱数（值取3，计算结果精确到个位）． 题型二 列代数式 【例2】（24-25七年级上·福建漳州·期中）某学校准备在网上订购一批某品牌羽毛球拍和羽毛球，在查阅网店后发现该品牌羽毛球拍每副定价200元，羽毛球每个定价5元，现有甲，乙两家网店均提供包邮服务，并提出各自的优惠方案： 甲网店：买1副羽毛球拍送5个羽毛球； 乙网店：羽毛球拍与羽毛球都按定价的90%付款． 已知学校要购买羽毛球拍20副，羽毛球x个()． (1)若在甲网店购买，需付款_______元；若在乙网店购买，需付款_________ 元；(用含x的式子表示) (2)若时，请你通过计算，说明此时在哪家网店购买较为合算？ (3)若时，你能给出一种最省钱的购买方案吗？请说明理由． 【变式2-1】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是．动线段（点在点的右侧），从点与点重合的位置出发，以每秒个单位的速度向右运动，运动时间为秒． (1)①已知点表示的数是，试求点表示的数；②用含有的代数式表示点表示的数； (2)当时，求的值． (3)试问当线段在什么位置时，或的值始终保持不变？请求出它的值并说明此时线段的位置． 【变式2-2】（24-25七年级上·广东汕头·期中）某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 九折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)小林一次性购物520元，他实际付款 元．小卢一次性购物300元，他实际付款 元． (2)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款 元，当x大于或等于500元时，他实际付款 元． (3)如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为a元，用含a的代数式表示：两次购物王老师实际付款多少元？ 题型三 用代数式表示数、图形的规律 答｜题｜模｜板 1.观察序号与数值的关系：从具体到抽象 2.寻找运算规律：相邻项之间的差、比等关系 3.建立代数模型：用含n的代数式表示第n个数 4.验证模型：用前几项检验表达式的正确性 易｜错｜点｜拨 规律探索题的关键是找到序号n与对应数值之间的函数关系，注意有时需要分段讨论 【例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如下规律摆放： (1)第④个图案有___________张白色小正方形纸片； (2)第⑤个图案有___________张白色小正方形纸片； (3)第个图案有多少张白色小正方形纸片？ 【变式3-1】（24-25七年级上·湖南·期末）幼儿园的小朋友聪聪用小木棒拼图，他在老师的指导下完成了前3个图形摆放（如图所示），如果按这种方式拼图，请解答下列问题． (1)填写下表： 图形编号 （1） （2） （3） （4） 木棒根数 (2)第个图形需要的木棒根数用代数式表示是___________ (3)有人说按这种方式拼图，其中有一个图形刚好用了100根木棒，他的说法对吗？如果正确，请指明是第几号图形、如果不正确，请说明理由． 【变式3-2】（24-25七年级上·湖北黄冈·期中）【基础演练】：观察下列等式 ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）猜想并写出：_____________ （2）直接写出下列各式的计算结果： ①__________________________________； ②________________________________________． 【举一反三】：（3）探究并计算：． 【拓广探索】：（4）为了求的值，可令，则，因此， 所以．． 仿照上面推理计算：求的值； 题型四 代数式表示的实际意义 【例4】（2025七年级下·江苏无锡·专题练习）有几个同学搬砖，不知道每人搬几块，只知道剩下14块，如果每人搬9块，最后一人只搬6块，搬砖的一共几人？ 【变式4-1】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）甲、乙同学关于“代数式”的意义叙述，判断正确的是（   ） 甲：的倍与的和； 乙：苹果每千克元，香蕉每千克元，苹果和香蕉各买千克的总花费 A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．甲、乙的都正确 D．甲、乙的都不正确 【变式4-2】（24-25七年级上·陕西延安·期中）某公司将特色农副产品运往邻市市场进行销售，每辆车的平均速度与行驶时间如下表所示： 平均速度 75 80 90 行驶时间 (1)行驶的时间随着平均速度的变化怎样变化？ (2)分别用（单位：）和（单位：）表示平均速度和行驶时间，用式子表示与的关系，与成什么比例关系？ 题型五 已知字母的值，求代数式的值 【例5】（25-26七年级上·全国·期中）如图，一扇窗户，窗框为铝合金材料，上面是由三个大小相等的扇形组成的半圆窗框构成，下面是由两个大小相等的长，宽的长方形窗框构成，窗户全部安装玻璃．（本题中取3，长度单位为米） (1)一扇这样窗户一共需要铝合金多少米？（用含，的式子表示） (2)一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米？铝合金窗框宽度忽略不计（用含，的式子表示） (3)某公司需要购进10扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如表报价： 铝合金（元/米） 玻璃（元/平方米） 甲厂商 180 不超过100平方米的部分，90元/平方米；超过100平方米的部分，70元/平方米 乙厂商 200 80元/平方米，每购一平方米玻璃送0.1米铝合金 当，时，该公司在哪家厂商购买窗户合算？ 【变式5-1】（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）若，． (1)求的值； (2)若，求的值． 【变式5-2】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）小明家买了一套住房有三个卧室，其中A卧室的地面面积为，B卧室的地面面积为，设C卧室地面面积的数值为m，且；（单位：平方米） (1)求m的值（用含有x、y的式子表示） (2)小明想把所有卧室的地面都铺上地砖，恰好每平方米地砖费用也是m元，且满足，求铺地砖的总费用是多少元？ 题型六 已知式子的值，求代数式的值 【例6】（25-26七年级上·重庆·阶段练习）（1）已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，，求代数式的值． （2）已知有理数a、b满足，且，求的值． 【变式6-1】（25-26七年级上·甘肃临夏·阶段练习）已知，且，则的值为（   ） A．或 B．11或5 C．11或 D．5或 【变式6-2】（23-24七年级上·江苏·周测）整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）如果，求的值； （2）当时，代数式的值为，当时，求代数式的值；（用含的代数式表示） 【拓展应用】 （3）周末爸爸妈妈带着小明和妹妹在小区的休闲区运动．爸爸和小明在休闲区的环形跑道上跑步，两人相距20米，同时反向运动，小明的速度是，爸爸的速度是 ，经过两人第一次相遇．妈妈带着妹妹做追逐游戏，妹妹在妈妈前面，两人同时同向起跑，妹妹的速度是，妈妈的速度也是，经过，妈妈追上妹妹． ①休闲区的环形跑道周长是_____________m；（用含的代数式表示） ②起跑时，妹妹站在妈妈前面_____________m；（用含的代数式表示） ③若休闲区的环形跑道周长是，起跑时妹妹站在妈妈前面，综合上述信息求代数式的值． 题型七 程序流程图与代数式求值 【例7】（22-23七年级上·湖北武汉·开学考试）按下面的程序计算： 若输入，输出结果是501；若输入，输出结果是631．若开始输入的值为整数，最后输出的结果为556，则开始输入的值可能是( ) 【变式7-1】（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是7，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，依次继续下去…，第2024次输出的结果是（    ） A．3 B．6 C．2 D．8 【变式7-1】（24-25七年级上·四川巴中·期末）有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4，依次继续下去，第2021次输出的结果是（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 题型八 用表格表示变量间的关系 【例8】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是汽车加油站在加油过程中，加油器仪表某一瞬间的显示，则加油过程中的常量是 ，变量是 ． 【变式8-1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）下表列出了一项实验的统计数据，表示皮球从高处落下时，弹跳高度（单位：cm）与下落高度（单位：）之间的关系，若下落高度，则弹跳高度的值是（   ） 50 100 150 25 50 75 A．100 B．95 C．90 D．105 【变式8-2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）水钟在我国又称漏刻、漏壶，是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小志依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间 1 2 3 4 5 6 水的高度 1.5 3 4.5 6 7.5 9 下列说法中，不正确的是（    ） A．上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系 B．当容器中水的高度为时，对应的时间为 C．当经过的时间为时，容器中水的高度是 D．时间每增加，容器中水的高度增加 题型九 用关系式表示变量间的关系 【例9】（24-25七年级下·辽宁辽阳·期末）我国是一个严重的缺水的国家，大家应加倍珍惜水资源，节约用水，据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下滴水，每滴水约毫升，小明同学在洗手后，没有把水龙头拧紧，设小明离开小时后，水龙头滴了毫升水，则关于的关系式是 ，因变量是 ． 【变式9-1】（24-25七年级上·广东中山·阶段练习）甲乙两城之间的高速公路上，行驶着下面几辆车．每辆车的平均速度与驶完全程所需的时间如下表． 车辆 大客车 小货车 小轿车 大货车 平均速度（千米/时） 90 75 100 60 时间（小时） 3.2 2.4 4 (1)如果用V表示车辆的平均速度，T表示驶完全程所需的时间．T与V成什么比例关系？再写出这个关系式． (2)王师傅从甲城开车走高速公路去乙城办事，想在3小时内到达．那么他开车的平均速度不能低于多少千米/时？ 【变式9-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）声音在空气中的传播速度（单位：）与温度（单位：）的部分关系如下表所示： … 1 2 3 … … … 则传播速度与温度之间的关系式为 ． 题型十 用图象表示变量间的关系 【例10】（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）甲、乙在一条直线跑道上匀速跑步，乙先跑，甲出发时，乙已经距起点100米了，他们距起点的距离s（米）与甲出发的时间t（秒）之间的关系如图（不完整），根据图中信息，解答下列问题： (1)在上述变化过程中，自变量是________，因变量是__________． (2)甲的速度为______米/秒，乙的速度为______米/秒． (3)当甲追上乙时，求甲距起点的距离． 【变式10-1】（24-25七年级下·河南周口·期末）如图表示一辆汽车在行驶途中的速度（千米时）随时间（分）的变化示意图． (1)从点到点、点到点、点到点分别表明汽车在什么状态？ (2)分段描述汽车在第0分钟到第28分钟的行驶情况． 【变式10-2】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【图象问题】已知动点P 以每秒 的速度沿图1边框按的路线移动，相应的三角形 的面积S与时间t之间的关系如图2中的图象所示．若 ，则图1中的图形面积是 ，图2中的a和b的值分别是 和 ．（写出简要过程） 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）星光文教用品店把一种文具按成本价元提高标价，然后再以八折优惠卖出，则这种文具的售价为（   ）元 A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若的相反数是，，的倒数为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25七年级下·河北保定·期中）油箱中存油18升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间（分钟）的关系式是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知有理数、、在数轴上的对应点分别为、、，点表示原点若，、两点间的距离为，则的值为 ．    5．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若，互为倒数，，互为相反数，为最大的负整数，则 ． 6．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）若a 与 b 互为相反数，且，m 与n 互为倒数，则 7．（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）定义一种新运算“※”：．例如： (1)计算：的值； (2)若与的值相等吗？请说明理由． 8．（24-25七年级上·浙江·期中）某电信公司手机收费有两种方案． 方案一：月租费36元，本地通话费0.4元/分； 方案二：不收月租费，本地通话费0.6元/分； (1)某用户某月打电话时间为x分，则 方案一收费方式下应支付的费用为______元； 方案二收费方式下应支付的费用为______元； (2)若某用户估计一个月打电话的时间为5小时，你认为哪种收费方式比较合算，为什么？ 9．（24-25七年级上·湖北襄阳·期中）如图，某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为，半圆形弯道的直径为． (1)用代数式表示这条跑道的周长； (2)当，时，求这条跑道的周长（取，结果取整数．） 10．（24-25七年级上·广东韶关·期中）项目式学习． 【项目主题】校园分布图制作． 【项目背景】为了让初一新生更快熟悉校园生活，善思小组成员准备为初一新生制作简易版校园分布图． 【实践操作】操作一：善思小组根据校园的活动区域分布，将校园分布图分为教学区、操场、学生活动中心、图书馆四个主要区域； 操作二：根据小组成员的实际测量与记录，绘制如图所示的校园总体分布图（单位：m）． 【项目思考】 (1)用整式表示这个学校的操场和学生活动中心一共占地多少面积； (2)若，，求这个学校的操场和学生活动中心一共占地多少面积． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·全国·期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则的值为（   ） A．3 B．3或 C．4 D．3或4 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，若输入x的值为10，则输出的值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 3．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为，则的值为（ 　） A．或 B．或 C．或 D．或 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如果、的绝对值相等，且代数式的值为0，那么的值为 ． 5．（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知是关于的恒等式，则 ． 6．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知，，则代数式的值为 ． 7．用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如下规律摆放： (1)第④个图案有___________张白色小正方形纸片； (2)第⑤个图案有___________张白色小正方形纸片； (3)第个图案有多少张白色小正方形纸片？ 8．（25-26七年级上·全国·期中）如图，一扇窗户，窗框为铝合金材料，上面是由三个大小相等的扇形组成的半圆窗框构成，下面是由两个大小相等的长，宽的长方形窗框构成，窗户全部安装玻璃．（本题中取3，长度单位为米） (1)一扇这样窗户一共需要铝合金多少米？（用含，的式子表示） (2)一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米？铝合金窗框宽度忽略不计（用含，的式子表示） (3)某公司需要购进10扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如表报价： 铝合金（元/米） 玻璃（元/平方米） 甲厂商 180 不超过100平方米的部分，90元/平方米；超过100平方米的部分，70元/平方米 乙厂商 200 80元/平方米，每购一平方米玻璃送0.1米铝合金 当，时，该公司在哪家厂商购买窗户合算？ 9．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）阅读与思考 滴滴打车是目前国内最受欢迎的网约车平台之一，为了给用户提供便捷、安全的出行服务，滴滴打车制定了一套收费规则：1．起步价：滴滴打车的起步价为10元，乘客预约用车、取消订单等情况都会收取起步价．2．里程费：起步里程3公里，超过3公里的部分，将按1.5 元/公里的标准收取里程费用．3．时长费：起步时间8分钟，超过8分钟的部分，将按0.25元/分钟的标准收取时长费用． 注：车费由里程费、时长费、起步价构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算．任务： (1)若小爱同学乘坐滴滴打车，行车里程为28公里，行车时间为5分钟，需付车费 ． (2)若小爱同学乘坐滴滴打车，行车里程为a（）公里，行车时间为b（）分钟，则应付车费多少元？（列代数式、化简） (3)若小爱同学从家出发，乘坐滴滴打车到杭州体育馆观看亚运会，行车里程为18 公里，行车时间为 20分钟，则需付车费多少元？ 10．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与探究 商品条形码在生活中随处可见，它是商品的“身份证”．商品条形码由位数字组成，每位数字都是到之间的整数，第位数字表示校验码．校验码的作用是校验商品条形码中前12位数字代码的正确性，它的编制是按照特定算法得来的．如图，求校验码的过程如下： 步骤：求前位数字中偶数位上的数字之和． 步骤：求前位数字中奇数位上的数字之和． 步骤：求与的和． 步骤：取不小于且为的整数倍的最小值． 步骤：求与的差就是校验码，即校验码的值为． (1)若某商品条形码为，则校验码的值为___________． (2)如图，某商品条形码中的一个数字被墨水污染了，设这个数字为，求步骤中的（用只含有的代数式表示），并求出当时，校验码的值． (3)如图，某商品条形码中的两个数字被墨水污染了，若这两个数字相同，请直接写出这个数字． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26七年级上·吉林长春·期中）已知，则的值等于(    ) A．1 B． C．4049 D． 2．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）如果，那么代数式的值是（    ） A． B．1 C．3 D． 3．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）按下面的程序计算：                                        当输入时，输出结果是299；当输入时，输出结果是446；如果输入的值是正整数，输出结果是257，那么满足条件的的值最多有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25七年级下·四川内江·期中）若，则 ． 5．（24-25七年级上·山东济宁·期中）对于有理数，，若规定，则当，时， ． 6．（24-25七年级上·河南许昌·期中）莫高窟坐落于河西走廊西部的尽头——敦煌，是我国古代文明的璀璨艺术宝库．莫高窟保存壁画4.5万多平方米，具有独特的形式美感和艺术魅力．小明在观摩莫高窟壁画纹样时发现了一组图案（如图所示），其中第1个图案中有5个花朵图案，第2个图案中有8个花朵图案，第3个图案中有11个花朵图案，…，按此规律排列下去，则第2024个图案中花朵图案的个数为 ． 7．（24-25七年级上·广东佛山·期中）观察下列算式：…，用你所发现的规律，写出的末位数字是 ． 8．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）如图，正方形的边长为，线段的长是线段的长是3． (1)用含、的代数式表示： ； ； (2)根据图中数据，用含、的代数式表示阴影部分的面积； (3)当，时，求阴影部分的面积． 9．（24-25七年级上·北京·期中）关于x的算式，当x取任意一组相反数m与时，若式子的值相等，则称之为“偶代数式”；若式子的值互为相反数，则称之为“奇代数式”．例如算式是“偶代数式”，是“奇代数式”． (1)以下算式中，是“偶代数式”的有______，是“奇代数式”的有______；（将正确选项的序号填写在横线上） ①；②；③ (2)对于整式，当x分别取2与时，求整式的值分别是多少． (3)对于整式，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，求这九个整式的值之和． 10．（24-25七年级上·福建漳州·期中）数学学习中，利用图形验证数学结论是一种非常重要的方法，如图①，一边长都为a的三个小长方形可拼成一个大长方形，大长方形面积可表示为，看成三个小长方形，那么面积可分别表示为，这验证了乘法对加法的分配律：． 探究1：如图②，用两个边长分别为a、b的小正方形和两个长方形，拼成大正方形，观察图形完成下列填空． （1）大正方形面积可表示为 ； （2） （其中，，填“”、“”或“”． （3）对比图②、图③，可得图③中阴影部分长方形的面积为 ． （用含a、b的代数式表示） 探究2：计算 ． 如图④，第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为 ，空白部分的面积为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…； （4）求第3次分割后空白部分的面积为_______； （5）根据第6次分割图可得： ； 因此 ． （6）根据第n次分割图可得： 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 代数式（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 代数式的概念与列代数式 理解代数式的概念，能根据题意正确列出代数式 基础必考点，选择题中出现频率较高，实际意义理解错误率较高 代数式的值 能准确求出代数式的值，掌握整体代入思想 计算基础考点，代入求值、整体思想必考 整式的相关概念 理解单项式、多项式的概念，掌握系数、次数等概念 概念辨析重点 整式的加减运算 掌握合并同类项法则，能熟练进行整式的加减运算 核心计算能力，符号错误是主要失分点 代数式规律探索 能观察分析简单规律，并用代数式表示 综合能力考查，规律发现与表达 知识点01 用字母表示数的常见应用 1.用字母表示运算律 1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a 2）加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。 即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 3）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝b×a 4）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚ ×c＝a×﹙b×c﹚。 5） 乘法对加法的分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a 6） ×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 2.用字母表示公式 1）对于任意一个三角形，用S表示三角形的面积，用a表示三角形的底，用h表示对应底边上的高，则 . 2）长方形的长为a，宽为b,则面积公式为. 3）长方体的长为a，宽为b,高为h,则体积公式为。 3.用字母表示各种数 当n为整数时，我们可以用2n表示任意一个偶数，可以用2n＋1表示任意一个奇数等. 4.用字母表示数量关系 如小明有a本课外书，小红的课外书比小明的2倍少3本，则小红的课外书为（2a-3）本. 知识点02 代数式 定义：用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子叫做代数式，特别的，单独的一个数或一个表示数的字母也是代数式. 注意：带等号（＝）或不等号（≠、＜、＞、≤、≥）的都不是代数式. 知识点03 代数式的书写要求 1）数字与字母相乘或字母与字母相乘，通常把乘号写成“· ”或省略不写； 2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； 3）如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写； 4）带分数与字母相乘时，要将带分数转化成假分数； 5）除法运算要用分数线； 6）若式子后面有单位且式子是和或差的形式，式子应看作是一个整体，要用括号括起来，再在括号后面写 上单位. 知识点04 列代数式 列代数式常用的方法：抓关键性词语，如“大”、“小”、“多”、“少”、“差”、“积”、“商”、 “倍”等；在具体情境中，运用公式或数量关系列代数式 知识点05 代数式的实际意义 明白每个符号代表的意义以及整个式子所表示的数量关系，用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同 的实际问题中的数量关系. 知识点06 代数式的值 定义：用数代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算出的结果叫做代数式的值. 代数式中的字母取值限制条件： 必须使代数式有意义，如中的a不能取1； 实际问题中的字母取值要符合实际意义，比如小明买了b支铅笔，这里的b只能是0或正整数，不能取小 数或者负数. 求代数式的值的步骤： （1）代入：将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原； （2）计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的. 知识点07 生活中的常量与变量 在某一变化中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量。 题型一 用字母表示数 解｜题｜技｜巧 1.列代数式时要明确运算顺序，适当添加括号 2.求代数式的值时，先化简再代入 3.整体代入时要观察已知条件与所求式子的联系 易｜错｜点｜拨 代入数值时，特别是负数和分数，务必加上括号，避免符号错误。 【例1】（25-26七年级上·广东揭阳·开学考试）已知是非零自然数，以下四道算式中，结果最大的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了字母表示数，将各选项转化为乘法运算后比较系数大小即可确定结果最大的选项，掌握知识点的应用是解题的关键． 【完整解答】解：、； 、； 、； 、； ∵是非零自然数， ∴， ∴结果最大的是， 故选：． 【变式1-1】（24-25七年级上·四川泸州·期末）北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．在冬季奥运会前，某赛场计划造雪，每天造雪量与造雪天数成反比例关系．具体如下表，则表中的值是（    ）． 每天造雪量 5000 5200 6500 造雪天数 50 40 A．50 B．52 C．60 D．65 【答案】B 【思路引导】本题考查了用字母表示数，根据每天造雪量与造雪天数成反比例关系，得出,即可求解． 【完整解答】解：依题意，, 解得：， 故选：B． 【变式1-2】某种窗户由上下两部分组成，其上部是用木条围成的半圆形，且半圆形内部由三根等长的木条分隔，下部是用木条围成的边长相等的四个小正方形，木条的宽度和厚度不计．已知下部每个小正方形的边长为a米． (1)用含a的代数式分别表示窗户的面积和所用木条的总长度； (2)若米，窗户上安装的是玻璃，玻璃25元/平方米，木条20元/米，求制作这个窗户需要的总钱数（值取3，计算结果精确到个位）． 【答案】(1)窗户的面积为（4a2πa2）米2，总长度（15+π）a（米） (2)498（元） 【思路引导】（1）窗户的面积包括一个正方形面积一个半圆面积，相加即可．材料总长度就是求图形中线段的总长度，将所有线段长度相加即可； （2）将a＝1代入25（4a2πa2）+20（15+π）a计算可得． 【完整解答】（1）S＝2a×2aπa2＝4a2πa2 即窗户的面积为（4a2πa2）米2． 15a+πa＝（15+π）a（米） 即制作这种窗户所需材料的总长度（15+π）a（米）． （2）a＝1时，25（4a2πa2）+20（15+π）a ≈25×（4×13×1）+20×（15+3）×1 ＝137.5+360 ＝497.5 ≈498（元），即制作这扇窗户需要498元． 【考点评析】本题考查了根据实际情况列代数式，一方面要掌握面积和周长的计算公式，另一方面要做好计算准确，不遗漏． 题型二 列代数式 【例2】（24-25七年级上·福建漳州·期中）某学校准备在网上订购一批某品牌羽毛球拍和羽毛球，在查阅网店后发现该品牌羽毛球拍每副定价200元，羽毛球每个定价5元，现有甲，乙两家网店均提供包邮服务，并提出各自的优惠方案： 甲网店：买1副羽毛球拍送5个羽毛球； 乙网店：羽毛球拍与羽毛球都按定价的90%付款． 已知学校要购买羽毛球拍20副，羽毛球x个()． (1)若在甲网店购买，需付款_______元；若在乙网店购买，需付款_________ 元；(用含x的式子表示) (2)若时，请你通过计算，说明此时在哪家网店购买较为合算？ (3)若时，你能给出一种最省钱的购买方案吗？请说明理由． 【答案】(1)，； (2)两家网店一样合算； (3)在甲网店买20副球拍赠送100个羽毛球，在乙网店买150个羽毛球，理由见解析． 【思路引导】本题考查了列代数式，有理数的混合运算． (1)根据题目中优惠方案：可得答案； (2)结合(1)，求出当时，两个网店所需付款，再比较即可得出答案； (3)首先求得当时，两个网店所需付款，再计算在甲网店买20副球拍100个羽毛球，在乙网店买150个羽毛球所需费用，比较即可获得答案． 【完整解答】（1）解：∵甲网店：买1副羽毛球拍送5个羽毛球， ∴若在甲网店购买，需付款元， ∵乙网店：羽毛球拍与羽毛球都按定价的付款， ∴若在乙网店购买，需付款元， 故答案为：，； （2）解：将分别代入甲、乙网店的购买方案所需付款的代数式， 在甲网店购买，需付款： (元)， 在乙网店购买，需付款： (元)， ∵， ∴此时两家网店一样合算； （3）解：将分别代入甲、乙网店的购买方案所需付款的代数式， 甲： (元)， 乙： (元)， 若在甲网店买20副球拍赠送100个羽毛球，在乙网店买150个羽毛球， 此时需付款：元， ∵， 最省钱的购买方案为：在甲网店买20副球拍赠送100个羽毛球，在乙网店买150个羽毛球． 【变式2-1】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是．动线段（点在点的右侧），从点与点重合的位置出发，以每秒个单位的速度向右运动，运动时间为秒． (1)①已知点表示的数是，试求点表示的数；②用含有的代数式表示点表示的数； (2)当时，求的值． (3)试问当线段在什么位置时，或的值始终保持不变？请求出它的值并说明此时线段的位置． 【答案】(1)① ；② (2)或 (3)在到之间，；在右边， 【思路引导】本题主要考查了数轴的综合应用，结合绝对值的性质进行化简计算是解题的关键． （1）根据和点的坐标可求出点，根据动点的特征进行判断即可； （2）根据题意分别表示出点和点对应的数，利用数轴上两点之间的距离表示方法表示出，计算即可得解； （3）分别表示出或，根据绝对值的性质找出零点的位置，然后分类讨论去绝对值符号即可． 【完整解答】（1）点表示的数是， ， 点表示的数为； 当点与点重合时， 此时点表示的数为， 当点开始运动时，此时点表示的数为； （2）运动秒后，点对应的数为，点对应的数为， ， ， 解得：或． （3） ， 当时， 此时，， ， ， ， 即点位于和之间； 同理可得：， 当时， 此时，， 此时， ， ，即点C位于点B的右边． 【变式2-2】（24-25七年级上·广东汕头·期中）某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 九折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)小林一次性购物520元，他实际付款 元．小卢一次性购物300元，他实际付款 元． (2)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款 元，当x大于或等于500元时，他实际付款 元． (3)如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为a元，用含a的代数式表示：两次购物王老师实际付款多少元？ 【答案】(1)； (2)； (3)元 【思路引导】本题主要考查了列代数式，有理数的四则混合计算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据所给的优惠标准列式计算即可； （2）根据所给的优惠标准列式计算即可； （3）根据题意可得王老师第二次购物的货款大于500元，根据所给优惠标准分别计算出两次购物的货款，二者求和即可得到答案． 【完整解答】（1）解：由题意得小林一次性购物520元，他实际付款（元）； 小卢一次性购物300元，他实际付款（元）； 故答案为：466；270； （2）解：由题意得，若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款元， 当x大于或等于500元时，他实际付款元； 故答案为：；； （3）解：∵王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为a元， ∴王老师第二次购物的货款大于500元， 元， 答：两次购物王老师实际付款元． 题型三 用代数式表示数、图形的规律 答｜题｜模｜板 1.观察序号与数值的关系：从具体到抽象 2.寻找运算规律：相邻项之间的差、比等关系 3.建立代数模型：用含n的代数式表示第n个数 4.验证模型：用前几项检验表达式的正确性 易｜错｜点｜拨 规律探索题的关键是找到序号n与对应数值之间的函数关系，注意有时需要分段讨论 【例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如下规律摆放： (1)第④个图案有___________张白色小正方形纸片； (2)第⑤个图案有___________张白色小正方形纸片； (3)第个图案有多少张白色小正方形纸片？ 【答案】(1)13 (2)16 (3) 【思路引导】（1）（2）（3）找到规律即可解答：第n个图案有张白色小正方形纸片．本题考查图形的规律，找到规律是解题关键． 【完整解答】（1）解：第①个图案有4个白色小正方形， 第②个图案有个白色小正方形， 第③个图案有个白色小正方形， 第④个图案有个白色小正方形， 故答案为：13； （2）解：第⑤个图案有个白色小正方形， 故答案为：16； （3）解：第n个图案有张白色小正方形纸片． 【变式3-1】（24-25七年级上·湖南·期末）幼儿园的小朋友聪聪用小木棒拼图，他在老师的指导下完成了前3个图形摆放（如图所示），如果按这种方式拼图，请解答下列问题． (1)填写下表： 图形编号 （1） （2） （3） （4） 木棒根数 (2)第个图形需要的木棒根数用代数式表示是___________ (3)有人说按这种方式拼图，其中有一个图形刚好用了100根木棒，他的说法对吗？如果正确，请指明是第几号图形、如果不正确，请说明理由． 【答案】(1)2，6，12，20 (2) (3)他的说法不正确，理由见解析 【思路引导】（1）通过观察得到图形（1）（2）（3）的木棒根数，再通过图形前后的规律即可得到图形（4）的木棒根数； （2）观察图形前后的规律，即可得到答案； （3）能找到两个连续的正整数，代入表示木棒根数的代数式求值，发现100在这两个值之间，说明不可能有一个图形刚好用了100根木棒． 本题考查图形类规律探究、解一元一次方程，关键是找出前后两个图形的变化规律． 【完整解答】（1）解：第1个图形需要根木棒， 第2个图形需要根木棒， 第3个图形需要根木棒， ∴第4个图形需要根木棒， 故答案为：2，6，12，20； （2）以此类推，第个图形需要根木棒； 故答案为：； （3）不正确，理由如下： 当，， 当，， ∵， ∴9和10之间不存在正整数满足题意． ∴不可能有一个图形刚好用了100根木棒，他的说法不正确． 【变式3-2】（24-25七年级上·湖北黄冈·期中）【基础演练】：观察下列等式 ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）猜想并写出：_____________ （2）直接写出下列各式的计算结果： ①__________________________________； ②________________________________________． 【举一反三】：（3）探究并计算：． 【拓广探索】：（4）为了求的值，可令，则，因此， 所以．． 仿照上面推理计算：求的值； 【答案】（1）；（2）①；②；（3）；（4） 【思路引导】此题主要考查了有理数的混合运算，数字的变化规律． （1）根据，，找到规律可得出答案； （2）①根据规律裂项后代入计算即可得出答案； ②根据规律裂项后代入计算即可得出答案； （3），其他项都类似计算后，代入抵消计算即可得答案； （4）设，则，进而得，由此可得出答案． 【完整解答】解：（1）∵，，， ∴， 故答案为：； （2）① ； ② ； （3） ； （4）设， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型四 代数式表示的实际意义 【例4】（2025七年级下·江苏无锡·专题练习）有几个同学搬砖，不知道每人搬几块，只知道剩下14块，如果每人搬9块，最后一人只搬6块，搬砖的一共几人？ 【答案】搬砖的一共17人 【思路引导】该题考查了代数式的应用，设共有人，总砖数不变：无论哪种分配方式，总砖数相同．新情况：前人各搬 9 块，最后 1 人搬 6 块，得出总砖数为，原情况：每人搬砖数为（总砖数剩余14 块）人数，据此解答即可． 【完整解答】解：设共有人， 则总砖数为块， ∴原来每人搬砖块， ∵，必须为正整数，因此需为整数，即是 17 的约数． 结合实际意义，唯一合理的解为． 答：搬砖的一共17人． 【变式4-1】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）甲、乙同学关于“代数式”的意义叙述，判断正确的是（   ） 甲：的倍与的和； 乙：苹果每千克元，香蕉每千克元，苹果和香蕉各买千克的总花费 A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．甲、乙的都正确 D．甲、乙的都不正确 【答案】B 【思路引导】本题考查了代数式的意义，根据甲、乙同学的叙述列出代数式，再进行判断即可求解，理解代数式的意义是解题的关键． 【完整解答】解：的倍与的和是，所以甲同学叙述错误； 苹果每千克元，香蕉每千克元，苹果和香蕉各买千克的总花费为元，所以乙同学叙述正确； 故选：． 【变式4-2】（24-25七年级上·陕西延安·期中）某公司将特色农副产品运往邻市市场进行销售，每辆车的平均速度与行驶时间如下表所示： 平均速度 75 80 90 行驶时间 (1)行驶的时间随着平均速度的变化怎样变化？ (2)分别用（单位：）和（单位：）表示平均速度和行驶时间，用式子表示与的关系，与成什么比例关系？ 【答案】(1)行驶时间随着平均速度的增大而减小 (2)与的关系用式子表示为；与成反比例关系 【思路引导】本题考查的是成反比例关系的含义，理解反比例关系是解本题的关键； （1）根据平均速度的变化结合时间的变化可得答案； （2）先计算从公司到邻市市场的距离为，再结合速度时间关系可得答案． 【完整解答】（1）解：观察表格可知，行驶时间随着平均速度的增大而减小． （2）解：∵速度时间距离， ∴从公司到邻市市场的距离为． ∴与的关系用式子表示为．           即与成反比例关系． 题型五 已知字母的值，求代数式的值 【例5】（25-26七年级上·全国·期中）如图，一扇窗户，窗框为铝合金材料，上面是由三个大小相等的扇形组成的半圆窗框构成，下面是由两个大小相等的长，宽的长方形窗框构成，窗户全部安装玻璃．（本题中取3，长度单位为米） (1)一扇这样窗户一共需要铝合金多少米？（用含，的式子表示） (2)一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米？铝合金窗框宽度忽略不计（用含，的式子表示） (3)某公司需要购进10扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如表报价： 铝合金（元/米） 玻璃（元/平方米） 甲厂商 180 不超过100平方米的部分，90元/平方米；超过100平方米的部分，70元/平方米 乙厂商 200 80元/平方米，每购一平方米玻璃送0.1米铝合金 当，时，该公司在哪家厂商购买窗户合算？ 【答案】(1)一扇这样窗户一共需要铝合金米； (2)一扇这样窗户一共需要玻璃平方米； (3)该公司在甲厂商购买窗户合算． 【思路引导】本题考查列代数式，代数式求值，有理数混合运算的实际应用． （1）求出制作窗框的铝合金材料的总长度即可； （2）用长方形面积加半圆形的面积，求出窗户的面积即可； （3）分别求出甲、乙的费用，比较大小即可判断． 【完整解答】（1）解：根据题意得， ∵取3， ∴ ， 答：一扇这样窗户一共需要铝合金米． （2）解：根据题意得 ∵取3， ∴ ， 答：一扇这样窗户一共需要玻璃平方米． （3）解：当，时， 铝合金长：（米）， 玻璃面积：（平方米）， 甲：（元）， 乙：（元）， ∵， ∴在甲厂商购买窗户合算． 答：该公司在甲厂商购买窗户合算． 【变式5-1】（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）若，． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)7或3或或 (2)或 【思路引导】本题考查了代数式求值，绝对值的知识，掌握绝对值的定义和性质是关键． （1）首先利用绝对值的定义得到a与b的值，然后代入计算即可； （2）由绝对值的非负性判断得到a与b的值，然后代入计算即可得到结果． 【完整解答】（1）解：∵，， ∴或，或， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 综上所述，的值7或3或或； （2）解：∵， ∴，即， ∴，或， 当，时，则， 当，时，则． 综上，值为或． 【变式5-2】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）小明家买了一套住房有三个卧室，其中A卧室的地面面积为，B卧室的地面面积为，设C卧室地面面积的数值为m，且；（单位：平方米） (1)求m的值（用含有x、y的式子表示） (2)小明想把所有卧室的地面都铺上地砖，恰好每平方米地砖费用也是m元，且满足，求铺地砖的总费用是多少元？ 【答案】(1) (2)2160元 【思路引导】本题考查了平方的非负性、绝对值的非负性、含乘方的有理数的混合运算． （1）直接根据题意列式计算即可； （2）先将代入得到，再根据非负性得到，再求出A、B、C、m的值，最后计算价钱即可． 【完整解答】（1）∵，，， ∴ ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ∴， ∴总费用（元）， 故铺地砖的总费用是2160元． 题型六 已知式子的值，求代数式的值 【例6】（25-26七年级上·重庆·阶段练习）（1）已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，，求代数式的值． （2）已知有理数a、b满足，且，求的值． 【答案】（1）38或58；（2）或 【思路引导】本题主要考查了倒数、相反数、绝对值的性质以及代数式求值，熟练掌握倒数的定义（若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数）、相反数的定义（绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数，且互为相反数的两个数和为0）、绝对值的性质（正数和的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）是解题的关键． （1）根据a、b互为倒数，c、d互为相反数，可得，最后分情况讨论即可； （2）根据，且可得，，最后分情况讨论即可． 【完整解答】解：（1）∵a、b互为倒数，c、d互为相反数，， ∴， ∴当时， ， 当时， ； （2）∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， ∴当，时， ， 当，时， ． 【变式6-1】（25-26七年级上·甘肃临夏·阶段练习）已知，且，则的值为（   ） A．或 B．11或5 C．11或 D．5或 【答案】D 【思路引导】本题考查了绝对值，有理数的乘法，根据得到，结合，分类计算即可． 【完整解答】解：∵， ∴， ∵， ∴或， ∴或． 故选：D． 【变式6-2】（23-24七年级上·江苏·周测）整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）如果，求的值； （2）当时，代数式的值为，当时，求代数式的值；（用含的代数式表示） 【拓展应用】 （3）周末爸爸妈妈带着小明和妹妹在小区的休闲区运动．爸爸和小明在休闲区的环形跑道上跑步，两人相距20米，同时反向运动，小明的速度是，爸爸的速度是 ，经过两人第一次相遇．妈妈带着妹妹做追逐游戏，妹妹在妈妈前面，两人同时同向起跑，妹妹的速度是，妈妈的速度也是，经过，妈妈追上妹妹． ①休闲区的环形跑道周长是_____________m；（用含的代数式表示） ②起跑时，妹妹站在妈妈前面_____________m；（用含的代数式表示） ③若休闲区的环形跑道周长是，起跑时妹妹站在妈妈前面，综合上述信息求代数式的值． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②，③ 【思路引导】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知整式的运算法则及整体法的运用． （1）先将原式化简，再进行整体代入即可求解； （2）先根据题意得出，然后把变形后整体代入即可求解； （3）①根据小明的路程+爸爸的路程起跑时两人间的距离跑道周长即可求解； ②根据妈妈的路程妹妹的路程起跑时两人间的距离即可求解； ③先根据题意求出，，然后把原式变形后整体代入计算即可． 【完整解答】解：（1）∵， ∴ ； （2）当时，代数式的值为， ∴， ∴， ∴当时， ； （3）①根据题意，得跑道周长为； ②根据题意，得妹妹站在妈妈前面； ③根据题意，得，， ∴，， ∴ ． 题型七 程序流程图与代数式求值 【例7】（22-23七年级上·湖北武汉·开学考试）按下面的程序计算： 若输入，输出结果是501；若输入，输出结果是631．若开始输入的值为整数，最后输出的结果为556，则开始输入的值可能是( ) 【答案】22或111 【思路引导】本题考查了程序流程图，一元一次方程的应用等知识，根据题意列方程求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【完整解答】解：如果第一次输入值后结果大于500，输出结果为556，则：，解得： ， 如果前几次的结果都小于500，最后一次输出结果为556，那么在最后一次输出结果时的 值为，输出结果为时的值为：，解得：， 依此类推，，解得：，不是整数， ∴开始输入的的所有可能的值为22或111， 故答案为：22或111． 【变式7-1】（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是7，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，依次继续下去…，第2024次输出的结果是（    ） A．3 B．6 C．2 D．8 【答案】B 【思路引导】本题考查对程序框图的理解，以及根据数字找规律，根据程序框图计算出后面几次的输出结果，根据输出结果的特点，找出其规律，即可解题． 【完整解答】解：由题知，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6， 为偶数，， 第3次输出的结果是3， 为奇数，， 第4次输出的结果是8， 为偶数，， 第5次输出的结果是4， 为偶数，， 第6次输出的结果是2， 为偶数，， 第7次输出的结果是1， 为奇数，， 第8次输出的结果是6， 综上可知，除第1次外，剩下的输出结果6个一循环，且循环规律为6、3、8、4、2、1， ， 第2024次输出的结果是6． 故选：B． 【变式7-1】2（24-25七年级上·四川巴中·期末）有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4，依次继续下去，第2021次输出的结果是（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【思路引导】根据流程图求出第4次、第5次的输出结果，发现除去前2次的输出结果，后面的输出结果以4，2，1为一个循环，用2021减去2，再除以3，即可求出结果． 【完整解答】解：第1次输出结果是16， 第2次输出结果是8， 第3次输出结果是4， 第4次输出结果是， 第5次输出结果是， 第6次输出结果是， 下面开始循环， 除去前2次的输出结果，后面的输出结果以4，2，1为一个循环， ， ∴第2021次输出结果是1． 故选：A． 【考点评析】本题考查找规律，解题的关键是掌握循环问题的解决方法． 题型八 用表格表示变量间的关系 【例8】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是汽车加油站在加油过程中，加油器仪表某一瞬间的显示，则加油过程中的常量是 ，变量是 ． 【答案】 单价 数量，金额 【思路引导】本题考查常量、变量的定义，牢记相关的知识点是解题关键． 根据事物变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量求解即可． 【完整解答】解：加油过程中，单价×数量=总价，此时，单价是常量，数量和金额是变量． 故答案为：单价；数量，金额． 【变式8-1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）下表列出了一项实验的统计数据，表示皮球从高处落下时，弹跳高度（单位：cm）与下落高度（单位：）之间的关系，若下落高度，则弹跳高度的值是（   ） 50 100 150 25 50 75 A．100 B．95 C．90 D．105 【答案】A 【思路引导】本题是对函数表格的考查．观察表格发现下落高度d都是弹跳高度的2倍，据此求解即可． 【完整解答】解：观察表格发现下落高度d都是弹跳高度的2倍， 则下落高度，则弹跳高度的值是． 故选：A． 【变式8-2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）水钟在我国又称漏刻、漏壶，是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小志依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间 1 2 3 4 5 6 水的高度 1.5 3 4.5 6 7.5 9 下列说法中，不正确的是（    ） A．上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系 B．当容器中水的高度为时，对应的时间为 C．当经过的时间为时，容器中水的高度是 D．时间每增加，容器中水的高度增加 【答案】B 【思路引导】本题考查了用表格表示两个变量之间的关系，正确从表格获取信息是解题的关键． 根据表格的信息即可求解． 【完整解答】解：A、上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系，正确，不符合题意； B、当容器中水的高度为时，对应的时间为，该选项错误，故符合题意； C、当经过的时间为时，容器中水的高度是，正确，不符合题意； D、由表格可得时间每增加，容器中水的高度增加，正确，不符合题意； 故选：B． 题型九 用关系式表示变量间的关系 【例9】（24-25七年级下·辽宁辽阳·期末）我国是一个严重的缺水的国家，大家应加倍珍惜水资源，节约用水，据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下滴水，每滴水约毫升，小明同学在洗手后，没有把水龙头拧紧，设小明离开小时后，水龙头滴了毫升水，则关于的关系式是 ，因变量是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了用关系式表示变量之间的关系，找到所求量的等量关系是解答的关键．根据题意，由毫升时间每秒钟的滴水量进行解答即可． 【完整解答】解：∵拧不紧的水龙头每秒会滴下滴水，每滴水约毫升， ∴离开小时滴的水为， ∴，其中毫升是因变量． 故答案为：，． 【变式9-1】（24-25七年级上·广东中山·阶段练习）甲乙两城之间的高速公路上，行驶着下面几辆车．每辆车的平均速度与驶完全程所需的时间如下表． 车辆 大客车 小货车 小轿车 大货车 平均速度（千米/时） 90 75 100 60 时间（小时） 3.2 2.4 4 (1)如果用V表示车辆的平均速度，T表示驶完全程所需的时间．T与V成什么比例关系？再写出这个关系式． (2)王师傅从甲城开车走高速公路去乙城办事，想在3小时内到达．那么他开车的平均速度不能低于多少千米/时？ 【答案】(1)与成反比例关系，关系式为． (2)开车的平均速度不能低于千米/时． 【思路引导】本题主要考查了反比例关系的判断以及行程问题中速度、时间、路程的关系，熟练掌握反比例的定义和速度、时间、路程的关系式是解题的关键． （1）通过计算不同车辆平均速度与时间的乘积，判断与的比例关系，进而得出关系式． （2）先根据表格数据求出甲乙两城之间的路程，再根据时间求出最低平均速度． 【完整解答】（1）解：大客车： 小货车： 小轿车： 大货车： 因为（定值）， 所以与成反比例关系，关系式为． （2）解：由（1）知路程千米， （千米/时）， 答：开车的平均速度不能低于千米/时． 【变式9-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）声音在空气中的传播速度（单位：）与温度（单位：）的部分关系如下表所示： … 1 2 3 … … … 则传播速度与温度之间的关系式为 ． 【答案】 【思路引导】此题主要考查了根据表格数据找出两个量之间的关系，通过表格中的对应值可以得出温度每增加速度增加，由此可得出传播速度与温度之间的关系式，解题的关键是读懂表格． 【完整解答】解：由表格中的对应值可以得出：温度每升高℃，速度增加m/s， ∴温度每升高℃，速度增加 m/s， 传播速度与温度之间的关系式为：． 故答案为：． 题型十 用图象表示变量间的关系 【例10】（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）甲、乙在一条直线跑道上匀速跑步，乙先跑，甲出发时，乙已经距起点100米了，他们距起点的距离s（米）与甲出发的时间t（秒）之间的关系如图（不完整），根据图中信息，解答下列问题： (1)在上述变化过程中，自变量是________，因变量是__________． (2)甲的速度为______米/秒，乙的速度为______米/秒． (3)当甲追上乙时，求甲距起点的距离． 【答案】(1)甲出发的时间t；距起点的距离s (2)6； (3)当甲追上乙时，甲距起点的距离为225米 【思路引导】本题考查了利用图象表示变量之间的关系，常量与变量，体现了方程思想，当甲第1次追上乙时，根据所跑路程相等列出方程求出t是解题的关键． （1）根据图象的横轴表示自变量，纵轴表示因变量即可得出答案； （2）根据甲100秒跑了600米，乙150秒跑了（米）计算速度即可； （3）设t秒时，甲第1次追上乙，根据所跑路程相等列出方程求出t，进而得到甲距起点的距离． 【完整解答】（1）解：在上述变化过程中，自变量是甲出发的时间t，因变量是他们距起点的距离s． 故答案为：甲出发的时间t；他们距起点的距离s． （2）解：甲的速度为：（米/秒）， 乙的跑步速度为： （米/秒）． 故答案为：6；． （3）解：设t秒时，甲追上乙， 根据题意得： 解得： ， 则（米）， 答：当甲追上乙时，甲距起点的距离为225米． 【变式10-1】（24-25七年级下·河南周口·期末）如图表示一辆汽车在行驶途中的速度（千米时）随时间（分）的变化示意图． (1)从点到点、点到点、点到点分别表明汽车在什么状态？ (2)分段描述汽车在第0分钟到第28分钟的行驶情况． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查利用图象表示变量之间的关系，正确理解图象中点的坐标表示的意义是解决问题的关键． （1）根据图象的变化趋势，可得汽车的状态； （2）根据图象的变化，可得答案； 【完整解答】（1）解：由平行于横轴，得从点到点汽车以 30 千米时匀速行驶； 点到点汽车在加速行驶； 点到点汽车在减速行驶； （2）解：从、、是匀加速运动， 从、是匀减速运动， 从、、是匀速运动，汽车静止． 【变式10-2】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【图象问题】已知动点P 以每秒 的速度沿图1边框按的路线移动，相应的三角形 的面积S与时间t之间的关系如图2中的图象所示．若 ，则图1中的图形面积是 ，图2中的a和b的值分别是 和 ．（写出简要过程） 【答案】；24；17 【思路引导】本题考查了从图象获取信息，面积的计算等，从图象获取准确的信息并利用路程等于速度乘时间得到各边的长是解题的关键．根据题意，利用路程速度时间，计算得到、、的长度，即可得到图形的面积和a的值，然后计算得到的长度和在上运动的时间，从而得到的长度和在上运动的时间，即可得到值． 【完整解答】解：根据题意可知， 动点P在上运动时，对应的时间为0到4秒，得， 动点P在上运动时，对应的时间为4到6秒，得， 动点P在上运动时，对应的时间为6到9秒，得， 因为， 所以， 所以上运动的时间为秒， 所以图1中的图形面积为，； 因为， 所以上运动时间为秒， 所以， 故答案为：；24；17． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）星光文教用品店把一种文具按成本价元提高标价，然后再以八折优惠卖出，则这种文具的售价为（   ）元 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系，列出代数式．根据每件成本价m元，提高得出标价的价格，再根据标价的八折出售，即可列出代数式． 【完整解答】解：根据题意（元）， ∴这种文具的售价为元． 故选：A． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若的相反数是，，的倒数为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【思路引导】本题考查相反数、倒数、绝对值的定义、代数式求值，先根据相反数和倒数的定义、绝对值的性质求得，然后代入数值求解即可． 【完整解答】解：∵的相反数是， ∴， ∵， ∴， ∵的倒数为， ∴， 若，，，则， 若，，，则， ∴的值为或， 故选：D． 3．（24-25七年级下·河北保定·期中）油箱中存油18升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间（分钟）的关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了用关系式表示变量间的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据“油箱中剩余的油量=原有存油量-流出的油量”进行列式，表达即可作答． 【完整解答】解：∵油箱中存油18升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟， 则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间（分钟）的关系式是， 故选：D． 4．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知有理数、、在数轴上的对应点分别为、、，点表示原点若，、两点间的距离为，则的值为 ．    【答案】 【思路引导】本题主要考查有理数的加减混合运算、数轴、绝对值，根据已知条件可得，进而得出答案． 【完整解答】解：，且点在原点的左侧， ， 由图可知，， 则原式 ． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若，互为倒数，，互为相反数，为最大的负整数，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了倒数和相反数的定义，代数式求值，解题的关键是熟练掌握互为倒数的两个数的积为1，最大的负整数为，互为相反数的两个数的和为0．根据倒数、相反数的性质可得，，最大的负整数为，再整体代入计算即可． 【完整解答】解：∵，互为倒数，，互为相反数，为最大的负整数， ∴，，， ∴． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）若a 与 b 互为相反数，且，m 与n 互为倒数，则 【答案】 【思路引导】本题考查了相反数，倒数，代数式求值，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 利用相反数，倒数的定义求出的值，代入原式计算即可得到结果． 【完整解答】解：和互为相反数，且，和互为倒数， ，， ∴原式． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）定义一种新运算“※”：．例如： (1)计算：的值； (2)若与的值相等吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不相等，理由见解析 【思路引导】此题考查了求代数式的值，熟练掌握定义的新运算顺序是解题的关键． （1）根据定义的新运算计算即可； （2）分别根据定义的新运算计算与的值，比较即可． 【完整解答】（1）解：∵， ∴ ； （2）不相等，理由如下： ； ， ∴与的值不相等． 8．（24-25七年级上·浙江·期中）某电信公司手机收费有两种方案． 方案一：月租费36元，本地通话费0.4元/分； 方案二：不收月租费，本地通话费0.6元/分； (1)某用户某月打电话时间为x分，则 方案一收费方式下应支付的费用为______元； 方案二收费方式下应支付的费用为______元； (2)若某用户估计一个月打电话的时间为5小时，你认为哪种收费方式比较合算，为什么？ 【答案】(1)； (2)方案一收费比较合算，理由见解析 【思路引导】本题考查了列代数式，代数式的求值，表示费用的时候注意单位的统一，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系； （1）支付的费用单价通话时间月租费，方案一有月租费，单价较低；方案二没有月租费，但单价较高； （2）分别计算两个方案的费用，选择费用较低那个方案即可. 【完整解答】（1）解：方案一收费方式下应支付的费用为：元 方案二收费方式下应支付的费用为：元 （2）解：当一个月打电话的时间为5小时 5小时300分钟 方案一支付的费用：（元） 方案二支付的费用：（元） ∴方案一收费比较合算 9．（24-25七年级上·湖北襄阳·期中）如图，某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为，半圆形弯道的直径为． (1)用代数式表示这条跑道的周长； (2)当，时，求这条跑道的周长（取，结果取整数．） 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查代数式和代数式求值，解题关键是用代数式表示数量关系． （1）周长等于两个直道与一个圆的周长的和，列式表达即可； （2）根据求代数式的值的基本步骤，计算当，时，的值即可． 【完整解答】（1）解：根据题意，周长等于两个直道与一个圆的周长的和，故周长为． （2）解：当，时， ， 答：这条跑道的周长约． 10．（24-25七年级上·广东韶关·期中）项目式学习． 【项目主题】校园分布图制作． 【项目背景】为了让初一新生更快熟悉校园生活，善思小组成员准备为初一新生制作简易版校园分布图． 【实践操作】操作一：善思小组根据校园的活动区域分布，将校园分布图分为教学区、操场、学生活动中心、图书馆四个主要区域； 操作二：根据小组成员的实际测量与记录，绘制如图所示的校园总体分布图（单位：m）． 【项目思考】 (1)用整式表示这个学校的操场和学生活动中心一共占地多少面积； (2)若，，求这个学校的操场和学生活动中心一共占地多少面积． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了列代数式，代数式求值，解题的关键是理解题意，熟练掌握长方形的面积公式． （1）根据长方形的边长和面积公式表示出学校的操场和学生活动中心一共占地的面积即可；（2）将，，然后代入求值即可． 【完整解答】（1）解：学校操场的占地面积为， 学生活动中心的占地面积为， 这个学校的操场和学生活动中心一共占地面积为： ； （2）把，代入得： 原式， 答：这个学校的操场和学生活动中心一共占地． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·全国·期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则的值为（   ） A．3 B．3或 C．4 D．3或4 【答案】A 【思路引导】此题考查了代数式求值，相反数，绝对值，以及倒数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．利用相反数，倒数，以及绝对值的定义分别求出，以及m的值，代入所求式子计算即可求出值． 【完整解答】解：根据题意得：，，或， 当时，原式； 当时，原式． 故选：A． 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，若输入x的值为10，则输出的值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【思路引导】本题主要考查代数式求值，根据数值转换机的要求需要两次输入才行．根据数值转换机列代数式，再代入计算即可求解． 【完整解答】解：由题意得当时，，故继续输入， 当时，，故输出的值为8． 故选：C． 3．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为，则的值为（ 　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【思路引导】本题考查了相反数的定义、倒数的定义、绝对值的意义、求代数式的值，由题意可得，，，再分两种情况，分别代入所求代数式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【完整解答】解：∵，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为， ∴，，， 当时，原式， 当时，原式， 综上所述，的值为或， 故选：A． 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如果、的绝对值相等，且代数式的值为0，那么的值为 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了根据绝对值的定义和代数式求值，解题的关键是分情况讨论和两种可能性． 根据、绝对值相等，分和两种情况，代入代数式，分别求解的值． 【完整解答】因为、的绝对值相等， 所以或． 当时，将代入，得 ， 即， 解得． 当时，将代入，得 ， 即， 解得． 所以的值为或． 5．（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知是关于的恒等式，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了求代数式的值，令，则，令，则，由此计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【完整解答】解：令，则，即， 令，则，即， 由可得：， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知，，则代数式的值为 ． 【答案】49 【思路引导】本题考查了代数式求值以及整体代入思想，解题的关键是先求出的值，再对代数式进行变形，最后利用整体代入的方法计算出结果． 先通过已知条件求出的值，再将代数式变形为含有和的形式，然后代入求值． 【完整解答】 ，， ，即， 对代数式变形：， 把代入变形后的式子可得：， 代数式的值为49， 故答案为：49． 7．用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如下规律摆放： (1)第④个图案有___________张白色小正方形纸片； (2)第⑤个图案有___________张白色小正方形纸片； (3)第个图案有多少张白色小正方形纸片？ 【答案】(1)13 (2)16 (3) 【思路引导】（1）（2）（3）找到规律即可解答：第n个图案有张白色小正方形纸片．本题考查图形的规律，找到规律是解题关键． 【完整解答】（1）解：第①个图案有4个白色小正方形， 第②个图案有个白色小正方形， 第③个图案有个白色小正方形， 第④个图案有个白色小正方形， 故答案为：13； （2）解：第⑤个图案有个白色小正方形， 故答案为：16； （3）解：第n个图案有张白色小正方形纸片． 8．（25-26七年级上·全国·期中）如图，一扇窗户，窗框为铝合金材料，上面是由三个大小相等的扇形组成的半圆窗框构成，下面是由两个大小相等的长，宽的长方形窗框构成，窗户全部安装玻璃．（本题中取3，长度单位为米） (1)一扇这样窗户一共需要铝合金多少米？（用含，的式子表示） (2)一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米？铝合金窗框宽度忽略不计（用含，的式子表示） (3)某公司需要购进10扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如表报价： 铝合金（元/米） 玻璃（元/平方米） 甲厂商 180 不超过100平方米的部分，90元/平方米；超过100平方米的部分，70元/平方米 乙厂商 200 80元/平方米，每购一平方米玻璃送0.1米铝合金 当，时，该公司在哪家厂商购买窗户合算？ 【答案】(1)一扇这样窗户一共需要铝合金米； (2)一扇这样窗户一共需要玻璃平方米； (3)该公司在甲厂商购买窗户合算． 【思路引导】本题考查列代数式，代数式求值，有理数混合运算的实际应用． （1）求出制作窗框的铝合金材料的总长度即可； （2）用长方形面积加半圆形的面积，求出窗户的面积即可； （3）分别求出甲、乙的费用，比较大小即可判断． 【完整解答】（1）解：根据题意得， ∵取3， ∴ ， 答：一扇这样窗户一共需要铝合金米． （2）解：根据题意得 ∵取3， ∴ ， 答：一扇这样窗户一共需要玻璃平方米． （3）解：当，时， 铝合金长：（米）， 玻璃面积：（平方米）， 甲：（元）， 乙：（元）， ∵， ∴在甲厂商购买窗户合算． 答：该公司在甲厂商购买窗户合算． 9．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）阅读与思考 滴滴打车是目前国内最受欢迎的网约车平台之一，为了给用户提供便捷、安全的出行服务，滴滴打车制定了一套收费规则：1．起步价：滴滴打车的起步价为10元，乘客预约用车、取消订单等情况都会收取起步价．2．里程费：起步里程3公里，超过3公里的部分，将按1.5 元/公里的标准收取里程费用．3．时长费：起步时间8分钟，超过8分钟的部分，将按0.25元/分钟的标准收取时长费用． 注：车费由里程费、时长费、起步价构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算．任务： (1)若小爱同学乘坐滴滴打车，行车里程为28公里，行车时间为5分钟，需付车费 ． (2)若小爱同学乘坐滴滴打车，行车里程为a（）公里，行车时间为b（）分钟，则应付车费多少元？（列代数式、化简） (3)若小爱同学从家出发，乘坐滴滴打车到杭州体育馆观看亚运会，行车里程为18 公里，行车时间为 20分钟，则需付车费多少元？ 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了列代数式，化简代数式，代数求值等，解题的关键是理解题意． （1）根据收费方式，列出代数求值即可； （2）根据收费方式，列出代数式，然后化简即可； （3）根据（2）中的代数式，将代入求值即可． 【完整解答】（1）解：（元）， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 所以，应付车费元； （3）解：由（2）得，当时， （元） 所以，需付车费元． 10．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与探究 商品条形码在生活中随处可见，它是商品的“身份证”．商品条形码由位数字组成，每位数字都是到之间的整数，第位数字表示校验码．校验码的作用是校验商品条形码中前12位数字代码的正确性，它的编制是按照特定算法得来的．如图，求校验码的过程如下： 步骤：求前位数字中偶数位上的数字之和． 步骤：求前位数字中奇数位上的数字之和． 步骤：求与的和． 步骤：取不小于且为的整数倍的最小值． 步骤：求与的差就是校验码，即校验码的值为． (1)若某商品条形码为，则校验码的值为___________． (2)如图，某商品条形码中的一个数字被墨水污染了，设这个数字为，求步骤中的（用只含有的代数式表示），并求出当时，校验码的值． (3)如图，某商品条形码中的两个数字被墨水污染了，若这两个数字相同，请直接写出这个数字． 【答案】(1) (2)步骤中的，当时，校验码的值为 (3)或 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，整式的加减，读懂商品条形码中的校验码的算法是解题的关键． （1）根据步骤到步骤进行计算即可； （2）根据步骤到步骤进行求出与的关系式，再根据的取值，进行步骤和步骤计算即可； （3）设被污染的两个数字为， 求出与的关系式，再根据和的取值情况进行计算即可． 【完整解答】（1）解：步骤：． 步骤：． 步骤：． 步骤：取不小于且为的整数倍的最小值． 步骤：校验码，即校验码的值为． 故答案为：． （2）解：步骤：． 步骤：． 步骤：． 当时，， 步骤：取不小于且为的整数倍的最小值． 步骤：校验码，即校验码的值为． 故步骤中的，当时，校验码的值为． （3） 解：设被污染的两个数字为， 步骤：． 步骤：． 步骤：． 步骤：且为的整数倍的最小值． 步骤：校验码， ， 且为整数， 当时，，为的整数倍， 当时，，为的整数倍， 所以，被墨水污染了的这两个数字为或． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26七年级上·吉林长春·期中）已知，则的值等于(    ) A．1 B． C．4049 D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了代数式求值，非负数的性质；根据绝对值与偶次幂的非负性，求得，，代入计算，即可求解． 【完整解答】解：∵ ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）如果，那么代数式的值是（    ） A． B．1 C．3 D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了代数式求值，把变形为，再整体代入计算即可． 【完整解答】解：∵， ∴ ． 故选：D． 3．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）按下面的程序计算：                                        当输入时，输出结果是299；当输入时，输出结果是446；如果输入的值是正整数，输出结果是257，那么满足条件的的值最多有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键． 【完整解答】解：第一次直接输出结果时，则有， 解得， 第二次才能输出结果时，输入x，计算结果，小于251，作为新值再次输入，此时输出结果为257，故， 解得； 第三次才能输出结果时，输入x，计算结果，小于251，作为新值再次输入，此时新值为，继续输入，此时输出结果为257， 故， 解得； 第四次才能输出结果时，输入x，计算结果，小于251，作为新值再次输入，此时新值为，继续输入，还小于251，此时新值为， 继续输入，此时输出结果为257， 故， 解得；不符合题意，舍去， 故选：C． 4．（24-25七年级下·四川内江·期中）若，则 ． 【答案】1 【思路引导】根据非负数的性质，得，确定两个字母的值，代入解答即可． 本题考查了非负性的性质，求代数式的值，熟练掌握非负数的性质是解题的关键． 【完整解答】解：由， 得， 解得， 故， 故答案为：1． 5．（24-25七年级上·山东济宁·期中）对于有理数，，若规定，则当，时， ． 【答案】9 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．根据规定列式计算即可． 【完整解答】解：当，时，， ， 故答案为：9． 6．（24-25七年级上·河南许昌·期中）莫高窟坐落于河西走廊西部的尽头——敦煌，是我国古代文明的璀璨艺术宝库．莫高窟保存壁画4.5万多平方米，具有独特的形式美感和艺术魅力．小明在观摩莫高窟壁画纹样时发现了一组图案（如图所示），其中第1个图案中有5个花朵图案，第2个图案中有8个花朵图案，第3个图案中有11个花朵图案，…，按此规律排列下去，则第2024个图案中花朵图案的个数为 ． 【答案】6074 【思路引导】本题考查数字变化规律探究，根据已知数据得出花朵数量与图案序号的关系，即可求解． 【完整解答】解：第1个图案中有5个花朵图案，； 第2个图案中有8个花朵图案，； 第3个图案中有11个花朵图案，； 以此类推，第n个图案中花朵图案的个数为：； 因此第2024个图案中花朵图案的个数为：， 故答案为：6074． 7．（24-25七年级上·广东佛山·期中）观察下列算式：…，用你所发现的规律，写出的末位数字是 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查数字的规律探究，根据已知数据得出2的n次幂的末尾数字的变化规律，利用规律求解． 【完整解答】解：由题意知， 2的1、2、3、4、5、6、7、8次幂的末尾数字是2、4、8、6、2、4、8、6， 所以2的n次幂中每隔4个数它的末尾数字循环一次，依次为2、4、8、6， ， 所以的末位数字与的末位数字相同，为2； 故答案为：2． 8．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）如图，正方形的边长为，线段的长是线段的长是3． (1)用含、的代数式表示： ； ； (2)根据图中数据，用含、的代数式表示阴影部分的面积； (3)当，时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)；； (2)； (3)33 【思路引导】本题考查了列代数式，代数式求值． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据正方形的一半减去左下角的小三角形的面积，即可求解； （3）将，代入（2）中代数式，即可求解． 【完整解答】（1）解：由题意可知：， ，， 故答案为：，； （2）阴影部分的面积= ； （3）当时，阴影部分的面积为： ， 所以阴影部分的面积为33． 9．（24-25七年级上·北京·期中）关于x的算式，当x取任意一组相反数m与时，若式子的值相等，则称之为“偶代数式”；若式子的值互为相反数，则称之为“奇代数式”．例如算式是“偶代数式”，是“奇代数式”． (1)以下算式中，是“偶代数式”的有______，是“奇代数式”的有______；（将正确选项的序号填写在横线上） ①；②；③ (2)对于整式，当x分别取2与时，求整式的值分别是多少． (3)对于整式，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，求这九个整式的值之和． 【答案】(1)①③；② (2)当时，整式值为；当时，整式值为 (3) 【思路引导】本题考查代数式求值，涉及新定义， （1）根据定义即可判定； （2）分别代入计算即可； （3）、、是“奇代数式”， 分别取，，，，，，，，时，它们的和为0，只需计算九个式子中的即可； 解题的关键是理解“偶代数式”与“奇代数式”的定义并会运用． 【完整解答】（1）解：∵，，， ∴“偶代数式”有①③；“奇代数式”有②， 故答案为：①③；②； （2）解：当时，原式， ∴整式值为； 当时，原式， ∴整式值为； （3）解：∵、、是“奇代数式”， ∴分别取，，，，，，，，时，它们的和为， 而是“偶代数式”， ∴分别取，，，，，，，，时 九个整式的值之和是： ， ∴这九个整式的值之和是69． 10．（24-25七年级上·福建漳州·期中）数学学习中，利用图形验证数学结论是一种非常重要的方法，如图①，一边长都为a的三个小长方形可拼成一个大长方形，大长方形面积可表示为，看成三个小长方形，那么面积可分别表示为，这验证了乘法对加法的分配律：． 探究1：如图②，用两个边长分别为a、b的小正方形和两个长方形，拼成大正方形，观察图形完成下列填空． （1）大正方形面积可表示为 ； （2） （其中，，填“”、“”或“”． （3）对比图②、图③，可得图③中阴影部分长方形的面积为 ． （用含a、b的代数式表示） 探究2：计算 ． 如图④，第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为 ，空白部分的面积为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…； （4）求第3次分割后空白部分的面积为_______； （5）根据第6次分割图可得： ； 因此 ． （6）根据第n次分割图可得： 【答案】（1）；（2）（3）；（4）（5），；（6） 【思路引导】本题考查列代数式，根据图形的面积求解即可； （1）根据正方形面积公式列代数式即可； （2）根据图形面积比较大小即可； （3）根据阴影部分面积为大正方形减去周围四个三角形面积求解即可； （4）根据每分割一次剩余空白部分面积就乘以求解即； （5）根据第6次分割后，阴影部分的面积之和为 ，空白部分的面积为，求解即可； （6）根据第次分割图得规律求解即可． 【完整解答】解： （1）大正方形面积可表示为， 故答案为：； （2）由图可以发现面积为的图形是大正方形的一部分， ∴ ， 故答案为：． （3）对比图②可得大正方形面积为， ∴可得图③中阴影部分长方形的面积为， 故答案为：； 如图④， ，…； （4）第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为，空白部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为 ，空白部分的面积为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为 ，空白部分的面积为， 故答案为：； （5）根据第6次分割后，阴影部分的面积之和为 ，空白部分的面积为， ∴， 因此 故答案为：，； （6）根据第n次分割图可得：阴影部分的面积之和为 ，空白部分的面积为， ∴， 因此 ， 故答案为：． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $