专题01 有理数及其运算（必备知识+15大题型+分层训练）（期末复习讲义）七年级数学上学期新教材青岛版

专题01 有理数及其运算（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 有理数的运算 能准确运算并解决应用题 必考点，易错运算顺序或符号括号 科学记数法 能用科学记数法表示数，理解规则 小题必考，易错确定的值 有理数的实际应用 能运用有理数解决实际问题，熟练使用科学记数法解决问题，建立数学模型 综合应用题必考，需要强化建模能力 知识点01：有理数的分类 注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界； （2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数． （3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数． 知识要点：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 知识点02：数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线． 知识要点：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 知识点03：相反数 只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 知识要点：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 知识点04：绝对值 （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 知识点05：有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 知识点06 有理数的加法 （1）有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） （2）相关运算律 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 知识点07 有理数的减法 （1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 知识点08 有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 知识点09 有理数的乘法法则 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 知识点10 倒数的概念 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点11 有理数的乘法运算律 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 知识点12 多个有理数相乘 多个有理数相乘的法则： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点13 有理数除法法则 1. 有理数除法法则一：除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数. 用字母表示：a÷b=a·(b ≠ 0). 2. 有理数除法法则二 两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0 除以任何一个不等于0 的数，都得0 . 方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 知识点14 有理数的乘除混合运算 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 知识点15 有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算顺序 在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的. 在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算. 知识点16 有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 知识点17 非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点18 有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 知识点19 近似数和有效数字 （1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （3）规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前 者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 知识点20 科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规 律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是 前面多一个负号． 题型一 数轴上两点之间的距离 【例1】（25-26七年级上·江苏常州·期中）A、B、C是数轴上的三个点，点A、B表示的数分别是、4，若，则点C表示的数是 ． 【变式】（25-26七年级上·江西上饶·期中）若A，B，M是数轴上不同的三点，且点A表示的数为，点B表示的数为3，点M表示的数为m，当其中一点到另外两点的距离相等时，m的值可以是 ． 题型二 数轴上点的平移（动点问题) 【例2】（25-26七年级上·江苏扬州·期中）点A、B、M在数轴上，且点M分别到点A、B的距离相等．点A沿着数轴从数字处以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，点B沿着数轴从数字4处以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点M的运动方式是沿着数轴（    ） A．从数字1处以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动 B．从数字1处以每秒0.5个单位长度的速度向左匀速运动 C．从数字2处以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动 D．从数字2处以每秒0.5个单位长度的速度向右匀速运动 【变式】（（25-26七年级上·河北张家口·期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度； (1)求数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是多少？ (2)求在数轴上点B所对应的数b； (3)若D是数轴上一点，且满足，通过计算，求点D所对应的数； (4)如图3，一质点P从点C处向点B方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此跳动下去，则第n次跳动后，直接写出数轴上点所表示的数（用含n的代数式表示）． 题型三 数轴上的规律探究 【例3】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点A和点D对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B对应的数是1；翻转2次后，点C对应的数是3…；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式】（（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2025将与正方形上的哪个字母重合（   ） A． 字母 B．字母 C．字母 D．字母 题型四 绝对值的几何意义 【例4】（25-26七年级上·河南信阳·期中）如图，，，，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在P与之间，若，则原点是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式】（（25-26七年级上·江西上饶·月考）已知点A、B在数轴上分别表示数a，b，若A、B两点间的距离记为d，则． (1)数轴上有理数与有理数所对应两点之间的距离可以表示为 (2)可以表示数轴上有理数x与有理数 所对应的两点之间的距离；若，则 (3)若，将数轴折叠，使得点与表示的点重合，则点与数 表示的点重合． (4)若数轴上、两点之间的距离为11（在的左侧），且、两点经过（3）中折叠后互相重合，则、两点表示的数分别是：： ， ： ； 题型五 绝对值非负性 【例5】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）规定，，例如，，下列结论正确的是（   ） （1）若，则；（2）若，则；（3）能使成立的x的值不存在；（4）式子的最小值是9 A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（4） D．（1）（3）（4） 【变式】（（25-26七年级上·内蒙古通辽·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足． (1)______，______； (2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，当它的左端移动到点时，它的右端与点重合；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端与点重合．若数轴上一个单位长度表示．则 ①由此可得到木棒长为_______； ②图中点表示的数是______，点表示的数是______； (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生，你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了，哈哈！”请直接写出爷爷和小红现在多少岁． 题型六 绝对值的其他应用 【例6】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①_________；②_________． 【拓广应用】 (2)用合适的方法计算：_________________． (3)请利用你探究的结论计算： 【变式】（（25-26七年级上·福建莆田·阶段练习）点、在数轴上分别表示数、，、两点之间的距离表示为．则数轴上、两点之间的距离．表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，同理也可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到的距离，由上面绝对值的几何意义，解答下列问题： (1)数轴上表示2和的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点和之间的距离是 ，如果，那么为 ； (3)当取最小值时，符合条件的整数有 ； (4)令，问当取何值时，最小，最小值为多少？请求解． 题型七 有理数的大小 【例7】（2025七年级上·全国·专题练习）（1），，若，则的值是 ； （2），，若，则的值是 ； （3），，若，求，的值； （4），，若，求的值． 【变式】（（25-26七年级上·河北唐山·期中）给出下列一组有理数：2，，，，，0，，5，，0.36，回答下列问题： (1)这组数中的负分数有：______； (2)将这组数中的所有整数表示在下面的数轴上； (3)将这组数中的所有负数用“”连接起来． 题型八 有理数四则混合运算 【例8】（25-26七年级上·河南驻马店·期中）在计算时，现有以下三种不同的思路： 思路① 思路② 思路③ 用分别除以，，，再把所得结果相加． 先求出，，的和，再用除以这个和． 先简便运算 ，再求所得结果的倒数． (1)上述三种思路中，正确的思路有_________；（填序号） (2)原式的结果是_________； (3)请参考思路③，计算：． 【变式】（（25-26七年级上·新疆克拉玛依·期中）计算： (1) ； (2)； (3)； (4) ． 题型九 有理数四则混合运算的实际应用 【例9】（25-26七年级上·四川泸州·期中）近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程记录 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走____________； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少？ (3)新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.6元，请计算小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用是多少元？ 【变式】（（25-26七年级上·河南驻马店·期中）洛阳牛肉汤以“汤为魂、肉为骨、饼为媒”的饮食哲学，承载千年古都的烟火气．小亮对出入某牛肉汤馆一周内的顾客进行了统计，以120人为标准，超过的记为正，少于的记为负，如下表所示． 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 人数 (1)这一周超过标准人数的天数是_________天； (2)这一周人数最少的一天与人数最多的一天相差多少人？ (3)若这些人中有是来喝牛肉汤的，按照每人一碗，每碗21元，则平均每天牛肉汤的销售额是多少？ 题型十 有理数乘除中的简便运算 【例10】（25-26七年级上·江苏南京·月考）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【变式】（．（24-25七年级上·广东中山·开学考试）计算下列各题 (1) (2) 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例11】（25-26七年级上·安徽安庆·月考）如图，数轴上的，，三点所表示的数分别为，，，且原点为，根据图中各点位置，则下列选项不正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式】（．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的有理数是 (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的有理数是______； (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的有理数为______； (3)有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的序号是______． ①；②；③；④ 题型十二 数轴上的翻折 【例12】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）数轴是非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，当数轴或数轴上的点动起来，我们会发现数字也相应发生有趣的变化．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： (1)若折叠后数2与数对应的点重合，则此时数与数______对应的点重合； (2)若折叠后数3与数对应的点重合，则此时数0与数______对应的点重合； (3)若按照（2）的方式折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为（点B在点A的右侧），求点A和点B对应的数． 【变式】（（25-26七年级上·河北保定·期中）综合与探究 【概念呈现】 大家知道在数轴上的意义是表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离；式子在数轴上的意义是表示5的点与表示2的点之间的距离；式子在数轴上的意义是表示—1的点与表示—2的点之间的距离．若点在数轴上分别表示数，则两点之间的距离可表示为． 【初步探究】 （1）数轴上表示3和1的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离是 ． （2）请计算表示的点和表示的点之间的距离与表示的点和表示的点之间的距离之和． 【类比学习】 （3）若点在数轴上表示数，则在数轴上的意义是表示的点与表示 的点之间的距离；在数轴上的意义是表示的点与表示 的点之间的距离． （4）的最小值为 ． 【拓展应用】 （5）若，则 ． （6）如图，将一条数轴沿点折叠，若表示的点的重合点与表示4的点之间的距离为1，则点表示的数为 ． 题型十三 程序流程图与有理数计算 【例13】（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图是一个运算程序的示意图，若第3次输出的结果为1，则开始输入x的值为 ． 【变式】（（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）数学活动课上，小安拿出如图所示的三张卡片，每张卡片上分别写有一种运算，卡片可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序．一名同学随机说出一个数字后，其余同学将按小安排列的卡片顺序开始运算． （1）若，卡片顺序为，则运算结果是 ； （2）若数字经过的顺序运算后，结果为，则 。 题型十四 算 “24” 点 【例14】（25-26七年级上·河北承德·期中）计算，有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： 0 (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果 ； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果 ； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果 ； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算．（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 【变式】（（25-26八年级上·河南周口·期中）数学活动课上，老师拿出如图1所示的四张写着不同数字的卡片，请你按要求解答下列问题： (1)老师从中抽出三张卡片，卡片上的数字分别为，6，．请将这三个数对应的点标在如图2所示的数轴上，按照从小到大的顺序依次用点A，B，C表示． (2)在（1）的基础上，以点B为折点，将此数轴向右折叠，点A落在数轴上的点处，则点表示的数为______，点到点C的距离为______个单位长度． (3)①请任选其中的两张卡片，将卡片上的数字相乘，结果记作P，则P的最大值比P的最小值大多少？ ②用这四张卡片上的数字进行混合运算（每张卡片上的数字必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果等于24，请直接写出一种满足题意的算式． 题型十五 含乘方的有理数混合运算 【例15】（25-26七年级上·四川成都·期中）计算： (1) (2) (2) (4) 【变式】（（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1) (2) 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·云南昭通·月考）在，，0，，11中，负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·新疆·一模）的相反数是（   ） A． B． C．2025 D． 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）十四届全国人大常委会第十次会议通过决定，将10月25日设立为台湾光复纪念日．台湾岛是我国第一大岛，面积平方千米，在世界大岛中列第38位．将用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知a、b互为倒数，化简： ． 6．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，则 ； ； ．（填“”“”） 7．比较大小： ．（填“”“ ”或“”） 8．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）把下列各数填在相应的圈内： ，，0，12，，， 正数：{                               }； 负分数：{                                }； 非负整数：{                                }； 9．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）计算 (1) (2) (2) 10．（25-26七年级上·湖北十堰·期中）某公司将特色农副产品运往襄阳市场进行销售，设汽车的行驶时间为t小时，平均速度为v千米/时（汽车行驶速度不超过110千米/时）．根据经验，v，t的部分对应值如表： v（千米/时） 80 90 100 t（时） 4 (1)汽车行驶的时间随着平均速度v的增大而 （填“增大”或“减小”），该公司到襄阳市场的距离为 千米； (2)根据表中的数据，用式子表示v与t的关系，并说明，v与t成什么比例关系 (3)若汽车出发，能否在之前到达襄阳市场请说明理由． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列各数中互为相反数的是（    ） A．和2 B．和 C．和 D．和 2．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）下列各数：，其中负分数的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26六年级上·山东淄博·月考）我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．在古代数学名著《九章算术》里就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算的过程，按照这种方法，图2的过程应是在计算（　　） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·湖北十堰·期中）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢2进1”，如表示二进制数，将它转换成十进制的形式是：，则将十进制数6转化成二进制数的结果为 5．（25-26七年级上·河北衡水·期中）比较大小： （选填“>”、“<”或“=”）． 6．（25-26七年级上·广东江门·期中）已知等边三角形在数轴上的位置如图所示，顶点、分别对应的数为0、．将三角形从如图所示的位置沿数轴滚动（滚动一圈指线段再次落在数轴上），向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，每次滚动情况依次记录如下：，，，，，当三角形结束滚动时；点表示的数是 ． 7．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）计算 (1)； (2)； 8．（25-26七年级上·山东日照·期中）把下列各数分别填入相应的大括号内： ． 分数集合：{ }； 整数集合：{ }； 非负数集合：{ }； 正有理数集合：{ }； 9．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）我国自主研发的巡逻机器人备受关注，为安保工作提供了强有力的支持．某天小明发现一个巡逻机器人正在一条南北方向的公路上执行治安巡逻，规定；初始位置为0，向北为正，向南为负．机器人从初始位置到巡逻结束所走的路程（单位：km）如下：． (1)在这次巡逻中，该巡逻机器人离出发点的最远距离为多少？ (2)已知巡逻机器人的平均速度为，求这次治安巡逻的时间． 10．（25-26七年级上·湖南株洲·期中）某自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车______辆； (2)根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车______辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元，少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）有这样四句话：①一定是负数；②和4互为相反数；③任何有理数都有相反数；④一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非负数．其中正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．③ D．④ 2．（25-26七年级上·重庆·期中）数轴上的点A 、B 、C 、D所表示的数如图所示，点M 为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点D沿数轴以每秒m 个单位长度向左平移．当点M 和点C 重合时同时停止运动．若在运动过程中始终满足，则m 的值为（   ） A．2 B． C．4 D．5 3．（25-26七年级上·湖南怀化·期中）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为81，则第2025次输出的结果为（   ） A．27 B．9 C．3 D．1 4．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）如图，圆的周长为4个单位长度，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字 的点重合． 5．（25-26七年级上·福建福州·期中）在日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数，如二进制中的，可以表示十进制中的10，那么八进制中的121表示十进制中的 ． 6．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）一只电子跳蚤在数轴上跳动，它从表示的点出发，第1次向右跳2个单位长度，之后的每次跳动都与前一次方向相反，且比前一次多跳2个单位长度．若电子跳蚤第n次跳动后到原点的距离为23个单位长度，则n的值是 ． 7．（25-26七年级上·湖南永州·期中）如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为P，Q，M，N，点P落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是 ． 8．（25-26七年级上·河北衡水·期中）点为数轴的原点，点，在数轴上的位置如图所示，点表示的数为4，线段的长为线段长的2.5倍，点在数轴上，为数轴上的一个动点，其对应的数为． (1)点表示的数为______；若点到点，的距离相等，则的值为______； (2)若线段，求线段的长； (3)若从点开始出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为秒．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两个点的中点． 9．（25-26七年级上·四川乐山·期中）乐山市出租车的计价标准为：行驶路程不超过千米收费元，超过千米的部分每千米元（不足千米按千米计算）． (1)小明乘出租车从家到外婆家，相距千米，应付车费多少钱？ (2)王老师从学校去相距千米的教育局取一份资料后立即返回学校，他有两种乘车方案： 方案一：去程和回程各乘一辆出租车，按正常方式计费； 方案二：去去程和回程乘同一辆车，按总路程计费一次，但超过千米部分按每千米元计费．（司机等候的时间不计费）他怎样乘车比较合算？需付多少元出租车费？ 10．（25-26七年级上·江西南昌·期中）在数轴上，把原点记作点，表示数1的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点，点重合），将与的长度之比称为点的特征值，记作【】，即，例如：当点在上且时，点的特征值． (1)如图，点，，为数轴上三个点，点的数是，点与表示的数互为相反数，点为1到2之间的一个点： ①点表示的数是_______； ②【】=_______，【】=_______； ③比较【】、【】、【】的大小_______（用“<”连接）； (2)数轴上的点满足，求【】； (3)若数轴上有一点，初始位置表示的数是，现在点以每秒2个单位的速度沿着数轴向右运动，请求出为何值时，使得； (4)数轴上的点表示有理数，已知且【】为整数，则所有满足条件的的倒数之和是多少？请直接写出答案． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数及其运算（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 有理数的运算 能准确运算并解决应用题 必考点，易错运算顺序或符号括号 科学记数法 能用科学记数法表示数，理解规则 小题必考，易错确定的值 有理数的实际应用 能运用有理数解决实际问题，熟练使用科学记数法解决问题，建立数学模型 综合应用题必考，需要强化建模能力 知识点01：有理数的分类 注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界； （2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数． （3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数． 知识要点：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 知识点02：数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线． 知识要点：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 知识点03：相反数 只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 知识要点：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 知识点04：绝对值 （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 知识点05：有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 知识点06 有理数的加法 （1）有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） （2）相关运算律 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 知识点07 有理数的减法 （1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 知识点08 有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 知识点09 有理数的乘法法则 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 知识点10 倒数的概念 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点11 有理数的乘法运算律 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 知识点12 多个有理数相乘 多个有理数相乘的法则： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点13 有理数除法法则 1. 有理数除法法则一：除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数. 用字母表示：a÷b=a·(b ≠ 0). 2. 有理数除法法则二 两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0 除以任何一个不等于0 的数，都得0 . 方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 知识点14 有理数的乘除混合运算 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 知识点15 有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算顺序 在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的. 在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算. 知识点16 有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 知识点17 非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点18 有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 知识点19 近似数和有效数字 （1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （3）规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前 者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 知识点20 科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规 律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是 前面多一个负号． 题型一 数轴上两点之间的距离 【例1】（25-26七年级上·江苏常州·期中）A、B、C是数轴上的三个点，点A、B表示的数分别是、4，若，则点C表示的数是 ． 【答案】1或/或1 【思路引导】本题主要考查数轴；分两种情况：当点C在点A，B之间时，当点C在点A左边时，再根据数轴上两点距离公式，计算求解即可． 【规范解答】解：当点C在点A，B之间时，， ∴， ∴ ， ∴， ∴点C表示的数是1； 当点C在点A左边时，， ∴， ∴ ， ， ∴点C表示的数是． 故答案为：1或． 【变式】（25-26七年级上·江西上饶·期中）若A，B，M是数轴上不同的三点，且点A表示的数为，点B表示的数为3，点M表示的数为m，当其中一点到另外两点的距离相等时，m的值可以是 ． 【答案】或或15 【思路引导】本题考查了数轴上两点间的距离，掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键．根据题目要求，需要分情况讨论，，，将这三种情况结合数轴上两点间的距离等于右边的数减去左边的数，分别得出的值即可解答． 【规范解答】解：∵A，B，M是数轴上不同的三点， ∴①当点M在点A、B之间，时，，解得； ②当点M在点A的左侧，时，，解得； ③当点M在点B的右侧，时，，解得； 综上所述，m的值可以是或或15． 故答案为：或或15． 题型二 数轴上点的平移（动点问题) 【例2】（25-26七年级上·江苏扬州·期中）点A、B、M在数轴上，且点M分别到点A、B的距离相等．点A沿着数轴从数字处以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，点B沿着数轴从数字4处以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点M的运动方式是沿着数轴（    ） A．从数字1处以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动 B．从数字1处以每秒0.5个单位长度的速度向左匀速运动 C．从数字2处以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动 D．从数字2处以每秒0.5个单位长度的速度向右匀速运动 【答案】B 【思路引导】本题考查了数轴和列代数式，用到的知识点是数轴上两点之间的距离．设运动时间为t秒，表示出点A和点B的位置，利用点M到A、B距离相等得出点M是A、B的中点，求出点M的位置表达式，从而确定其运动方式． 【规范解答】解：设运动时间为t（）秒， ∵点A从处以每秒3个单位向左运动， ∴t秒后点A表示的数为：， ∵点B从4处以每秒2个单位向右运动， ∴t秒后点B表示的数为：， ∵点M到点A、B的距离相等， ∴点M是线段的中点， ∴点M表示的数为：， ∴点M从数字1处以每秒0.5个单位长度的速度向左匀速运动． 故选：B． 【变式】（（25-26七年级上·河北张家口·期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度； (1)求数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是多少？ (2)求在数轴上点B所对应的数b； (3)若D是数轴上一点，且满足，通过计算，求点D所对应的数； (4)如图3，一质点P从点C处向点B方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此跳动下去，则第n次跳动后，直接写出数轴上点所表示的数（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是 (2) (3)点D表示的数为2或 (4) 【思路引导】本题主要考查数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上的动点问题是解题的关键． （1）根据点、是数轴上从左到右排列的点，进而根据数轴上两点距离可进行求解； （2）根据点B对齐刻度列式求解即可； （3）首先求出，然后分两种情况求解即可； （4）首先求出，然后根据线段中点的概念找出规律求解即可． 【规范解答】（1），是数轴上从左到右排列的点，在数轴上对应的数分别为，2， ； ， ∴数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的； （2）∵点B对齐刻度， ∴， ∴， ∴在数轴上点B所对应的数； （3）∵点A表示的数是，点B表示的数是， ∴ ∴ ∴点D所对应的数为或； （4）点B表示的数是，点C表示的数是2， ， 一质点从点处向点方向跳动，第一次跳动到的中点处， 点表示的数为， 第二次从点跳动到的中点处， 点表示的数为， 第三次从点跳动到的中点处， 点表示的数为， 第四次从点跳动到的中点处， 点表示的数为， 点表示的数为． 题型三 数轴上的规律探究 【例3】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点A和点D对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B对应的数是1；翻转2次后，点C对应的数是3…；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【思路引导】本题考查了有理数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键． 由题意先找出对应点与数的规律，再求出翻转的次数，最后可确定出2027所对应的点． 【规范解答】解：由题意可知：数轴上的数1，3，5，7，9，11，13，15，， 所对应的点为B，C，D，A，B，C，D，A，， 所以从数1对应的点开始，连续奇数对应的点按B，C，D，A循环， 由得，， 因为余2，所以数轴上数2027所对应的点是点C， 故选：C． 【变式】（（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2025将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】D 【思路引导】本题考查的是数轴上的点的规律探究，正方形滚动一周的长度为4，从到2025共滚动2027个单位长度，由，即可作出判断． 【规范解答】解：∵正方形的边长为1， ∴正方形的周长为4， ∴正方形滚动一周的长度为4， ∵正方形的起点在处， ∴， ∵， ∴数轴上的数2025将与正方形上的字母D重合， 故选：D． 题型四 绝对值的几何意义 【例4】（25-26七年级上·河南信阳·期中）如图，，，，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在P与之间，若，则原点是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【思路引导】本题考查了数轴，准确识图，判断出、两个数之间的距离小于3是解题的关键． 根据数轴判断出、两个数之间的距离小于3，然后根据绝对值的性质解答即可． 【规范解答】解：， 、两个数之间的距离小于3， ， ∴原点不在、两个数之间，(否则)，即原点不在或， ∴原点是或． 故选：A． 【变式】（（25-26七年级上·江西上饶·月考）已知点A、B在数轴上分别表示数a，b，若A、B两点间的距离记为d，则． (1)数轴上有理数与有理数所对应两点之间的距离可以表示为 (2)可以表示数轴上有理数x与有理数 所对应的两点之间的距离；若，则 (3)若，将数轴折叠，使得点与表示的点重合，则点与数 表示的点重合． (4)若数轴上、两点之间的距离为11（在的左侧），且、两点经过（3）中折叠后互相重合，则、两点表示的数分别是：： ， ： ； 【答案】(1) (2) 或 (3) (4) 【思路引导】本题考查数轴上两个点之间的距离、绝对值方程等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据题中的公式，代入即可； （2）①根据距离公式填写即可；②两个数的绝对值相等，这两个数相等或这两个数互为相反数，据此列出两个方程求解即可， （3）先求出点A与表示的点的中间那个点表示的数，再计算即可； （4）先将（3）中的中点表示出来，将得到折叠后，中点距离点和点的距离，M在N的左侧，再分别用中点减去距离得到点的值，再用中点加上距离得到点的值 【规范解答】（1）根据题中的公式，代入即可． （2）①，根据距离公式填写即可； ② 或， 解得或； （3）∵，将数轴折叠，使得点与表示的点重合， ∴点与表示的点的中间那个点表示的数是， ∵， ∴点与表示的点重合． 故答案为． （4）折叠后，中点距离点和点的距离：， ∵在的左侧， ∴点：； 点：． 题型五 绝对值非负性 【例5】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）规定，，例如，，下列结论正确的是（   ） （1）若，则；（2）若，则；（3）能使成立的x的值不存在；（4）式子的最小值是9 A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（4） D．（1）（3）（4） 【答案】C 【思路引导】本题考查绝对值的性质、绝对值方程求解，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据绝对值非负性和零点分段讨论，逐一判断各结论即可． 【规范解答】解：结论（1）：由得，因绝对值非负，故，，代入，故结论成立； 结论（2）：当时，，而，二者不等，故结论不成立； 结论（3）：由得，解得时（另一解矛盾），存在，满足，故结论不成立； 结论（4）：，分三段讨论：当时为；当时为；当时为，则最小值为，故结论成立； 故选：C． 【变式】（（25-26七年级上·内蒙古通辽·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足． (1)______，______； (2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，当它的左端移动到点时，它的右端与点重合；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端与点重合．若数轴上一个单位长度表示．则 ①由此可得到木棒长为_______； ②图中点表示的数是______，点表示的数是______； (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生，你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了，哈哈！”请直接写出爷爷和小红现在多少岁． 【答案】(1)7，28 (2)①7；②14，21 (3)65，13 【思路引导】本题考查非负数的性质，数轴上两点间距离，数轴上的动点问题： （1）利用绝对值和平方的非负性求解； （2）根据木棒的移动可得，再结合（1）中结论求解； （3）把小红与爷爷的年龄差看作木棒，根据爷爷说的话建立数轴，参照（2）中作法求解． 【规范解答】（1）解：因为， 所以， 解得． 故答案为：7，28． （2）解：①由题知，， 又因为点表示的数是7，点表示的数为28，且， 所以， 即木棒的长度为． 故答案为：7； ②因为， 所以点表示的数是14； 因为， 所以点表示的数是21； 故答案为：14，21． （3）解：根据题意，建立数轴如图所示， 小红现在的年龄对应数轴上的点，爷爷现在的年龄对应数轴上的点， 则当点移动到点时，点移动到了点；当点移动到点时，点移动到了点， 所以， 又因为爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生；你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了”， 所以， 且，， 所以爷爷现在的年龄是65岁，小红现在的年龄是13岁． 题型六 绝对值的其他应用 【例6】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①_________；②_________． 【拓广应用】 (2)用合适的方法计算：_________________． (3)请利用你探究的结论计算： 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【思路引导】本题考查了绝对值的化简，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）根据绝对值的化简方法解答即可； （2）根据绝对值的化简方法运算即可； （3）根据绝对值的化简方法运算即可． 【规范解答】（1）解：，， 故答案为：①；②； （2）解：， 故答案为：； （3）解： 原式 ． 【变式】（（25-26七年级上·福建莆田·阶段练习）点、在数轴上分别表示数、，、两点之间的距离表示为．则数轴上、两点之间的距离．表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，同理也可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到的距离，由上面绝对值的几何意义，解答下列问题： (1)数轴上表示2和的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点和之间的距离是 ，如果，那么为 ； (3)当取最小值时，符合条件的整数有 ； (4)令，问当取何值时，最小，最小值为多少？请求解． 【答案】(1)； (2)；或 (3)、、、 (4)当时，最小，最小值为 【思路引导】本题考查了绝对值的几何意义（数轴上两点之间的距离）及相关计算，解题的关键是理解表示数轴上数与数对应的两点之间的距离，并利用该意义解决距离计算、含绝对值式子的最值等问题． （1）根据数轴上两点距离公式，直接代入对应数值计算即可； （2）先写出与的距离表达式，再根据距离等于2列绝对值方程求解； （3）表示到和的距离之和，最小值出现在介于与之间（含端点），找出其中的整数； （4）表示到、、的距离之和，当取中间点时，和最小，代入计算即可． 【规范解答】（1）解：数轴上表示和的两点距离为； 数轴上表示和的两点距离为． 故答案为：；． （2）数轴上表示和的两点距离是； 若，则，即或，解得或． 故答案为：；或． （3）表示到和的距离之和， 当在与之间（含端点）时，和最小， 符合条件的整数有、、、． 故答案为：、、、． （4）表示到、、的距离之和， 当时，最小； 此时． 答：当时，最小，最小值为． 题型七 有理数的大小 【例7】（2025七年级上·全国·专题练习）（1），，若，则的值是 ； （2），，若，则的值是 ； （3），，若，求，的值； （4），，若，求的值． 【答案】（1）（2）2（3），（4） 【思路引导】本题考查绝对值，有理数比较大小，熟练掌握相关知识是解决本题的关键． （1）根据绝对值的定义得到，又因为，则的值可求； （2）根据绝对值的定义知，再根据，则的值可求； （3）根据绝对值的定义得，，根据即可求得，的值； （4）根据绝对值的定义得，，根据求，的值即可． 【规范解答】解：（1）， ． ，， ． 故答案为：； （2）， ． ，， ； 故答案为：2； （3），， ，． ， ，； （4），， ，． ， ，． 【变式】（（25-26七年级上·河北唐山·期中）给出下列一组有理数：2，，，，，0，，5，，0.36，回答下列问题： (1)这组数中的负分数有：______； (2)将这组数中的所有整数表示在下面的数轴上； (3)将这组数中的所有负数用“”连接起来． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3) 【思路引导】本题主要考查有理数的分类，数轴的特点，有理数的大小比较，掌握有理数的分类，数轴上的点表示有理数是解题的关键． （1）根据有理数的分类即可求解； （2）根据整数的定义先找出所有整数，并在数轴上表示出来即可； （3）根据负数的定义找出所有负数，再根据有理数的大小比较方法用“”连接起来． 【规范解答】（1）解：这组数中的负分数有：，，， 故答案为：，，； （2）解：这组数中的整数有：，，，，； 数轴表示如下： （3）解：这组数中的负数有：，，，，， ，，，，，且， ∴． 题型八 有理数四则混合运算 【例8】（25-26七年级上·河南驻马店·期中）在计算时，现有以下三种不同的思路： 思路① 思路② 思路③ 用分别除以，，，再把所得结果相加． 先求出，，的和，再用除以这个和． 先简便运算 ，再求所得结果的倒数． (1)上述三种思路中，正确的思路有_________；（填序号） (2)原式的结果是_________； (3)请参考思路③，计算：． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是明确“除法不满足分配律”，并能利用“除以一个数等于乘它的倒数”结合分配律简化计算． （1）判断思路正误：根据除法法则，分配律仅适用于乘法，除法不满足此规律，故思路①错误；思路②（先算括号内的和再除）、思路③（先算倒数的除法再求倒数）均符合法则，正确； （2）选择思路②或思路③计算即可； （3）参考思路③，先计算，再计算其倒数即可． 【规范解答】（1）解：思路①：有理数除法不满足分配律，故思路①错误，不符合题意； 思路②：先算括号内和再相除，符合除法法则，故思路②正确，符合题意； 思路③：先算倒数的除法再求倒数，符合除法法则，故思路③正确，符合题意； 故答案为：②③； （2）解：选择思路2计算： ， 故答案为：； （3）解： ， ∴． 【变式】（（25-26七年级上·新疆克拉玛依·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2)4 (3) (4)0 【思路引导】本题考查有理数的计算，熟练掌握有理数的混合运算法则和运算顺序，是解题的关键：利用有理数的混合运算法则和运算顺序，逐一进行计算即可． （1）根据有理数的加减法即可求解； （2）根据有理数的加减法即可求解； （3）先算乘除，后算加法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算； （4）利用乘法分配律计算即可； 【规范解答】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 题型九 有理数四则混合运算的实际应用 【例9】（25-26七年级上·四川泸州·期中）近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程记录 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走____________； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少？ (3)新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.6元，请计算小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)元 【思路引导】本题考查了正负数的实际应用，有理数混合运算的实际应用，理解题意正确列式是解题关键． （1）用路程最多的一天减路程最少的一天即可； （2）先求出这7天的总路程，再除以时间即可； （3）求出总耗电量，再求出行驶费用即可． 【规范解答】（1）解：， 答：这7天里路程最多的一天比最少的一天多走； （2）解：总路程 则这七天平均每天行驶； （3）解：总耗电量度， 费用元． 【变式】（（25-26七年级上·河南驻马店·期中）洛阳牛肉汤以“汤为魂、肉为骨、饼为媒”的饮食哲学，承载千年古都的烟火气．小亮对出入某牛肉汤馆一周内的顾客进行了统计，以120人为标准，超过的记为正，少于的记为负，如下表所示． 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 人数 (1)这一周超过标准人数的天数是_________天； (2)这一周人数最少的一天与人数最多的一天相差多少人？ (3)若这些人中有是来喝牛肉汤的，按照每人一碗，每碗21元，则平均每天牛肉汤的销售额是多少？ 【答案】(1)4 (2)47人 (3)2430元 【思路引导】本题考查了正负数的应用、有理数四则运算的应用，理解题意正确列出算式是解题的关键． （1）根据超过的记为正，结合表格数据解答即可； （2）根据表格可知这一周人数最少的一天为星期一，人数最多的一天为星期日，将这两天对应的人数相减即可解答； （3）根据表格求出一周内同一时间段的人流量，先乘以，再乘以牛肉汤的单价得出一周内的销售额，再除以7即可解答． 【规范解答】（1）解：根据题意得，这一周超过标准人数的有星期四、星期五、星期六、星期日，一共4天， 故答案为：4； （2）解：由题意得，（人）， 答：这一周人数最少的一天比人数最多的一天少47人； （3）解：， ∴一周内同一时间段的人流量为（人）， ∴平均每天牛肉汤的销售额是（元）， 答：平均每天牛肉汤的销售额是2430元． 题型十 有理数乘除中的简便运算 【例10】（25-26七年级上·江苏南京·月考）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【答案】 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法分配律的运用，熟练掌握有理数混合运算的法则和乘法分配律是解题的关键.计算，把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，所得结果取倒数即为答案. 【规范解答】解：原式的倒数为： ， ∴． 故答案为. 【变式】（．（24-25七年级上·广东中山·开学考试）计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1)7 (2) 【思路引导】本题主要考查了有理数的乘除混合运算与乘法运算律，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先将带分数化为假分数，将除法转化为乘法，再利用乘法分配律的逆运算计算即可； （2）先计算小括号里的减法，再计算中括号里的乘法，最后计算除法即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例11】（25-26七年级上·安徽安庆·月考）如图，数轴上的，，三点所表示的数分别为，，，且原点为，根据图中各点位置，则下列选项不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查有理数的大小比较，绝对值的性质，不等式的性质等知识．关键是利用好数轴来判断两个数的大小． 根据，，的大小，进行判断即可． 【规范解答】解：根据数轴得，，，，， A、，所以，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意． D、，所以，所以，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式】（．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的有理数是 (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的有理数是______； (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的有理数为______； (3)有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的序号是______． ①；②；③；④ 【答案】(1)4； (2)2或6； (3)①④ 【思路引导】（1）根据数轴的三要素，平移思想解答即可； （2）设点C表示的数为，根据题意，得，化简绝对值求解即可． （3）首先在数轴上确定表示各数的点的位置，再根据在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大用“<”号把这些数连接起来即可． 本题考查了在数轴上表示有理数以及有理数的比较大小，解题关键是正确在数轴上确定表示各数的点的位置． 【规范解答】（1）解：如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是 向右平移3个单位长度后对应点表示的数就是原点， 为原点，点B所表示的数是4， 故答案为：4； （2）解：设点C表示的数为， 根据题意，得， 故或， 解得或， 故答案为：2或6； （3）解：由数轴可知：且， ，，，， 结论正确的序号是①④． 故答案为：①④． 题型十二 数轴上的翻折 【例12】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）数轴是非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，当数轴或数轴上的点动起来，我们会发现数字也相应发生有趣的变化．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： (1)若折叠后数2与数对应的点重合，则此时数与数______对应的点重合； (2)若折叠后数3与数对应的点重合，则此时数0与数______对应的点重合； (3)若按照（2）的方式折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为（点B在点A的右侧），求点A和点B对应的数． 【答案】(1)11 (2) (3)点A对应的数为，点B对应的数为 【思路引导】本题主要考查数轴上两点间的距离，解此题的关键在于根据题意先找出对称中心，然后根据距离对称中心的距离求得对应点． （1）根据对称的知识，若2表示的点与表示的点重合，则对称中心是原点，从而找的对称点； （2）根据题意找到对称中心，从而求得0的对应点； （3）因为A、B两点之间的距离为9，所以A，B两点与对称中心的距离为，且点B在A点的右侧，从而得到结果． 【规范解答】（1）解：由题知，因为折叠后数2与数对应的点重合， 则折痕经过的点表示的数为0， 所以此时数与数11对应的点重合． 故答案为：11； （2）解：因为折叠后数3与数对应的点重合， 则折痕经过的点表示的数为， 因为，， 所以此时数0与数对应的点重合． 故答案为：； （3）解：因为A、B两点之间的距离为9， 则， 因为折痕经过的点表示的数为， 则，， 所以点A对应的数为，点B对应的数为． 【变式】（（25-26七年级上·河北保定·期中）综合与探究 【概念呈现】 大家知道在数轴上的意义是表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离；式子在数轴上的意义是表示5的点与表示2的点之间的距离；式子在数轴上的意义是表示—1的点与表示—2的点之间的距离．若点在数轴上分别表示数，则两点之间的距离可表示为． 【初步探究】 （1）数轴上表示3和1的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离是 ． （2）请计算表示的点和表示的点之间的距离与表示的点和表示的点之间的距离之和． 【类比学习】 （3）若点在数轴上表示数，则在数轴上的意义是表示的点与表示 的点之间的距离；在数轴上的意义是表示的点与表示 的点之间的距离． （4）的最小值为 ． 【拓展应用】 （5）若，则 ． （6）如图，将一条数轴沿点折叠，若表示的点的重合点与表示4的点之间的距离为1，则点表示的数为 ． 【答案】（1）2；3；（2）；（3）；4；（4）5；（5）1或3；（6）0或1 【思路引导】本题考查绝对值的几何意义，两点间的距离，数轴上的折叠问题，熟练掌握绝对值的几何意义，两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据距离公式进行求解即可； （2）根据距离公式进行求解即可； （3）根据绝对值的几何以及作答即可； （4）根据绝对值的几何意义，得到当在和4之间时，的值最小，进行求解即可； （5）根据绝对的几何意义，进行求解即可； （6）分两种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】解：（1）；； （2）； （3）在数轴上的意义是表示的点与表示的点之间的距离；在数轴上的意义是表示的点与表示4的点之间的距离； （4）由（3）可知，当在和4之间时，的值最小，为表示的点与表示4的点之间的距离，即为； （5），表示数轴上表示的点与表示2的点之间的距离为1， 故或； （6）由题意，折叠后表示数的点与表示的点或的点重合， 当表示数的点与表示3的点重合时，点表示的数为； 当表示数的点与表示5的点重合时，点表示的数为； 故答案为：0或1． 题型十三 程序流程图与有理数计算 【例13】（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图是一个运算程序的示意图，若第3次输出的结果为1，则开始输入x的值为 ． 【答案】3或27/27或4 【思路引导】本题考查了程序流程图，分类讨论是解题的关键．按照运算程序，先找出第二次输出的结果，然后通过第二次输出的结果，推出第一次输出的结果，进而推出最开始输入的数即可． 【规范解答】解： 当第3次输出的结果为1时， 那么或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 那么可以知道第二次输出的结果为3， 当第二次输出的结果为3， 那么或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 那么可以知道第一次输出的结果为1或者9， 当第一次输出的结果为1时， 那么或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当第一次输出的结果为9时， 那么或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 则开始输入x的值为3或27． 故答案为：3或27． 【变式】（（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）数学活动课上，小安拿出如图所示的三张卡片，每张卡片上分别写有一种运算，卡片可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序．一名同学随机说出一个数字后，其余同学将按小安排列的卡片顺序开始运算． （1）若，卡片顺序为，则运算结果是 ； （2）若数字经过的顺序运算后，结果为，则 。 【答案】 2 【思路引导】本题考查了有理数的四则混合运算，根据题意列出算式是解题的关键． （1）根据卡片顺序为，计算，即可求解； （2）根据题意得，，即可求解． 【规范解答】解：（1）依题意， ； （2）依题意，得， 解得：． 题型十四 算 “24” 点 【例14】（25-26七年级上·河北承德·期中）计算，有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： 0 (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果 ； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果 ； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果 ； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算．（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 【答案】(1)①；②；③； (2)见详解 【思路引导】（1）由题意易得，则有①要使两张卡片上数字之和最大，应选择最大的两个数字进行相加即可；②要使这两张卡片上数字之差最小，应选择最小的数减去最大的数即可；③要使这两张卡片上数字之积最大，应选择同号的两张，并且是最大或最小的两张进行相乘即可； （2）根据有理数的运算进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果为； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果； ③使这两张卡片上数字之积最大，则有，，所以最大的为； 故答案为，，； （2）解：由题意得：； ； ． 【变式】（（25-26八年级上·河南周口·期中）数学活动课上，老师拿出如图1所示的四张写着不同数字的卡片，请你按要求解答下列问题： (1)老师从中抽出三张卡片，卡片上的数字分别为，6，．请将这三个数对应的点标在如图2所示的数轴上，按照从小到大的顺序依次用点A，B，C表示． (2)在（1）的基础上，以点B为折点，将此数轴向右折叠，点A落在数轴上的点处，则点表示的数为______，点到点C的距离为______个单位长度． (3)①请任选其中的两张卡片，将卡片上的数字相乘，结果记作P，则P的最大值比P的最小值大多少？ ②用这四张卡片上的数字进行混合运算（每张卡片上的数字必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果等于24，请直接写出一种满足题意的算式． 【答案】(1)见解析 (2)0；6 (3)①200；②（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，数轴的应用，解题的关键是读懂题意，正确地运算． （1）根据数轴上点对应的数，在数轴上标出A，B，C三点即可； （2）结合数轴上A点位置得到点位置和所对应的数，从而得到结果； （3）①根据有理数乘法运算法则求出P的最大值和最小值，即可得到结果； ②根据，，6，20四个数字按要求进行混合运算，使其结果为24即可． 【规范解答】（1）解：， 点对应，点对应，点对应6，如图所示： （2）解：以点为折点，将此数轴向右折叠，点落在数轴上的点处， 在数轴上对应数字0， ∵点对应6， 点到点的距离为6个单位长度； （3）解：①由题意可得P的最大值为：， 最小值为：， ， 即P的最大值比P的最小值大200． ②．（答案不唯一） 题型十五 含乘方的有理数混合运算 【例15】（25-26七年级上·四川成都·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算. （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘除运算法则计算即可； （3）先计算绝对值，再根据有理数的加减运算法则计算即可； （4）先计算乘方和括号里的减法，再计算乘除，最后计算加法即可. 【规范解答】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式】（（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)0 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算除法，再计算绝对值，最后计算减法即可得到答案； （2）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算减法即可得到答案． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·云南昭通·月考）在，，0，，11中，负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题主要考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键；根据负数的定义，小于0的数是负数，0既不是正数也不是负数，由此问题可求解． 【规范解答】解：∵负数小于0， ∴在，，0，，11中，负数有和，共2个； 故选B． 2．（2025·新疆·一模）的相反数是（   ） A． B． C．2025 D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义即可解答． 【规范解答】解： 的相反数是 ，． 的相反数是． 故选：C． 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）十四届全国人大常委会第十次会议通过决定，将10月25日设立为台湾光复纪念日．台湾岛是我国第一大岛，面积平方千米，在世界大岛中列第38位．将用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【规范解答】解：将数据用科学记数法表示为； 故选：A． 4．（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查有理数的加减运算中去括号和省略加号的规则．根据去括号法则（正号不变号，负号变号），将每个选项的算式去括号并省略加号后，与给定的算式比较即可． 【规范解答】解：选项A：，不合题意； 选项B：，不合题意； 选项C：，不合题意； 选项D：，符合题意． 故选：D． 5．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知a、b互为倒数，化简： ． 【答案】 【思路引导】本题考查了倒数，有理数的混合运算，积的乘方的逆运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据倒数的意义可得，然后计算乘方，再整体代入计算即可． 【规范解答】解：∵a、b互为倒数， ∴ ∴ 故答案为：． 6．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，则 ； ； ．（填“”“”） 【答案】 【思路引导】本题主要考查了有理数与数轴，绝对值，有理数的乘法计算，正确得到，是解题的关键． 【规范解答】解：根据数轴可得，且， 为正，为负，即， 故答案为：；；． 7．比较大小： ．（填“”“ ”或“”） 【答案】 【思路引导】本题考查有理数大小比较．两个负数相比较，绝对值大的数反而小． 【规范解答】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）把下列各数填在相应的圈内： ，，0，12，，， 正数：{                                ……}； 负分数：{                                ……}； 非负整数：{                                ……}； 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据大于0的数为正数、小于0的分数是负分数、非负整数包括0和正整数，据此解答即可得． 【规范解答】解：正数：； 负分数：； 非负整数：． 9．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3)0 【思路引导】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据乘法分配律进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （3）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 10．（25-26七年级上·湖北十堰·期中）某公司将特色农副产品运往襄阳市场进行销售，设汽车的行驶时间为t小时，平均速度为v千米/时（汽车行驶速度不超过110千米/时）．根据经验，v，t的部分对应值如表： v（千米/时） 80 90 100 t（时） 4 (1)汽车行驶的时间随着平均速度v的增大而 （填“增大”或“减小”），该公司到襄阳市场的距离为 千米； (2)根据表中的数据，用式子表示v与t的关系，并说明，v与t成什么比例关系 (3)若汽车出发，能否在之前到达襄阳市场请说明理由． 【答案】(1)减小；360 (2)，v与t成反比例关系 (3)不能在之前到达襄阳市场，理由见解析 【思路引导】本题考查了有理数运算的应用，解题的关键是根据路程、速度、时间的关系分析变量之间的关系． （1）分析速度与时间的变化关系，根据路程速度时间，计算距离即可； （2）根据数据推导v与t的关系式，判断比例关系即可； （3）计算给定时间内的平均速度，与原平均速度比较即可． 【规范解答】（1）解：从表格数据可知，平均速度v增大时，行驶时间t减小， ∵总路程不变， ∴公司到襄阳市场的距离为千米， 故答案为：减小，； （2）解：由距离为定值360千米，得， ∴， ∵v与t的乘积为定值， ∴v与t成反比例关系； （3）解：由题意得，到的时间为3小时， ∴速度为千米/时， ∵规定汽车速度不超过110千米/时，且， ∴不能在之前到达襄阳市场． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列各数中互为相反数的是（    ） A．和2 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了相反数的识别，化简多重符号，只有符号不同的两个数互为相反数，据此利用化简多重符号的方法求出对应选项中两个数的结果即可得到答案． 【规范解答】解：A、和2不互为相反数，不符合题意； B、和互为相反数，符合题意； C、和不互为相反数，不符合题意； D、和不互为相反数，不符合题意； 故选：B． 2．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）下列各数：，其中负分数的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查了有理数的分类．负分数是指小于0的分数，需要判断每个数是否为小于0的分数，即可作答． 【规范解答】解：都是负分数；都不是负分数， 故选：B 3．（25-26六年级上·山东淄博·月考）我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．在古代数学名著《九章算术》里就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算的过程，按照这种方法，图2的过程应是在计算（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】此题考查了有理数的加法，解题的关键是：理解图1表示的计算． 由图1可以看出白色表示正数，黑色表示负数，观察图2即可列式． 【规范解答】解：由图1知：白色表示正数，黑色表示负数， 所以图2表示的过程应是在计算， 故选：D． 4．（25-26七年级上·湖北十堰·期中）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢2进1”，如表示二进制数，将它转换成十进制的形式是：，则将十进制数6转化成二进制数的结果为 【答案】 【思路引导】本题考查了含乘方的有理数混合运算的应用，正确理解十进制数转换成二进制数的方法是解题关键． 根据十进制数转换成二进制数的方法列出运算式子，再计算含乘方的有理数混合运算即可得． 【规范解答】解：由题意得， ， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·河北衡水·期中）比较大小： （选填“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【思路引导】本题考查了负数的大小比较． 比较两个负数的大小，需先比较它们的绝对值，绝对值较大的负数反而较小． 【规范解答】解：，， ，， 由于， 所以， 因此． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·广东江门·期中）已知等边三角形在数轴上的位置如图所示，顶点、分别对应的数为0、．将三角形从如图所示的位置沿数轴滚动（滚动一圈指线段再次落在数轴上），向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，每次滚动情况依次记录如下：，，，，，当三角形结束滚动时；点表示的数是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，绝对值的意义，解题的关键是理解题意． 根据滚动情况求出结束滚动时，点表示的数即可． 【规范解答】第一次滚动后，点表示的数为：； 第二次滚动后，点表示的数为：； 第三次滚动后，点表示的数为：； 第四次滚动后，点表示的数为：； 第五次滚动后，点表示的数为：； 故答案为：． 7．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）计算 (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查含乘方的有理数混合运算及有理数的乘法运算律，熟练掌握有理数的运算是解题的关键； （1）根据有理数的乘法结合律可进行求解； （2）先算乘方，然后再进行有理数的运算即可． 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式． 8．（25-26七年级上·山东日照·期中）把下列各数分别填入相应的大括号内： ． 分数集合：{___________…}； 整数集合：{___________…}； 非负数集合：{___________…}； 正有理数集合：{___________…}． 【答案】 见解析 【思路引导】本题考查了有理数．熟练掌握分数，整数，非负数，正有理数的概念与特点，是解题的关键．根据分数，整数，非负数，正有理数各自的概念选填即可得解． 【规范解答】解：分数集合：{3.5，，，}； 整数集合： {0，10，}； 非负数集合： {0，，，，}； 正有理数集合：{3.5，，10}． 9．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）我国自主研发的巡逻机器人备受关注，为安保工作提供了强有力的支持．某天小明发现一个巡逻机器人正在一条南北方向的公路上执行治安巡逻，规定；初始位置为0，向北为正，向南为负．机器人从初始位置到巡逻结束所走的路程（单位：km）如下：． (1)在这次巡逻中，该巡逻机器人离出发点的最远距离为多少？ (2)已知巡逻机器人的平均速度为，求这次治安巡逻的时间． 【答案】(1)5.5 km； (2)4 h． 【思路引导】本题考查正数和负数，绝对值及有理数运算的实际应用，结合已知条件列出正确的算式是解题的关键． （1）分别求得每次巡逻后距出发点的距离及位置后进行判断即可； （2）根据绝对值的实际意义列式计算即可． 【规范解答】（1）解：第1次： ； 第2次： ； 第3次： ； 第4次： ； 第5次： ； 第6次： ； ∴巡逻机器人在这次巡逻中离出发点最远的距离为， （2）解：此次巡逻共走：， ， 答：这次治安巡逻的时间． 10．（25-26七年级上·湖南株洲·期中）某自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车______辆； (2)根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车______辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元，少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)213 (2)1410 (3)84750元 【思路引导】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加法和有理数四则混合计算的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）用200加上周四的增减产量即可得到答案； （2）把这七天的增减产量相加，再加上，即可得到答案； （3）根据（2）所求先求出生产自行车的工资，再加上超额完成的奖励可得答案． 【规范解答】（1）解：辆， ∴该厂星期四生产自行车213辆； 故答案为：213； （2）解：辆， ∴该厂本周实际生产自行车1410辆； 故答案为：1410； （3）解：元， 答：该厂工人这一周的工资总额是84750元． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）有这样四句话：①一定是负数；②和4互为相反数；③任何有理数都有相反数；④一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非负数．其中正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．③ D．④ 【答案】B 【思路引导】本题考查正数和负数，相反数，绝对值，熟练掌握相关定义是解题的关键．逐句判断：①错误，因的符号取决于a；②正确，与4互为相反数；③正确，所有有理数均有相反数；④错误，绝对值等于相反数时该数为非正数． 【规范解答】解：①当a为负数时，为正数，故不一定是负数，①错误； ②与4只有符号不同，且和为0，故互为相反数，②正确； ③任何有理数a都有相反数，满足，③正确； ④若，则，即非正数，而非非负数，④错误． ∴ 正确的是②和③， 故选：B． 2．（25-26七年级上·重庆·期中）数轴上的点A 、B 、C 、D所表示的数如图所示，点M 为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点D沿数轴以每秒m 个单位长度向左平移．当点M 和点C 重合时同时停止运动．若在运动过程中始终满足，则m 的值为（   ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】C 【思路引导】本题考查了数轴上点的平移（动点问题），由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，，推出开始运动后，，即可求解． 【规范解答】解：由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，， 开始运动后，， ∵， ∴，整理得：； ∵在运动过程中始终满足， ∴，解得：， 故选：C． 3．（25-26七年级上·湖南怀化·期中）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为81，则第2025次输出的结果为（   ） A．27 B．9 C．3 D．1 【答案】C 【思路引导】本题考查了程序图的计算，数字的变化规律． 根据程序图计算出部分数值，找出变化规律，再根据规律解答问题即可． 【规范解答】解：第一次输出为：； 第二次输出为：； 第三次输出为：； 第四次输出为：； 第五次输出为：； 第六次输出为：； 第七次输出为：； ……， 从第二次输出开始以9，3，1循环， ， ∴第2025次输出结果为3． 故选：C． 4．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）如图，圆的周长为4个单位长度，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字 的点重合． 【答案】0 【思路引导】本题考查数轴上的规律探究，根据题意，得到0，3，2，1四个数为一组，用，取余即可得出结果． 【规范解答】解：由题意，从开始，按照0，3，2，1四个数为一组进行循环， ∵， ∴表示的点与圆周上表示数字0的点重合； 故答案为：0 5．（25-26七年级上·福建福州·期中）在日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数，如二进制中的，可以表示十进制中的10，那么八进制中的121表示十进制中的 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了进制问题，有理数的混合运算． 仿照题干所给进制的计算方法列式计算即可． 【规范解答】解：八进制数121转换为十进制数的计算过程为： ． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）一只电子跳蚤在数轴上跳动，它从表示的点出发，第1次向右跳2个单位长度，之后的每次跳动都与前一次方向相反，且比前一次多跳2个单位长度．若电子跳蚤第n次跳动后到原点的距离为23个单位长度，则n的值是 ． 【答案】18或27 【思路引导】本题考查了数轴上的动点运动规律、绝对值的应用及分类讨论思想，解题的关键是找出第次跳动后位置的表达式，结合到原点的距离列方程求解． 分析每次跳动的方向与距离，分为奇数、偶数两种情况推导第次跳动后的位置表达式，再根据位置的绝对值为23列方程，求解得到的值． 【规范解答】解：起点为，推导第次跳动后的位置： 当为奇数时，位置为； 当为偶数时，位置为． 由到原点的距离为23，得位置的绝对值为231． 若为奇数：，解得（舍去）； 若为偶数：，解得． 故答案为：18或27． 7．（25-26七年级上·湖南永州·期中）如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为P，Q，M，N，点P落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是 ． 【答案】Q 【思路引导】本题考查了图形类规律探索，根据圆的周长为4，且，，，为圆的四等分点，可得数轴上负方向上从2开始的整数每4个数为一个循环，依次对应，，，四点，求得到2的距离，然后计算即可． 【规范解答】解：根据题意可得：数轴上负方向上从2开始的整数每4个数为一个循环，依次对应，，，四点， ∵数轴上表示的点到2的距离为，， ∴圆上落在数轴上的点是Q， 故答案为：Q． 8．（25-26七年级上·河北衡水·期中）点为数轴的原点，点，在数轴上的位置如图所示，点表示的数为4，线段的长为线段长的2.5倍，点在数轴上，为数轴上的一个动点，其对应的数为． (1)点表示的数为______；若点到点，的距离相等，则的值为______； (2)若线段，求线段的长； (3)若从点开始出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为秒．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两个点的中点． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【思路引导】本题考查数轴上点表示的数，两点间的距离的求法，绝对值的几何意义，熟练掌握绝对值的几何意义解决两点间的距离问题是解题的关键． （1）由题意可得，求出，进而求出，即可得到点表示的数；再根据点到点，的距离相等，可得点为的中点，即可求解； （2）根据数轴上两点间的距离即可求解； （3）分为为的中点，为的中点，为的中点，三种情况讨论即可． 【规范解答】（1）解：∵点表示的数为4， ∴， ∵线段的长为线段长的2.5倍， ∴ ∵点在原点的左侧 ， ∴点表示的数为， ∵点到点，的距离相等， ∴为的中点， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵点表示的数为4，线段， ∴点表示的数为或， ∴或； （3）解：当为的中点时，， 运动时间（秒）， 当为的中点时，， 运动时间（秒）， 当为的中点时，不存在， ∴当为或10时，，和中恰好有一个点为其余两个点的中点． 9．（25-26七年级上·四川乐山·期中）乐山市出租车的计价标准为：行驶路程不超过千米收费元，超过千米的部分每千米元（不足千米按千米计算）． (1)小明乘出租车从家到外婆家，相距千米，应付车费多少钱？ (2)王老师从学校去相距千米的教育局取一份资料后立即返回学校，他有两种乘车方案： 方案一：去程和回程各乘一辆出租车，按正常方式计费； 方案二：去去程和回程乘同一辆车，按总路程计费一次，但超过千米部分按每千米元计费．（司机等候的时间不计费）他怎样乘车比较合算？需付多少元出租车费？ 【答案】(1)元 (2)按照方案二乘车比较划算，需付元出租车费 【思路引导】此题考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意． （1）把千米看作千米，用元加上超过千米部分的费用，即可求解； （2）根据两个方案分别列式计算出租车费，比较后即可得到答案． 【规范解答】（1）解：不足千米按千米计算， 千米看作千米， 根据题意可得，（元）， 答：应付车费元钱； （2）方案一：（元）； 方案二：（元）， ， 按照方案二乘车比较划算，需付元出租车费． 10．（25-26七年级上·江西南昌·期中）在数轴上，把原点记作点，表示数1的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点，点重合），将与的长度之比称为点的特征值，记作【】，即，例如：当点在上且时，点的特征值． (1)如图，点，，为数轴上三个点，点的数是，点与表示的数互为相反数，点为1到2之间的一个点： ①点表示的数是_______； ②【】=_______，【】=_______； ③比较【】、【】、【】的大小_______（用“<”连接）； (2)数轴上的点满足，求【】； (3)若数轴上有一点，初始位置表示的数是，现在点以每秒2个单位的速度沿着数轴向右运动，请求出为何值时，使得； (4)数轴上的点表示有理数，已知且【】为整数，则所有满足条件的的倒数之和是多少？请直接写出答案． 【答案】(1)①；②，；③ (2)或 (3)或 (4) 【思路引导】（1）①根据相反数的定义解答即可； ②根据特征值的定义进行计算即可； ③根据特征值的定义，结合②进行比较即可； （2）根据特征值的定义进行解答即可，注意有两种情况； （3）根据题意，用代数式表示运动的长度，从而代入求值计算即可； （4）根据新定义，用不同的求出的值，找出规律，计算即可． 【规范解答】（1）解：①根据题意得，点的数是，点与表示的数互为相反数， 则点表示的数为， 故答案为：； ②点表示的数是，点表示的数是， 则， 由于， 即 因此 同理得， 因此， 故答案为：，； ③由图可知， 因此， 故答案为：； （2）解：由、得， 则、或 因此或； （3）解：根据题意得，点以每秒2个单位的速度沿着数轴向右运动，运动时间为， 则运动距离为， 根据得， 即 即或 解得或； （4）解：根据得，， 由于且【】为整数，得，为1到99的自然数， 则且为的整数倍， ， 当时，或（舍去），此时， 当时，或，此时或， 当时，或，此时或， 以此类推，所有满足条件的的倒数之和是 ． 【考点剖析】本题考查有理数的加减运算、新定义问题，正确理解新的定义是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $