专题04 基本几何图形（必备知识+25大题型+分层训练）（期末复习讲义）七年级数学上学期新教材青岛版

专题04 基本几何图形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 立体图形和平面图形 了解点、线、面、体的概念及它们之间的关系 常结合生活实例考查识别与转换，判断展开图与折叠后图形对应关系。 线段、射线和直线 能够表示线段、射线和直线，会比较线段的长短。 多以选择题考查概念区分，也会结合计算考线段长度、位置关系等。 角 掌握角的表示方法与度量单位，掌握比较角大小的方法。 常考角度计算与角平分线性质，结合时钟问题或方位角综合出题。 知识点01 图形的认识 1）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球都是常见的几何体，又简称为体。几何体是由面组成的。 2)在长方体中，相邻两个面的交接处是一条线段，我们把它叫作棱，圆锥的侧面与底面的交接处是圆。 3）一般而言，两个面的交接处是一条线，线可以是直的，也可以是曲的。线与线的交接处是一个点，点一般用一个大写字母表示，如点P。在长方体中，棱与棱的公共点叫作长方体的顶点。 4）长方体、圆柱、圆锥、球、三角形、平行四边形、梯形、圆等都是几何图形。 5）如果几何图形上的点不都在同一个平面内，那么这样的几何图形叫作立体图形。 6）如果几何图形上的点都在同一个平面内，那么这样的几何图形叫作平面图形。 7）长方体、圆柱、圆锥、球等都是立体图形。线段、角、三角形、平行四边形、梯形、圆等都是平面图形。 8）流星给我们以“点动成线”的形象，折扇扇骨移动形成的扇面给我们以“线动成面”的形象，旋转门给我们以“面动成体”的形象。点、线、面、体的运动变化，能组成各种各样的几何图形。点是构成图形的基本元素。 知识点02 线段、射线和直线 1）线段有两个端点;线段向一个方向无限延伸得到射线,射线只有一个端点;线段向两个方向无限延伸得到直线,直线没有端点。 2）射线、线段都是直线的一部分。 3）我们可以用两个大写字母或一个小写字母表示线段、射线、直线。 ①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB． ②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边． ③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）． 4）基本事实 经过两点能且只能作一条直线。简单说成:两点确定一条直线。 5）基本事实 两点间所有连线中,线段最短。简单说成:两点之间,线段最短。连接两点间的线段的长度,叫作这两点间的距离。 知识点03 线段的比较与运算 1）在数学中,只使用无刻度的直尺和圆规作图的方式称为尺规作图。 2）比较两条线段长短的方法有两种：度量法、叠合法。 3）如果点M 把线段AB 分成相等的两条线段AM 与BM,那么点 M 叫作线 段AB 的中点。 知识点04 角 1）有公共端点的两条射线组成的几何图形叫作角。这个公共端点叫作角的顶点,这两条射线叫作角的边。 2）角通常用符号 “∠”和三个大写英文字母表示,如图中的角可以记作∠AOB 或∠BOA,表示顶点的字母O 必须写在中间, 读作 “角AOB”或 “角BOA”。如果顶点处只有一个角,也可以只用这个顶点的字母来表示这个角,如图中的角也可记作∠O。 3）为了方便表示,有时在靠近角的顶点处画上弧线,用一个数字或一个小写希腊字母表示一个角。 4）角还可以看作由一条射线绕着它的端点从起始位置旋转到终止位置所形成的图形。如图,射线的端点O 叫作角的顶点,起始位置的射线 OA 叫作角的始边,终止位置的射线OB 叫作角的终边。当终边OB 与始边OA 成一条直线时,形成平角; 当终边OB 与始边OA 重合时,形成周角。 5）为了更精密地度量角,把1°的角60等分,每一份叫作1分的角,1分记作 1'。把1'的角60等分,每一份叫作1秒的角,1秒记作1″。由此得到 1°=60',1'=60″。 6）度、分、秒是角的基本度量单位。 知识点05 角的比较与运算 1）比较两个角大小的方法有两种：度量法、叠合法。 2）从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线 叫作这个角的平分线。 知识点06 余角与补角 1）一般而言,如果两个角的和为90°,就说这两个角互为余角,简称互余,其中一个角叫作另一个角的余角。 2）类似地,如果两个角的和为180°,就说这两个角互为补角,简称互补,其中一个角叫作另一个角的补角。 3）同角或等角的余角相等; 同角或等角的补角相等。 题型一 平面图形旋转后所得的立体图形 【例1】（25-26七年级上·山西运城·期中）随着人工智能技术的快速发展，利用画图可快速生成多样图像，输入文字描述即可得到符合需求的画面，相关技术被广泛应用于设计、创意等领域如图是利用某国产软件生成的一个创意花瓶，下列平面图形绕虚线旋转一周可以得到该花瓶的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据面动成体对各选项分析判断利用排除法求解． 本题考查了点、线、面、体，准确识图观察出得到的几何体的曲面的形状是解题的关键． 【规范解答】解：观察四个选项，A选项中的平面图形绕虚线旋转一周可以得到该花瓶， 故选：A． 【变式】（25-26七年级上·陕西西安·期中）下图所示的是由直角三角形和长方形拼成的四边形． (1)将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是_______（填序号）． ①点动成线：②线动成面；③面动成体． (2)求得到的立体图形的体积．（，结果保留） 【答案】(1)③ (2) 【思路引导】本题考查了点、线、面、体的关系及旋转体体积的计算，解题的关键是理解面动成体的原理，结合旋转轴和相关边长准确确定旋转后立体图形的组成及参数． （1）根据四边形绕虚线旋转成立体图形的过程，判断体现的点、线、面、体关系； （2）明确沿长方形一边旋转后，立体图形由底面半径、高的圆柱和底面半径、高的圆锥组成，根据圆柱和圆锥的体积公式，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：四边形绕虚线旋转一周得到立体图形，说明面动成体． 故答案为：③． （2）解：由题意得，沿长方形一边旋转后，立体图形由底面半径、高的圆柱和底面半径、高的圆锥组成， ∴得到的立体图形的体积为： ． 题型二 直线、线段、射线的数量问题 【例2】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，已知四点A、B、C、D，请按下列要求作图（保留画图痕迹） (1)画直线； (2)画射线； (3)连接，在线段上取点，使的值最小； (4)数一数此时图中共有几条线段，几条射线？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)8条线段，6条射线 【思路引导】本题主要考查了画出直线、射线、线段，两点之间线段最短等知识点，熟练掌握直线、射线、线段的定义及“两点之间线段最短”是解题的关键． （1）根据直线的定义画出图形即可； （2）根据射线的定义画出图形即可； （3）根据两点之间线段最短作出点P即可； （4）根据线段和射线的定义求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，直线即为所求作； （2）解：如图，射线即为所求作； （3）解：如图，点即为所求作． （4）解：图中有线段，，，，，，，，共有8条； 以A为端点的射线有3条，以B为端点的射线有2条，以D为端点的射线有1条，共6条． 【变式】（25-26七年级上·吉林长春·期中）直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有 .（只填写序号） 【答案】②③④ 【思路引导】本题主要考查直线、射线、线段，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据直线、线段、射线的相关概念可进行求解． 【规范解答】解：由图可知： ①点在直线外，故原说法错误； ②直线经过点，原说法正确； ③直线、交于点，故原说法正确； ④点在直线外，原说法正确； ⑤图中是射线的有：射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线共条，故原说法正确； 以上表述正确的有②③④； 故答案为②③④． 题型三 直线相交的交点个数问题 【例3】（24-25七年级上·山东济宁·期末）在同一平面内，我们把条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了探究规律，两条直线相交，最多有个交点，三条直线两两相交，最多有个交点，四条直线两两相交，最多有个交点，据此可求解；找出规律是解题的关键． 【规范解答】解：两条直线相交，最多有个交点， 三条直线两两相交，最多有个交点， 四条直线两两相交，最多有个交点．．． 按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是， 故选：A． 【变式】（24-25七年级上·广西玉林·期末）如图，点A，B，C，D在同一平面内，按要求完成作图及作答： (1)在图1中，画直线，画射线，并连接； (2)在（1）的条件下，在图1中，在射线上画一点E，使得最小，此画图的依据是_______； (3)在图2中，平面已经被分成了_______个不同的区域，过点D再画一条直线，则此时平面最多有_______个不同的区域． 【答案】(1)见详解； (2)见详解，两点间线段最短； (3)7，11． 【思路引导】本题主要考查了作直线，射线，及线段的基本性质，掌握直线、射线、线段的概念和线段的性质是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）连接交于点，点即为所求作，依据：两点间线段最短，据此即可求解； （3）根据题意画出图形即可得平面内最多不同的区域． 【规范解答】（1）解：直线，射线，线段，如图所示， ； （2）解：如图，点即为所求作； 此画图的依据是两点间线段最短； 故答案为：两点间线段最短； （3）解：如图，平面已经被分成了7个不同的区域，过点再画一条直线，则此时平面最多有11个不同的区域． 故答案为：7，11． 题型四 两点之间线段最短 【例4】（25-26七年级上·江西吉安·期中）如图．已知四点A，B，C，D．读下列语句，并分别画出图形．（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)画直线，线段； (2)画射线，并与直线交于点E； (3)连接，在线段上取点P，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查的是画直线，射线，线段，两点之间线段最短的含义，熟练的画图是解本题的关键； （1）根据直线和线段的定义画图即可； （2）根据射线的定义画图即可； （3）连接交于点，根据两点之间线段最短，点P即为所求． 【规范解答】（1）解：如图所示，直线，线段即为所求； （2）解：如图所示，射线，点E即为所求； （3）解：如图所示，点P即为所求． 【变式】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）问题提出： 如图1，A、B、C、D表示四个村庄，村民们准备合打一口水井． （1）问题解决：你能给出一种使水井到各村庄的距离之和最小的方案吗？若能，请在图2中标出水井的位置点M，并说明理由． 问题拓展： 如果（1）问中找出的水井经过招标，由两个工程队修建（不存在同时修建），已知甲工程队单独完成需要80天，乙工程队单独完成需要120天，且甲工程队比乙工程队每天多修建； （2）水井要修建几米？ （3）若甲工程队每天的施工费为0.5万元，乙工程队每天的费用是0.25万元，为了缩短工期和节约资金，则甲工程队施工几天才能使工程款正好是35万元？（甲、乙两队的施工时间不足一天按一天算） 【答案】（1）能，见解析；（2）水井要修建120米；（3）甲工程队施工40天才能使工程款正好是35万元 【思路引导】本题考查线段的性质，一元一次方程的实际应用，熟练掌握两点之间线段最短，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据两点之间线段最短，得到当打井的位置选在和的交点时，水井到各村庄的距离之和最小，即可； （2）设乙工程队每天修建x米，根据题意，列出方程进行求解即可； （3）设甲工程队施工m天才能使工程款为35万元，根据题意，列出方程进行求解即可． 【规范解答】解：（1）如图2：连接，当打井的位置选在和的交点时，水井到各村庄的距离之和最小，根据“两点之间线段最短” （2）设乙工程队每天修建x米，则甲工程队每天修建米， 由题意，得：，解得， （米）； 答：水井要修建120米 （3）设甲工程队施工m天才能使工程款为35万元，由（2）知：甲工程队每天修建（米）， 由题意，得：， 解得， 答：甲工程队施工40天才能使工程款正好是35万元． 题型五 最短路径问题 【例5】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，m是某工业园区的中轴线，某科技公司的工作区A和生活区B在m同侧，从图纸上看它们正好在正方形网格的格点上．公司计划在中轴线上选一点P发放午餐，工作人员一般是从工作区A下班后到P点领取午餐，然后到休息区B就餐、休息．P点选在哪一点才能使工作人员所走的路程之和最短？请在下图中标出点P的位置并画出工作人员所走路线． 【答案】P点选在关于直线的对称点和点B的连线于直线m的交点；路线见解析 【思路引导】本题考查了轴对称解决最短路径问题，解题关键是依据轴对称性质和两点之间线段最短来确定P点． 作关于直线的对称点（或作关于直线的对称点 ） ． 连接（或 ），这条线段与直线的交点就是所求的点 ．因为根据轴对称性质，（或 ），那么（或 ），而两点之间线段最短，所以此时的和最短，连接，这就是工作人员所走的最短路线． 【规范解答】解：作关于直线的对称点，连接，交直线m于点P，点P即为使路程和最短的点； 连接，这就是工作人员所走的最短路线． 【变式】（24-25七年级上·湖北咸宁·期末）如图，甲、乙两个圆柱体，底面半径分别为，高均为． (1)请分别画出它们的侧面展开图并标注各边长； (2)请用代数式表示两个圆柱体的侧面的面积之和______________； (3)如果一只蚂蚁从点A沿甲圆柱体侧面爬行两圈到达点，另一只蚂蚁从点沿乙圆柱体侧面爬行一圈到达点，均沿最短路线爬行，请猜想：它们的路线长是否相等？请在（1）问所画的侧面展开图基础上，用虚线画出最短路线． 【答案】(1)见解析 (2) (3)路线长相等，见解析 【思路引导】此题主要考查了圆柱侧面展开图，熟练掌握展开图长宽画法，圆周长公式，矩形面积公式，平面展开图中两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短． （1）按甲乙两圆柱体等高，乙周长是甲周长的2倍画图； （2）按计算； （3）一只蚂蚁爬行的最短路程为圆柱展开图中的的连线，另一只蚂蚁爬行的最短路程为圆柱展开图中的的连线，根据两个矩形全等，对角线相等可得两只蚂蚁爬行的最短路程相等． 【规范解答】（1）解：下图所示实线部分为此工件的侧面展开图： （2）； 故答案为：； （3）答：它们爬行的路线长相等，图中虚线即为最短路线长 题型六 线段的和与差 【例6】（25-26七年级上·重庆·期中）如图，点C是线段上一点，且，点M和点N分别是线段和线段中点 (1)若，求线段的长； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)线段的长为6 (2)线段的长为28 【思路引导】本题考查了线段的和与差，线段的中点，理解题意是解题的关键． （1）根据可得，由的长度可求得的长，再由线段中点的定义可求得和的长，进而即可求解； （2）设，则，根据题意得，再根据可得，即可求出，进而可求出、的长，进而即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，且， ∴， ∴ ， ∵N是中点， ∴， ∵M是中点， ∴． ∴ ； （2）解：设， ∵N是中点， ∴， 根据题意得，， ∴ ， ∵， ∴ 解得， ∴， 由（1）得， ， ∵M是中点， ∴， ∴ ． 【变式】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，点C在线段上，D，E分别是的中点． (1)若，求线段的长； (2)在其他条件不变的前提下，若C为线段上任意一点（不与点A，B重合），且满足，请直接写出线段的长（结果中可以含有字母m）； (3)若点C在线段的延长线上（不与点B重合），且满足，点D，E分别是的中点，猜想线段的长（结果中可以含有字母n），并说明理由． 【答案】(1)13 (2)；理由见解析 (3)，理由见解析 【思路引导】本题考查了线段中点、线段的和差等知识点，能熟练利用线段的中点及线段的和差进行求解是解题的关键． （1）由线段的中点得、，由线段的和差得求解即可； （2）由线段的中点得、，由线段的和差得求解即可； （3）由线段的中点得、，由线段的和差得求解即可． 【规范解答】（1）解：∵D，E分别是的中点， ，， ． （2）解：；理由如下： ∵D，E分别是的中点， ∴、， ． （3）解：，理由如下： 如图：∵D，E分别是的中点， ∴、， ． 题型七 线段中点的有关计算 【例7】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，是线段的中点，点在线段上，且．若，求线段的长． (1)请将下面的解题过程补充完整； 解：因为是线段的中点，，所以______=________． 因为点在线段上，， 所以________________， 所以______=_______． (2)在图中，用圆规在线段上找一点E，使得，并直接写出与的数量关系． 【答案】(1)；18；；；；3． (2)见解析， 【思路引导】本题考查了线段中点的性质与线段的和差运算，解题的关键是利用中点性质和线段比例关系求出各线段长度． 先由中点性质得的长度，再根据与的比例关系求出，最后通过计算出的长． 根据确定点的位置，再结合各线段长度得出与的数量关系． 【规范解答】（1）解： 是线段的中点， ． 已知，则． 点在线段上，且， ． ， ． 把代入可得． ，， ． 故答案依次为：；18；；；；3． （2） C 是线段 AB 的中点， ． 又 ， 根据线段的和差关系，． 把，代入可得． ，， ． 的数量关系为． 【变式】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）点是线段的中点，，点在线段上，且． (1)如图，若点在线段上，求的长； 完成下面的解答过程： 解：， ． ， __________． 是线段的中点，， （__________）．（填推理的依据） __________． (2)若点在直线上，是的中点．尝试在下面画出符合题意的图形，并直接写出__________． 【答案】(1)，线段中点定义， (2)画图见解析，或 【思路引导】此题考查线段的中点定义，线段的和差计算， （1）根据线段中点定义及线段和差关系解答； （2）根据点在直线上，分类讨论：当点在线段上时，当点在点右边时，由此即可求解． 【规范解答】（1）解：，， ． ， ． 是线段的中点， ．（线段中点定义） ． （2）解：当点在线段上时，如图， 由（1）可得，， ∵C是线段的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴； 当点在点右边时，如图， ∵， ∴，， ∵C是线段的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴； ∴或． 题型八 线段n等分点的有关计算 【例8】（24-25七年级上·广西河池·期末）已知线段，，点，的位置如图所示． (1)作射线，请用圆规在射线上依次截取，；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作图形中，若，为的中点，在图形中标出点，的位置，再求出当，时，线段的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【思路引导】（1）按照要求作出射线，线段、即可； （2）由已知条件可得，，由线段等分点的定义可得，由为的中点可得，由线段的和差关系可得，然后根据即可求出线段的长． 【规范解答】（1）解：如图，射线，线段、即为所求作； （2）解：在图形中标出点，的位置如图所示， ，， ，， ， 为的中点， ， ， ． 【考点评析】本题主要考查了画出直线、射线、线段，作线段（尺规作图），线段等分点的有关计算，线段中点的有关计算，线段的和与差等知识点，熟练掌握尺规作图的基本方法和技巧以及线段的相关计算是解题的关键． 【变式】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知线段长为12，点是线段的三等分点，点是线段上一点，且满足，则 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查线段的和与差，分和当两种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】解：当时，如图： ∵， ∴； 当时，如图： 则：， ∵， ∴， ∴； 综上：或； 故答案为：或． 题型九 线段之间的数量关系 【例9】如图，点E是线段的中点，C是线段上一点，； (1)若，求的长； (2)若F为的中点，求长． 【答案】(1)20 (2)6 【思路引导】本题考查与线段中点有关的计算、一元一次方程的几何应用，根据图形得到线段间的数量关系是解答的关键． （1）设，则，先根据线段中点求得，由列方程求得x，进而由可求解； （2）根据点E是线段的中点，得出，根据F为的中点，得出，根据，求出结果即可． 【规范解答】（1）解：设，由得， ∵点E是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； （2）解：∵点E是线段的中点， ∴， 为的中点， ， ． 【变式】（25-26七年级上·河北唐山·期中）线段，点在线段上，是线段的中点，是线段的中点．    (1)求线段的长度； (2)老师说：其它条件不变，无论长度怎么改变，线段和始终满足一个不变的数量关系，请你直接写出来． 【答案】(1)线段的长度为； (2)． 【思路引导】本题考查线段中点的相关计算，线段和差，线段之间的数量关系． （1）根据题意可得，，由，即可得； （2）根据题意可得，，结合，即可得线段和的数量关系． 【规范解答】（1）解：∵点在线段上，是线段的中点，是线段的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的长度为． （2）解：∵点在线段上，是线段的中点，是线段的中点， ∴， ∴． 题型十 与线段有关的动点问题 【例10】（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【思路引导】本题考查了数轴的应用，线段的中点性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 根据两点间距离进行计算即可判断①；利用路程除以速度即可判断②；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，由题意求出的长， 再利用路程除以速度即可判断③；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，利用线段的中点性质进行计算即可判断④； 【规范解答】∵A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且， ∴B对应的数为，故①正确； ∵， ∴点P到达点B时，，故②是正确的； 当点P在点B右边时， ∵， ∴， ∴； 当点P在点B左边时， ∵， ∴， ∴， ∴时，或，故③错误； 在点P的运动过程中，当点P在点B右边时， ； 在点P的运动过程中，当点P在点B左边时， ； ∴在点P的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故④错误； ∴正确结论有①②， 故选：A． 【变式】（24-25七年级上·江苏无锡·月考）如图①，点M在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“二倍点”． (1)一条线段的中点 这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）； (2)如图②，若，点N是线段的二倍点，则 ；（用含a的代数式表示） (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也停止移动，设移动的时间为，求当t为何值时，点Q恰好是线段的二倍点． 【答案】(1)是 (2)或或 (3)为或时，点恰好是线段的二倍点 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及两点间的距离，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键. （1）利用中点及“二倍点”的定义，即可得出一条线段的中点是这条线段的“二倍点”； （2）设，则，根据点是线段的二倍点，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）利用时间路程速度，可求出点到达点及点与点相遇所需时间，当时，表示，，的长，根据点是线段的二倍点，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论. 【规范解答】（1）解：根据题意得：一条线段的中点是这条线段的“二倍点”， 故答案为：是； （2）解：设，则， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，或或， 故答案为：或或； （3）解：(秒)，(秒)， 当时，，，， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， 答：当为或时，点恰好是线段的二倍点． 题型十一 作线段（尺规作图） 【例11】（25-26七年级上·山东枣庄·期中）如图，已知线段． (1)请用尺规按要求作图．（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①在线段的延长线上取点，使； ②在线段的延长线上取点，使； (2)在（1）的条件下，图中共有 条线段； (3)在（1）的条件下，若，求线段和的长度； (4)在（1）的条件下，若，点在直线上，且，求线段的长度． 【答案】(1)①见详解；②见解析 (2)6 (3) (4)或 【思路引导】本题考查了简单作图-做线段、线段的等量关系等知识，厘清图中线段的等量关系是解答本题的基础． （1）①以B为圆心为半径画弧交的延长线于点C，即为所求；②以A为圆心，为半径画弧交的延长线于点D，即为所求； （2）任意两个点的连线即是一条线段，据此即可求解； （3）根据（1）中的等量关系即可求解． （4）分两种情况，当点在点左侧时和当点在点右侧时，画出对应的图形分别求解即可． 【规范解答】（1）解：①如下图：即为所求 ②如下图：即为所求； （2）解：图中的线段有：、、、、、，共计6条， 故答案为：6； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6、9． （4）解：当点在点左侧时，如下图： ∵， ∴，， ∴， ∴ 当点在点右侧时，如下图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 综上：为或． 【变式】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知三点A、B、C，请用尺规作图完成． (1)画直线、射线； (2)连接并延长到E，使得（保留画图痕迹） (3)在（2）条件下，若，点F为的中点，求线段的长的解法如下，请将过程填写完整． 解：∵ ∴ ∵点F为的中点 ∴______=______ ∴______（填写线段名称）=______ 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【思路引导】本题考查了画直线，射线，线段；线段的和差关系，与中点有关的线段运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据射线，直线的定义进行作图，即可作答． （2）理解题意，先画出射线，再以点为圆心，以为半径，画弧，交射线的延长线于点，然后以点为圆心，以为半径，画弧，交射线的延长线于点，即可作答． （3）理解题意，再联系上下过程，进行补充完整，即可作答． 【规范解答】（1）解：直线、射线如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：依题意， ∵， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∴． 题型十二 画特殊角 【例12】（24-25七年级上·山东德州·期末）如图，点C在的边上， (1)选择合适的画图工具按要求画图． ①反向延长射线，得到射线； ②画的角平分线； ③在射线上截取； ④在射线上作一点P，使得最小； (2)写出你完成④的作图依据： ． 【答案】(1)答案见解析 (2)两点之间，线段最短 【思路引导】本题考查了线段、射线、角平分线的画法，两点之间线段最短，熟练掌握线段、射线、角平分线的画法是解题的关键． （1）①反向延长射线即可；②用量角器画出的角平分线即可；③用圆规截取即可；④连结，与的交点即为所求； （2）根据两点之间线段最短，可知④中的作图正确． 【规范解答】（1）如图，即为所求的图形； （2）因为两点之间线段最短，所以连结，与的交点P即为所求． 故答案为：两点之间线段最短． 【变式】（2021七年级上·全国·专题练习）（2019·山东青岛市·七年级期中）作图题：已知：∠α、∠β、   求作：∠AOB，使∠AOB=∠α+∠β 【答案】作图见解析 【思路引导】利用量角器作∠AOC=∠α，在∠AOC外以OC为边作∠COB=∠β，所以∠AOB=∠α+∠β，即为所求作的角． 【规范解答】如图所示：（1）作∠AOC=∠α， （2）在∠AOC外以OC为边作∠COB=∠β， 则∠AOB即为所求作的角． 【考点评析】本题主要考查了用量角器作角，准确分析作图是解题的关键． 题型十三 钟面角 【例13】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）钟表上的时间显示为，此时时针和分针之间形成的角（小于平角）的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查求钟面角，分别求出每分钟时针所走的角度，结合角度加减即可得到答案. 【规范解答】解：由题意可得， 每分钟时针走：， ∴时针和分针之间形成的角为：， 故选：B． 【变式】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，当时钟指向上午10∶15时，时针和分针所成的角的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了钟面角的计算，解题的关键是掌握分针和时针的转速，分别计算它们在10：15时的转过的角度，再求夹角． 【规范解答】解：分针每分钟转，15分钟转；时针每小时转，每分钟转，10时15分时针转； 夹角为，取小于的角，． 故答案为：． 题型十四 与方向角有关的计算题 【例14】（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东的方向上，同时在它北偏东、西北（即北偏西）方向上又分别发现了客轮B和海岛C． (1)仿照表示灯塔方位的方法，分别画出表示客轮B和海岛C方向的射线，（不写作法）； (2)若有一艘渔船D，且是它补角的，则渔船D在货轮O的__________（写出方位角） 【答案】(1)画图见解析 (2)南偏东或北偏东 【思路引导】本题考查方位角以及补角的含义，一元一次方程的应用，解题关键在于熟悉方位角定义． （1）根据方向角的度数，再画图可得答案； （2）根据补角的含义，可得的度数，根据角的和差，可得方向角． 【规范解答】（1）解：客轮B和海岛C方向的射线，如图所示： ； （2）解：∵是它补角的， ∴, 解得：， 如图， 故D在O南偏东或北偏东． 【变式】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知，C为的中点，回答下列问题： (1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？ (2)商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方位？哪两个地方的方位是相同的？ (3)若学校距离小明家，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？ 【答案】(1)学校和公园 (2)商场在小明家北偏西方向上，学校在小明家北偏东方向上，公园在小明家南偏东方向上，停车场在小明家南偏东方向上；公园和停车场的方位相同 (3)； 【思路引导】本题主要考查了用方位角和距离确定位置，正确读懂图示是解题的关键． （1）求出的长，得到即可得到答案； （2）根据图示结合方位角的表示方法求解即可； （3）根据题意可知地图上表示实际，据此列式求解即可． 【规范解答】（1）解：∵C为的中点，， ∴， ∴， ∴图中距小明家距离相同的是学校和公园； （2）解：由题意得，商场在小明家北偏西方向上， 学校在小明家北偏东方向上， 公园在小明家南偏东方向上， 停车场在小明家南偏东方向上， ∴公园和停车场的方位相同． （3）解：∵学校距离小明家， ∴商场距离小明家，停车场距离小明家． 题型十五 角的单位与角度制 【例15】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)2 【思路引导】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，有理数的加减混合运算，角度制的计算，熟练掌握相关运算方法以及运算顺序为解题关键． （1）先化简符号，再计算； （2）分别计算度与分的部分，再换算即可； （3）先算绝对值内的和乘方运算，再算乘除，最后算加减． 【规范解答】（1）解： ； （2）； （3） ． 【变式】（24-25七年级上·贵州毕节·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了有理数混合运算，度、分、秒的减法运算，解题的关键在于熟练掌握有理数混合运算顺序、运算法则和运算律，度、分、秒是60进制． （1）先计算1的乘方，分配律展开，再计算乘法，最后计算加减； （2）利用度、分、秒的换算即可，1度转化为60分，1分转化为60秒． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 题型十六 角的度数大小比较 【例16】．（24-25七年级上·山东日照·期末）下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是 B．近似数与的精确度相同 C． D．钟面上3点分，时针与分针的夹角为 【答案】C 【思路引导】本题考查了单项式的系数，精确度和近似数，角的度数大小比较和钟面角，正确掌握单项式系数的定义，精确度和近似数及度数的大小是解题的关键； 根据单项式系数的定义，精确度和近似数及度数的大小比较方法逐项判断即可． 【规范解答】解：A、单项式的系数是，故该选项说法错误，不符合题意； B、近似数精确到百分位，精确到十分位，精确度不同，故该选项说法错误，不符合题意； C、，即，故该选项说法正确，符合题意； D、钟面上3时分，时针与分针的夹角为度，故该选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 【变式】（23-24七年级上·河北唐山·期中）已知，，，则相等的两个角是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【思路引导】本题考查了角的度数大小比较，以及角的单位换算，熟练掌握角的单位与角度制的换算是解答本题的关键．根据已知条件，将三个角的单位统一化成度，再比较找出相等的两个角，即可解题． 【规范解答】解： ，，， ， 故选：B． 题型十七 角的比较 【例17】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，每个小方格的边长都相等，以为角的一边，画一个角等于． (1)你认为角的另一边是，，，的哪一条？ (2)，，，这些角相等吗？如果不相等，请你按从大到小的顺序将它们排列． 【答案】(1)另一边是 (2)这些角不相等， 【思路引导】本题考查了角的比较和运算，解答本题的关键是掌握角的有关知识． （1）根据正方形的对角线是，进行解答； （2）由图可知角的两边张口越小，角的大小就越小，由此解答． 【规范解答】（1）解：因为正方形的对角线是， 所以另一边是； （2）由图可知：角的两边张口越小，角的大小就越小， 则，，，这些角不相等， 按从大到小的顺序排列为：． 【变式】（24-25七年级上·重庆江津·期末）如图，直角三角板的直角顶点在直线上，平分． (1)比较和的大小，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了角的比较大小和角平分线有关的计算，一元一次方程的应用，解决此题的关键是熟练运用角平分线的定义及角的和差列出方程式． （1）先说明，再说明，从而得出，再根据，即可得到； （2）根据，设，，则，列方程即可求得． 【规范解答】（1）解： ；理由如下： ， ， 平分， ， ， ， ； （2）解：， 设，， ， ， ， ． 题型十八 三角板中角度计算问题 【例18】．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，且直角三角板在直线的上方． (1)如图，若直角三角板的一边在射线上，则的度数为_______； (2)如图，直角三角板的边在的内部，若恰好平分．求此时的度数； (3)在图中，请直接写出与之间的数量关系：_______． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算． ()根据角的和差关系进行计算即可； ()角的和差关系求出的度数，根据角平分线的定义，求出的度数即可， ()由题意得，由，得到，据此计算即可得出结果． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵恰好平分 ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式】（25-26七年级上·河北唐山·期中）借助一副三角板，可以得到一些平面图形． (1)如图，求的度数； (2)将图中的三角板绕点顺时针旋转___________度时，边与边首次重合，并直接写出此时的度数． 【答案】(1) (2)， 【思路引导】本题考查三角板中有关的计算，找准角的和差关系，是解题的关键： （1）根据角的和差关系进行计算即可； （2）根据题意，求出旋转度数，再利用角的和差关系进行计算即可． 【规范解答】（1）解：由题意，， ∴； （2）解：由题意，当边与边首次重合时，旋转的角度为的度数，即为， 此时． 题型十九 几何图形中角度计算问题 【例19】（25-26七年级上·山东济南·期中）图①中的水车是一种古老的提水灌溉工具，图②是它的示意图，水车的主体是一个圆形，且被等分成了8份，是水车的支架，．水车的支架固定不动，水车的主体可绕着圆心O旋转． (1)______度； (2)在图②中，若平分，则______度； (3)在图②中，若，则______度； (4)在水车的旋转过程中，设的度数为，直接写出的度数用含x的代数式表示，所有角都小于平角 【答案】(1)45； (2)15； (3)25； (4)的度数为或或或 【思路引导】（1）因为水车模型是一个中心角为360度，平均分成8等份，因此可以求出每一等份的度数； （2）由三角形为等边三角形，由角度差即可求解； （3）由（1）和，利用角度差即可求解； （4）分六种情况讨论，从而写出的度数． 本题主要考查圆周角的等分，等边三角形及角平分线的性质，解答本题的关键是明确所求的各角和已知角度之间的和差关系． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：45； （2），平分， ， ， 故答案为：15； （3）， ， ∵， ， 故答案为：25； （4）当在内部，在外部时， ， ， ， 如图，当在外部，在内部时，， ， 当都在内部时，； 如图，当都在左侧时，，则； 如图，当都在右侧时，，则 综上所述：的度数为或或． 【变式】（25-26七年级上·全国·课后作业）综合与探究 问题情境 数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题．如图1，，射线在的内部，射线在的内部． 特例分析 （1）若，则的度数为 ． 规律探究 （2）若，求的度数． 拓展延伸 （3）在图1的基础上，作射线平分，平分，得到图2． ①若，则的度数为 ． ②若，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【思路引导】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先求出的度数，再利用求出的度数即可； （2）同（1）计算即可； （3）①先分别求出，的度数，进一步求出，的度数，再利用，求解即可； ②同法①，即可得出结果． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：①∵，， ∴， ， ∵平分，平分， ∴， ， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴． 题型二十 角度的四则运算 【例20】（24-25七年级上·陕西安康·月考）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了度分秒的计算． （1）按照度与度，分与分，秒与秒相加，根据度分秒之间的换算进制，把满60的单位向它前面的单位进1，进行计算即可； （2）按照度与度，分与分，秒与秒相加减，根据度分秒之间的换算进制，把满60的单位向它前面的单位进1，进行计算即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解：． 【变式】（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图，已知点为直线上一点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，，先猜想是图中哪个已知角的平分线，然后再说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 【思路引导】本题考查了角的运算，角平分线的定义，熟悉掌握角的等量代换是解题的关键． （1）由平分，推出，再利用平角的度数关系运算求解即可； （2），，推出出，分别运算出与的度数，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵平分， ∴ ∵， ∴； （2）平分； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 题型二十一 实际问题中角度计算问题 【例21】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知：如图1，，． (1)求的度数； (2)如图2，若射线在内部，作平分，平分，的度数是多少？ (3)如图3，若射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转；当射线到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为秒，当，试求的值． 【答案】(1) (2) (3)5秒或10秒 【思路引导】本题考查了角的和差计算、角平分线的性质及旋转中的角度动态变化，解题的关键是利用角度关系建立等式，结合绝对值处理旋转中的位置关系．​ （1）通过 与 的差计算；​ （2）利用角平分线性质将 转化为 的一半；​ （3）表示 的旋转角度，列绝对值方程求解 t，验证范围． 【规范解答】（1）已知，．​ 因为点 B 在 内部，且 按逆时针排列，所以． （2） 平分，故； 平分，故． （3）射线旋转角度：度，射线 旋转角度：度． 初始时，t秒后： ． 令，则或， 解得或． 验证：OP 到达 OC 需 15 秒 （秒），和均在范围内． 【变式】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图1，点为直线上一点，过点作射线，，，始终在的右侧，，． (1)如图1，当，平分时，求的度数； (2)如图2，当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒； (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【思路引导】本题主要考查角度的和差计算，涉及角平分线的性质，分类讨论思想等，根据射线的位置不确定，进行分类讨论是解题关键． （1）由角平分线的性质可得的度数，再根据可得结论； （2）需要分两种情况进行讨论，①当点在的右侧时；②当点在的左侧时，画出图形，根据角度之间的和差关系计算即可； （3）根据题意分两种情况，当和时，画出图形，根据角度的和差运算进行计算即可． 【规范解答】（1）解：，平分， ， ， ； （2）解：由（1）知，，设旋转时间为， ①当点在的右侧时，， ， ； ； ②当点在的左侧时，， ， ； 综上，旋转一共用了或； （3）解：为或． 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ，， 平分， ， ， 解得； 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 解得； 综上，为或． 题型二十二 角平分线的有关计算 【例22】（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，，是内部的一条射线，，分别是，的平分线． (1)若，求的度数； (2)小明通过作图观察发现，无论锐角的大小如何，的度数始终为的一半．他的结论是否正确？请判断，并说明理由． 【答案】(1)的度数为 (2)正确，理由见解析 【思路引导】本题考查了角的计算，熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键． （1）根据角平分线的定义，和分别平分和，则可求得、的值，进而可得； （2）设，根据角平分线的定义可得，再根据进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵是的平分线， ∴． ∴； （2）解：小明的结论正确，理由如下： 设（为锐角），则：， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， 即无论的大小如何，始终为的一半． 【变式】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，已知：＝，平分，且，求的值． 【答案】 【思路引导】本题考查了角平分线的定义及角的和差倍分，关键是找到角之间的关系； 由：＝，平分，可得，答案可得． 【规范解答】解：平分， ， ， ， ． 题型二十三 角n等分线的有关计算 【例23】（25-26七年级上·河南郑州·期中）综合与实践 特例感知： （1）如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点，分别是和的中点．若，则线段_____； 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图①，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （3）已知在内部的位置如图②所示，，，且，，请直接写出______°．（用含的式子表示） 综合提升： （4）如图③所示，若，，射线、分别在和的内部．且，，请直接写出______°． 【答案】（1）7；（2）；（3）；（4） 【思路引导】本题考查了两点间的距离，代数式，角的计算，关键是掌握线段中点、角平分线的定义． （1）已知，，可得的长，因为点，分别是和的中点，可得、的长，因为，可得的长； （2）因为是内部的一条射线，射线平分，射线平分，所以，，已知，可得的度数； （3）已知，，可得的度数，因为，，可得的度数，因为，可得的度数； （4）设，可得，，从而得到，，即可求解． 【规范解答】解：（1），， ， 点，分别是和的中点， ，， ， 故答案为：7； （2）是内部的一条射线，射线平分，射线平分， ，， ， ； （3），， ， ，， ， ． 故答案为：； （4）设， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：80． 【变式】（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【答案】(1) (2)或 【思路引导】本题考查了角的计算，分情况画图讨论是解题的关键． （1）当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）根据从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，如图3，②当时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可． 【规范解答】（1）解：，， ，， 当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2， ， 故答案为：； （2）解：从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图4， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图5， ， ， ， ，， ，， ， ， ，不合题意； 综上所述：的值为或． 题型二十四 与余角、补角有关的计算 【例24】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知点为直线上一点，将直角三角板如图1所示放置，且直角顶点在处，在内部作射线，且恰好平分． (1)若，则是______； (2)若，求的度数； (3)如图2，是射线上一点，且，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)50 (2)的度数为 (3)，理由见解析 【思路引导】本题考查了角的平分线性质与角的和差运算，解题的关键是利用直角、平角的度数，结合角平分线定义，通过设未知数或直接计算推导角度关系． （1）先由和求出，再由角平分线得，最后用平角求 （2）设为，根据与的关系及角平分线，结合列方程求，进而求 （3）设为，利用角平分线、平角和直角的性质，分别表示出、、，从而推导与的关系． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵、、共线， ∴． 故答案为：． （2）解：设，则， ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 答：的度数为． （3）解：，理由如下： 设， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， 即． 【变式】（20-21六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法不正确的个数有（   ） ①经过两点有一条直线，且只有一条直线； ②常数项的同类项还是常数项； ③等角的补角相等； ④连接两点间的线段，叫做这两点的距离； ⑤如果线段，则点是线段的中点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【思路引导】本题考查了直线基本事实，两点距离的定义，线段中点的定义、同类项，等角的补角相等． 根据直线的性质，同类项，同角的补角相等，两点间的距离的定义，线段中点的定义依次判断． 【规范解答】解：①过两点有且只有一条直线，故①正确； ②常数项的同类项还是常数项，故②正确； ③等角的补角相等，故③正确； ④两点间距离是线段的长度，而非线段本身，故④错误； ⑤若，点不一定在同一直线上， ∴点B不一定是线段的中点，故⑤错误； 综上所述：不正确说法是④⑤，共2个， 故选：A. 题型二十五 同(等)角的余(补)角相等的应用 【例25】（23-24七年级上·江西赣州·期末）以直线上一点为端点作射线，将一块直角三角板的直角顶点放在处（注：）． (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，且，求的度数； (2)如图②，将直角三角板绕逆时针转动到某个位置时，若在的内部且恰好满足，且度，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请说明所在射线是的平分线． 【答案】(1) (2) (3)理由见解析 【思路引导】（）根据角的和差关系求解即可； （）设，则，由角的和差关系可得，求出进而即可求解； （）由平角定义得，由角平分线的定义得，进而由余角性质得，即可说明； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，一元一次方程的几何应用等，正确识图是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵，，   ∴； （2）解：设，则， ∵，     ∴， 解得，     即， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵平分，     ∴， 又∵， ∴， 即所在射线是的平分线． 【变式】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，在线段上，下列说法：①直线上以为端点的线段共有6条；②图中有2对互补的角；③若(其中)，则以为顶点的所有小于平角的角的度数和为；④若，点是线段上任意一点，则点到点的距离之和最大值为23，最小值为15，其中说法正确的有 (填写序号)． 【答案】①②④ 【思路引导】本题主要考查了余角和补角、线段的和差等内容，根据图形，结合题干条件逐一判断每一选项． 【规范解答】解：①直线上以B、C、D、E为端点的线段有，共6条线段，故①正确，符合题意； ②由图形可知，，共两对互补的角，故②正确，符合题意； ③以A为顶点的角有， ∴ ，故③错误，不合题意； ④当F在线段上时，则点F到点B、C、D、E的距离之和为， 此时最小， 当F和E重合时，则点F到点B、C、D、E的距离之和，此时最大，故④正确，符合题意； 所以，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·四川·期中）下列立体图形是棱柱的是（ 　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了认识几何体，能识别常见的柱体、锥体、球体是解题的关键．根据棱柱的定义判断即可． 【规范解答】解：A．是球体，故不符合题意； B．是圆柱，故不符合题意； C．是圆锥，故不符合题意； D．是四棱柱，故符合题意； 故选：D． 2．（25-26七年级上·河北衡水·期中）生活中的实物可以抽象出各种各样的几何图形，如图所示的蒙古包屋顶的形状类似于（   ） A．球 B．圆柱 C．棱锥 D．圆锥 【答案】D 【思路引导】此题主要考查了认识立体图形，关键是结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等． 根据图形直接得到答案． 【规范解答】解：如图所示的蒙古包屋顶的形状类似于圆锥． 故选：D． 3．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是（    ） A．可以用表示 B． C．与是同一个角 D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查几何图形初步中“角”的相关知识，解题的关键在于准确理解图形中每个角的定义和范围，根据知识点，结合图形，对每个选项进行逐一分析． 【规范解答】解：选项A、不可以用表示，当点为顶点的角不止一个时，这种表示会引起歧义，A选项错误，不符合题意； 选项B、从图中可直观看出，射线更靠近射线，因此明显小于，B选项错误，不符合题意； 选项C、根据角的表示法，与都指的是由射线和组成的同一个角，C选项正确，符合题意； 选项D、根据图形，，D选项错误，不符合题意； 故选：C． 4．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）下列说法：（1）两点确定一条线段；（2）画一条射线，使它的长度为；（3）线段和线段是同一条线段；（4）射线和射线是同一条射线；（5）直线和直线是同一条直线．其中正确的有（　　）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查了直线、射线、线段的联系与区别，理解直线、射线、线段的定义和性质是解答关键． 根据射线是不可度量的，以及直线、线段和射线的定义即可判断． 【规范解答】解：（1）两点确定一条直线，故说法错误； （2）射线是不可度量的，故说法错误； （3）线段和线段是同一条线段，故说法正确； （4）射线和射线不是同一条射线，故说法错误； （5）直线和直线是同一条直线，故说法正确； ∴正确的有2个． 故选：B． 5．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）如图，点C是线段的中点，点N是线段上的点，把线段分为的两部分．若线段的长为16，则线段的长度是 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查与线段中点有关的计算，根据中点，求出的长，分两种情况，求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【规范解答】解：∵点C是线段的中点， ∴， ∵点N是线段上的点，把线段分为的两部分， ∴当时，； 当时，； 故答案为：或． 6．（25-26七年级上·辽宁铁岭·月考）已知，，则的度数为 ． 【答案】或 【思路引导】根据射线的位置分情况讨论，利用角的和差关系求解即可． 本题考查角的和差计算，熟练掌握分类思想是解题的关键． 【规范解答】解：由，， 如图1，当射线在内部时，； 如图2，当射线在外部时，， 故答案为：或． 7．（25-26七年级上·重庆·期中）当时钟指向上午时，时针与分针的较小夹角为_ 度． 【答案】 【思路引导】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是是解题的关键． 根据时钟上一大格是，时针与分针之间有格，进行计算即可求解． 【规范解答】解：在时，分针指向6，对应6格， 时针在8点整位置基础上移动30分钟，每30分钟时针移动格，因此时针的位置在格位置， 时针与分针之间的格数差为格，每个大格对应30度，所以夹角为度． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·河北沧州·期中）如图，已知四点．根据下列语句，在同一图中画出图形． (1)画直线； (2)画射线，交于点； (3)连接，并延长线段到点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题主要考查线段、射线、直线 （1）根据直线的定义可进行作图； （2）根据射线的定义可进行作图； （3）根据线段的定义可进行作图． 【规范解答】（1）解：所作图形如图所示： （2）解：所作图形如图所示； （3）解：所作图形如图所示． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，，．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查角度和差关系的证明，先通过角度和差关系得到，，进而可得证． 【规范解答】证明：∵，， ∴，， 又∵，， ∴． 10．（25-26七年级上·宁夏固原·月考）如图，，是直线上一点，现将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．现将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． (1)如图2，经过多少秒后，线段恰好平分； (2)在（1）的条件下，线段是否平分？请说明理由． 【答案】(1)经过2秒后，平分 (2)平分，理由见解析 【思路引导】本题考查的是角平分线的有关计算，正确理解角平分线定义是解题关键， （1）先求出，得出，求出，即可求出运动时间； （2）根据所求得出结论． 【规范解答】（1）解：∵， ， ∵线段恰好平分 ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴经过2秒后，平分； （2）解：平分，理由如下： ∵， ∴平分． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，点A，B，C在直线l上．下列说法正确的是（   ） A．点A在线段上 B．射线与射线是同一条射线 C．点C在线段的延长线上 D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了点与线段的关系，线段与线段的关系，射线的判定．根据点与线段的关系，线段之间的关系，射线的判定判断即可． 【规范解答】解：A、点A在线段的延长线上，故本选项错误，不符合题意； B、射线与射线不是同一条射线，故本选项错误，不符合题意； C、点C在线段的延长线上，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 2．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）如图1，已知线段、，则图2中线段可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查的是线段的和与差，正确的识别图形是解题的关键．根据线段的和差倍分及结合图形即可得到结论． 【规范解答】解：∵，， ∴， 故选：D． 3．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，C，B是线段上的两点，若，，那么与的关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【思路引导】本题考查了线段的和差，熟练掌握线段的和差运算是解题关键．先求出，再根据和求解即可得． 【规范解答】解：∵， ∴，即， ∵， ∴． 故选：B． 4．（25-26七年级上·辽宁铁岭·月考）当时钟指向上午时，时针与分针的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了钟面角问题． 通过计算时针和分针在时的角度位置，求出夹角即可． 【规范解答】解：∵分针每分钟移动， ∴在时，分针角度为． ∵时针每小时移动，每分钟移动， ∴在时，时针角度为， ∴过了10分钟，时针移动， ∴时针总角度为． 两针角度差为， ∵夹角应不大于， ∴夹角为． 故选：B． 5．（25-26七年级上·宁夏固原·月考）已知，作射线，使等于是的平分线，那么的度数是 ． 【答案】或 【思路引导】本题主要考查角平分线，角的运算 ；由于射线的位置不确定，需分两种情况讨论：当在内部时和当在外部时，分别计算的度数，再根据角平分线定义求出结果即可． 【规范解答】解：分为两种情况： ①当在内部时， ， ∵是的平分线， ∴． ②当在外部时， ， ∵是的平分线， ∴ 故答案为：或． 6．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，已知点C为线段的中点，点D在线段上．若，，则线段的长是 ． 【答案】6 【思路引导】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，先求出线段的长，再由线段中点的定义求出线段的长，最后根据线段的和差关系可得线段的长． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵点C为线段的中点， ∴， ∴， 故答案为：6． 7．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，是用个完全相同的棱长为的小正方体搭成的． (1)请在方格纸中分别画出它从正面看，从左面看，从上面看的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面看和从上面看的形状图不变，最多可添加___________个小正方体． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【思路引导】本题考查了从不同方向看几何图形，正确识图是解题的关键． （）根据从正面看、左面看和上面看到的图形画图即可； （）根据从正面看和从上面看的形状图解答即可求解； 【规范解答】（1）解：画图如下： （2）解：由图可知，在左边第列第一排和第三排各添加一个小正方体，可保持从正面看和从上面看的形状图不变， ∴最多可添加个小正方体， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·辽宁铁岭·月考）综合与探究 【问题情境】： 已知为直线上的一点，将直三角尺的直角顶点置于点处，始终平分， 【问题实践】： （1）如图1，将直三角尺的一边与射线重合时，则_____； 【解决问题】 （2）如图2，将直三角尺绕着点顺时针旋转到图2的位置时，若，求的度数； 【深入探究】 （3）当将直三角尺绕着点逆时针旋转到如图3的位置时，提出问题：与的数量关系是什么？请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；理由见解析 【思路引导】本题考查了角平分线的有关计算． （1）根据角平分线的定义作答即可； （2）求出，根据平分得到，根据平角的定义计算即可； （3）同（2）作答即可． 【规范解答】（1）解：∵平分， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：， 理由如下∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，，，点C是线段的中点，点D，E分别在线段、上． (1)若，试说明点C是的中点； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【思路引导】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． （1）先根据，得出的长，再根据点C是线段的中点，求得的长，再根据得，再根据，得出，即可得出结论； （2）根据，得，再根据得，，最后由可得答案． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， 解得， ∵点C是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即点C是的中点； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴． 10．（25-26七年级上·江西吉安·期中）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点P在向左的运动过程中，M，N始终为的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确结论有（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④当时，点N表示的数为数轴的原点； ⑤在点P的运动过程中，线段的长度会改变． A．①②③ B．①③⑤ C．①②④ D．①④⑤ 【答案】C 【思路引导】本题考查了数轴，根据两点间距离进行计算即可判断①；利用路程除以速度即可判断②；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，由题意求出的长，再利用路程除以速度即可判断③；求出点P表示的数为6，可得点N表示的数为0即可判断④；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，利用线段的中点性质进行计算即可判断⑤． 【规范解答】解：∵已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且， ∴B对应的数为，故①正确； ∵， ∴点P到达点B时，，故②是正确的； 当点P在点B右边时， ∵， ∴， ； 当点P在点B左边时， ∵， ∴， ∴， ∴时，或10，故③错误； 当时，, ∴点P表示的数为， ∵点N为的中点， ∴点N表示的数为，即原点，故④正确； 在点P的运动过程中，当点P在点B右边时， ； 在点P的运动过程中，当点P在点B左边时， ； ∴在点P的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故⑤错误； ∴正确结论有①②④， 故选：C． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26七年级上·河北衡水·期中）已知点，，在同一条直线上，如果，线段，点为线段的中点，则的长为（   ） A．6或15 B．3或15 C．6或 D．3或 【答案】B 【思路引导】本题考查了线段的中点的有关运算． 点A、B、C在同一直线上，但位置关系不确定，需分两种情况讨论：当B在线段上时；当A在线段上时，根据线段中点的性质求解即可． 【规范解答】解：∵，D为中点， ∴． 情况1：当B在线段AC上时， ； 情况2：当A在线段上时， ； 综上，的长为3或15． 故选：B． 2．（25-26七年级上·河北衡水·期中）竹竿作为一种常见的天然植物材料，具有多种作用和功效，如图，将一根竹竿从处分成两部分，截断后的各段竹竿中有一段长为，若，则这根竹竿的原长为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【思路引导】本题考查了线段的和差，比例，正确理解比例关系及分情况讨论是解题的关键．分两种情况讨论求解即可． 【规范解答】解：分两种情况： 当时， ， ， ； 当时，则， ． 综上，这根竹竿的原长为或． 故答案为：C． 23．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【思路引导】本题主要考查线段两点间的距离，理解题意、分类作出相应图形是解题的关键． 分两种情况讨论：①当A、C或B、D重合且剩余两端点在重合点同侧时；②当B、C或A、D重合，且剩余两端点在重合点两侧时；让分别作出相应图形，并结合图形求解即可． 【规范解答】解：根据题意，分两种情况讨论： ①当A、C或B、D重合，且剩余两端点在重合点同侧时， 由图可得：； ②当B、C或A、D重合，且剩余两端点在重合点两侧时， 由图可得：； ∴两根木条的小圆孔之间的距离是或． 故选：C． 4．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，直线，，相交于点，，与互为余角，平分，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是角互余的含义，角平分线的定义，角的和差运算，熟练的利用角的和差关系进行计算是解本题的关键． 由与互为余角，，可求出，进而求出，结合平分，可求出，根据对顶角相等得到，再利用角的和差关系可得答案． 【规范解答】解： 与互为余角， ， ， ， ， 平分， ， ． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·吉林长春·月考）如图，点和点把线段分成三部分，点是线段的中点，，下列说法：①；②；③；④，正确的是 （填序号）． 【答案】①②④ 【思路引导】本题考查了线段的和差与中点性质，解题的关键是根据线段比例关系求出各段长度． 先设，，，由得，，则；因为是中点，故；；验证， ；已知． 【规范解答】解：设，，， 由，得，， 则， ∵是中点， ∴，故①正确； ，故②正确； ， ，故③错误； 已知，故④正确． 故答案为：①②④． 6．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，有公共端点P的两条线段组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段AC的中点，，，则线段BC的长为 ． 【答案】8或23 【思路引导】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及“折中点”的定义是正确解答的关键． 根据“折中点”的定义，分两种情况分别画出图形，由图形中线段的和差关系进行计算即可． 【规范解答】解：如图1，点E为线段的中点，， ，， ， ， 点D是折线的“折中点”， ， ； 如图2，点E为线段AC的中点，， ， ， ， 点D是折线的“折中点”， ， ； 综上所述，或 7．（25-26七年级上·河北唐山·期中）以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，且直角三角板在直线的上方． (1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，则的度数为___________； (2)如图2，直角三角板的边在的内部，若恰好平分，求此时的度数： (3)在图2中，请直接写出与之间的数量关系：___________ 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算： （1）根据角的和差关系进行计算即可； （2）角的和差关系求出的度数，根据角平分线的定义，求出的度数即可； （3）由题意得，由，得到，据此计算即可得出结果． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵恰好平分， ∴； （3）解：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则________： (2)从图2中的位置绕点O逆时针旋转（），求的度数； (3)从图2中的位置绕点O顺时针旋转（且，其中a为正整数），直接写出所有使的n值． 【答案】(1) (2)的度数为 (3)n的值为50或70 【思路引导】本题考查了角的计算，解决本题的关键是分情况画图讨论． （1）从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）当时，，，，然后利用算得答案； （3）从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，②当时③当时，结合（2）进行角的和差计算即可． 【规范解答】（1）解：∵，，在内，在内，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：当时，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （3）解：从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∴； ②当时，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∴； ③当时，如图， ∴， ∴，， ∵， ， ∴， ∴ ， ∴， ∴； 综上所述：的值为50或70． 9．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）已知数轴上、两点表示的数分别是、，且为最大的负整数． (1)直接写出A、B两点所表示的数； (2)动点P、Q分别从A、B两点同时出发，沿数轴相向而行，点P、Q的速度分别为2个单位长度每秒和4个单位长度每秒，点为线段的中点，设运动时间为，请用含的式子表示点表示的数； (3)在（2）的条件下，点在数轴上表示的数为12，为何值时，点到点的距离与点到点O的距离之和为42． 【答案】(1)点A所表示的数为，B所表示的数为36． (2)． (3)t的值为3或17． 【思路引导】本题考查数轴上的动点问题，线段的中点，两点之间的距离，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，则，即可解答． （2）先求出点P所表示的数为，点Q所表示的数为，再根据数轴上的中点公式求解即可； （3）先求出点P运动到点N所需时间为点Q运动到点O所需时间为，再分类讨论：①当时，②当时，③当时，逐个分析求解即可． 【规范解答】（1）解：∵为最大的负整数． ∴， ∴． 答：点A所表示的数为，B所表示的数为36． （2）∵动点P从A出发，以2个单位长度每秒的速度向右运动t秒， ∴点P所表示的数为， ∵动点Q从B出发，以4个单位长度每秒的速度向左运动t秒， ∴点Q所表示的数为， ∵点为线段的中点， ∴点M所表示的数为． （3）由题意，得，， ∴点P运动到点N所需时间为点Q运动到点O所需时间为 ①当时，如图 ∴，， ∵点到点的距离与点到点O的距离之和为42， ∴， 即， 解得， ②当时，如图 ∴，， ∵点到点的距离与点到点O的距离之和为42， ∴， 即， 解得，不符合题意，舍去． ③当时，如图 ∴，， ∵点到点的距离与点到点O的距离之和为42， ∴， 即， 解得． 综上所述，t的值为3或17． 10．（25-26七年级上·河南郑州·期中）少林派是中国武术中范围最广、历史最长、拳种最多的武术门派，以出于河南嵩山少林寺而得名．从数学的角度，“枪挑一条线”可解释为 ． 【答案】 点动成线 【思路引导】本题考查了点、线之间的关系，熟练掌握点、线、面、体之间的关系是解题的关键． 根据点动成线，线动成面，面动成体，再结合题意即可求解． 【规范解答】解：“枪挑一条线”从数学角度可以解释为枪尖在空中移动形成的轨迹是一条线， 这符合几何中点动成线的基本原理． 故答案为：点动成线． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 基本几何图形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 立体图形和平面图形 了解点、线、面、体的概念及它们之间的关系 常结合生活实例考查识别与转换，判断展开图与折叠后图形对应关系。 线段、射线和直线 能够表示线段、射线和直线，会比较线段的长短。 多以选择题考查概念区分，也会结合计算考线段长度、位置关系等。 角 掌握角的表示方法与度量单位，掌握比较角大小的方法。 常考角度计算与角平分线性质，结合时钟问题或方位角综合出题。 知识点01 图形的认识 1）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球都是常见的几何体，又简称为体。几何体是由面组成的。 2)在长方体中，相邻两个面的交接处是一条线段，我们把它叫作棱，圆锥的侧面与底面的交接处是圆。 3）一般而言，两个面的交接处是一条线，线可以是直的，也可以是曲的。线与线的交接处是一个点，点一般用一个大写字母表示，如点P。在长方体中，棱与棱的公共点叫作长方体的顶点。 4）长方体、圆柱、圆锥、球、三角形、平行四边形、梯形、圆等都是几何图形。 5）如果几何图形上的点不都在同一个平面内，那么这样的几何图形叫作立体图形。 6）如果几何图形上的点都在同一个平面内，那么这样的几何图形叫作平面图形。 7）长方体、圆柱、圆锥、球等都是立体图形。线段、角、三角形、平行四边形、梯形、圆等都是平面图形。 8）流星给我们以“点动成线”的形象，折扇扇骨移动形成的扇面给我们以“线动成面”的形象，旋转门给我们以“面动成体”的形象。点、线、面、体的运动变化，能组成各种各样的几何图形。点是构成图形的基本元素。 知识点02 线段、射线和直线 1）线段有两个端点;线段向一个方向无限延伸得到射线,射线只有一个端点;线段向两个方向无限延伸得到直线,直线没有端点。 2）射线、线段都是直线的一部分。 3）我们可以用两个大写字母或一个小写字母表示线段、射线、直线。 ①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB． ②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边． ③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）． 4）基本事实 经过两点能且只能作一条直线。简单说成:两点确定一条直线。 5）基本事实 两点间所有连线中,线段最短。简单说成:两点之间,线段最短。连接两点间的线段的长度,叫作这两点间的距离。 知识点03 线段的比较与运算 1）在数学中,只使用无刻度的直尺和圆规作图的方式称为尺规作图。 2）比较两条线段长短的方法有两种：度量法、叠合法。 3）如果点M 把线段AB 分成相等的两条线段AM 与BM,那么点 M 叫作线 段AB 的中点。 知识点04 角 1）有公共端点的两条射线组成的几何图形叫作角。这个公共端点叫作角的顶点,这两条射线叫作角的边。 2）角通常用符号 “∠”和三个大写英文字母表示,如图中的角可以记作∠AOB 或∠BOA,表示顶点的字母O 必须写在中间, 读作 “角AOB”或 “角BOA”。如果顶点处只有一个角,也可以只用这个顶点的字母来表示这个角,如图中的角也可记作∠O。 3）为了方便表示,有时在靠近角的顶点处画上弧线,用一个数字或一个小写希腊字母表示一个角。 4）角还可以看作由一条射线绕着它的端点从起始位置旋转到终止位置所形成的图形。如图,射线的端点O 叫作角的顶点,起始位置的射线 OA 叫作角的始边,终止位置的射线OB 叫作角的终边。当终边OB 与始边OA 成一条直线时,形成平角; 当终边OB 与始边OA 重合时,形成周角。 5）为了更精密地度量角,把1°的角60等分,每一份叫作1分的角,1分记作 1'。把1'的角60等分,每一份叫作1秒的角,1秒记作1″。由此得到 1°=60',1'=60″。 6）度、分、秒是角的基本度量单位。 知识点05 角的比较与运算 1）比较两个角大小的方法有两种：度量法、叠合法。 2）从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线 叫作这个角的平分线。 知识点06 余角与补角 1）一般而言,如果两个角的和为90°,就说这两个角互为余角,简称互余,其中一个角叫作另一个角的余角。 2）类似地,如果两个角的和为180°,就说这两个角互为补角,简称互补,其中一个角叫作另一个角的补角。 3）同角或等角的余角相等; 同角或等角的补角相等。 题型一 平面图形旋转后所得的立体图形 【例1】（25-26七年级上·山西运城·期中）随着人工智能技术的快速发展，利用画图可快速生成多样图像，输入文字描述即可得到符合需求的画面，相关技术被广泛应用于设计、创意等领域如图是利用某国产软件生成的一个创意花瓶，下列平面图形绕虚线旋转一周可以得到该花瓶的是（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级上·陕西西安·期中）下图所示的是由直角三角形和长方形拼成的四边形． (1)将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是_______（填序号）． ①点动成线：②线动成面；③面动成体． (2)求得到的立体图形的体积．（，结果保留） 题型二 直线、线段、射线的数量问题 【例2】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，已知四点A、B、C、D，请按下列要求作图（保留画图痕迹） (1)画直线； (2)画射线； (3)连接，在线段上取点，使的值最小； (4)数一数此时图中共有几条线段，几条射线？ 【变式】（25-26七年级上·吉林长春·期中）直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有 .（只填写序号） 题型三 直线相交的交点个数问题 【例3】（24-25七年级上·山东济宁·期末）在同一平面内，我们把条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是（　　） A． B． C． D． 【变式】（24-25七年级上·广西玉林·期末）如图，点A，B，C，D在同一平面内，按要求完成作图及作答： (1)在图1中，画直线，画射线，并连接； (2)在（1）的条件下，在图1中，在射线上画一点E，使得最小，此画图的依据是_______； (3)在图2中，平面已经被分成了_______个不同的区域，过点D再画一条直线，则此时平面最多有_______个不同的区域． 题型四 两点之间线段最短 【例4】（25-26七年级上·江西吉安·期中）如图．已知四点A，B，C，D．读下列语句，并分别画出图形．（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)画直线，线段； (2)画射线，并与直线交于点E； (3)连接，在线段上取点P，使的值最小． 【变式】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）问题提出： 如图1，A、B、C、D表示四个村庄，村民们准备合打一口水井． （1）问题解决：你能给出一种使水井到各村庄的距离之和最小的方案吗？若能，请在图2中标出水井的位置点M，并说明理由． 问题拓展： 如果（1）问中找出的水井经过招标，由两个工程队修建（不存在同时修建），已知甲工程队单独完成需要80天，乙工程队单独完成需要120天，且甲工程队比乙工程队每天多修建； （2）水井要修建几米？ （3）若甲工程队每天的施工费为0.5万元，乙工程队每天的费用是0.25万元，为了缩短工期和节约资金，则甲工程队施工几天才能使工程款正好是35万元？（甲、乙两队的施工时间不足一天按一天算） 题型五 最短路径问题 【例5】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，m是某工业园区的中轴线，某科技公司的工作区A和生活区B在m同侧，从图纸上看它们正好在正方形网格的格点上．公司计划在中轴线上选一点P发放午餐，工作人员一般是从工作区A下班后到P点领取午餐，然后到休息区B就餐、休息．P点选在哪一点才能使工作人员所走的路程之和最短？请在下图中标出点P的位置并画出工作人员所走路线． 【变式】（24-25七年级上·湖北咸宁·期末）如图，甲、乙两个圆柱体，底面半径分别为，高均为． (1)请分别画出它们的侧面展开图并标注各边长； (2)请用代数式表示两个圆柱体的侧面的面积之和______________； (3)如果一只蚂蚁从点A沿甲圆柱体侧面爬行两圈到达点，另一只蚂蚁从点沿乙圆柱体侧面爬行一圈到达点，均沿最短路线爬行，请猜想：它们的路线长是否相等？请在（1）问所画的侧面展开图基础上，用虚线画出最短路线． 题型六 线段的和与差 【例6】（25-26七年级上·重庆·期中）如图，点C是线段上一点，且，点M和点N分别是线段和线段中点 (1)若，求线段的长； (2)若，求线段的长． 【变式】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，点C在线段上，D，E分别是的中点． (1)若，求线段的长； (2)在其他条件不变的前提下，若C为线段上任意一点（不与点A，B重合），且满足，请直接写出线段的长（结果中可以含有字母m）； (3)若点C在线段的延长线上（不与点B重合），且满足，点D，E分别是的中点，猜想线段的长（结果中可以含有字母n），并说明理由． 题型七 线段中点的有关计算 【例7】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，是线段的中点，点在线段上，且．若，求线段的长． (1)请将下面的解题过程补充完整； 解：因为是线段的中点，，所以______=________． 因为点在线段上，， 所以________________， 所以______=_______． (2)在图中，用圆规在线段上找一点E，使得，并直接写出与的数量关系． 【变式】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）点是线段的中点，，点在线段上，且． (1)如图，若点在线段上，求的长； 完成下面的解答过程： 解：， ． ， __________． 是线段的中点，， （__________）．（填推理的依据） __________． (2)若点在直线上，是的中点．尝试在下面画出符合题意的图形，并直接写出__________． 题型八 线段n等分点的有关计算 【例8】（24-25七年级上·广西河池·期末）已知线段，，点，的位置如图所示． (1)作射线，请用圆规在射线上依次截取，；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作图形中，若，为的中点，在图形中标出点，的位置，再求出当，时，线段的长． 【变式】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知线段长为12，点是线段的三等分点，点是线段上一点，且满足，则 ． 题型九 线段之间的数量关系 【例9】如图，点E是线段的中点，C是线段上一点，； (1)若，求的长； (2)若F为的中点，求长． 【变式】（25-26七年级上·河北唐山·期中）线段，点在线段上，是线段的中点，是线段的中点．    (1)求线段的长度； (2)老师说：其它条件不变，无论长度怎么改变，线段和始终满足一个不变的数量关系，请你直接写出来． 题型十 与线段有关的动点问题 【例10】（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【变式】（24-25七年级上·江苏无锡·月考）如图①，点M在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“二倍点”． (1)一条线段的中点 这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）； (2)如图②，若，点N是线段的二倍点，则 ；（用含a的代数式表示） (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也停止移动，设移动的时间为，求当t为何值时，点Q恰好是线段的二倍点． 题型十一 作线段（尺规作图） 【例11】（25-26七年级上·山东枣庄·期中）如图，已知线段． (1)请用尺规按要求作图．（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①在线段的延长线上取点，使； ②在线段的延长线上取点，使； (2)在（1）的条件下，图中共有 条线段； (3)在（1）的条件下，若，求线段和的长度； (4)在（1）的条件下，若，点在直线上，且，求线段的长度． 【变式】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知三点A、B、C，请用尺规作图完成． (1)画直线、射线； (2)连接并延长到E，使得（保留画图痕迹） (3)在（2）条件下，若，点F为的中点，求线段的长的解法如下，请将过程填写完整． 解：∵ ∴ ∵点F为的中点 ∴______=______ ∴______（填写线段名称）=______ 题型十二 画特殊角 【例12】（24-25七年级上·山东德州·期末）如图，点C在的边上， (1)选择合适的画图工具按要求画图． ①反向延长射线，得到射线； ②画的角平分线； ③在射线上截取； ④在射线上作一点P，使得最小； (2)写出你完成④的作图依据： ． 【变式】（2021七年级上·全国·专题练习）（2019·山东青岛市·七年级期中）作图题：已知：∠α、∠β、   求作：∠AOB，使∠AOB=∠α+∠β 题型十三 钟面角 【例13】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）钟表上的时间显示为，此时时针和分针之间形成的角（小于平角）的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，当时钟指向上午10∶15时，时针和分针所成的角的度数为 ． 题型十四 与方向角有关的计算题 【例14】（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东的方向上，同时在它北偏东、西北（即北偏西）方向上又分别发现了客轮B和海岛C． (1)仿照表示灯塔方位的方法，分别画出表示客轮B和海岛C方向的射线，（不写作法）； (2)若有一艘渔船D，且是它补角的，则渔船D在货轮O的__________（写出方位角） 【变式】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知，C为的中点，回答下列问题： (1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？ (2)商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方位？哪两个地方的方位是相同的？ (3)若学校距离小明家，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？ 题型十五 角的单位与角度制 【例15】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1) ； (2)； (3)． 【变式】（24-25七年级上·贵州毕节·期末）计算： (1) ； (2)． 题型十六 角的度数大小比较 【例16】．（24-25七年级上·山东日照·期末）下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是 B．近似数与的精确度相同 C． D．钟面上3点分，时针与分针的夹角为 【变式】（23-24七年级上·河北唐山·期中）已知，，，则相等的两个角是（　　） A． B． C． D．无法确定 题型十七 角的比较 【例17】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，每个小方格的边长都相等，以为角的一边，画一个角等于． (1)你认为角的另一边是，，，的哪一条？ (2)，，，这些角相等吗？如果不相等，请你按从大到小的顺序将它们排列． 【变式】（24-25七年级上·重庆江津·期末）如图，直角三角板的直角顶点在直线上，平分． (1)比较和的大小，并说明理由； (2)若，求的度数． 题型十八 三角板中角度计算问题 【例18】．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，且直角三角板在直线的上方． (1)如图，若直角三角板的一边在射线上，则的度数为_______； (2)如图，直角三角板的边在的内部，若恰好平分．求此时的度数； (3)在图中，请直接写出与之间的数量关系：_______． 【变式】（25-26七年级上·河北唐山·期中）借助一副三角板，可以得到一些平面图形． (1)如图，求的度数； (2)将图中的三角板绕点顺时针旋转___________度时，边与边首次重合，并直接写出此时的度数． 题型十九 几何图形中角度计算问题 【例19】（25-26七年级上·山东济南·期中）图①中的水车是一种古老的提水灌溉工具，图②是它的示意图，水车的主体是一个圆形，且被等分成了8份，是水车的支架，．水车的支架固定不动，水车的主体可绕着圆心O旋转． (1)______度； (2)在图②中，若平分，则______度； (3)在图②中，若，则______度； (4)在水车的旋转过程中，设的度数为，直接写出的度数用含x的代数式表示，所有角都小于平角 【变式】（25-26七年级上·全国·课后作业）综合与探究 问题情境 数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题．如图1，，射线在的内部，射线在的内部． 特例分析 （1）若，则的度数为 ． 规律探究 （2）若，求的度数． 拓展延伸 （3）在图1的基础上，作射线平分，平分，得到图2． ①若，则的度数为 ． ②若，求的度数． 题型二十 角度的四则运算 【例20】（24-25七年级上·陕西安康·月考）计算． (1)； (2)． 【变式】（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图，已知点为直线上一点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，，先猜想是图中哪个已知角的平分线，然后再说明理由． 题型二十一 实际问题中角度计算问题 【例21】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知：如图1，，． (1)求的度数； (2)如图2，若射线在内部，作平分，平分，的度数是多少？ (3)如图3，若射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转；当射线到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为秒，当，试求的值． 【变式】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图1，点为直线上一点，过点作射线，，，始终在的右侧，，． (1)如图1，当，平分时，求的度数； (2)如图2，当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒； (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 题型二十二 角平分线的有关计算 【例22】（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，，是内部的一条射线，，分别是，的平分线． (1)若，求的度数； (2)小明通过作图观察发现，无论锐角的大小如何，的度数始终为的一半．他的结论是否正确？请判断，并说明理由． 【变式】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，已知：＝，平分，且，求的值． 题型二十三 角n等分线的有关计算 【例23】（25-26七年级上·河南郑州·期中）综合与实践 特例感知： （1）如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点，分别是和的中点．若，则线段_____； 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图①，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （3）已知在内部的位置如图②所示，，，且，，请直接写出______°．（用含的式子表示） 综合提升： （4）如图③所示，若，，射线、分别在和的内部．且，，请直接写出______°． 【变式】（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 题型二十四 与余角、补角有关的计算 【例24】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知点为直线上一点，将直角三角板如图1所示放置，且直角顶点在处，在内部作射线，且恰好平分． (1)若，则是______； (2)若，求的度数； (3)如图2，是射线上一点，且，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【变式】（20-21六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法不正确的个数有（   ） ①经过两点有一条直线，且只有一条直线； ②常数项的同类项还是常数项； ③等角的补角相等； ④连接两点间的线段，叫做这两点的距离； ⑤如果线段，则点是线段的中点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二十五 同(等)角的余(补)角相等的应用 【例25】（23-24七年级上·江西赣州·期末）以直线上一点为端点作射线，将一块直角三角板的直角顶点放在处（注：）． (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，且，求的度数； (2)如图②，将直角三角板绕逆时针转动到某个位置时，若在的内部且恰好满足，且度，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请说明所在射线是的平分线． 【变式】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，在线段上，下列说法：①直线上以为端点的线段共有6条；②图中有2对互补的角；③若(其中)，则以为顶点的所有小于平角的角的度数和为；④若，点是线段上任意一点，则点到点的距离之和最大值为23，最小值为15，其中说法正确的有 (填写序号)． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·四川·期中）下列立体图形是棱柱的是（ 　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河北衡水·期中）生活中的实物可以抽象出各种各样的几何图形，如图所示的蒙古包屋顶的形状类似于（   ） A．球 B．圆柱 C．棱锥 D．圆锥 3．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是（    ） A．可以用表示 B． C．与是同一个角 D． 4．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）下列说法：（1）两点确定一条线段；（2）画一条射线，使它的长度为；（3）线段和线段是同一条线段；（4）射线和射线是同一条射线；（5）直线和直线是同一条直线．其中正确的有（　　）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）如图，点C是线段的中点，点N是线段上的点，把线段分为的两部分．若线段的长为16，则线段的长度是 ． 6．（25-26七年级上·辽宁铁岭·月考）已知，，则的度数为 ． 7．（25-26七年级上·重庆·期中）当时钟指向上午时，时针与分针的较小夹角为_ 度． 8．（25-26七年级上·河北沧州·期中）如图，已知四点．根据下列语句，在同一图中画出图形． (1)画直线； (2)画射线，交于点； (3)连接，并延长线段到点，使． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，，．求证：． 10．（25-26七年级上·宁夏固原·月考）如图，，是直线上一点，现将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．现将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． (1)如图2，经过多少秒后，线段恰好平分； (2)在（1）的条件下，线段是否平分？请说明理由． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，点A，B，C在直线l上．下列说法正确的是（   ） A．点A在线段上 B．射线与射线是同一条射线 C．点C在线段的延长线上 D． 2．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）如图1，已知线段、，则图2中线段可以表示为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，C，B是线段上的两点，若，，那么与的关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 4．（25-26七年级上·辽宁铁岭·月考）当时钟指向上午时，时针与分针的夹角是（    ） A． B． C． D． 5． （25-26七年级上·宁夏固原·月考）已知，作射线，使等于是的平分线，那么的度数是 ． 6．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，已知点C为线段的中点，点D在线段上．若，，则线段的长是 ． 7．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，是用个完全相同的棱长为的小正方体搭成的． (1)请在方格纸中分别画出它从正面看，从左面看，从上面看的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面看和从上面看的形状图不变，最多可添加___________个小正方体． 8．（25-26七年级上·辽宁铁岭·月考）综合与探究 【问题情境】： 已知为直线上的一点，将直三角尺的直角顶点置于点处，始终平分， 【问题实践】： （1）如图1，将直三角尺的一边与射线重合时，则_____； 【解决问题】 （2）如图2，将直三角尺绕着点顺时针旋转到图2的位置时，若，求的度数； 【深入探究】 （3）当将直三角尺绕着点逆时针旋转到如图3的位置时，提出问题：与的数量关系是什么？请说明理由． 9．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，，，点C是线段的中点，点D，E分别在线段、上． (1)若，试说明点C是的中点； (2)若，求线段的长． 10．（25-26七年级上·江西吉安·期中）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点P在向左的运动过程中，M，N始终为的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确结论有（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④当时，点N表示的数为数轴的原点； ⑤在点P的运动过程中，线段的长度会改变． A．①②③ B．①③⑤ C．①②④ D．①④⑤ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26七年级上·河北衡水·期中）已知点，，在同一条直线上，如果，线段，点为线段的中点，则的长为（   ） A．6或15 B．3或15 C．6或 D．3或 2．（25-26七年级上·河北衡水·期中）竹竿作为一种常见的天然植物材料，具有多种作用和功效，如图，将一根竹竿从处分成两部分，截断后的各段竹竿中有一段长为，若，则这根竹竿的原长为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（　　） A． B． C．或 D．或 4．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，直线，，相交于点，，与互为余角，平分，则 ． 5．（25-26七年级上·吉林长春·月考）如图，点和点把线段分成三部分，点是线段的中点，，下列说法：①；②；③；④，正确的是 （填序号）． 6．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，有公共端点P的两条线段组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段AC的中点，，，则线段BC的长为 ． 7．（25-26七年级上·河北唐山·期中）以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，且直角三角板在直线的上方． (1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，则的度数为___________； (2)如图2，直角三角板的边在的内部，若恰好平分，求此时的度数： (3)在图2中，请直接写出与之间的数量关系：___________ 8．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则________： (2)从图2中的位置绕点O逆时针旋转（），求的度数； (3)从图2中的位置绕点O顺时针旋转（且，其中a为正整数），直接写出所有使的n值． 9．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）已知数轴上、两点表示的数分别是、，且为最大的负整数． (1)直接写出A、B两点所表示的数； (2)动点P、Q分别从A、B两点同时出发，沿数轴相向而行，点P、Q的速度分别为2个单位长度每秒和4个单位长度每秒，点为线段的中点，设运动时间为，请用含的式子表示点表示的数； (3)在（2）的条件下，点在数轴上表示的数为12，为何值时，点到点的距离与点到点O的距离之和为42． 10．（25-26七年级上·河南郑州·期中）少林派是中国武术中范围最广、历史最长、拳种最多的武术门派，以出于河南嵩山少林寺而得名．从数学的角度，“枪挑一条线”可解释为 ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $