吉林省吉林市松花江中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试题

2025-2026学年吉林省吉林市松花江中学八年级(上)期中数学试卷 一、选择题:本题共6小题,每小题3分,共18分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.中国茶文化源远流长,在下列有关茶的标识中,是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 2.若一个等腰三角形的两边长分别为2、4,则该三角形的第三边的长为( ) A. 4 B. 2 C. 3 D. 2或4 3.如图,为了让电线杆垂直于地面,工程人员的操作方法是:从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC,当固定点B,C到杆脚E的距离相等,且B,E,C在同一直线上时,电线杆DE就垂直于BC,工程人员这种操作方法的依据是( ) A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 垂线段最短 D. 等腰三角形“三线合一” 4.下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 5.如图,直线EF经过AC中点O,交AB于点E,交CD于点F,下列哪个条件不能使≌( ) A. B. C. D. 6.如图,在中,,AD平分交BC于点D,于点E,点F在AC上,点G在AE上,,FD平分,则下列结论:①;②GD平分;③≌;④,其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题:本题共5小题,每小题3分,共15分。 7.如图,该轴对称图形有 条对称轴. 8.如图,在四边形ABCD中,,请补充一个条件: 写一个即可,使四边形ABCD成为一个轴对称图形. 9.若的展开式中不含项,则 . 10.如图,与关于直线AD对称,E、F、G是线段AD上的任意三点,若,,则图中阴影部分的面积是 11.如图,在等边三角形ABC中,D是AB的中点,于点E,于点F,若,则 三、解答题:本题共11小题,共87分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 12.本小题6分 先化简,再求值:,其中 13.本小题6分 如图,,的平分线交AB于点求证:是等腰三角形. 14.本小题6分 如图,已知,,求证:≌ 15.本小题7分 如图,在中,BD是AC边上的高,CE平分交BD于点E,若,,求的度数. 16.本小题7分 如图,中,,点D,E在BC边上,且, 求的度数; 求证:是等边三角形. 17.本小题7分 观察与思考: ①;②. 算式①的运算依据是_,算式②的运算依据是_; A.同底数幂的乘法 B.积的乘方 C.幂的乘方 计算: 18.本小题8分 如图,在平面直角坐标系中,已知的三个顶点的坐标分别是、、 在图中画出关于x轴对称的,并写出点A的对应点的坐标; 如果要使以点B、C、D为顶点的三角形与全等点A、D不重合,写出所有符合条件的点D的坐标; 在图中以AC为底边画一个等腰三角形ACM,使为锐角. 19.本小题8分 如图,在中,直线l垂直平分边BC,分别交AC,BC于点D,E,连接 若,的周长为19,则AC的长为_; 若,求的度数; 已知点P在线段DE上,且点P在边AC的垂直平分线上,连接PC,试判断点P是否在边AB的垂直平分线上,并说明理由. 20.本小题10分 如图,点C为线段AB上一点,分别以AC、BC为底边,在AB的同侧作等腰和等腰,且,在线段EC上截取EF,使得,连接BF, 与全等吗?为什么? 若,,求的度数. 21.本小题10分 探索发现: 如图1,在中,点D在边BC上,与的面积分别记为与,试判断与的数量关系,并说明理由. 阅读分析: 小明遇到这样一个问题:如图2,在中,,,射线AM交BC于点D,点E、F在AM上,且,试判断BF、CE、EF三条线段之间的数量关系. 小明利用一对全等三角形,经过推理使问题得以解决.图2中的BF、CE、EF三条线段之间的数量关系为_,并说明理由. 类比探究: 如图3,在四边形ABCD中,,AC与BD交于点O,点E、F在射线AC上,且 ①全等的两个三角形为_,并说明理由. ②若,的面积为3,直接写出的面积:_. 22.本小题12分 在等边中,,动点P以每秒3个单位长度的速度从点A出发在射线AC上运动,设点P的运动时间为t秒. 用含t的代数式表示线段CP的长; 连结PB,当时,求t的值; 若在线段BC上存在一点D,且在点P运动的同时有一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发在线段CD上运动,当点Q运动到点D时,立即以原速度返回至终点C,当为等腰三角形时,直接写出t的值. 答案和解析 1.【答案】A 【解析】解:A、沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,故是轴对称图形,符合题意; B、沿一条直线折叠,直线两旁的部分不能够互相重合,故不是轴对称图形,不符合题意; C、沿一条直线折叠,直线两旁的部分不能够互相重合,故不是轴对称图形,不符合题意; D、沿一条直线折叠,直线两旁的部分不能够互相重合,故不是轴对称图形,不符合题意; 故选: 根据轴对称图形的定义:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,逐一判断即可. 本题考查了轴对称图形的知识,熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键. 2.【答案】A 【解析】解:①4是腰长时,三角形的三边分别为4、4、2, 能组成三角形, 所以,第三边为4; ②4是底边时,三角形的三边分别为2、2、4, , 不能组成三角形, 综上所述,第三边为 故选: 分4是腰长与底边两种情况,再根据三角形任意两边之和大于第三边讨论求解即可. 本题考查了等腰三角形的性质,三角形的三边关系,难点在于要分情况讨论. 3.【答案】D 【解析】解:,, , 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”, 故选: 根据等腰三角形的性质即可得到结论. 本题考查了等腰三角形的性质,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键. 4.【答案】D 【解析】解:A、,故此选项不符合题意; B、,故此选项不符合题意; C、,故此选项不符合题意; D、,故此选项符合题意; 故选: 根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式法则分别计算判断即可. 本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式,熟练掌握运算法则是解题的关键. 5.【答案】C 【解析】解:由题意可得, ,, 当添加条件时,≌,故选项A不符合题意; 当添加条件时,则,≌,故选项B不符合题意; 当添加条件时,无法判断≌,故选项C符合题意; 当添加条件时,≌,故选项D不符合题意; 故选: 根据题意和各个选项中的条件,可以判断是否使得≌,从而可以解答本题. 本题考查全等三角形的判定,解答本题的关键是明确题意,利用全等三角形的判定方法解答. 6.【答案】D 【解析】解:①平分,,, , 故结论①正确; ②过点D作于点H,如图所示: 平分,,, , 又, , 点D在的平分线上, 平分, 故结论②正确; ③由②可知, 在与中, , ≌,故③正确; ④在和中, , , , 同理证明:, , , 即, 故结论④正确, 故选: ①根据角平分线的性质即可对结论①进行判断; ②过点D作于点H,根据角平分线性质得,,则,由此可对结论②进行判断; ③根据角平分线的性质得到,根据SAS得到≌; ④证明和全等得,同理证明和全等得,由此得,进而可对结论④进行判断,综上所述即可得出答案. 本题考查的是角平分线的性质,三角形全等的判定和性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键,注意直角三角形全等的判定方法. 7.【答案】2 【解析】解:如图所示,该轴对称图形有2条对称轴, 故答案为: 根据轴对称图形的定义进行逐一解答即可. 本题主要考查画轴对称图形的对称轴,解题的关键是熟练掌握轴对称的定义.如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形. 8.【答案】答案不唯一 【解析】解:添加的条件是, 理由是:在和中, , ≌, 和沿AC折叠能完全重合, 故答案为:答案不唯一 根据全等三角形的判定方法解答即可. 本题考查了全等三角形的判定,掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键. 9.【答案】0 【解析】解:原式, 因为不含项, 所以, 解得: 故答案为: 根据题意先将原式展开,然后将含的项进行合并,最后令其系数为0即可求出a的值. 本题考查单项式乘以多项式,关键是根据题意先将原式展开. 10.【答案】9 【解析】解:与关于直线AD对称, ,,, 阴影部分的面积可转化为的面积. ,, , , 即图中阴影部分的面积是 故答案为: 根据轴对称的性质,将阴影部分的面积转化为的面积,再结合BC及AD的长进行计算即可. 本题主要考查了轴对称的性质,熟知轴对称的性质是解题的关键. 11.【答案】 【解析】解:是等边三角形, ,, 是AB的中点, , ,, , ,, , , , , 故答案为: 根据等边三角形的性质可得,,再根据线段中点的定义可得,然后利用垂直定义可得,从而可得,最后分别在和中,利用含30度角的直角三角形的性质进行计算,即可解答. 本题考查了含30度角的直角三角形,等边三角形的性质,根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键. 12.【答案】, 【解析】解:由题意可得原式 , 当时,原式 先计算单项式乘多项式,再合并同类项,然后将代入计算求值即可. 本题考查了整式的化简求值,掌握相关运算法则是解题关键. 13.【答案】证明见解答过程. 【解析】证明:, , 平分, , , , 是等腰三角形. 根据平行线的性质求出,根据角平分线定义求出,则,根据“等角对等边”即可得证. 此题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质,熟记等腰三角形的判定定理是解题的关键. 14.【答案】,, , 在 与中, , 【解析】证明:,, , 在 与中, , 根据HL证明与全等解答即可. 此题考查全等三角形的判定,关键是根据HL证明与全等解答. 15.【答案】的度数是 【解析】解:在中,BD是AC边上的高, 于点D, , ,且, , 平分交BD于点E, , , , , 的度数是 由BD是AC边上的高,得,而,则,所以,因为,所以 此题重点考查三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、三角形的内角和等于等知识,正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键. 16.【答案】解:,, , ; 证明:,,, ,即, , 为等边三角形. 【解析】根据等边对等角,以及三角形的内角和定理求解即可; 根据,再根据,,和三角形的内角和定理,证明,得到,即可证明为等边三角形. 本题考查等边三角形的判定,等腰三角形的性质,三角形内角和定理,熟练掌握等边对等角,以及三角形的内角和是是解题的关键. 17.【答案】A;C; 【解析】由题意可得算式①的运算依据是同底数幂的乘法,算式②的运算依据是幂的乘方, 故选:A;C; 原式 根据两式的计算结果进行判断即可; 利用幂的乘方与积的乘方法则,同底数幂乘法法则将原式变形后进行计算即可. 本题考查幂的乘方与积的乘方,同底数幂乘法,熟练掌握相关运算法则是解题的关键. 18.【答案】如图, A坐标为 点D的坐标为或或 如图,即为所求. 【解析】解:如图, 坐标为; ①如图1, 此时≌, 则点D坐标为; ②如图2, 此时≌, 则点D坐标为; ③如图3, 此时≌ 则点D坐标为; 综上,点D的坐标为或或; 如图,即为所求. 依据题意画图即可; 两个三角形有一个公共边BC,据此画图即可得到点D坐标; 作AC垂直平分线,则垂直平分线上的格点,且满足为锐角的即为所求. 本题主要考查了格点作图、轴对称的性质、全等三角形的性质、垂直平分线的性质等内容,熟练掌握相关知识是解题的关键. 19.【答案】11; ; 点P在边AB的垂直平分线上, 连接PA、PB, 直线l垂直平分边BC,点P在直线l上, , 点P在边AC的垂直平分线上, , 等量代换, 点P在边AB的垂直平分线上 【解析】直线l垂直平分边BC,分别交AC,BC于点D,E, , , 的周长为19, , , , 即, 所以AC的长为11, 故答案为:11; , , 又, 等边对等角 即的度数为; 点P在边AB的垂直平分线上,理由如下: 连接PA、PB, 直线l垂直平分边BC,点P在直线l上, , 点P在边AC的垂直平分线上, , 等量代换, 点P在边AB的垂直平分线上. 根据垂直平分线的性质得到,得到,再利用三角形的周长公式即可求解; 利用等边对等角即可求解; 根据垂直平分线的性质得到,再利用垂直平分线的判定即可得出结论. 本题考查了垂直平分线的性质与判定,熟练掌握相关知识点是解题的关键. 20.【答案】≌,理由见解析; 【解析】与全等;理由如下: 在AB的同侧作等腰和等腰,且, ,,, , , , 在和中, , ≌; 由知:≌,, , 是等腰三角形, , , , , , 根据等腰三角形的性质可得、、,再结合可得可证可得,利用SAS即可证明结论; 由全等三角形的性质可得,再根据等腰三角形的性质可得,再根据三角形内角和定理可得,最后根据角的和差即可解答. 本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点,灵活运用相关知识成为解题的关键. 21.【答案】解:,理由如下: 如图1中,作于 因为,, 所以; ,理由如下: 如图2中,, 因为,, 所以, 因为, 所以, 在和中, , 所以≌, 所以,, 所以 即; ①≌,理由如下: 如图3, 因为, 所以, 因为,,, 所以, 在≌中 所以≌; ② 【解析】解:见答案; 线段之间的数量关系为,理由见答案; 故答案为:; ①全等的两个三角形为≌,理由见答案; 故答案为:≌; ②因为, 所以,, 所以, 因为≌, 所以, 所以, 所以, 故答案为: 利用等高模型即可解决问题; 由,,,用AAS证明≌,即可解决问题; ①由,,,根据ASA证明≌,即可解决问题. ②利用全等三角形的性质以及等高模型即可解决问题. 本题属于三角形综合题,考查了等高模型,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形,属于中考常考题型. 22.【答案】解:当点P在线段AC上时, , , 当点P在线段AC的延长线上时, , 的长为或; ①点P在线段AC上, 是等边三角形, ,, , , , , ; ②当点P在线段AC的延长线上时, ,, , , , , , 综上所述,t为或; 分两种情况,①当时,若, , ; ②若时,若, , , 综上所述,或 【解析】分两种情况,由题意可得出答案; 分两种情况,由直角三角形的性质及等边三角形的性质可得出答案; 由等腰三角形的性质列出方程可求出答案. 本题是三角形综合题,考查了等边三角形的性质,等腰三角形的判定与性质,直角三角形的性质,正确进行分类讨论是解题的关键. 第1页,共1页 学科网(北京)股份有限公司 $