广东省广州市真光中学2025-2026学年高一上学期12月阶段测试数学试题

广州市真光中学2025学年度第一学期12月阶段测试 高 一 数 学 说明：本试卷共四大题，共19小题，满分150分，考试时间120分钟. 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知幂函数为偶函数，则（ ） A.或2 B.-1 C.2 D.1 3. 用二分法求方程的近似解时，所取的第一个区间可以是（   ） A． B． C． D． 4．玻璃的透光性是玻璃的一项重要的性能指标．某玻璃厂在进行产品的性能测试时，发现光线通过一块玻璃，强度要损失10%．设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后，光线强度为，要使光线削弱为原来的，至少需要通过几块这样的玻璃？（已知，）（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 5．下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 6．若，则（   ） A． B． C． D． 7. 已知函数，若，，则（ ） A. 25 B. 20 C. 10 D. 5 8. 已知，函数，若恒成立， 则（ ） A. 的最小值为8； B. 的最小值为2； C. 的最小值为； D. 的最小值为. 2、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. ； B. 的解集为； C. ； D. 的解集为. 10. 下列结论中正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“”； B. 函数的图象必过定点； C. 若某扇形的周长为，面积为，圆心角，则； D. 函数的单调增区间. 11. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交. 则下列结论中正确的是（ ） A. 的解析式为； B. 若（且），则实数的取值范围为； C. 函数的零点为1，； D. 方程 有四个不同的实数根，则的取值范围为 . 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. =_____. 13. 如图，在Rt中，，以为圆心、 为半径作圆弧交于点，若圆弧分 的面积为(扇形部分是2份)，且弧度， 则 ． 14. 已知实数x，y满足，， 则_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分13分） 在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边在第二象限与单位圆 交于点，点的横坐标为. （1）求的值; （2）若将射线绕点逆时针旋转，得到角，求的值． 16.（本小题满分15分） 计算下列各式的值： （1）; （2）设，，用a，b表示； （3）已知，试求的值. 17.（本小题满分15分） 某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y（单位：万元）是销售利润x（单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元；③销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择： A.； B．； C．． (1)请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由； (2)根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题： ①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？ ②总奖金能否超过销售利润的五分之一？ 18. （本小题满分17分） 已知定义在上的函数是奇函数． （1）求函数的解析式； （2）判断的单调性，并用单调性定义证明； （3）若存在，使得关于x的不等式能成立， 求实数k的取值范围． 19.（本小题满分17分） 我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有的同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称 图形的充要条件是函数为奇函数. (1) 由上述信息，若的图象关于点成中心对称图形， 证明：； (2)已知函数，写出图象的对称中心，并求的值. (3)若函数具有以下性质： ①定义域为； ②在其定义域内单调递增； ③，都有. 若函数，求使不等式成立的实数的取值范围. 高一年级12月月考数学试题参考答案 一、单选题：（共8小题，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 B C B A D B C C 二、多选题：（共3小题，共18分） 题号 9 10 11 选项 AD ABC BCD 三、填空题：（共3小题，共15分） 12.； 13．； 14.； 8.【详解】因为单调递增，单调递增， 恒成立，所以与零点相等，令可得， 令可得 所以函数的零点为，函数的零点为，所以​ 对于A选项：， 可知，故，所以， 当且仅当，即取等号，所以A不正确； 对于B选项：，可知，即，显然， 所以， 当且仅当时等号成立，故B错误；对于C选项：由可知，易知，，故， 所以， 故，当且仅当，即取等号， 所以C正确；对于D选项：由可知，， 由，所以，当且仅当取最小值，所以D错误. 故选：C. 11. 【详解】根据题意可得，根据的图象与 无限接近，所以，故，因此，故A错误， 由于函数，故为偶函数，当时，为单调递增函数，由得， 解得或，故B正确， 对于C，令，则，故， 故，解得，C正确， 对于D，要使有四个不同的实数根， 令，则在上有两个不 相等的实数根，故，解得， 故D正确， 故选：BCD. 14.【详解】因为，所以， 又，所以，即， 即有，因为函数在上为增函数， 所以，所以． 故答案为：. 15.（1）；（2）. 【解析】 【小问1详解】因为在单位圆上，的横坐标为， 所以根据三角函数的定义得， 又点在第二象限，所以，所以， 则；……………………………6分 【小问2详解】由题知，则， ，则， 故 .………………………………13分 16.（1）；（2）；（3）1. 【解析】 【小问1详解】原式 . ……………………………………………6分 【小问2详解】 .……………10分 【小问3详解】 因为，所以，则，， 则，，所以. …………………15分 17．(1)模型C,理由见解析；(2)①210万元; ②不会. 【详解】（1）模型A．，因为，所以匀速增长， 模型B．，因为，先慢后快增长， 模型C．，因为，先快后慢增长， 所以模型C最符合题意. …………………4分 （2）因为销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元， 所以，即， 又因为销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元， 所以，即， 由解得，所以， …………………8分 ①如果总奖金不少于9万元，即， 即，即，解得， 所以至少应完成销售利润210万元. …………………11分 ②设，即， 因为与有交点， 且增长速度比慢， 所以当时，恒在的下方，所以无解， 所以总奖金不会超过销售利润的五分之一. …………………15分 18.（1）;（2）是上的减函数，证明见解析;（3）. 【解析】【小问1详解】 ∵定义在上的函数是奇函数，∴，∴． 此时，， ∴是奇函数，满足题意，∴． …………………5分 【小问2详解】是上的减函数，证明如下： ，设且， ∴， ∵且，∴， ∴，即，∴是上的减函数． …………10分 【小问3详解】∵是上的奇函数， ∴不等式即为， ∵是上的减函数，∴在时能成立， 令，则，当且仅当时取等号， 故在时能成立， ∴，令， ∵在上均单调递增，∴在上单调递增， ∴，故． …………………17分 19．(1)证明见解析；(2)，；(3). 【详解】（1）设， 由已知得，即， 设，所以， 所以，即；..................4分 （2）因为，所以 ， 因为为奇函数，所以，所以，解得， 所以图象的对称中心为，所以， 即，，， ， 所以 ； ............................11分 （3）因为，， 所以， 因为，都有，所以， 所以， 整理得，即， 因为函数的定义域为，所以的定义域为， 因为在内单调递增，所以在内单调递增， 所以，解得，所以实数的取值范围为. ...................................17分 --2-- 学科网（北京）股份有限公司 $