精品解析：甘肃省兰州市兰州新区2025-2026学年上学期八年级数学第二次月考试卷

2025年秋季学期八年级上册数学第二次阶段性测试 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. 5，12，23 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，一次函数为（　　） A. y＝x3 B. y＝﹣2x+1 C. y＝ D. y＝2x2+1 5. 如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 6. 若实数，满足，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 7. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（ ） A. 25 B. 49 C. 81 D. 100 9. 如图，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为，那么的值为（　　） A. 4 B. 6 C. 12 D. 13 10. 已知是方程的一个解，那么的值是（ ） A. B. C. D. 11. 正比例函数（）的图象经过第二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 12. 如图1，长方形中，动点P从点C出发，速度为，沿方向运动至点B处停止．设点P运动的时间为，的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，则对角线长为（） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 实数4的算术平方根为_____． 14. 如图，在数轴上点表示的实数是___________． 15. 是关于，的二元一次方程，则_____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，将沿对角线翻折得到，边交轴于点．则点的坐标是___________． 三、解答题（共72分）（要写出完整计算步骤） 17. 计算： （1） （2） （3） 18. 解方程（组） （1） （2） （3） 19. 已知一次函数，当自变量时，函数值；当自变量时，函数值．求出该函数的表达式，并画出它的图象． 20. 已知y关于x的函数解析式为（m为常数）． （1）若y是x的正比例函数，求m的值； （2）若，求该函数图象与x轴的交点坐标． 21. 如图所示，三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出与关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标； （2）在轴上找一点，使的值最小，并写出点的坐标． 22. 兰州新区某大型婚庆公司分两批次采购新能源汽车，第一批购进1辆型汽车、4辆型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆型汽车、3辆型汽车，共花费76万元（同类型汽车进价不变），求、型汽车的进价． 23. 如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为多少？ 24. 如图，已知一次函数图像与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求A，B两点的坐标． （2）求线段的长． （3）求直线与坐标轴围成的的面积． 25. 某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x次，所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题： （1）分别求出选择这两种卡消费时，所需费用、元关于入园次数x次的函数表达式； （2）当消费多少次时，甲、乙两种消费卡的费用相同？ （3）若进入生态体验园15次，采用哪种方式比较划算？ 26. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点”． （1）点的“长距”为______： （2）若点是“角平分线点”，求的值； （3）若点的长距为，且点在第二象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期八年级上册数学第二次阶段性测试 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对无理数和有理数定义的理解和运用，解题的关键是注意：无理数常指无限不循环小数、开方开不尽的数、含有的数． 根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：无理数是指无限不循环小数； A. 是整数，是有理数； B. 是无理数； C. 是有限小数，是有理数； D. 是分数，是有理数； 故选：B 2. 下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. 5，12，23 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的相关知识点． 勾股数需为三个正整数，且满足勾股定理，直接验证各选项是否满足条件和定理． 【详解】选项A：，，，不满足勾股数的要求，不符合题意； 选项B：，，满足勾股数的要求，符合题意； 选项C：、、均为小数，不满足勾股数中正整数的要求，不符合题意； 选项D：，，，不满足勾股数的要求，不符合题意； 故选B． 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，分母有理化．根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母不能带根号，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、是二次根式，故本选项符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：A． 4. 下列函数中，一次函数为（　　） A. y＝x3 B. y＝﹣2x+1 C. y＝ D. y＝2x2+1 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的定义进行分析即可． 【详解】A．不是一次函数，故此选项错误； B．是一次函数，故此选项正确； C．不是一次函数，故此选项错误； D．不是一次函数，故此选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数定义，关键是掌握一次函数解析式y=kx+b的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． 5. 如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点所在的象限，掌握各象限内点的坐标特征是解题的关键；由图知小手盖住的点的坐标位于第二象限，从而可作出判断． 【详解】解：由图知小手盖住的点的坐标位于第二象限，而在第三象限，在第二象限，在第一象限，在第四象限； 故选：B． 6. 若实数，满足，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根和绝对值的非负性，代数式求值．根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：D 7. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征． 点关于原点对称时，其横坐标和纵坐标均变为相反数． 【详解】解：∵关于原点对称时，其横坐标和纵坐标均变为相反数， ∴点关于原点对称点的横坐标为，纵坐标为， 即点关于原点的对称点为． 故选：C． 8. 如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（ ） A. 25 B. 49 C. 81 D. 100 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理即可求出答案． 【详解】解：由勾股定理可知：， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型． 9. 如图，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为，那么的值为（　　） A. 4 B. 6 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形面积的组成与简单代数运算的应用，解题的关键是通过分析大正方形的面积构成建立关于直角三角形面积的等式． 明确大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和；根据面积公式列出等 式，结合直角三角形两直角边差的关系求解． 【详解】已知大正方形面积是，小正方形面积是1，且大正方形由四个全等的直角三角形和小正方形拼成． 每个直角三角形的面积为，则四个直角三角形的总面积为． 由面积关系可得：大正方形面积小正方形面积四个直角三角形面积，即． 解上述等式得即． 故选：B． 10. 已知是方程的一个解，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，把代入方程，得到关于的一元一次方程，然后求解即可，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴代入得：， ∴， ∴， 故选：． 11. 正比例函数（）的图象经过第二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，掌握它们的性质是解题的关键；由正比例函数（）的图象经过第二、四象限，得，则一次函数的图象与y轴交于负半轴，且函数值随自变量的增大而增大，从而可判断一次函数经过的象限，由此即可判断． 【详解】解：∵正比例函数（）的图象经过第二、四象限， ∴， ∴一次函数的图象与y轴交于负半轴，且函数值随自变量的增大而增大， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限； 故选：B． 12. 如图1，长方形中，动点P从点C出发，速度为，沿方向运动至点B处停止．设点P运动的时间为，的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，则对角线长为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题是动点问题的图象探究题，考查了动点到达临界点前后的图象变化规律，解答时注意数形结合．通过图2知，段，对应的函数是一次函数，此时，而在段，的面积不变，故，再由勾股定理求解． 【详解】解：由图象知， 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 实数4的算术平方根为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴4的算术平方根是2． 14. 如图，在数轴上点表示的实数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出圆弧半径的长是解题关键．先根据勾股定理求出圆弧半径，再根据数轴即可得到答案． 【详解】解：由勾股定理得直角三角形的斜边长为， 斜边长恰好是圆弧的半径， 则点A表示的实数为， 故答案为：． 15. 是关于，的二元一次方程，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，即可求得m的值． 【详解】解：根据题意，得且， 解得， 故答案为：1． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，将沿对角线翻折得到，边交轴于点．则点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】在矩形中，结合翻折可证，从而可设，在中，利用勾股定理求出线段的长度，即可求出点坐标． 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，翻折问题等，设，运用勾股定理求出线段的长度是解题的关键． 【详解】解：∵矩形的顶点坐标分别是， ∴， 由翻折得， ∵， ∴， ∴， 设，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共72分）（要写出完整计算步骤） 17. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，零指数幂和负整数指数幂等知识，熟练掌握是解题关键． （1）根据二次根式的性质，加法法则计算即可； （2）根据平方差公式、完全平方公式以及二次根式的运算法则计算即可； （3）先计算负整数指数幂的运算、化简绝对值、计算零次幂的运算，然后计算加减法即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ． 18. 解方程（组） （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，利用平方根及立方根解方程，熟练掌握求解方法是解题关键． （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可； （3）根据加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 ∴， ∴， ∴， 解得：； 【小问3详解】 ， ，得， ∴， 把代入①得，， ∴， ∴． 19. 已知一次函数，当自变量时，函数值；当自变量时，函数值．求出该函数的表达式，并画出它的图象． 【答案】该函数的表达式为； 画函数图象如图， 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，画一次函数图象，设该函数的表达式为，利用待定系数法可求出一次函数解析式，然后画出图象即可，掌握知识点的应用是解题关键． 【详解】解：设该函数的表达式为， ∵当自变量时，函数值；当自变量时，函数值， ∴， 解得：， ∴该函数的表达式为， 20. 已知y关于x的函数解析式为（m为常数）． （1）若y是x的正比例函数，求m的值； （2）若，求该函数图象与x轴的交点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，一次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握以上知识点是关键． （1）由y是x的正比例函数，可得，再进一步求解即可； （2）由，可得．令，即，从而可得答案． 【小问1详解】 解：由题意可知， 解得． 【小问2详解】 解：∵，则． 令， 解得， ∴该函数图象与x轴的交点坐标为． 21. 如图所示，三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出与关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标； （2）在轴上找一点，使的值最小，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求： ，，； （2） 如图所示，点即为所求： 点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称最短线段问题，坐标与图形，掌握轴对称的性质是解题的关键． （）根据轴对称的性质作图即可； （）作出点关于轴的对称点，连接，与轴相交于点，则，所以，由两点之间线段最短可知此时的值最小，再根据点的位置写出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：由图可得，，，； 【小问2详解】 解：由图可得，点的坐标为． 22. 兰州新区某大型婚庆公司分两批次采购新能源汽车，第一批购进1辆型汽车、4辆型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆型汽车、3辆型汽车，共花费76万元（同类型汽车进价不变），求、型汽车的进价． 【答案】A型汽车进价为20万元，B型汽车进价为12万元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，熟练掌握根据已知条件列出方程组是解题的关键． 假设购进每辆A型汽车的进价为万元，购进每辆B型汽车的进价为万元，根据题意列出方程组，解出方程组的值即可． 【详解】解：设购进每辆A型汽车的进价为万元，购进每辆B型汽车的进价为万元， 根据题意得： 解得： 答：A型汽车进价为20万元，B型汽车进价为12万元． 23. 如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为多少？ 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质和勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 设，则，再根据翻折变换的性质勾股定理列出方程求解即可解答． 【详解】解：设，则， ∵此长方形沿折叠，使点D与点B重合， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，即，解得：． ∴的长为6． 故答案为：6． 24. 如图，已知一次函数图像与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求A，B两点的坐标． （2）求线段的长． （3）求直线与坐标轴围成的的面积． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． （1）根据一次函数图像与x轴交于点A，与y轴交于点B可知，点的纵坐标为，点的横坐标为，分别代入一次函数表达式进行求解即可； （2）根据两点间的距离公式进行求解计算即可； （3）根据的长为点的横坐标的绝对值，的长为点的纵坐标的绝对值，利用直角三角形面积公式进行求解计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，一次函数 当时，， 则点的坐标为； 当时，， 解得， 则点的坐标为 答：A，B两点的坐标为、； 【小问2详解】 解：由（1）知，A，B两点的坐标为、， 则 答：线段的长为； 【小问3详解】 解：由（1）知，A，B两点的坐标为、， 则、, 因此，直线与坐标轴围成的的面积为：． 答：直线与坐标轴围成的的面积为． 25. 某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x次，所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题： （1）分别求出选择这两种卡消费时，所需费用、元关于入园次数x次的函数表达式； （2）当消费多少次时，甲、乙两种消费卡的费用相同？ （3）若进入生态体验园15次，采用哪种方式比较划算？ 【答案】（1）， （2）当消费10次时，选择两种消费卡的费用相同 （3）当进入生态体验园15次，采用乙方式比较划算 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，根据图象上的点求出甲、乙两种卡费用关于入园次数的函数表达式； （2）通过联立两个函数表达式的方程，求解费用相同时的入园次数； （3）将入园次数代入两个函数表达式，比较费用大小确定划算的方式． 【小问1详解】 解：甲卡：设，由图象过点，得，解得，所以； 乙卡：设，由图象过点，得，解得，所以． 【小问2详解】 解：联立和，得，解得，即消费10次时，两种卡费用相同． 【小问3详解】 解：当时，， 因为，所以采用乙卡比较划算． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数表达式，联立一次函数方程求交点，以及通过代入求值比较函数值大小是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点”． （1）点的“长距”为______： （2）若点是“角平分线点”，求的值； （3）若点的长距为，且点在第二象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】（1）； （2）或； （3）点是“角平分线点”， 理由如下， ∵点的长距为，且点在第二象限内， ∴点的横坐标，纵坐标， 到轴的距离为，到轴的距离为，  ∵点的长距为， ∴， 解得， ∴点的坐标为， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， 即点到轴和轴的距离相等， ∴点是“角平分线点”． 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，理解新定义“长距”和“角平分线点”的含义，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）直接计算点到坐标轴距离的较大值； （2）根据“角平分线点”定义列方程求解； （3）先由点的长距和所在象限求出的值，再判断点的坐标是否满足“角平分线点”条件即可． 【小问1详解】 解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴较大值为， ∴点的“长距”为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵点是“角平分线点”， ∴， 即， ∴或 ， 解得或； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $