精品解析：青海省青海湟川中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

青海湟川中学2024—2025学年第一学期 高一年级数学期中考试试卷 本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分.全卷共150分.考试时间为120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知集合，集合，那么集合（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A B. C. D. 3. 已知，则 A. B. C. D. 4. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 5. 已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合不是空集，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 函数在上是单调减函数 B. 函数与函数是同一函数 C. 已知函数，则 D. 函数既不是奇函数也不是偶函数 10. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 的解集为 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 若，则函数的最小值为2 C. 函数的值域为 D. 当时，函数是奇函数 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 二、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数且的图象恒过定点的坐标是______ 13. 已知是偶函数，当时，，则当时，_________． 14. 设，且，则当且仅当______时，的最小值为______ 三、解答题：（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. （1）计算：； （2）判断函数的单调性，并证明. 16. 已知二次函数满足. （1）求函数的解析式； （2）若，，求的最大值 17. 某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠患者无创呼吸机，需要投入成本（单位：万元）与年产量（单位：百台）的函数关系式为，据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完. （1）求年利润（单位：万元）关于年产量的函数解析式（利润销售额投入成本固定成本）； （2）当年产量多少时，年利润最大？并求出最大年利润. 18. 已知函数，. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式 19. 已知函数. （1）若，求单调区间； （2）若方程有实根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青海湟川中学2024—2025学年第一学期 高一年级数学期中考试试卷 本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分.全卷共150分.考试时间为120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知集合，集合，那么集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出中不等式的解集确定出，求出中不等式的解集确定出，找出与的交集即可． 【详解】由中不等式变形得：， 解得：，即， 由中，得， 解得：，即， ， 故选：D． 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根式、分式以及零次方成立的条件分析求解. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域是. 故选：C 3. 已知，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，且幂函数在 上单调递增，所以b<a<c. 故选A. 点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小. 4. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定函数的定义域，继而根据复合函数的单调性进行判断，即可得答案. 【详解】由题意知函数满足，解得或， 即函数定义域为， 令，则的图象开口向上，且对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 故单调递减区间是. 故选：B 5. 已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，求得的值.结合函数的图象关于原点对称，确定的值. 代入不等式求解，可得实数的取值范围. 详解】由题可知，，即，解得，或. 若，则，图象关于y轴对称； 若，则，图象关于原点对称. 所以. 由，即化简得 所以实数的取值范围为. 故选：C. 6. 已知集合不是空集，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分不必要条件的定义，结合集合的包含关系求解即得. 【详解】由是的充分不必要条件，得是的非空真子集， 则，解得，而当时，，当时，符合题意， 所以实数的取值范围为. 故选：C 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，再结合函数值以及特殊值即可判断出答案. 【详解】由题意知的定义域为， 且，故为奇函数，图象关于原点对称，A错误； 当时，，则，D错误； 当时，，结合图象可知C错误，只有B中图象符合题意， 故选：B 8. 函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分段函数的单调性可知，每段函数是单调递减，并且在分界点处的函数值满足单调递减的条件，即可列式求解. 【详解】由条件可知，实数需满足，解得：. 故选：A 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 函数在上是单调减函数 B. 函数与函数是同一函数 C. 已知函数，则 D. 函数既不是奇函数也不是偶函数 【答案】BC 【解析】 【分析】由函数的单调性可判断A，根据同一函数的判定可判断B，根据配凑法求函数解析式，再代入求值可判断C；根据奇偶函数的定义可判断D. 【详解】对于选项A：函数在，上是单调减函数，在上不单调，故A错误； 对于选项B：由于，即两个函数的对应关系相同， 且两个函数的定义域均为，即定义域也相同， 所以两个函数相等，故B正确； 对于选项C：因为， 令，则， 即，所以，故C正确； 对于选项D：因为函数的定义域为， 且， 所以函数是偶函数，故D错误. 故选：BC. 10. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得和3为方程的根，且，进而结合韦达定理得到，进而判断ABC；将不等式化简可得，求解即可判断D. 【详解】由题意得，和3为方程的根，且， 则，即，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； 由，即， 即，解得，故D错误. 故选：BC. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 若，则函数的最小值为2 C. 函数的值域为 D. 当时，函数是奇函数 【答案】AD 【解析】 【分析】由抽象函数的定义域求法判断A；应用换元法及对勾函数的性质求最值判断B；应用换元法及二次函数的性质求函数值域判断C；应用奇函数的定义判断D. 【详解】对于A，由题设，可得，即的定义域为，故A正确； 对于B，令，则在上单调递增，则，即函数的最小值为，故B错误， 对于C，令，则， 显然在上单调递减，则，即的值域为，故C错误， 对于D，当时，函数，定义域为， 因为，， 所以函数是奇函数，故D正确. 故选：AD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 二、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数且的图象恒过定点的坐标是______ 【答案】 【解析】 【分析】利用指数函数的性质，令，即可求解. 【详解】令，可得，则， 所以的图象恒过定点， 故答案为：. 13. 已知是偶函数，当时，，则当时，_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的性质计算即可 【详解】由，则，且函数是偶函数，故当时， 故答案为： 14. 设，且，则当且仅当______时，的最小值为______ 【答案】 ①. 5 ②. 13 【解析】 【分析】整理可得，，代入结合基本不等式运算求解即可. 【详解】因，且， 则，可得，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当且仅当时，取到最小值13. 故答案为：5；13. 三、解答题：（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. （1）计算：； （2）判断函数的单调性，并证明. 【答案】（1）；（2）在上单调递增，证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质与根式和指数幂的互化求解即可； （2）利用定义法证明单调性即可. 【详解】（1）由 . （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 ， 因在上单调递增，则，即， 而，则， 即，故在上单调递增. 16. 已知二次函数满足. （1）求函数的解析式； （2）若，，求的最大值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设二次函数的解析式，根据题意列出等式，比较系数，解得，即可得答案； （2）结合（1）可得的表达式，结合二次函数图象的对称轴，讨论参数m的范围，即可求得答案. 【小问1详解】 设二次函数， 则，， 故由，得， 所以， 即得，故，即， 故； 【小问2详解】 由题意得，， 的图象为开口向上的抛物线，对称轴为， 当，即时，； 当，即时，； 故. 17. 某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，需要投入成本（单位：万元）与年产量（单位：百台）的函数关系式为，据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完. （1）求年利润（单位：万元）关于年产量的函数解析式（利润销售额投入成本固定成本）； （2）当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】（1） （2）当年产量为台时，年利润最大，且最大年利润为万元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，分，两种情况讨论，即可求解． （2）当时，通过二次函数的配方法可得，取得最大值，当时，结合均值不等式公式可得，取得最大值，即可求解． 【小问1详解】 当时 ， 当时， ， 所以. 【小问2详解】 当时 ， 当时，取得最大值， 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以当时，取得最大值， 综上，当年产量为台时，年利润最大，且最大年利润为万元． 18 已知函数，. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式 【答案】（1） （2） 答案见解析 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论，求得实数的取值范围； （2）当时，不等式是一次不等式，可直接得解；当时，讨论的取值范围，判断对应方程的两根的大小，得到相应的不等式的解集. 【小问1详解】 当时，由，可得，所以不等式恒成立，满足题意； 当时，由题可得恒成立， 所以，解得. 综上，实数的取值范围是. 【小问2详解】 当时，由，可得； 当时，由，可得. 令，则，或. 若，则，所以或； 若，则，所以； 若，则，所以不等式无解； 若，则，所以. 综上所述，若，则关于的不等式解集为或； 若，则关于的不等式解集为； 若，则关于的不等式解集为； 若，则关于的不等式解集为； 若，则关于的不等式解集为. 19. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若方程有实根，求实数的取值范围. 【答案】（1）的减区间为，增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件得，令，则，再利用指数函数与二次函数的单调性，即可求解； （2）令，从而将问题转化成在上有解，令，利用二次函数的图象，即可求解. 【小问1详解】 若，则，令，则， 因为的对称轴为，图象开口向上， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又是增函数，由，得到，由，得到， 所以的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 因为，令， 则方程有实根，即在上有解， 令，对称轴，图象开口向上， 因为，要使在上有解， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $